第2章 光的衍射
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第二章 光的衍射
菲涅耳直边衍射
方孔菲涅耳衍射
§2.6 夫琅和费单缝衍射
一. 实验装置与衍射图样的特点 1、装置： 、装置： 观察屏 缝平面 透镜L 透镜 透镜L′ ′ 透镜L′ B S a
·p
θ θ
0 A
*
f′
f
2、条纹特点： 条纹特点： ）、条纹平行于缝 中央明纹宽度是其它明纹宽度的两倍； 条纹平行于缝， 1）、条纹平行于缝，中央明纹宽度是其它明纹宽度的两倍； ）、中央明纹很亮 其它明纹亮度依次衰减很快。 中央明纹很亮， 2）、中央明纹很亮，其它明纹亮度依次衰减很快
5. 掌握夫琅禾费圆孔衍射的光强分布规律．明确 掌握夫琅禾费圆孔衍射的光强分布规律 夫琅禾费圆孔衍射的光强分布规律． Dsinθ =1.22λ 公式的物理意义和艾里斑的半角 宽度计算; 宽度计算 6. 熟练掌握平面衍射光栅的基本原理和应用，理 熟练掌握平面衍射光栅的基本原理和应用 平面衍射光栅的基本原理和应用， 解光栅的分光原理, 掌握光栅方程、 解光栅的分光原理 掌握光栅方程、缺级和谱 线半角宽度的概念和计算; 线半角宽度的概念和计算 7.了解晶体的 射线衍射布喇格方程 了解晶体的x射线衍射布喇格方程 了解晶体的 射线衍射布喇格方程2dsinα = jλ 的 意义； 意义；.
r0
k =
R nk
λ
1 1 ( + ) r0 R
讨论 1) R → ∞ : 即平行光入射时
R hk =
k λ r0 ;
2) k →
∞时 : ak = 0
a1 ak Ak ( p) ≈ ± 2 2 a1 ⇒ A∞ ( p ) = 2
相当于波面不受限制， 相当于波面不受限制，直线传播
2 3 ) k = 1时 : A1 = a 1 = 2 A∞ , I 1 = I max = 4 A∞
光的衍射
, E p 2 R sin 2
Ep
sin N 2 E sin sin N Ap E p 0单 sin sin d 2 sin 2 2 2 sin sin N I p I 0单 sin
d k 时, a k
，出现
d 缺级。 干涉明纹缺级级次 k a k
二. 光栅 1. 光栅—大量等宽等间距的平行狭缝(或 反射面)构成的光学元件。 反射光栅 2. 种类： 透射光栅
d d
3. 光栅常数 a是透光（或反光）部分的宽度 b 是不透光(或不反光)部分的宽度 d=a+b 光栅常数
2 a 当 0 a
I
0
时， 屏幕是一片亮
sin
x 0 当 0 a 时， 只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像 ∴几何光学是波动光学在 /a 0时的极限情 形 干涉和衍射的联系与区别：... 五.
六. 应用举例 [例题] 已知：一雷达位于路边 d =15m处， 射束与公路成15°角，天线宽度a = 0.20m， 射束波长=30mm。 求：该雷达监视范围内公路长L =?
三. 光栅衍射 P 1. 多光束干涉 d 明纹(主极大)条件： o d sin k k = 0,1,2,3„ 焦距 f dsin 光栅方程 设每个缝发的光在对应衍射角 方向的P点 的光振动的振幅为Ep P点为主极大时 2k
Ep NEp
缝平面G 透 镜 L
观察屏
IP N
2
2 Ep
暗纹条件：
N 2k (1) k 1,2, „ Nk d sin 2 ( 2)
又 由(1),(2)得 k d sin ( k Nk , k 0)
第二章 光的衍射
因此基尔霍夫衍射 i A(q)e ikr (cos 0 cos ) ds 积分 的复振幅表达 Ｅ(p)= 2 r 式为
三、惠更斯-菲涅耳原理
a) 对于一般衍射问题直接计算 E 的积分相当 复杂，常用半波带法和振幅矢量法分析
b) 惠更斯－菲涅耳原理的进步之处是：给出 次波源在传播过程中的振幅变化及相位关 系和次波的叠加关系。
说明
下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方 法 ——半波带法。它在处理一些有对称性的问 题时，既方便，物理图象又清晰。
一、菲涅耳半波带
如图所示：点光源O发出的单色光照射半径为ρ的圆 孔，露出的波面s是一个高度为h的球冠。将波面 S 分 成许多以 B0 为圆心的环形波带，并使：
S
B2
r3=r2+λ/2 r2=r1+λ/2 B3 r1=r0+λ/2
用如下上下交替的矢量来表示 P 点处振幅的叠加
