第八章-矩阵位移法(二),同济大学课件,朱慈勉版教材。
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矩阵位移法m2
对“号”入座
① ⎡ k11 k12 ⎢ ① ③ ① ② k 21 k 22 + k 22 + k 22 ⎢ K0 = ⎢ 0 k② 32 ⎢ k③ ⎢0 42 ⎢0 0 ⎣
0 ② k 23 k 33 0 0
②
0 ③ k 24 0 k③ + k ④ 44 44 ④ k 54
0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ④ ⎥ k 45 ⎥ k④ ⎥ 55 ⎦
⎧ M1 ⎫ ⎪ ⎪ P = ⎨M 2 ⎬ ⎪M ⎪ ⎩ 3⎭
2) 单元分析
M1
单元①
①
ϕ1
1
①
①
M2
①
ϕ2
2
①
i1
⎧ M 1 = 4 i1ϕ 1 ① + 2 i1 ϕ 2① ⎨ ① M 2 = 2 i1ϕ 1① + 4 i1 ϕ 2① ⎩
杆端力 杆端位移
①
写成矩阵形式 单元②
②
⎡ M 1 ⎤ ⎡4i1 ⎢ ⎥=⎢ ⎣ M 2 ⎦ ⎣2i1
五 矩阵位移法的后处理法—直接刚度法（一）
例：承受结点荷载的刚架。
X2 ①
M2
Y2
1、编号 ②
{
结点 单元
x
x
结点位移列阵
Δ = [Δ 1
Δ2
Δ3 ]
T
y
ϕ
x
结点力列阵
P = [P1
P2
P3 ]
⎡u1 ⎤ Δ 1 = ⎢ v1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ϕ1 ⎥ ⎣ ⎦
T
⎡u 2 ⎤ Δ 2 = ⎢ v2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ϕ 2 ⎥ ⎣ ⎦
②
②
2i2 ⎤ ⎡ϕ 2 ⎤ 4i2 ⎥ ⎢ϕ3 ⎥ ⎦⎣ ⎦
②
结构力学-矩阵位移法-PPT
a11 AB a21
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
结构力学答案(下册).
k 23 ② k33② + k 33③
0 k34 ③
⎥
⎢
⎥ 2EI ⎢6l
⎥= ⎥
l3
⎢⎢0
-6l 18 -3l -6 2l 2 -3l 6l 2 -3l 0 -6 -3l 12
3l l2 0
⎢⎣0 0
k 43③
k 44 ③
⎥ ⎦
⎢0
0 3l l 2 0 4l 2
⎢
⎢0 0 0 0 -6 -3l
⎢⎣0
① 1→2
l
cosα
1
sin α
0
② 3→4 ③ 1→3 ④ 2→4 ⑤ 2→3
⑥ 1→4
l
1
l
0
l
0
2l − 2
2
2l
2 2
0 -1 -1
−2 2
2 2
（2）建立结点位移向量，结点力向量
[ ] ∆ = µ1 ν 1 µ2 ν 2 µ3 ν 3 µ4 ν 4 T
[ ] F = Fx1 Fy1 0 -Fp Fx3 Fy3 0 0 T
1
⎥ ⎥
k⑥ = k⑤ =
⎢1
EA ⎢ 2
2l
⎢ ⎢-
1
1 2 -1
2 2⎥
⎢2 2
1 1⎥ ⎥
2 2⎦
⎢ ⎢-
1
-1
⎣2 2
4
-1 2
-
1 2
⎤ ⎥ ⎥
-1 2
-
1 2
⎥ ⎥
1
1
⎥ ⎥
2 2⎥
1 1⎥ ⎥
2 2⎦
（4）形成刚度矩阵，刚度方程
1
2
3
4
⎡4+ 2
⎢ ⎢
第八章矩阵位移法-135页PPT
Fyi Fxj
F4 Fyj
8-1 概述
31
刚架单元
结构坐标系
1 (e) ui (e)
2
v
i
δ (e)
δi (e)
δ
j
3 4
i u j
5
6
8-1 概述
10
3．结构坐标系(整体坐标系)
• 对整个结构建立统一的坐标系 • 在整体分析中，采用统一的坐标来
描述结构的结点和单元位置等。
8-1 概述
11
4．单元坐标系(局部坐标系)
• 针对每一单元的坐标系 x o y
• 以杆轴线的某方向作为 x 轴正向，在轴线
上以箭头作正方向标记，以垂直于杆件轴线 方向为 y 轴，本章采用右手坐标系
u 1v 1 1u 2v 2
2u 3v 3
3u 4v 4
T 4
8-1 概述
20
结点位移
若平面刚架有n个结点
Δ u 1v 11u 2v 22 u nv nn T
第i结点的位移为 Δ i ui vi iT
则n个结点的位移向量为
Δ Δ 1 Δ 2 Δ nT
F x 1F y 1M 1F x 2F y 2M 2F x 3F y 3M 3F x 4F y 4M 4T
8-1 概述
25
刚架的结点力向量
• 第i结点的结点力为 Fi = ( Fxi Fyi Mi )T
• 刚架的结点力向量为 F =(F1 F2 F3 … Fi … Fn )T
《结构力学课件》矩 阵 位 移 法
将（17—21）及（17—25） T F 式代入上式得： e
K
T
e
T e
e
F
T
K
T e
e 另 [T]T[ K ] [I]=[K]e 则 用结分点块式表示为：
{F}e=[K]e{}e
e Fi e F j e Kii e K ji e e Kij i e Ke jj j
• 注：1） F , 为结构坐标的杆端力和杆端位移。 • 2） Kij e 表示单元e 的j端三个位移分别产生单位位移时在i 端各力 • 分量分别产生的力。 • 3） Kii , Kij , K ji , K jj 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
e e
返回 下一张 上一张 小结图17-4来自返回 下一张 上一张 小结
• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
• 已知上例支承条件 1 =0，连同已获得的[K]，以及各结点 荷载值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i 1 0 2i1 4i1 4i 2 2i 2 0 0 2i 2 2 4i 2 3 M1 M 2 0
｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式； 整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。
结构力学矩阵位移法学习
第8章 矩阵位移法 ♍♦♐ 制作同济大学教材笔记(本章答案陆续上传中)一、知识要点： 1.结构坐标系一般采用右手坐标系，记为xoy 。
此时，结点位移和结点力均取与结构坐标系方向一致为正，其中结点的角位移和结点力矩按右手法则均取逆时针方向为正。
2.局部坐标系主要注意α角的定义，看如下图示即明白。
