弹性与弹性变形

σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
,
变形的表述
绝对变形量 相对变形量 正应变 工程切应变 应变张量分量：
Δl = l − l0
ε = Δl / l0
γ = tan θ
1 ⎛ ∂u i ∂u j ⎞ ⎟ + ε ij = ⎜ 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ ⎝ ⎠
u i 为某点受力作用发生的位
移在第xi 轴方向上的分量 应变张量： ⎛ ε 11 ε 12 ⎜ ε = ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ε ⎝ 31 ε 32
n1 = (cos β1 , cos β 2 , cos β 3 )
o
其中，αi 为法向与坐标轴xi之间的夹角 βi为切向与坐标轴xi之间的夹角
应力矢量： F = no ⋅ σ 正应力： σ n = F ⋅ n o (T) = n ⋅ σ ⋅ n o (T)
o
切应力： τ n1 = F ⋅ n
o(T ) 1
应变：
工程应变ε/真应变εt 工程正应变 真应变
Δl ε = l0
dl dε t = l
σ t = σ (1 + ε )
l 关系：ε t = ln = ln(1 + ε ) l0
回答相关问题时，注意区分，不要模糊！
练习题：在晶轴坐标系下，写出(001)面承受200MPa压应力 的立方单晶体的应力张量，计算(111)[-110]滑移系的分切应 力值。如果同时在（010）面上还承受100MPa的拉应力， 应力张量如何？滑移系的分切应力为多少？
⎛ ε1 ε 6 ⎜ ε : ⎜ ⋅ ε2 ⎜⋅ ⋅ ⎝
ε 5 ⎞ ⎛ε11 2ε12 2ε13 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ε 4 ⎟ = ⎜ ⋅ ε22 2ε23⎟ ε 3 ⎟ ⎜ ⋅ ⋅ ε33 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝
1.4 广义胡克定律与晶体弹性各向异性
比较弹性变形规律表达形式 前面的多向应力状态下:
1 εx = − υ ⋅ (σ y + σ z ) E E
E、G和ν
(2个独立材料弹性常数)
σx
适用对象：各向同性材料! (形式上是36个数值描述材料弹性)
应力－应变张量形式:
s
独立材料弹性常数个数及原因分析： (1) 各向同性材料中，一定也是两个独立的弹性常数！ (2) 应用范围一定还要超出2个独立弹性常数的各向同性材料！ (3) 引入张量表达式及更多的材料弹性常数的原因： －－表达晶体材料弹性的各向异性所需
σ 6 = σ 12
广义胡克定律简化形式中的应力－应变量
简化胡克定律中的量： 应力、应变张量分量
⎛ σ 1 σ 6 σ 5 ⎞ ⎛ σ 11 σ 12 σ 13 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ σ : ⎜ ⋅ σ 2 σ 4 ⎟ = ⎜ ⋅ σ 22 σ 23 ⎟ ⎜ ⋅ ⋅ σ3 ⎟ ⎜ ⋅ ⋅ σ 33 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
记做：
ε = Sσ
σ ij = C ij11ε 11 + C ij12 ε 11 + C ij13 ε 13 + C ij21ε 21 + ⋅ ⋅ ⋅ + C ij33ε 33
记做：
σ = Cε
S ijkl 与 C ijkl 分别称作弹性柔度系数和弹性常数，是材料常数
它们分别是9x9阶矩阵，各有81个数值！
晶体的弹性各向异性
室温下铜的杨氏模量： E{111}=191.1GPa，E{100}=66.7GPa
相同的正应力，沿着{111}面的法向时所产生的弹性变形 量，仅是沿着{100}面法向时变形量的大约1/3 ！ 晶体弹性各向异性的归纳分析 (1) S表达了晶体弹性各向异性 (2) 依据晶体结构的对称性不同，具有 不同的简化形式 (3) 典型晶体结构中形式如何? (4) 在各向同性的特殊情况下，与“经 典”的结论相符，如何具体体现？
i, j = 1,2,3
ε 13 ⎞ ⎟ ε 23 ⎟ ε 33 ⎟ ⎠
正应变 切应变 体积变化
(ε11 ε 22 ε 33 )
γ xy = ε 12 + ε 21 = 2ε 12
ΔV = ε 11 + ε 22 + ε 33 V
注意事项
应力：
工程应力σ/真应力σt 分别是载荷与承载面的初始 面积/瞬时真实面积之比值 • 变形量很小时，两者差别 很小(如金属材料的弹性变 形阶段)，可以不加区分； • 金属塑性变形阶段，有明 显差别，由于体积不变， 可以证明：