a1 a3 ak Ak Ak a2 a4 a3 –a4 a1 –a2 a2 a4 ak a1 a3
1 a 2 k
1 a 2 1
1 k 为奇数时 Ak ( a1 ak ) 2 1 合成一式 Ak ( a1 ak ) 2
1 k 为偶数时 Ak 2 ( a1 ak )
sk R rk R r0
代入ds
2R 2 drk ds rk R( R r0 )
∵ rk ,可将drk视为相邻两波带间r的差值λ/2，则ds=Δsk ∴ 结论：Δ sk/rk 与 K 无关， 对 每个半波带都相
影响 ak 的只剩下倾斜因子 K（θk）：K↑，θ↑， ak 缓慢减少。
0 0
n
dS
第二章-光的衍射PPT课件
波面为球面的波动称为球面波，如点光源发出球面 波；
波面为平面的波动称为平面波，如平行光束；
波面为柱面的波动称为柱面波，如狭缝光源发出柱 面波；
一般情况下，波面与传播方向垂直。
2021
13
2、惠更斯原理
[表述]：任何时刻，波面上的每一个点都可作为新的 次波源而发出球面次波，在以后的任一时刻，所有次 波波面的包络面形成整个波动在该时刻的新波面。
3、衍射现象的出现与否，还决定于障碍物的线度和 波长的相对大小，只有障碍物的线度和波长可以比拟 时，衍射现象才明显地表现出来．
结论
对光而言，衍射是绝对的，直线 传播是相对的；直线传播仅是衍 射的一种近似。
2021
12
二、更斯原理
1、波面： 光波传播过程中，位相相同的空间各点的轨迹所构 成的曲面，即等相面，称为波阵面，简称波面。
是他的经典名著。
2021
4
§2. 1 惠更斯-菲涅耳原理
一、光的衍射现象：
1、机械波的衍射 不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现象。 如声波、水波的衍射。
2、电磁波的衍射
不沿直线传播而绕过障碍物，继续传播的现象。如
无线电波（电视、广播）的衍射。
3、光波的衍射
A
E
直线传播 宽
衍射
E
A
a'
S
缝
S
惠更斯首先发明了摆钟并对有关时计的若干种摆（单摆、复
摆、旋轮摆等）作了研究，这对当时天文与航行上所用和后来时
计的发展起了重要的作用。惠更斯是创建经典力学的先驱之一，
在研究钟摆、圆周运动、完全弹性体碰撞等问题中，他阐明了许
多动力学的概念和规律（摆的运动方程与周期、向心力与离心力、
波面为平面的波动称为平面波，如平行光束；
波面为柱面的波动称为柱面波，如狭缝光源发出柱 面波；
一般情况下，波面与传播方向垂直。
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2、惠更斯原理
[表述]：任何时刻，波面上的每一个点都可作为新的 次波源而发出球面次波，在以后的任一时刻，所有次 波波面的包络面形成整个波动在该时刻的新波面。
3、衍射现象的出现与否，还决定于障碍物的线度和 波长的相对大小，只有障碍物的线度和波长可以比拟 时，衍射现象才明显地表现出来．
结论
对光而言，衍射是绝对的，直线 传播是相对的；直线传播仅是衍 射的一种近似。
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二、更斯原理
1、波面： 光波传播过程中，位相相同的空间各点的轨迹所构 成的曲面，即等相面，称为波阵面，简称波面。
是他的经典名著。
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§2. 1 惠更斯-菲涅耳原理
一、光的衍射现象：
1、机械波的衍射 不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现象。 如声波、水波的衍射。
2、电磁波的衍射
不沿直线传播而绕过障碍物，继续传播的现象。如
无线电波（电视、广播）的衍射。
3、光波的衍射
A
E
直线传播 宽
衍射
E
A
a'
S
缝
S
惠更斯首先发明了摆钟并对有关时计的若干种摆（单摆、复
摆、旋轮摆等）作了研究，这对当时天文与航行上所用和后来时
计的发展起了重要的作用。惠更斯是创建经典力学的先驱之一，
在研究钟摆、圆周运动、完全弹性体碰撞等问题中，他阐明了许
多动力学的概念和规律（摆的运动方程与周期、向心力与离心力、
《光学教程》(姚启钧)第二章 光的衍射
3. 惠更斯-菲涅耳原理（1818）
菲涅耳对惠更斯原理的改进: 给不同次波赋予相应的相位和振幅，并将次波的干涉 叠加性引入惠更斯原理，得到衍射的定量表达式。