yxoijexyα3.桁架单元刚度方程000000000000eeexi i yi i xj j yj j EAEA F u l lF v EA EAF u l l F v ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭桁架结构变换矩阵Tcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T αααααααα⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭桁架在结构坐标系下的单元刚度矩阵22222222ee c sc c sc sc s sc s EA k l c sc c sc sc s sc s ⎛⎫-- ⎪-- ⎪=⎪-- ⎪⎪--⎝⎭4.刚架单元刚度方程32322232322212612664621261266264eeeyi i i i yj j j j EIEI EI EI l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EI EI EI EI F v l l l l M EI EI EI EI l l l l θθ⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭5.受轴向力作用的一般刚架单元刚度方程32322232322200001261260064620000001261260062640eexi i yi i i i xj j yj j EAEA ll EI EIEI EI F u l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EA EA F u l l F v EIEI EI EI M l l l l EI EI EI EI l lllθ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ej j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭一般刚架单元刚度方程的坐标变换矩阵Tcos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos 0001T αααααααα⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭结构坐标系下的一般刚架单元刚度矩阵e k12412423523545645612412423523545645622ea a a a a a a a a a a a a a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a --⎛-- --=---- ---- --⎝6.为什么已知杆端位移能求得单元的唯一杆端力，而已知杆端力却无法唯一确定杆端位移这是因为支座位移条件不已知，可能相差一个刚体位移，即位移的绝对值不同。
矩阵位移法ppt课件
e
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
返回目录
作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
第八章-矩阵位移法(一)
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计 算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却 日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几 十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 和结果分析上。
2019/1/14
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造 都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛 的重视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发 具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局 （NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前 世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。 目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、 价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的 PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、 BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
2019/1/14
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
有限元分析技术的发展现状
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：结构工程中的弹塑性分析（物理非线性）；索膜结构（几何非线性）。
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来 国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等 专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
矩阵位移法PPT课件
9
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
10
l
1 2E
l3 6EI
l2
I
6EI l2
2EI
l
1 2E I
l3
6EI l2
6EI l2
4EI
l
23
（2）只考虑轴向变形的桁架单元
由于
vie
v
e j
ie
e j
0
， 可将式
（9—5）中删去第2、3、5、6行（列），则
EA
k
e
l
M
e j