= n ⋅σ ⋅n
o
o(T ) 1
主应力与最大切应力的确定
主应力值： 应力张量(矩阵)的特征值
σ 11 − λ σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 − λ σ 23 = 0 σ 31 σ 32 σ 33 − λ
最大切应力：
τ max =
σ1 − σ 3
2
该方程的三个实数解， 就是三个应力主值 注意：排列习惯
ε=
σ
E
性能指标
Young`s modulus E Poisson`s ratio shear modulus G
ε⊥ ν =− ε //
υ
γ =
τ
G
各向同性材料中 多向应力状态下
E G= 2(1 + υ )
1 εx = − υ ⋅ (σ y + σ z ) E E
σx
晶体的弹性各向异性
室温下铜的杨氏模量： E{111}=191.1GPa，E{100}=66.7GPa
塑性变形：
应变不恢复
理想弹性与滞弹性对比曲线
理想弹性： • 应力－应变同相位 • 可逆
滞弹性： • 应力－应变有相位差 • 不可逆 (能量损耗)
1.3 理想弹性 (Ideal elastic deformation) －－金属与陶瓷应力-弹性应变关系
Hooke`s law 单 向 应 力 状 态 正应力－应变 “横向收缩”效应 切应力－应变
S11 = S 22 = S 33
0 0⎞ ⎛ S11 S12 S12 0 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎜ S12 S11 S12 0 ⎜S S S 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ 12 12 11 0⎟ ⎜ 0 0 0 S44 0 ⎜0 0 0 0 S 0⎟ 44 ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 0 S44 ⎟ ⎠ ⎝
立方晶体特殊情况的应力－应变关系
沿[100]方向施加单轴正应力σ0，即 σ1＝ σ0，而其余5个应 力分量都为0，因此，[100]方向的正应变ε1＝S11 σ0 立方晶体承受[100] 方向的单轴正应力
晶面(HKL)的正应变弹性模量E(HKL)定义: (HKL)面的[UVW]方向上切变弹性模量G： 立方结构晶 体中的正变 弹性模量 各向异性系数
1 EHKL
A=
E=
σ ε
τ G(HKL)[UVW ] = γ
1 ⎤ 2 2 2 2 2 2 ⎡ = S11 − 2⎢S11 − S12 − S 44 ⎥ l1 l 2 + l 2 l3 + l3 l1 2 ⎦ ⎣
2(S11 − S12 ) S 44
(
)
li为(HKL)面法向与第xi轴(某 个<100>方向)的夹角余弦
第一章 弹性与滞弹性
(Elasticity and Anelasticity)
本章弹性部分要点与要求： (1) 掌握材料受力状态和变形的张量表述方法； (2) 全面了解各类固体材料的弹性特点(类型、弹性变 形能力、抵抗弹性变形的能力) (3) 认识晶体的弹性各向异性现象，掌握其弹性的描 述方法，了解其弹性常数与晶体结构之间的关系 (4) 掌握弹性变形的两类微观机理，了解弹性模量的 相关因素及影响因素 (5) 了解某些材料中的特殊弹性现象及原因
正应变分量
ε 1 = ε 11
ε 2 = ε 22
ε 3 = ε 33
切应变分量
正应力与切应力分量
ε 4 = 2ε 23 = γ yz
Leabharlann Baidu
σ 1 = σ 11 σ 2 = σ 22
σ 4 = σ 23
σ 3 = σ 33
ε 5 = 2ε 13 = γ xz
ε 6 = 2ε 12 = γ xy
σ 5 = σ 13
理想弹性
比 较
ε (σ )
滞弹性
应变－应力与时间有关的多值函数： ε (σ , t ) 应变－应力关系不可逆
线弹性、非线弹性试验曲线
线弹性－金属、陶瓷 部分高分子材料 非线弹性－高分子材料 高弹体(Elastomer)
弹性变形的时间特性
理想弹性：
应变瞬间完成 可逆（线性/非线性）
滞弹性：
弹性应变滞后 不可逆 (能量损耗)
应力应变张量各有6个“有效”值 胡克定律可简化为：
