静矩和形心

附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴
§I-1 静矩和形心
1． 静矩定义：
⎪
⎭
⎪
⎬⎫==⎰⎰A
y
A Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。

（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。

（3）量纲为长度的三次方。

2．形心坐标计算公式
（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。

（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。

⎪
⎪⎭⎪⎪⎬⎫==
⎭
⎬
⎫
==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。

反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。

Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。

Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA n
n
=
=
2
2·2
0210+=
+=
===++⎰⎰
⎰n ab
n z b a dz
Z b
a
dz Z b a Z zdA S b
n n A b
o
n n
n n b y
②
()11100+=+====+⎰⎰⎰n ab
n b ab dz Z b a ydz dA A n n b
n n b
A
()2
1122++=
++==n b
n n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。

（1）
组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组
（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。

⎪
⎭
⎪⎬⎫
==∑∑==n
i i i y n
i i i Z z A S y A S 11
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫
==∑∑
∑∑====n
i i n
i i i n
i i n
i i
i A z A z A y
A y 111
1
Example1 试求图形形心坐标z y ,
Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故
()
()
cm
O A A Z A Z A z y 67.12040
4
4
5200
22
22
12
211=--⨯⨯-
=
++==π
π
Example2 求组合图形的形心坐标，z y ，
Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cm
y 988.111==
[No.9 90×90×10
A 2=17.2cm 2
()59.21859.222-=-=z cm
y
Solution ：以yz 作为参考坐标轴
()
cm
A A Z A Z A z 57.112
.177.255.2182.17957.2212211=+-⨯+⨯=++=
()cm
A A y A y A y 0874.02
.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+⨯=++=
§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义
⎪⎭
⎪
⎬⎫==⎰⎰A z A y dA y I dA z I 2
2 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方
力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ⎭
⎬⎫
==2
2··z z y y i A I i A I 2．惯性半径
⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫=
=A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径
i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。

3．惯性矩与极惯性矩的关系 （1）极惯性矩：
⎰=A
p dA I 2ρ
（2）
()
⎰⎰⎰⎰+=+=+==A
z y A
A
A
p I I dA y dA z dA y z dA I 22222ρ
4．组合图形惯性矩的计算
当平面图形由若干个简单图形组成时，根据惯性矩的定义，可以先算出每个简单图形对某一轴的惯性矩，然后求其总和即整个图形对同一轴的惯性矩。

⎪
⎭
⎪⎬⎫
==∑∑==n
i zi z n
i yi y I I I I 11
Example1 试计算图形对y 、z
Soution
（1）
12·32/2/2
2bh dz z b dA z I bdz dA h h A y =
===⎰⎰- （2）
12
y ·32
/2/2
2
hb dy h dA y I dy
h dA b b A z =
⋅===⎰⎰-
Example2 试计算图形对y 、z 轴的惯性矩 Soution ：
（1）利用惯性矩与极惯性矩的关系
z
y z y p z
y p z
y p I I I I I I I D I I I I 22,32
4
==+===
+=π
（2）64
4
D I I z y π==
Example3 试计算空心圆图形对y 、z 轴的惯性矩 Soution ：利用组合图形计算惯性的方法
()6464644444d D d D I I z y -=-==πππ
§I-3 惯性积
1．定义：
⎰=A yz yzdA I
（1）由于yz 乘积可正、可负、可为零，因此惯性积I yz 值可正、可负、可为零。

（2）量纲为长度的四次方。

（3）y 、z 轴中只要有一轴为对称轴，则I yz =0 2．证明I yz =0的条件
证：如在z 轴两侧的对称位置各取一微分面积d A ，显然二者的z 坐标相同，而y 坐标数值相等而符号相反，它们在积分中相互抵消，最后导致
0==⎰A yz yzdA I
§I-4 平行移轴公式 1．证明：
⎪⎭
⎪⎬⎫
+=+=+=abA I I A b I I A a I I yczc yz zc z yc y 2
2 证： （1）
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫
===⎰⎰⎰A yczc A
zc A yc dA z y I dA y I dA
z I 002
02
（2）
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
===⎰⎰⎰A yz A
z A y yzdA I dA y I dA z I 22 （3）坐标变换关系
⎭
⎬⎫
+=+=b y y a z z 00
（4）()⎰⎰⎰⎰⎰+=++=+==A yc A
A A A y A a I dA z a dA a dA z dA a z dA z I 2022
02022 ()⎰⎰⎰⎰⎰+=++=+==A
zc A
A
A
A
z A b I dA y b dA b dA y dA b y dA y I 2022
02
022
()()abA
I d z b dA y a abdA dA z y dA
a z
b y yzdA I ycz
c A
A
A
A
A
A
yz +=+++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰000000
∴
⎪⎭
⎪⎬⎫
+=+=+=abA I I A b I I A a I I yczc yz zc z yc y 2
2 注意：a 、b 是形心C 在oyz 坐标中的坐标，所以它们是有正负的。

