第一讲课程概述与随机变量基础
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经济应用数学教程—线性代数及其应用课件：随机变量的概念
（1）离散型随机变量：试验的结果可一一 列出，变量的取值可列出.
（2）连续型随机变量：变量的取值仅是一 个范围，这时变量取一固定值是无意义的，因 为在连续尺度上一点的概率几乎为0.
引入一个变量 ，用它表示“抽取的白球数”，
用 ( 0) 来表示随机事件“抽取的3个球中无白球”；
用 ( 3) 来表示随机事件“抽取的3个球全部是白球”；
用 ( 2) 来表示随机事件“抽取的3个球中至多有2个白球”，
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
例1 抛掷一枚硬币，试验的结果为“正面
[0, 5]
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
随机变量中的“变量” 具有两个特点： （1）取值的随机性，取哪一个值，在试验
前无法确定； （2）取值的统计规律性，也就是取某值的
概率是确定的.
随机变量取不同的值就表示不同的随机事件
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
常用的随机变量有如下两类：
向上”和“反面向上”，引入变量 ，规定
1， 正面向上 0， 反面向上
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
例2 在一小时内，114查号台收到电话用 户的呼唤次数是一个随机变量。
，
例3 某公共车站每隔5分钟有一辆汽车通
，
过．若一位乘客在任一时刻到达车站都是等可能的，
他到达车站后的候车时间是一个随机变量。
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
定义4.1.1 把一个随机试验的结果用一个变量 的取值来表示，则称这个变量为随机变量.
通常用希腊字母 , , （或大写英文字 母 X , Y , Z ）表示随机变量.
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
【引例4.1.1】 摸球问题 假定盒中有5个黑球和3个白球，从中随机抽取3 个，考虑取得的白球数.
（2）连续型随机变量：变量的取值仅是一 个范围，这时变量取一固定值是无意义的，因 为在连续尺度上一点的概率几乎为0.
引入一个变量 ，用它表示“抽取的白球数”，
用 ( 0) 来表示随机事件“抽取的3个球中无白球”；
用 ( 3) 来表示随机事件“抽取的3个球全部是白球”；
用 ( 2) 来表示随机事件“抽取的3个球中至多有2个白球”，
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
例1 抛掷一枚硬币，试验的结果为“正面
[0, 5]
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
随机变量中的“变量” 具有两个特点： （1）取值的随机性，取哪一个值，在试验
前无法确定； （2）取值的统计规律性，也就是取某值的
概率是确定的.
随机变量取不同的值就表示不同的随机事件
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
常用的随机变量有如下两类：
向上”和“反面向上”，引入变量 ，规定
1， 正面向上 0， 反面向上
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
例2 在一小时内，114查号台收到电话用 户的呼唤次数是一个随机变量。
，
例3 某公共车站每隔5分钟有一辆汽车通
，
过．若一位乘客在任一时刻到达车站都是等可能的，
他到达车站后的候车时间是一个随机变量。
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
定义4.1.1 把一个随机试验的结果用一个变量 的取值来表示，则称这个变量为随机变量.
通常用希腊字母 , , （或大写英文字 母 X , Y , Z ）表示随机变量.
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
【引例4.1.1】 摸球问题 假定盒中有5个黑球和3个白球，从中随机抽取3 个，考虑取得的白球数.
随机变量的概念与分类.pptx
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（3）随机变量的取值表示事件
可用r.v.取值的等式或不等式表示随机事件
例如 : { | X a},{ | a X () b},{ | X x}
I R, {X () I}F
------由r.v.X生成的事件
（4）在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v.
例如 : {1, 2, 3,4,5,6}
为更好地揭示随机现象的规律性并利
用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果.
例 抛掷一枚硬币可能出现 的两个结果 , 可以用一个 变量来描述.
