苏教版数学高二高中数学苏教版必修5第2章数列单元测试

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．数列的通项公式为a n ＝2n －1，则2 047是这个数列的第________项．解析：由2n －1＝2 047，∴2n ＝2 048，∴n ＝11.答案：112．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________．解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧3q n －1＝48，3q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16，q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：53．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.当n ＝1时，a 1＝3符合，故a n ＝2n ＋1.答案：2n ＋14．各项不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，则a 7的值为________．解析：由等差数列的性质知：a 3＋a 11＝2a 7，∴2a 3－a 27＋2a 11＝4a 7－a 27＝0， ∴a 7＝0或a 7＝4，∵a n ≠0，∴a 7＝4.答案：45．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于________．解析：设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n （n －1）2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36， 故当n ＝6时S n 取最小值．答案：66．已知数列{a n }中，a n ≠0，若a 1＝3，2a n ＋1－a n ＝0，则a 6＝________．解析：∵2a n ＋1－a n ＝0，a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12， ∴数列{a n }是首项a 1＝3，公比q ＝12的等比数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝3×(12)n －1， ∴a 6＝3×(12)5＝332. 答案：3327．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________．解析：∵a 1＝1，a 2＝2，∴{a 2n }是以a 21＝1，公比为4的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21（1－q n ）1－q ＝1－4n 1－4＝13(4n －1)． 答案：13(4n －1) 8．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝______．解析：∵a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，且{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 2＝35，a 8＝310.∴a 8a 2＝32，即q 6＝32. ∴q 3＝62.∴a 4a 5a 6＝a 35＝(a 2q 3)3＝(35·62)3＝5 2.答案：5 29．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q .∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列．∴a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2.∵各项都是正数，∴q ＞0，∴q ＝1＋2，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案：3＋2 210．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据64 MB 内存．(1 MB ＝210 KB)解析：64 MB ＝26×210KB ＝216 KB.因为开机时占据内存2 KB ，每3分钟自身复制一次，可设a n ＝2×2n ＝216，解得n ＝15，所以3×15＝45分钟后，该病毒占据内存64 MB.答案：4511．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为________．解析：由等比数列性质有a n a n ＋2＝a 2n ＋1，①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)；②f (a n )f (a n ＋2)＝2a n 2a n ＋2＝2a n ＋a n ＋2≠22a n ＋1＝f 2(a n ＋1)；③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝(|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)；④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)．故①③适合．答案：①③12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为________．解析：由a 5＝5，S 5＝15可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝55a 1＋5×42d ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝1⇒a n ＝n ， ∴1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴S 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101) ＝1－1101＝100101. 答案：10010113．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105，∴a 3＝35.由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝－2，∴a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0得392≤n ≤412， ∴n ＝20时，S n 达到最大值．答案：2014．有限数列A ＝(a 1，a 2，…，a n )，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S n n为A 的“凯森和”，如有99项的数列(a 1，a 2，…，a 99)的“凯森和”为1 000，则有100项的数列(1，a 1，a 2，…，a 99) 的“凯森和”为________．解析：S 1＋S 2＋…＋S 99＝99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99，又S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1 000， ∴99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99＝99 000.