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12 l
EI
3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 2EI l
0
6EI l2
第二节 单元刚度矩阵
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法 图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形 外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个 转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一 般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i 点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转 过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、 上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
10
l
1 2E
l3 6EI
l2
I
6EI l2
2EI
l
1 2E I
l3
6EI l2
6EI l2
4EI
l
23
（2）只考虑轴向变形的桁架单元
由于
vie
v
e j
ie
e j
0
， 可将式
（9—5）中删去第2、3、5、6行（列），则
EA
k
e
l
M
e j
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12 l
EI
3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 2EI l
0
6EI l2
第二节 单元刚度矩阵
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法 图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形 外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个 转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一 般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i 点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转 过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、 上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端
第八矩阵位移法二
2
6
k (5)
EI l3
4l 2 2l 2
7
2l2 6
4l
2
7
v6 7 3
24
k (6)
EI l3
12l
12l
12l 8l 2 4l 2
12l v6
4l
2
7
8l 2 3
第12页/共22页
§8-5 先处理法
❖ 先处理法应用例题
⑷由单刚集成总刚，建立结构刚度方程
3
8l2
l2
l
l2
l
第4页/共22页
④
4
5
②
1
2
§8-5 先处理法 ❖ 先处理法的基本原理
➢ 先处理法的基本步骤 ✓ 结构标识 包括：结点编号、单元编号，设定局部坐标系、结构坐标系。 ✓ 列出待求的结点位移向量和已知的结点荷载向量。 ✓ 建立考虑位移约束条件后的单元刚度矩阵。 ✓ 形成结构刚度矩阵，建立结构刚度方程。 ✓ 求解结构刚度方程，得未知结点位移。 ✓ 计算单元杆端力和支座约束力。 ✓ 校核。
第14页/共22页
§8-5 先处理法
❖ 先处理法应用例题
⑶建立结构坐标系下的单元刚度矩阵
5 3
y
1 ①
3 4
②
1 x
2
③2
由刚架单元在结构坐标系下的单刚 （P.10式8-23）划行划列得到。
v1
1.5EI
k(1)
对
u2 0 0.5EA
称
v2 1.5EI
0 1.5EI
2
1.5EI v1
0
u2
v1
1.5EI
对
u2 0 0.875EA 0.375EI
结构力学教学课件09矩阵位移法ppt
所在行、列的副元素以及同行 的未知结点荷载改为0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
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Fp1
EI
Fp 2
2 EI
2 EI
l
l
5
l
6
7
6 ⑤
y
2
④
7
3
x
4
①
1
② 5 ③
2
4
⑥
1
3
只有线位移（力）需要坐标变换，角位移（力矩） 不需要坐标变换。 故，结构坐标系应尽可能与存在杆端线位移的柱子 的单元坐标系一致。
⑵列出杆端位移向量和结点荷载向量
v6 F 0 0 0 Fp1 Fp 2 0 M
2 EI EI
Fp 2
2 EI
M
2
③
3
④
4
3
EI
4
①
②
5
1
l
y
x
l
l
T
1
4
T
2
2 v3 4 5 1 2 3 结点位移向量 有几个待求的独立的结点位移？ T 结点荷载向量 F 0 Fp1 0 M
是否要坐标变换？为什么？
不需要坐标变换。原因： ⑴梁局部坐标系与结构坐标系相同； ⑵柱子杆端只有角位移，无线位移。
1
2 Fp1l 2 14 Ml 0 F 3 2 1 17 Fp1l 4Ml p1 2 11 F l 8 Ml 0 276 EI p1 2 4 Fp1l 28 Ml M
结力Ⅰ(4学Leabharlann )后处理法（直接刚度法） 先处理法 结构力学Ⅰ、Ⅱ 第九章：实用与近似计算方法 结力Ⅱ(2学时) 第十章：动力学 第八章：矩阵位移法 第十一章：结构稳定
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选修课：结力Ⅲ(2学时)
矩阵位移法
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 先处理法 等效结点荷载
0 12 l2 20 l 4 l
0 12 l2 20 l 4 l
2 l 2 0 0 v F p1 3 4 4 0 l M 12 5 l
2 l 0 4 l 12 l
几点说明