例 {1, 2, 3,4,5,6}
1, =正面 X () 0 , =反面
定义: X()
．．A ． ．．
．．
—————>
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X ()
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注：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z,… 或小写希腊字母 ,η, ζ,….等表示.
（2）随机变量的特点
定义域 变异性
样本空间 随试验结果而变的量
随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能取值，但不 能预知取哪个值
概率特性 X 以一定的概率取某个值
R
X : 按一定法则 实数 X ()
一、随机变量的概念
1.定义: 定义在概率空间(, P )上，取值为实数 的函数X ()（ ）,称为(, P)上的一个 随机变量(random variable). 简记为r.v. X .
描述性定义：称这种依赖于特: X()
1 1，3，5 Y () 0 2，4，6
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2、r.v. 分类 离散型(D.r.v.)
随机信号分析与处理课程概述
17
8 维纳滤波
第一讲 课程概述 教学组织
教学内容 课堂教学（精讲） 学时 26学时 所占比例 81.25%
实验
6学时
18.75%
18
第一讲 课程概述 四、参考书
（1）、《随机信号分析》、哈尔滨工业大学，赵淑清
（2）、《随机信号分析》、清华大学，杨福生
（3）、“Probability,Random Variables and Stochastic Processes ”，Papoulis,(有中译本） （4）《An introduction to Statistical Signal Processing with Applications》，Srinath M.D. John Wiily & Sons INC,1979. （5）《Detection of Signals in Noise》，Anthony D.Whalen，Academic Press。1995 （6）《信号检测理论》、哈尔滨工业大学，段凤增，2002 19
6学时
4学时
5 窄带随机过程
4学时 习题课、仿真实验
合计
6学时
54学时
16
第一讲 课程概述
本课程的仿真作业和实验安排
1 图象直方图均衡 随机变量函数和概率密度估计的应用
2 随机过程的分布特性*
3 随机过程的特征估计*
用MATLAB编写各种分布函数并显示
用MATLAB实现对均值方差相关函数和功率谱 的估计
第一讲 课程概述
五、学好本课程应把握好的几个问题 （1）注意掌握与信号分析与处理前后课程之间的联系 信号可以分为确定性信号与随机信号（包括连 续的和离散的），信号与系统分析、时域离散 时间信号分析两门课程学习了连续信号、离散
第1章 随机变量(概率论与数理统计(东南大学课件)ppt)
6
(二) 随机事件
样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件。在 一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出 现时，称这一事件发生。 基本事件: 由一个样本点组成的单点集.
必然事件：样本空间 Ω 是自身的子集，在每次试验 中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点，它在每次 试验中都不发生，称为不可能事件。
P( Ai A jAk )
n 1
( 1)
P( A1A 2 An ).
25
例1. 设事件A发生的概率是0.6，A与B 都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的 概率为 0.15 , 求: (1) A发生B不发生的概率；(2) P(A+B); (3) P(B-A).
解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1, P（A B）=0.15， 则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0. 5 P（B-A）=P（B）-P（AB）
A B Ω
22
性 质4. 对 任 一 事 件 , A
有 P ( A ) 1.
证 因A ， 由 性 质 得 3 P ( A ) P ( ) 1. 性 质5. 对 任 一 事 件 , A 有P ( A) 1 P ( A). 证 因 A A , 且 AA , 由概率的有限可加性得 1 P ( ) P ( A A ) P ( A) P ( A ). 性 质6. 对 任 意 两 事 件 , B有 A P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
17
（3） 若A1，A 2， , Ak 两 两 互 不 相 容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ). (有 限 可 加 性 ） 频 率 的 特 性 ： 波 动 性稳 定 性 和
(二) 随机事件
样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件。在 一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出 现时，称这一事件发生。 基本事件: 由一个样本点组成的单点集.
必然事件：样本空间 Ω 是自身的子集，在每次试验 中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点，它在每次 试验中都不发生，称为不可能事件。
P( Ai A jAk )
n 1
( 1)
P( A1A 2 An ).