对A ＝(1，a 1，a 2，…，a 99)来说，设其“凯森和”为x ，则100x ＝100×1＋(99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99)＝100＋99 000，∴x ＝991.答案：991二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16.(1)求公比q ；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1q ＝4a 4＝a 1q 3＝16，∴q 2＝4，又q >0， ∴q ＝2.(2)由(1)可得a n ＝2n ，∴b 3＝a 3＝8，b 5＝a 5＝32.设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝32－85－3＝12， ∴b n ＝8＋(n －3)×12＝12n －28.16．(本小题满分14分)已知{a n }是递增的等差数列，满足a 2·a 4＝3，a 1＋a 5＝4.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和公式；(2)设数列{b n }对n ∈N *均有b 13＋b 232＋…＋b n 3n ＝a n ＋1成立，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝4，再由a 2·a 4＝3，可解得a 2＝1，a 4＝3或a 2＝3，a 4＝1(舍去)．∴d ＝a 4－a 24－2＝1，∴a n ＝1＋1·(n －2)＝n －1，S n ＝n 2(a 2＋a n －1)＝n （n －1）2. (2)由b 13＋b 232＋…＋b n 3n ＝a n ＋1得， 当n ≥2时，b 13＋b 232＋…＋b n －13n －1＝a n ， 两式相减，得b n 3n ＝a n ＋1－a n ＝1(n ≥2)， ∴b n ＝3n (n ≥2)，当n ＝1时，b 13＝a 2，∵a 2＝1，∴b 1＝3，也适合上式． ∴b n ＝3n .17. (本小题满分14分)如图所示，某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径20 mm ，满盘时直径100 mm ，已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，试问满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(π取3.14，精确到1 m)?解：卫生纸的厚度为0.1 mm ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，由内向外各圈的半径分别为10.05，10.15，…，49.95.因为各圈半径组成首项为10.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n ，则49.95＝10.05＋(n －1)×0.1，所以n ＝400.显然，各圈的周长组成一个首项为20.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列，根据等差数列的求和公式，得S ＝20.1π×400＋400×（400－1）2×0.2π＝24 000π(mm)，24 000π(mm)＝75.36(m)．故满盘时卫生纸的总长度约为75 m.18．(本小题满分16分)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1.②②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝12（1－2n －1）1－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10. 而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.19．(本小题满分16分)已知前n 项和为S n 的等差数列{a n }的公差不为零，且a 2＝3，又a 4，a 5，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数对(n ，k )，使得na n ＝kS n ？若存在，求出所有正整数对(n ，k )；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 4，a 5，a 8成等比数列，所以a 25＝a 4a 8.设数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋3d )2＝(a 2＋2d )(a 2＋6d )．将a 2＝3代入上式化简整理得d 2＋2d ＝0，又因为d ≠0，所以d ＝－2.于是a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－2n ＋7，即数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋7.(2)假设存在正整数对(n ，k )，使得na n ＝kS n ，则由(1)知S n ＝n （a 1＋a n ）2＝6n －n 2. 当n ＝6时，na n ＝kS n 不成立，于是k ＝na n S n ＝n （7－2n ）6n －n 2＝2n －7n －6＝2＋5n －6. 因为k 为正整数，所以n －6≤5，即n ≤11，且5被n －6整除，故当且仅当n －6＝±5，或n －6＝1时，k 为正整数．即当n ＝1时，k ＝1；n ＝11时，k ＝3；n ＝7时，k ＝7.故存在正整数对(1，1)，(11，3)，(7，7)，使得na n ＝kS n 成立．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证数列{b n }是等比数列；(3)记c n ＝a n ·b n ，求{c n }的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d ，因为a 2＝6，a 5＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，所以a 1＝2，d ＝4，所以a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2. (2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，因为T n ＝1－12b n ，T n －1＝1－12b n －1，所以T n －T n －1＝12(b n －1－b n )，即b n ＝12(b n －1－b n )．所以b n ＝13b n －1.所以{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列． (3)由(2)可知b n ＝23·(13)n －1＝2·(13)n ， 所以c n ＝a n ·b n ＝(4n －2)·2 ·(13)n ＝(8n －4)·(13)n .所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n －1＋c n ＝4×(13)＋12×(13)2＋…＋(8n －12)×(13)n －1＋(8n －4)×(13)n .所以13S n ＝4×(13)2＋12×(13)3＋…＋(8n －12)×(13)n ＋(8n －4)×(13)n ＋1， 所以S n －13S n ＝23S n ＝4×13＋8×(13)2＋8×(13)3＋…＋8×(13)n －(8n －4)×(13)n ＋1 ＝43＋8×（13）2·[1－（13）n －1]1－13－(8n －4)×(13)n ＋1. 所以S n ＝4－4(n ＋1)·(13)n。