⋅ ⋅ S16 ⎞ ⎛σ1 ⎞ ⎛ ε1 ⎞ ⎛ S11 S12 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⎟ ⎜σ2 ⎟ ⎜ε 2 ⎟ ⎜ S21 ⋅ ⎜ε ⎟ ⎜ ⋅ ⋅ ⎟ ⎜σ3 ⎟ S33 3 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⋅ ⎟ ⎜σ4 ⎟ S44 ⎜ε 4 ⎟ ⎜ ⋅ ⎜ε ⎟ ⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ ⎜σ5 ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ε ⎟ ⎜ S ⋅ ⋅ ⋅ S66 ⎟ ⎜σ6 ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 61 ⋅ ⎠⎝ ⎠
广义胡克定律
⎛ε1 ⎞ ⎛ S11 S12 ⋅ ⋅ ⋅ S16 ⎞ ⎛σ1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋅ ⎟ ⎜σ2 ⎟ ⎜ε2 ⎟ ⎜S21 ⋅ ⎜ε ⎟ ⎜ ⋅ S33 ⋅ ⎟ ⎜σ3 ⎟ ⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ =⎜ S44 ⋅ ⎟ ⎜σ4 ⎟ ⎜ε4 ⎟ ⎜ ⋅ ⎟ ⎜σ ⎟ ⎜ε ⎟ ⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎜ε ⎟ ⎜S ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ S66 ⎟ ⎜σ6 ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 61
σ 13 ⎞ ⎟ σ 23 ⎟ σ 33 ⎟ ⎠
σ ij = σ ji
受力状态－由应力张量确定任意方向面上应力分量的方法
问题：立方系单晶体受力问题，通常取<100>方向为坐标 轴方向。已知应力张量，如何确定各“滑移系”的应力？ 承载面法向的单位方向矢量： 承载面切向的单位方向矢量：
no = (cos α1 , cos α 2 , cos α 3 )
1.1 受力与变形状态的表达
载荷P：承载面上的总作用力 【N】 应力矢量F ：单位面积上承受的载荷 F= P /A 【MPa, 1MPa=106 N/m2】 直角坐标系下，立方 体面上的应力分量
σ ij =
dPij dAi
应力张量： 其中：
⎛ σ 11 σ 12 ⎜ σ = ⎜ σ 21 σ 22 ⎜σ ⎝ 31 σ 32
1.2 材料的弹性概述
弹性变形 材料的弹性
注意 随应力产生、且应力去除后消失的(那部分)变形 材料受力作用时具有弹性变形能力的性质
准确把握弹性变形的意义，要将其与塑性变形进行比 较。塑性变形的特征是其不可恢复性
不同材料的弹性特点： 金属－－弹性模量高 (Fe－210GPa，Cu－140GPa，Al－70GPa) 屈服前纯弹性变形量小(不超过0.5%，非晶及晶须除外) 陶瓷－－弹性模量高 (弹性变形量比金属还小，一般低于0.1%) 高分子－弹性模量低，高弹性 (橡胶等elastomer的最大弹性变形量一般在200%以上)
材料的弹性概述－固体弹性类别
理 想 弹 性 滞弹性
线弹性 应力-弹性应变之间成线性比例关系 (金属及陶瓷材料中的典型弹性) 应力-弹性应变之间呈非线性关系 (典型代表是高分子材料中高弹体)
非线弹性
应力-弹性应变关系受时间的影响 (实际固体材料普遍特性) 应力-应变一一对应 应变为应力的“状态函数”： 应力-应变关系可逆
晶体各向异性表现
• 磁晶各向异性 • 磁致伸缩 • 光线传输
共性原因：
原子(或离子)的空间 排列情况，在不同的 晶体学方向上不同
晶体的弹性常数与晶体对称性关系
一般性结论(弹性力学理论证明)： • 随着晶体结构对称性提高，表征材料弹性的独立常数个数逐渐减少； • 对称性最低的晶体(三斜晶体)，也存在关系： S ij = S ji 因而最多需要21个独立的弹性常数描述其弹性
相同的正应力，沿着{111}面的法向时所产生的弹性变形 量，仅是沿着{100}面法向时变形量的大约1/3 ！
晶体各向异性表现
• 磁晶各向异性 • 磁致伸缩 • 光线传输
共性原因：
原子(或离子)的空间排列情况，在不同的晶体学方向上不同
广义胡克定律 －－应力张量、应变张量关系表达式
ε ij = S ij11σ 11 + S ij12σ 12 + S ij13σ 13 + S ij21σ 21 + ⋅ ⋅ ⋅ + S ij33σ 33
立方晶体：3个独立弹性柔度系数，采用晶轴坐标系时 S11=S22=S33, S12=S13=S23, S44=S55=S66 其余为零
分析例：分别沿着[100]、[010]、[001]三 个方向施加相同数值的单轴正应力σ0， 应变量ε11,ε22和ε33分别是 S11σ0、 S22σ0和S33σ0；由于原子排列的等价性， 这三个正应变也应当相同。依此：