25
例1. 设事件A发生的概率是0.6，A与B 都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的 概率为 0.15 , 求: (1) A发生B不发生的概率；(2) P(A+B); (3) P(B-A).
解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1, P（A B）=0.15， 则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0. 5 P（B-A）=P（B）-P（AB）
A B Ω
22
性 质4. 对 任 一 事 件 , A
有 P ( A ) 1.
证 因A ， 由 性 质 得 3 P ( A ) P ( ) 1. 性 质5. 对 任 一 事 件 , A 有P ( A) 1 P ( A). 证 因 A A , 且 AA , 由概率的有限可加性得 1 P ( ) P ( A A ) P ( A) P ( A ). 性 质6. 对 任 意 两 事 件 , B有 A P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
17
（3） 若A1，A 2， , Ak 两 两 互 不 相 容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ). (有 限 可 加 性 ） 频 率 的 特 性 ： 波 动 性稳 定 性 和
第二章随机变量PPTppt文档
{X 2} 表示掷出的点数大于2这一随机事件．
我们还可以定义其它的随机变量，例如定义：
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1, 0,
x 2, x 2,
Z
1, 0,
x 6, x 6.
例3 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令X为该时间 间隔内通过的汽车数，则X就是一个随机变量．它的 取值为 0，1，…；{X1000}表示通过的汽车数小于 1000辆这一随机事件；{X 500}表示通过的汽车数大于 等于500辆这一随机事件．
定义函数：
X()10,,
1, 2,
定义1 设随机试验E的样本空间是Ω，如果对每一样 本点 都有唯一的一个实数 X ( ) 与之对应，
这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数 XX()
我们称之为定义在Ω上的一个随机变量．
随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点：
变异性、随机性
例2 掷一颗骰子，令X表示出现的点数，则X就是一 个随{X机变3}量表．示它掷的出所的有点可数能不取超值过为3这1，一2随，机3，事4件，；5，6；
则随机变量 X 服从 0-1 分布,分布律为
X
0
1
Pk
0.55 0.45
例: 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品.顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率.
1, 取得合格品
解 令 X 0, 否则, 则 X 服从 0-1 分布,
其分布律为
• 例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯, 每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽 车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是 相互独立的),求X的分布律.
我们还可以定义其它的随机变量，例如定义：
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1, 0,
x 2, x 2,
Z
1, 0,
x 6, x 6.
例3 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令X为该时间 间隔内通过的汽车数，则X就是一个随机变量．它的 取值为 0，1，…；{X1000}表示通过的汽车数小于 1000辆这一随机事件；{X 500}表示通过的汽车数大于 等于500辆这一随机事件．
定义函数：
X()10,,
1, 2,
定义1 设随机试验E的样本空间是Ω，如果对每一样 本点 都有唯一的一个实数 X ( ) 与之对应，
这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数 XX()
我们称之为定义在Ω上的一个随机变量．
随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点：
变异性、随机性
例2 掷一颗骰子，令X表示出现的点数，则X就是一 个随{X机变3}量表．示它掷的出所的有点可数能不取超值过为3这1，一2随，机3，事4件，；5，6；
则随机变量 X 服从 0-1 分布,分布律为
X
0
1
Pk
0.55 0.45
例: 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品.顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率.
1, 取得合格品
解 令 X 0, 否则, 则 X 服从 0-1 分布,
其分布律为
• 例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯, 每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽 车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是 相互独立的),求X的分布律.
