第八章-矩阵位移法(二),同济大学课件,朱慈勉版教材。

1
2
若利用梁式单元单刚通式 ，则 可以求出单元的全部杆端力
12 l2 Fp1 17 Fp1l 3 4Ml 2 4 0 0.58 Fp1l 0.058 M l 1 12 276 EI F 0 p 1 2 2 l 0 . 42 F l 0 . 058 M 11 F l 8 Ml p1 p1 8 l
4
3
4
y
5
②
1
24 12 3 2 Fp1 l3 l2 1 17 Fp1l 4Ml EI 12 8 276 EI 11Fp1l 2 8Ml 0.42 Fp1l 0.058 M 2 l l
4 4 k (1) EI 4 l
v3
单元刚度矩阵：由梁式单元单刚通式划行划列得到。
12 EI l3 6 EI 2 e k l 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI l2 4 EI l 6 EI 2 l 2 EI l 12 EI 3 l 6 EI 2 l 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI l2 2 EI l 6 EI 2 l 4 EI l
几点说明
教材与参考书 朱慈勉主编， “十一五教材” 《结构力学》，高教出版社 龙驭球主编， 《结构力学》，高教出版社 周竞欧、朱伯钦主编， 《结构力学》，同济大学出版社 (特点: 例题多，习题难，概念与技巧并重) 龙驭球等主编， “面向21世纪教材” 《结构力学教程》，高教出版社
12 v3 l2 8 4 l
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理
结构刚度矩阵的形成
4 4 k (1) EI 4 l
2
K EI
4 l
2 5
2 l 2 4 5 l
结力Ⅰ(4学时)
后处理法（直接刚度法） 先处理法 结构力学Ⅰ、Ⅱ 第九章：实用与近似计算方法 结力Ⅱ(2学时) 第十章：动力学 第八章：矩阵位移法 第十一章：结构稳定
第十二章：极限荷载
选修课：结力Ⅲ(2学时)
矩阵位移法
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 先处理法 等效结点荷载
结构力学‖
Strucural Mechanics ‖
同济大学土木工程学院 School of Civil Engineering,Tongji Univesity
吕凤悟 Lv Fengwu
几点说明
课程考核 Homework： 30% Final Exam： 70% 2013-2014学年第一学期成绩统计
Fp1
EI
Fp 2
2 EI
2 EI
l
l
5
l
6
7
6 ⑤
y
2
④
7
3
x
4
①
1
② 5 ③
2
4
⑥
1
3
只有线位移（力）需要坐标变换，角位移（力矩） 不需要坐标变换。 故，结构坐标系应尽可能与存在杆端线位移的柱子 的单元坐标系一致。
⑵列出杆端位移向量和结点荷载向量
v6 F 0 0 0 Fp1 Fp 2 0 M
1
2 Fp1l 2 14 Ml 0 F 3 2 1 17 Fp1l 4Ml p1 2 11 F l 8 Ml 0 276 EI p1 2 4 Fp1l 28 Ml M
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果
先处理法与后处理法的区别
正定矩阵的特征值全为正。各阶主 子式都为正。
结点位移向量仅需列入独立的未知结点位移。 单刚不同：在完整的单元刚度矩阵中划去零杆端位移对应的行和列，即可得到考虑 位移约束后的单元刚度矩阵。
例：图示单元的单刚可通过自由式刚架单元的单刚（Textbook P.10式8－21）划行划列得到。
所以，结构坐标系下的单刚可以直接利用局部坐标系下的单刚通过 划行划列得到。
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理（以图示结构为例说明，不考虑杆件轴向变形）
Fp1
2 EI EI
Fp 2
2 EI
M
2
③
3
④
4
3
EI
4
①
②
5
1
l
y
x
l
l
1
T
2
3 4
T
2 v3 4 5 1 2
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理
先处理法的基本步骤 结构标识 包括：结点编号、单元编号，设定局部坐标系、结构坐标系。
列出待求的结点位移向量和已知的结点荷载向量。
建立考虑位移约束条件后的单元刚度矩阵。
形成结构刚度矩阵，建立结构刚度方程。
求解结构刚度方程，得未知结点位移。 计算单元杆端力和支座约束力。 校核。
T
3 4 5 v4 6 7
Fp 3
T
§8-5 先处理法
先处理法应用例题
⑶建立单元刚度矩阵
5
6 ⑤ 7
6 7
y
2
④
由梁式单元单元坐标系下的单刚直接划行划列 4 5 v4 4 EI 4l 2 2l 2 4 EI 12 6l v4 (2) (1) k 3 2 k 3 l 2l 4l 2 5 l 6l 4l 2 4
24 l3 12 l2 2 l
12 l2 20 8 4 ll l 4 l
4 l 12 l

2
v3
由单刚形成总刚：“对号入座” “同号相加”
由于单刚矩Байду номын сангаас考虑了位移约束， 故由此形成的总刚矩阵就是结构 刚度矩阵，可逆。