教材与参考书 朱慈勉主编， “十一五教材” 《结构力学》，高教出版社 龙驭球主编， 《结构力学》，高教出版社 周竞欧、朱伯钦主编， 《结构力学》，同济大学出版社 (特点: 例题多，习题难，概念与技巧并重) 龙驭球等主编， “面向21世纪教材” 《结构力学教程》，高教出版社
12 v3 l2 8 4 l
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理
结构刚度矩阵的形成
4 4 k (1) EI 4 l
2
K EI
4 l
2 5
2 l 2 4 5 l
T
3 4 5 v4 6 7
Fp 3
T
§8-5 先处理法
先处理法应用例题
⑶建立单元刚度矩阵
5
6 ⑤ 7
6 7
y
2
④
由梁式单元单元坐标系下的单刚直接划行划列 4 5 v4 4 EI 4l 2 2l 2 4 EI 12 6l v4 (2) (1) k 3 2 k 3 l 2l 4l 2 5 l 6l 4l 2 4
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理
单元杆端力计算（以单元③ 为例） ？ 是利用前面列出的有约束单元单刚k③，还是利用梁式单元单刚通式？ 若利用k③ ，则 不能求出单元的全部杆端力
Fy 3 3 v3 k M 4 4
2
③
3
④
先处理法的基本原理
结点位移计算
4 l 0 结构刚度方程 EI 0 2 l
4 l 2 v 1 0 3 结点位移 4 EI 0 5 2 l
0 24 l3 12 l2 0
0 24 l3 12 l2 0
结构力学‖
Strucural Mechanics ‖
同济大学土木工程学院 School of Civil Engineering,Tongji Univesity
吕凤悟 Lv Fengwu
几点说明
课程考核 Homework： 30% Final Exam： 70% 2013-2014学年第一学期成绩统计
24 l3 12 l2 2 l
12 l2 20 8 4 ll l 4 l
4 l 12 l
2
v3
由单刚形成总刚：“对号入座” “同号相加”
由于单刚矩阵考虑了位移约束， 故由此形成的总刚矩阵就是结构 刚度矩阵，可逆。
4
5
§8-5 先处理法
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果
先处理法与后处理法的区别
正定矩阵的特征值全为正。各阶主 子式都为正。
结点位移向量仅需列入独立的未知结点位移。 单刚不同：在完整的单元刚度矩阵中划去零杆端位移对应的行和列，即可得到考虑 位移约束后的单元刚度矩阵。
例：图示单元的单刚可通过自由式刚架单元的单刚（Textbook P.10式8－21）划行划列得到。
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理
先处理法的基本步骤 结构标识 包括：结点编号、单元编号，设定局部坐标系、结构坐标系。
列出待求的结点位移向量和已知的结点荷载向量。
建立考虑位移约束条件后的单元刚度矩阵。
形成结构刚度矩阵，建立结构刚度方程。
求解结构刚度方程，得未知结点位移。 计算单元杆端力和支座约束力。 校核。
i
e
j
j,M j
u j , Fxj
E , A, I
l
1. 有几个独立的 未知结点位移？ 2. 划去哪几行、 列？
uj
EA K l 0
j
0 Fxj 4 EI M j l
§8-5 先处理法
先处理法的基本原理（以图示结构为例说明，不考虑杆件轴向变形）
Fp1
4 4 k (1) EI 4 l
v3
单元刚度矩阵：由梁式单元单刚通式划行划列得到。
12 EI l3 6 EI 2 e k l 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI l2 4 EI l 6 EI 2 l 2 EI l 12 EI 3 l 6 EI 2 l 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI l2 2 EI l 6 EI 2 l 4 EI l
讲义 Curriculum Mail：civil_tj@ Password： tongji Handouts password：lfw123
几点说明
课程体系
结构动力学
SDOF MDOF 1.线弹性体系动力特征 2.动力响应的时域分析方法
结构静力学II：超静定结构
1. 力法 2. 位移法 3.实用方法
结构静力学I：静定结构
选修课：结力Ⅲ(2学时)
1. 内力分析 2. 位移计算 3. 能量原理方法
几点说明
课程体系
结构动力学
原理和方法 是关键
后一章以前一章为基础 每章的问题包含了若干前述章节的问题
结构力学Ⅰ、Ⅱ
问题越来越复杂
工程力学、Ⅱ 求解分析过程越来越规范、单调
几点说明
课程体系
第二章：几何组成分析：结构与非结构、静定与超静定问题 第三章：静定结构内力分析 静力平衡 静力法 第四章：影响线 虚位移原理 机动法 虚功原理 虚力原理 第五章：位移计算：单位荷载法 静力学 第六章：力法 第七章：位移法 超静定结构 基本方法
4
3
4
y
5
②
1
24 12 3 2 Fp1 l3 l2 1 17 Fp1l 4Ml EI 12 8 276 EI 11Fp1l 2 8Ml 0.42 Fp1l 0.058 M 2 l l
§8-5 先处理法
先处理法应用例题
【例1】试用先处理法建立图示刚架的结构刚度方程，忽略杆件的轴向变形。
Fp 3
l
EI 2 EI
EI
M
【解】⑴结构标识
能否避免坐标变换？ 怎样才能避免坐标变换？ 单元杆端位移特点： 梁对单刚有影响的只有结点角位移；结点线位移使梁刚体平 移，对单刚无影响。 柱对单刚有影响的既有结点角位移，也有结点线位移。
1
2
若利用梁式单元单刚通式 ，则 可以求出单元的全部杆端力
12 l2 Fp1 17 Fp1l 3 4Ml 2 4 0 0.58 Fp1l 0.058 M l 1 12 276 EI F 0 p 1 2 2 l 0 . 42 F l 0 . 058 M 11 F l 8 Ml p1 p1 8 l
24 l3 Fy 3 12 2 M 3 l EI 24 Fy 4 l3 M 4 12 2 l 12 l2 8 l 12 2 l 4 l 24 l3 12 2 l 24 l3 12 2 l
x
①
e
2 5
4 2 l l 2 (2) k EI 2 4 5 l l 4 5 4 划去了哪几行？哪几列？ 8 k (4) EI l 4 l 4 l 4 8 5 l
24 3 k (3) EI l 12 2 l