1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望PPT优秀课件
意的n个实数 x1,x2, ,xn，均有 P X 1 x 1 , X 2 x 2 , , X n x n P X 1 x 1 P X 2 x 2 P X n x n
则称n个随机变量是相互独立的。
随机变量的独立性
设 X1,X2, ,Xn 的分布函数分别为 F 1 (x )F ,2 (x ) ,,F n (x )， 它们的联合分布函数为 F(x1,x2, ,xn)，则上式等 价于
F ( x 1 , x 2 , , x n ) F 1 ( x ) F 2 ( x ) F n ( x )矩函数一个来自机变量矩函数原点距
中心距
n
mk E X K xik PX xi 离散型 i1
x
k
fX
x dx
k E X EX k
连续型
n
xi EX k PX xi i1
设离散型随机变量X，一切可能值为x1,x2, ,xn，记
PnP(Xxn)
称 P1,P2, ,Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f( x )，
且 f(x)dx ，使X取值于任意区间的概率 b Pa Xbf(x)dx a
称X为连续型随机变量。
随机向量及其分布
定义：
设 是一样本空间， X 1 ()X ,2 () ,,X n ()
是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称
X () X 1 () ,X 2 () , ,X n () 为 上的一个n维
随机向量。
随机向量的联合分布函数
设 X (X 1 ,X 2 , ,X n)是样本空间 上的n维随机 向量。称n元函数
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
则称n个随机变量是相互独立的。
随机变量的独立性
设 X1,X2, ,Xn 的分布函数分别为 F 1 (x )F ,2 (x ) ,,F n (x )， 它们的联合分布函数为 F(x1,x2, ,xn)，则上式等 价于
F ( x 1 , x 2 , , x n ) F 1 ( x ) F 2 ( x ) F n ( x )矩函数一个来自机变量矩函数原点距
中心距
n
mk E X K xik PX xi 离散型 i1
x
k
fX
x dx
k E X EX k
连续型
n
xi EX k PX xi i1
设离散型随机变量X，一切可能值为x1,x2, ,xn，记
PnP(Xxn)
称 P1,P2, ,Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f( x )，
且 f(x)dx ，使X取值于任意区间的概率 b Pa Xbf(x)dx a
称X为连续型随机变量。
随机向量及其分布
定义：
设 是一样本空间， X 1 ()X ,2 () ,,X n ()
是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称
X () X 1 () ,X 2 () , ,X n () 为 上的一个n维
随机向量。
随机向量的联合分布函数
设 X (X 1 ,X 2 , ,X n)是样本空间 上的n维随机 向量。称n元函数
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
第1讲 概率、随机变量
第1讲 概率、随机变量及其分布列概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法，统计的研究对象是数据，核心是数据分析。
概率为统计的发展提供理论基础，高考中概率与统计考题常常具有鲜明的时代和文化背景，试题难度逐渐加大，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。
基础知识回顾1.古典概型概率公式: ()试验的样本点总数包含的样本点数事件A A P =。
2.条件概率公式:对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫作条件概率，用符号()A B P 来表示，其公式为()()()()()0>=A P A P AB P A B P 3.全概率公式:设n A A A ,...,21n A A A ,...,21是一组两两互斥的事件,Q A A A n = ...21,且()n i A P i ,...,2,1,0=>,则对任意的事件Q B ⊆,有()()()i ni i A B P A P B P ∑==1。
4.超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()m k C C C k X P n N k n M N k M ,...,2,1,0,===--，其中{}n M m ,m in =, 且()NM n X E N N M n N M N n •=∈≤≤*,,,,,。
5.二项分布 :一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0<p<1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()()()()()p np X D np X E nk p p C k X P k n k k n -===-==-1,,...,2,1,0,1 6.正态分布: 如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足()()dx x b X a P b au σϕ,⎰=≤<(即x=a ，x=b ，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，那么称随机变量X 服从正态分布记作()2,~σu N X 。
二章第一课
S {HHH, HHT, HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
则X 的取值为-3，-1，1，3． 并且
X
-3
-1
1
3
P
1 8
3 8
3 8
