期末考试试题及解答.ppt
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D(X Y ) ___9_.4__。
5、设总体 X ~ N(, 4), X1, X2 , , X16为总体的容量为16 的一个样本。求得样本均值 X 10，则 的置信度为
95%的置信区间为 9.02,10.98 。
三、解答题 1. （9分）设机器正常时，生产合格品的概率为90％，
机器不正常时，生产合格品的概率为40％。设机器的无故 障率为90％；某天工人上班时，先开机生产一批产品，发 现不合格，问当日机器不正常的概率是多少？
（3） Cov( X ,Y ),
；
XY
（4）X与Y是否独立？
y=x
G x
O
1
解
（来自百度文库）
fX (x)
f
(x, y)dy
x
6 ydy
0
3x2,
0,
0 x 1 else.
fY ( y)
f
(x,
y)dx
1
6 ydx 6 y(1 y),
y
0,
0 y 1 else.
(2) E( X ) 1 x3x2dx 3 , E( X 2 ) 1 x23x2dx 3 ;
np 8 ，由Poission定理，近似地有 Y ~ P(8) 。
P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)
1 (8)0 e8 (8)1e8 1 9e8 0.9970.
0!
1!
（3） np 8, npq 8 0.92 7.36,
由中心极限定理，近似地有 Y ~ N(8,7.36) 。
fY ( y) f ( y3)
y3
6y2 (1 y6
)
;
6y2
fY ( y) (1 y6 ) ,
0,
y 1,1
else.
y 1,1,
3. （9分）某产品的次品率为8%。 （1）任取8件这种产品，求至少2件为次品的概率； （2）任取100件这种产品，用Poisson定理计算至少 有2件为次品的概率； （3）用中心极限定理计算与（2）问相同的问题。 附：正态分布表
XY
1 40
3 1 3 0.5774; 80 20 3
（4）因 f (x, y) fX (x) fY ( y)，故X与Y不相互独立。
5、（9分） 某糖厂自动包装机包装砂糖，每袋重量
服从正态分布，其标准重0 50kg ，某日开工后，测得
(A) T X 0 (B) U X 0 (C) T X 0 (D) U X 0
S/ 5
/ 5
S/ 4
二、填空（每空3分，共15分）
1、某城市的电话号码是一个8位数， 今任取一个号 码，则第一位是偶数，其余各位不相同，且没有一位为8 的概率是 5P97 108（只列式，不计算）。
2、设X有分布律
2、设A，B是事件，0 P（A） 1, 且P（B|A） 1 ，则( B ） 成立。
( A) A与B互斥 (B) P( AB) 0 (C) B A (D) P(B) 1
3、设随机变量X有密度函数 f (x)
1
，则 ( x 1)2
e8
E(2X 2 1) __D___。
2 2
(A) 1
(B) 2
四川大学期末考试试卷
（2003-2004学年第一学期）
科
目：概率论与数理统计》
适用专业年级：数学I、II的2002级本科生
一、单项选择（每空3分，共15分） 1、设A、B、C为三个事件，则A不发生而B、C都发
生可表为 C 。
( A) A B C (B) A (B C) (C) A B C (D) A (B C)
X
1 0.，4
0 0.3
2 0.2
04.1，则方差
D(X ) _____2_._6_4_____。
，
3、设X服从参数为 1的指数分布，则概率
9 P(3 X 9) ___e__13 __e__1 __0_._3_4_8_7____。
4、设（X,Y）服从二维正态分布 N(1, 2;9, 4;0.3，) 则方差
解： 设A：机器正常；则 A、A 构成一个划分； B：产品合格， 则
P(A | B)
P(A)P(B | A)
0.1 0.6
0.4。
P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 0.1 0.6 0.90.1
2. （12分）设随机变量X有密度函数为
f
(x)
A 1 x2
,
1 x 1
0,
x 1.35 2.21 2.32 2.70
F(x) 0.9115 0.9864 0.9901 0.9965
解：(1) X B(8,0.08), P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1)
1 0.928 C810.08 0.927 0.1298;
（2）设Y表“任取的100件这种产品中的次品数”， 则 Y～B(100, 0.08)
(C) 3
(D) 9
4、若随机变量X的方差为2，由切比雪夫不等式，应
有 P( X E( X ) 1) ( C
a (A) 2 (B) 1
)。 2
(C) a2
(D) 2a2
5、 设总体 X ~ N (, 2 ), 2未知，X1, X 2, , X5为总体的 一个样本。则检验 H0 : 0 可采用统计量
else
（1）求A=？（2）求概率 P( X 3 )；
3
（3）若 Y 3 X，求 fY (y) 。
解： （1）由密度函数的性质有
1
A
1 dx 1 1 x2
Aarctgx |11
2
A,
A 2;
(2) P( X
3) 2
3 3
dx
2;
3 3 1 x2 3
3
(3) 1 x 1, R(Y ) 1,1.
P(Y 2) 1 P(Y 2) 1 F( 2 8 ) 1 F(2.21) 7.36
F(2.21) 0.9864.