Example 试确定T 形截面对形心y c 轴的I yc
Solution:
()()4
7232
32
2
221211mm 10013.6200
30155.7212
30200200
305.721301220030⨯=⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=+++=A a I A a I I yc yc yc
§I-5 转轴公式与主惯性轴
1．转轴公式 （1）
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫
===⎰⎰⎰A yz A z A y yzdA I dA y I dA z I 22
（2）约定α逆时针转向为正、顺为负
（3）求：
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫===⎰⎰
⎰A z y A
z A
y dA z y I dA y I dA
z I 111
1211
211 （4）坐标变换关系
⎪⎭
⎪
⎬⎫+=-=a z y y y z z sin cos sin cos 11ααα
（5）
()ααααααααα2sin sin cos cos sin 2sin cos sin cos 22222222
211yz y A
A
A
A
A
y I I I yzdA dA y dA z dA
y z dA z I -+=-+=-==⎰⎰⎰⎰⎰
()α
αααααααα2sin sin cos cos sin 2sin cos sin cos 2222222
211yz y z A
A
A
A
A
z I I I yzdA dA z dA y dA
z y dA y I -+=++=+==⎰⎰⎰⎰⎰
()()()
α
ααααααα2cos 2sin 2
2
1
2sin 21sin cos sin cos sin cos 221111yz z y y
z yz A
A
z y I I I I I I dA
y z z y dA z y I ++=+--=-+==⎰⎰
利用三角恒等式
⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫
-=
+=
22cos 1sin 2
2cos 1cos 22αααα
⎪
⎪⎪⎭⎪⎪⎪
⎬⎫
+-=+--+=--+
+=
αααααα2cos 2sin 22sin 2cos 222sin 2cos 221111yz z y z y yz z y z y z yz z
y z y y I I I I I I I I I I I I I I I I
讨论：
（1）I y1、I z1、I y1z 皆为α的函数 （2）注意α逆为正，顺为负 （3）I y1+I z1=I y +I z =I p =const 2．主惯性轴 （1）求极值
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=ααα2cos 2sin 221
yz z y y I I I d dI 若o αα=时，能使
01=α
d dI y 即
02cos 2sin 2
00=+-ααyz z
y I I I 则
z
y yz I I I --
=22tan 0α
讨论：
a. 由上式可确定α0与α0+90°两个角度，从而确定一对坐标轴y 0、z 0图形对一对轴中一个轴的惯性矩为最大值I max ，而对另一个轴的惯性矩为最小值I min 。

b. 注意到
02cos 2sin 2
00=+-ααyz z
y I I I 恰好是I y0z0=0
说明图形对y 0，z 0这一对轴的惯性积为，这一对轴y 0，z 0称为主惯性轴。

c. 对y 0，z 0主惯性轴的惯性矩I y0、I zo 称为主惯性矩。

d. 推论：对称轴一定是主轴。

因为图形对包含对称轴的一对坐标轴的惯性必然为零。

3．主惯性矩的计算 （1）由公式
z
y yz I I I --
=22tan 0α
求得α0，α0+90°，代入一般公式得：
⎪⎭
⎪
⎬⎫-+=-+=002
020*******sin sin cos 2sin sin cos ααααααyz y z z yz z y y I I I I I I I I 或
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
+--+=--++=
00002sin 2cos 222sin 2cos 2
2ααααyz z
y z y zo yz z
y z
y yo I I I I I I I I I I I I
（2）简便公式
()2
2
2
042tan 112cos yz
z y
z
y I
I I
I I +--=
+=
αα
()22
000422cos 2tan 2sin yz
z y
yz
I
I I
I +--=
⋅=ααα
代入（*）式得
22
min
max
22
yz z y z
y I I I I I I I +⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-±+=⎩⎨⎧ （3）I max ，I min 与y 0、z 0轴如何对应,可采用: I yz >0，则I max 对应于二、四相限的轴。

4．形心主惯性轴，形心主惯性矩，形心主惯性平面。

（1）通过形心C 的主惯性轴称为形心主惯性轴。

（2）图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

（3）如要平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面称为形心主惯性平面。

在杆件的弯曲理论中有重要意义。

Example 试求图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩
Soltion ：
（1）求I y 、I z 、I yz
()()43332323mm 101025105.779102.2451080940128010101205191210120⨯=⨯+⨯=⨯⨯++⨯+⨯⨯-+⨯=y I ()()4
32323mm 10347510805441210801012044701212010⨯=⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=z I ()[]()()()()()()43mm 101092108054419400012044705190⨯-=⨯---++⨯---+=yz I
（2）求α0、α0+90°
()89.010
3475101025101092222tan 3330-=⨯-⨯⨯--=--=z y yz I I I α 2α0=-41.7°
∴ α0=-20.8°
α0+90°=69.2°
（3） 106091038912222min
max ⨯⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎩⎨⎧yz z y z y I I I I I I I （4）I max 过一、三极限，∵I yz <0。