1 8
第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量
例 3 （已知分布律，求随机变量落在某区间上的概率） 设离散型随机变量 X 的分布律为
X0 1 2 3 4 5
P
1
3
1
4
3
4
16
16
16
16
16
16
则 PX 2P{X 0}{X 1}{X 2}
PX 0 PX 1 PX 2
131 5 16 16 16 16
第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量
例 3（续）
PX 3 PX 4 PX 5
3 4 16 16
7 16
P0.5 X 3 PX 1 PX 2
例 5(续) 以 p = 1/2 代入得
§2离散型随机变量
X0 1 pk 0.5 0.25
2 0.125
3 0.0625
4 0.0625
第二章 随机变量及其分布
二、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 01 p q ， PX 1 p
§2离散型随机变量
第二章 随机变量及其分布
例6 掷一枚硬币，令
X 10
掷硬币出现正面 掷硬币出现反面
则X是一个随机变量．
§1 随机变量
第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量
说明
在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
绪论 第1章 随机变量基础
1.1.3 常见的连续型随机变量分布
n n n n
31
1.2 多维随机变量及分布 1.3 随机变量的数字特征 1.4 随机变量的函数 1.5 多维正态随机变量
32
n
分布函数与概率密度的关系
n n
dF ( x) dx x F ( x ) = ∫ f ( x )dx 对PDF求积分得到CDF： f ( x) = 对CDF求导数得到PDF：
n
随机变量的定义
设随机试验 E 的样本空间为 S = {e}， 如果对于每一 个 e ∈ S ，有一个实数 X e 与之对应，这样就得到一 个定义在 S 上的单值函数 X e ， 称 X e 为随机变量，
n
n n n n n
随机试验 —— 相同条件下的重复实验中，实验结果 具有不确定性的实验（扔骰子） 随机事件 —— 随机试验中可能出现也可能不出现， 大量重复试验下具有某种规律的事件， （扔骰子出现偶数点） 基本事件 —— 不能再分的随机事件（扔骰子出现1点） 样本空间 —— 随机试验的所有基本事件构成的集合 频数 —— n次重复试验中，事件A发生的次数nA 频率 —— nA/n 概率 —— nà无穷时，频率的极限值
离散型随机变量的概率分布
n
随机变量是对每个试验结果指定一个数值的函数 随机变量是从样本空间到实数空间的一个映射
n
概率分布律 (Probability mass function)
P( X = xk ) = pk
X pk
23 15-3-11
( k = 1,2,...., n)
1.1.1 随机变量的定义 1.1.2 随机变量的分布函数与概率密度
随机变量及其分布课件
多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的 线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方 差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是 随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度 量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来 计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法 和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特 性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使 用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。
《随机变量 》课件
正态分布
广泛应用于自然和社会科学中， 形态对称且集中在均值附近的分 布。
随机变量的应用
统计学中的应用
随机变量在统计学中广泛应 用于推断、模型估计和假设 检验等领域。
金融学中的应用
随机变量在金融学中用于模 拟风险、计算期权定价和构 建投资组合等。
工程学中的应用
随机变量在工程学中有助于 分析不确定性、预测可靠性 和设计优化。
式，用于估计随机变量与其期望之间的
3
关系。
期望、方差和标准差
解释了随机变量的期望、方差和标准差， 并讨论了它们的重要性。
大数定理和中心极限定理
讲解了大数定理和中心极限定理，揭示 了随机变量的稳定性和分布规律。
一些常见的随机变量
二项分布
描述了具有两个互补结果的随机 试验的分布。
泊松分布
用于描述单位时间内独立随机事 件发生次数的分布。
频率函数用于描述离散随机变 量的分布，概率密度函数用于 描述连续随机变量的分布。
离散随机变的分布
介绍了常见的离散随机变量分 布，如二项分布和泊松分布。
连续随机变量的分布
介绍了常见的连续随机变量分 布，如正态分布和指数分布。
随机变量的数字特征1Fra bibliotek切比雪夫不等式和马尔科夫不等
2
式
介绍了切比雪夫不等式和马尔科夫不等
总结
随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，掌握随机变量的定义、分布和 数字特征对于深入理解概率与统计学至关重要。
《随机变量 》PPT课件
本课件介绍了随机变量的基本概念、分布以及数字特征，还探讨了随机变量 在统计学、金融学和工程学中的应用。
什么是随机变量
定义
随机变量是表示随机实验结果的数值的变量。
第一节随机变量的定义.ppt
正如裁判员在运动场上不叫运动员的名 字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.