4.(18分)如图，(X ,Y)有联合密度 求：（1）边缘密度；
f (x, y)
6 y,
0,
y
（2）边缘数字特征E(X ), E(Y ), D(X ), D(Y )；
(x, y) G else
0
4
0
5
E(Y ) 1 y6 y(1 y)dx 1 , E(Y 2 ) 1 y6 y2 (1 y)dx 3 ；
0
2
0
10
D( X
)
3 5
3 4
2
3 80
;
D(Y ) 3 1 1 ; 10 4 20
(3)
E( XY )
1
6xdx
x y2dx 3 ,
0
0
5
Cov( X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ) 3 3 1 1 ; 5 4 2 40
5、设总体 X ~ N(, 4), X1, X2 , , X16为总体的容量为16 的一个样本。求得样本均值 X 10，则 的置信度为
95%的置信区间为 9.02,10.98 。
三、解答题 1. （9分）设机器正常时，生产合格品的概率为90％，
机器不正常时，生产合格品的概率为40％。设机器的无故 障率为90％；某天工人上班时，先开机生产一批产品，发 现不合格，问当日机器不正常的概率是多少？
（3） Cov( X ,Y ),
；
XY
（4）X与Y是否独立？
y=x
G x
O
1
解
（来自百度文库）
fX (x)
f
(x, y)dy
x
6 ydy
0
3x2,
0,
0 x 1 else.
fY ( y)
f
(x,
y)dx
1
6 ydx 6 y(1 y),
y
0,
0 y 1 else.
(2) E( X ) 1 x3x2dx 3 , E( X 2 ) 1 x23x2dx 3 ;
np 8 ，由Poission定理，近似地有 Y ~ P(8) 。
P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)
1 (8)0 e8 (8)1e8 1 9e8 0.9970.
0!
1!
（3） np 8, npq 8 0.92 7.36,
由中心极限定理，近似地有 Y ~ N(8,7.36) 。
fY ( y) f ( y3)
y3
6y2 (1 y6
)
;
6y2
fY ( y) (1 y6 ) ,
0,
y 1,1
else.
y 1,1,
3. （9分）某产品的次品率为8%。 （1）任取8件这种产品，求至少2件为次品的概率； （2）任取100件这种产品，用Poisson定理计算至少 有2件为次品的概率； （3）用中心极限定理计算与（2）问相同的问题。 附：正态分布表
XY
1 40
3 1 3 0.5774; 80 20 3
（4）因 f (x, y) fX (x) fY ( y)，故X与Y不相互独立。
5、（9分） 某糖厂自动包装机包装砂糖，每袋重量
服从正态分布，其标准重0 50kg ，某日开工后，测得
(A) T X 0 (B) U X 0 (C) T X 0 (D) U X 0
S/ 5
/ 5
S/ 4
二、填空（每空3分，共15分）
1、某城市的电话号码是一个8位数， 今任取一个号 码，则第一位是偶数，其余各位不相同，且没有一位为8 的概率是 5P97 108（只列式，不计算）。
2、设X有分布律
2、设A，B是事件，0 P（A） 1, 且P（B|A） 1 ，则( B ） 成立。
( A) A与B互斥 (B) P( AB) 0 (C) B A (D) P(B) 1
3、设随机变量X有密度函数 f (x)
1
，则 ( x 1)2
e8
E(2X 2 1) __D___。
2 2
(A) 1
(B) 2
四川大学期末考试试卷
（2003-2004学年第一学期）
科
目：概率论与数理统计》
适用专业年级：数学I、II的2002级本科生
一、单项选择（每空3分，共15分） 1、设A、B、C为三个事件，则A不发生而B、C都发
生可表为 C 。
( A) A B C (B) A (B C) (C) A B C (D) A (B C)
X
1 0.，4
0 0.3
2 0.2
04.1，则方差
D(X ) _____2_._6_4_____。
，
3、设X服从参数为 1的指数分布，则概率
9 P(3 X 9) ___e__13 __e__1 __0_._3_4_8_7____。
4、设（X,Y）服从二维正态分布 N(1, 2;9, 4;0.3，) 则方差
解： 设A：机器正常；则 A、A 构成一个划分； B：产品合格， 则
P(A | B)
P(A)P(B | A)
0.1 0.6
0.4。
P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 0.1 0.6 0.90.1
2. （12分）设随机变量X有密度函数为
f
(x)
A 1 x2
,
1 x 1
0,
x 1.35 2.21 2.32 2.70
F(x) 0.9115 0.9864 0.9901 0.9965
解：(1) X B(8,0.08), P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1)
1 0.928 C810.08 0.927 0.1298;
（2）设Y表“任取的100件这种产品中的次品数”， 则 Y～B(100, 0.08)
(C) 3
(D) 9
4、若随机变量X的方差为2，由切比雪夫不等式，应
有 P( X E( X ) 1) ( C
a (A) 2 (B) 1
)。 2
(C) a2
(D) 2a2
5、 设总体 X ~ N (, 2 ), 2未知，X1, X 2, , X5为总体的 一个样本。则检验 H0 : 0 可采用统计量
else
（1）求A=？（2）求概率 P( X 3 )；
3
（3）若 Y 3 X，求 fY (y) 。
解： （1）由密度函数的性质有
1
A
1 dx 1 1 x2
Aarctgx |11
2
A,
A 2;
(2) P( X
3) 2
3 3
dx
2;
3 3 1 x2 3
3
(3) 1 x 1, R(Y ) 1,1.
P(Y 2) 1 P(Y 2) 1 F( 2 8 ) 1 F(2.21) 7.36
F(2.21) 0.9864.
4.(18分)如图，(X ,Y)有联合密度 求：（1）边缘密度；
f (x, y)
6 y,
0,
y
（2）边缘数字特征E(X ), E(Y ), D(X ), D(Y )；
(x, y) G else
0
4
0
5
E(Y ) 1 y6 y(1 y)dx 1 , E(Y 2 ) 1 y6 y2 (1 y)dx 3 ；
0
2
0
10
D( X
)
3 5
3 4
2
3 80
;
D(Y ) 3 1 1 ; 10 4 20
(3)
E( XY )
1
6xdx
x y2dx 3 ,
0
0
5
Cov( X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ) 3 3 1 1 ; 5 4 2 40