4
5
§8-5 先处理法
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理
单元杆端力计算（以单元③ 为例） ？ 是利用前面列出的有约束单元单刚k③，还是利用梁式单元单刚通式？ 若利用k③ ，则 不能求出单元的全部杆端力
Fy 3 3 v3 k M 4 4
2
③
3
④
e
2 5
4 2 l l 2 (2) k EI 2 4 5 l l 4 5 4 划去了哪几行？哪几列？ 8 k (4) EI l 4 l 4 l 4 8 5 l
24 3 k (3) EI l 12 2 l
v3
4
12 v3 l2 8 4 l
4 5
8 k (4) EI l 4 l 4 l 4 8 5 l
4 k (2) EI l 2 l
v3
24 3 k (3) EI l 12 2 l
4
5
2 l
（1）对称性
先处理法与后处理法
（2）奇异性
§8-5 先处理法
先处理法的特点
在计算形成结构总刚度矩阵之前，即单元分析中，也就是写出单元刚度矩阵时，就考 对任何非零向量X=(x1，…，xn) 虑结构的位移约束条件，故，称为先处理法。 都有 XMXT>0，就称M正定。 由于各单元受到的位移约束 不同，故，单元刚度矩阵阶数各不相同。 由单元刚度矩阵形成的总刚度矩阵即为结构刚度矩阵。 正定矩阵在相合变换下可化为标准 （对称正定 Symmetrical & Positive Definite) 型， 即单位矩阵。
2 EI EI
Fp 2
2 EI
M
2
③
3
④
4
3
EI
4
①
②
5
1
l
y
x
l
l
T
1
4
T
2
2 v3 4 5 1 2 3 结点位移向量 有几个待求的独立的结点位移？ T 结点荷载向量 F 0 Fp1 0 M
是否要坐标变换？为什么？
不需要坐标变换。原因： ⑴梁局部坐标系与结构坐标系相同； ⑵柱子杆端只有角位移，无线位移。
基本概念回顾
原理： 位移法+矩阵论 先离散，后组合 要点：
单元分析——单刚矩阵元素的物理含义。 Textbook P.38 习题8-10（1）
坐标变换 整体分析：
（1）总刚矩阵元素的物理含义
（2）单刚形成总刚：对号入座，同号相加。Textbook P.38 习题8-10（2） 刚度矩阵的性质：
i
e
j
j,M j
u j , Fxj
E , A, I
l
1. 有几个独立的 未知结点位移？ 2. 划去哪几行、 列？
uj
EA K l 0
j
0 Fxj 4 EI M j l
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理（以图示结构为例说明，不考虑杆件轴向变形）
Fp1
共含上册第一分册、上 册第二分册、下册三册
共含上、下册两册
共含Ⅰ 、Ⅱ两册 有程序结构力学与之配套
几点说明
特点与方法 要点：结构分析方法 概念：课堂吸收，作业消化 技巧：以概念为基础，习题强化 强调物理概念，重视理解应用，淡化数值计算
答疑 Officehours：Mon 10:00~11:30 AM Wed 2:00~3:30 PM Room A401，Civil Building Email：fengwur@tongji.edu.cn
讲义 Curriculum Mail：civil_tj@163.com Password： tongji Handouts password：lfw123
几点说明
课程体系
结构动力学
SDOF MDOF 1.线弹性体系动力特征 2.动力响应的时域分析方法
结构静力学II：超静定结构
1. 力法 2. 位移法 3.实用方法
结构静力学I：静定结构
选修课：结力Ⅲ(2学时)
1. 内力分析 2. 位移计算 3. 能量原理方法
几点说明
课程体系
结构动力学
原理和方法 是关键
后一章以前一章为基础 每章的问题包含了若干前述章节的问题
结构力学Ⅰ、Ⅱ
问题越来越复杂
工程力学、Ⅱ 求解分析过程越来越规范、单调
几点说明
课程体系
第二章：几何组成分析：结构与非结构、静定与超静定问题 第三章：静定结构内力分析 静力平衡 静力法 第四章：影响线 虚位移原理 机动法 虚功原理 虚力原理 第五章：位移计算：单位荷载法 静力学 第六章：力法 第七章：位移法 超静定结构 基本方法
0 12 l2 20 l 4 l
0 12 l2 20 l 4 l
2 l 2 0 0 v F p1 3 4 4 0 l M 12 5 l
2 l 0 4 l 12 l
24 l3 Fy 3 12 2 M 3 l EI 24 Fy 4 l3 M 4 12 2 l 12 l2 8 l 12 2 l 4 l 24 l3 12 2 l 24 l3 12 2 l
x
①
§8-5 先处理法
先处理法应用例题
【例1】试用先处理法建立图示刚架的结构刚度方程，忽略杆件的轴向变形。
Fp 3
l
EI 2 EI
EI
M
【解】⑴结构标识
能否避免坐标变换？ 怎样才能避免坐标变换？ 单元杆端位移特点： 梁对单刚有影响的只有结点角位移；结点线位移使梁刚体平 移，对单刚无影响。 柱对单刚有影响的既有结点角位移，也有结点线位移。
先处理法的基本原理
结点位移计算
4 l 0 结构刚度方程 EI 0 2 l
4 l 2 v 1 0 3 结点位移 4 EI 0 5 2 l
0 24 l3 12 l2 0
0 24 l3 12 l2 0