定义 设随机试验为E,其样本空间为
, 如果对于每个 ，都有一个实数
X () 和它对应，于是就得到一个定义在 上的实值单值函数 X (，)称 X为(随)机变量。
X () R
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊上的 重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计 规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩 大为对随机变量及其取值规律的研究。
这两种类型的随机变量因为都是随机变量， 自然有很多相同或相似之处，但因其取值方式 不同，又有其各自的特点。
学习时请注意它们各自的特点和描述方法。
X 1表示该试验中“正面朝上”事件。 X 0表示该试验中“反面朝上”事件。
例2中，事件{点数不少于3点}可表示为 X 3.
三、随机变量的分类
通常分为两类：
随 离散型随机变量 机 变 量 连续型随机变量
所有取值可以逐个 一一列举
全部可能取值不仅 无穷多，而且还不 能一一列举，而是 充满一个区间.
第一节 随机变量的定义
一、随机变量的定义
在上一章中，我们研究了随机事件与概率 的一些基本概念和理论。为了更深入地研究随 机试验的结果，揭示其相应的随机现象的统计 规律性，从本章起，我们将引进随机变量的概 念。其基本想法是把随机试验的结果数量化， 即用一个变量X 来描述试验的结果。先看下面 的例子。
例1 投掷一枚硬币，观察出现正反面的
情形。试验有两个可能结果： H
T
1 — 出现正面 2 — 出现反面
我们引入一个变量如下：
X
X ()
1, 0,
1 2
这个变量可以看作是定义在样本空间
1, 2
定义 设随机试验为E,其样本空间为
, 如果对于每个 ，都有一个实数
X () 和它对应，于是就得到一个定义在 上的实值单值函数 X (，)称 X为(随)机变量。
X () R
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊上的 重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计 规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩 大为对随机变量及其取值规律的研究。
这两种类型的随机变量因为都是随机变量， 自然有很多相同或相似之处，但因其取值方式 不同，又有其各自的特点。
学习时请注意它们各自的特点和描述方法。
X 1表示该试验中“正面朝上”事件。 X 0表示该试验中“反面朝上”事件。
例2中，事件{点数不少于3点}可表示为 X 3.
三、随机变量的分类
通常分为两类：
随 离散型随机变量 机 变 量 连续型随机变量
所有取值可以逐个 一一列举
全部可能取值不仅 无穷多，而且还不 能一一列举，而是 充满一个区间.
第一节 随机变量的定义
一、随机变量的定义
在上一章中，我们研究了随机事件与概率 的一些基本概念和理论。为了更深入地研究随 机试验的结果，揭示其相应的随机现象的统计 规律性，从本章起，我们将引进随机变量的概 念。其基本想法是把随机试验的结果数量化， 即用一个变量X 来描述试验的结果。先看下面 的例子。
例1 投掷一枚硬币，观察出现正反面的
情形。试验有两个可能结果： H
T
1 — 出现正面 2 — 出现反面
我们引入一个变量如下：
X
X ()
1, 0,
1 2
这个变量可以看作是定义在样本空间
1, 2
第一节 随机变量的概念和类型
二、随机变量的概念
1.定义 设 E 是随机试验, 它的样本空间是 {}. 如
果对于每一个 , 有一个实数X () 与之对应, 这样就得到一个定义在 上的单值实值函数X (), 称 X () 为随机变量.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等表示
而表示随机变量所取的值,一般采用小写字母 x, y, z 等.
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(3)随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研 究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研 究随机现象.
有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 例如 抛掷骰子,观察出现的点数.
每天光谷地铁站的乘客人数；
一部电话在一天内接到的呼叫数；
而在有些试验中，试验结果看来与数值无关， 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化。
正如裁判员在运 动场上不叫运动 员的名字而叫号 码一样，二者建 立了一种对应关 系.
若用 X () 表示该家女孩子的个数时 , 则有
X (1) 0, X (2 ) 1, X (3) 1, X (4 ) 2,
可得随机变量 X () ,
0,
X () 1,
1, 2, 3,
2, 4.
例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
是一个随机变量.
且 X () 的所有可能取值为:
1, 2, 3, .
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六、参考书
（1）、《随机信号分析》、哈尔滨工业大学，赵淑清 （2）、《随机信号分析》、清华大学，杨福生 （3）、“Probability,Random Variables and Stochastic Processes ”，Papoulis,(有中译本）
（4）《An Introduction to Statistical Signal Processing with Applications》，Srinath M.D. John Wily & Sons INC,1979.
确定性信号 Deterministic Signal Signals 随机信号 Random Signal
Stochastic Signal
A Deterministic Signal is a signal in which
each value of the signal is fixed and can be
（1）实施研究型教学（Research-Based Teaching） 研究型教学的主要特征：
•教师引导、学员自主学习，学员是课程学习的主体；
•要有批判的眼光，发现问题、提出问题和解决问题 •研究、探索与实践 •课程论文培养科研素养 •交流互动，协作学习、基于网络的学习 •考核: 综合评定
（2）基于团队的学习(TBL,Team-Based Leacturing)
Manner)来建模。
Speech Waveforms
Communication Signals Such as
Biological Signals
Seismological Signals
Passive Sonar Records
Temperature Histories ….
How do we model them?
满足下列三个条件的试验称为随机试验：
(1)在相同条件下可重复进行；
(2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确； (3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。
The outcome varies in an unpredictable fashion when the experiment is repeated under the same conditions.
七、课程教学（学习）策略
How much do learners remember?
Lecture 5% 10% 20% 30% 50% 75% 90%
Reading
Traditional
Teaching
Audio-Visual Demonstration Discussion Group Practice by Doing Teach others/ Immediate Use
接收机 输出
雷达接 收机
接收机输出噪声
大量 样本 平均 展示 出的 特征： 均值 方差
…
统计思维方法：从不确定中把握确定性
随机信号：一类随时间变化的、且变换规律
带有许多不确定性的信号。
分析信号的统计规律
随机信号分析
分析信号通过系统后 统计规律的变化
随机信号的处理
噪声背景下最佳地 提取有用信息。
（3）注意掌握本课程的基础性（基本概念的 理解和表达）、应用性（实际例子、参考文 献的阅读）和综合能力（仿真作业、实验、 课题研究、学习的互动交流、协作）培养。
第一章学习内容
概率的基本术语
随机变量的定义及分布
随机变量的数字特征
随机变量的函数
多维正态随机变量
MATLAB的统计分析函数*
目的：培养协作精神 分组：4人1组（固定）
以组的形式完成课程论文
以组的形式参与课堂讨论
以组的形式开展自学（互相讲解）
按组评定成绩（期终考试除外）
概念测试：目的是加强对课程概念的理解和评估 •随机过程基础（基本概念、统计描述） •随机信号的变换、典型随机过程
•信号检测与估计 每次测试=个人测试+小组测试
பைடு நூலகம்
研究生信号处理系列
信号处理与系统 随机信号分析与处理
本科专业课程群
信号处理系列课课程设计
•定位于学科专业基础课 •军用电子信息技术核心理论基础 •在课程体系中起承上启下的作用,对学科支撑作用明显
三、课程学习的目标 随机信号分析 信号检测与估计 通过课程的学习平台，
掌握一定基本知识；
培养基本能力； 提高综合素质。
（2）习题1.5 1.6 1.7
（3）用仿真方法验证中心极限定理
（4）如何用MATLAB绘制二维正态概率密度和条件 概率密度。
（5）MATLAB有哪些统计函数，举例说明其用法 习题1.21和习题1.22的求法
（6）如何用MATLAB求随机变量的统计特性
（参考例1.11 例1.12 习题1.24）
（7）如何用计算机模拟一个随机事件，比如投掷硬币 的实验，并估计随机事件发生的概率。（参考【1】第 17-19）
determined by a mathematical expression,
rule, or table. The future values of the signal can be calculated from past values with complete confidence.
A cos 2f c t e u (t ) sinc(t ) sin t / t
Random processes are basic in the field of Electrical and computer science engineering
(Especially in Communication, Radar, Navigation,
Computer Vision, Digital Signal Processing)
（5）《Detection of Signals in Noise》，Anthony D.Whalen， Academic Press。1995 （6）《Probability and Random Processes with (7) 网络课程提供的大量参考文献
Applications to Signal Processing and Communications》
应用研究
(1) 随机变量的数字特征应用实例：数据压缩 参考【1】pp155-157 (2)数字通信 参考【1】pp24-pp26 (3) 量化噪声分析 参考【2】pp126-134 只需将问题进行描述，详细分析留作课程 论文进行研究（同时完成【2】的习题4.51）。
1.1 概率的基本术语
随机试验(Random Experiment):
信号检测 与估计 （40）
随机信号 分析与处 理（80） (60)
（50-70 年代）
（70年代末 （90年代初2001年） -90年代初）
（2002年-）
二、课程的重要性
1.从课程研究对象分析
每天我们都要遇到许多各种类型的信号，许
多信号是不能用解析的表达式（Analytical
Expression) 或者确定的方式(Deterministic
专业基础课
信号与 系统 数字信号 处理 随机信号分 析与处理
模式 识别 雷达 系统 图像 处理
研究生 课程
专业课程
信息论 编码
我院信号分析与处理课程体系结构
雷达、通信、卫星导航、精确制导、目标识别、图像处理
军用电子信息技术
现代信号处理 自适应信号处理 数字信号处理 数字图像处理 雷达信号处理 统计信号处理 导航与定位 电子对抗原理 雷达原理与系统 航天无线电测控 模式识别 通信系统
本次课的教学内容
课程发展的历史
课程学习的必要性 课程学习的目标 课程的教学内容 课程的教学组织和安排
教学（学习）策略
随机变量基础
一、课程发展的历史沿革 2009年被评为国家精品课程和军队优质课程 无线电 系统的 噪声理 论 统计无线 电理论 （60） 信号检测 与估计 （60） 随机信号 分析（60）
【2】Probability and Random Processes with
Applications to Signal Processing and Communications.
本章课堂讨论的主题：
（1）已知随机变量X的概率密度，且Y=X, 求 f XY ( x, y ) 如果Y=g(X)，其中g()是确定性函数，求 f XY ( x, y )
8学时
12学时
考试
2学时
实验内容 1 随机过程的产生与特征估计
2 随机过程通过系统分析
3 检测性能的仿真分析
五 课程考评方式 课程考评以综合能力为目的，考核方式为： 期终考试+实验+课程论文+平时成绩 （50% +15% + 15% + 20%） 三个实验，每个实验5%
平时成绩=概念测试成绩15分+讨论课表现5分
实际中的信号
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
通信中的随机信号
移动通信
卫星通信
噪声
信 源
发送 设备
信 道 传 输 通信系统模型
信
接收 设备 宿
两个基本问题: 如何可靠地传输信息? 如何有效地传输信息?
雷达发 射机
两个基本问题:
如何检测回波信号 如何估计信号的参数
收发转 换开关
知识 能力 素质
掌握知识：
随机过程的概念,统计描述
随机过程通过线性和非线性系统分析的理论和方法