波面S上每个面元dS都是次波源，次波在p点引起振动的振幅与面积dS成正 比，与距离r成反比，且与倾角有关。
A(Q) K ( ) dE( P) dS r
相应的振动相位依次为：
a1 a2 a3 a4 ...... ak ak 1
f1，f1+，f1+2， f1+3，…f1+(k-1)，f1+k。
对于轴上光源点 S 和轴上场点 P ，设圆孔恰好分 为 k 个半波带，则有
~ i 1 E1 a1e ~ i 1 E2 a2e ~ i 1 2 E3 a3e
次波中心Q 的光振幅 Q点在p 点引起的 光波振幅 倾斜因子 次波中心附 近的小面元
d · r S Q S(波面)
次波中心 设初相为零
n
dE(p) · p
观 察 点
倾斜因子K()的特点
A(Q) K ( ) dE( p) C dS cos(kr t ) r
0, K K max K ( ) , K 0 2
2
1mm 1000 mm 1000 mm 4 6 1000 mm 1000 mm 500 10 mm
2
半径为0.5mm的圆屏挡住的波带数为：
j
'
0.5mm 1000mm 1000mm 1 1000mm 1000mm 500 106 mm
又：
( h r0 , R)
2 2
R rk (r0 h)
第二章 衍射
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2-1 菲涅耳衍射
光的衍射现象
S
缝
P
夫琅禾费 衍射 缝
光源、屏与缝相距有限远 光源、
光源、屏与缝相距无限远 光源、
单缝衍射、圆孔（圆屏）衍射、 单缝衍射、圆孔（圆屏）衍射、衍射光栅
三
衍射与直线传播的统一
“障碍物线度” 障碍物线度” 障碍物线度
第二章 光的衍射
5
波动及近 代光学
一
1
惠更斯原理
惠更斯— 2-2惠更斯—菲涅耳原理
K(θ )A(Q) dE = c cos(kr −ωt)ds r
S
E = ∫ dE
s
λ C:比例系数 K(θ ):倾斜因子随 θ 增大而减小 比例系数 倾斜因子随
A(Q) :波面上振幅分布函数 波面上振幅分布函数
第二章 光的衍射
9
K(θ )A Q) i(kr−ωt ) ( 记成复数： 记成复数：E = c∫ ds e r 2π k= 为介质中波长） 波数 （ λ为介质中波长） λ
Ak
a2 a1 a3
ｋ为偶数： 为偶数：
1 Ak = (a1 + ak ) 2
a2
a4
ak
Ak
1 Ak = (a1 − ak ) 2
14
第二章 光的衍射
波动及近 代光学
2-3 菲涅耳半波带
1 1 k+1 Ak = [a1 + (−1) ak ] = (a1 ± ak ) 2 2
k为奇数取“＋” 为奇数取“ 为奇数取 k为偶数取“－” 为偶数取“ 为偶数取
即 1 1 1 + = R r0 f ′
f′ = R
2 h
kλ
26
2-1 菲涅耳衍射
光的衍射现象
S
缝
P
夫琅禾费 衍射 缝
光源、屏与缝相距有限远 光源、
光源、屏与缝相距无限远 光源、
单缝衍射、圆孔（圆屏）衍射、 单缝衍射、圆孔（圆屏）衍射、衍射光栅
三
衍射与直线传播的统一
“障碍物线度” 障碍物线度” 障碍物线度
第二章 光的衍射
5
波动及近 代光学
一
1
惠更斯原理
惠更斯— 2-2惠更斯—菲涅耳原理
K(θ )A(Q) dE = c cos(kr −ωt)ds r
S
E = ∫ dE
s
λ C:比例系数 K(θ ):倾斜因子随 θ 增大而减小 比例系数 倾斜因子随
A(Q) :波面上振幅分布函数 波面上振幅分布函数
第二章 光的衍射
9
K(θ )A Q) i(kr−ωt ) ( 记成复数： 记成复数：E = c∫ ds e r 2π k= 为介质中波长） 波数 （ λ为介质中波长） λ
Ak
a2 a1 a3
ｋ为偶数： 为偶数：
1 Ak = (a1 + ak ) 2
a2
a4
ak
Ak
1 Ak = (a1 − ak ) 2
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第二章 光的衍射
波动及近 代光学
2-3 菲涅耳半波带
1 1 k+1 Ak = [a1 + (−1) ak ] = (a1 ± ak ) 2 2
k为奇数取“＋” 为奇数取“ 为奇数取 k为偶数取“－” 为偶数取“ 为偶数取
即 1 1 1 + = R r0 f ′
f′ = R
2 h
kλ
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第二章光的衍射
第二章光的衍射§1 惠更斯——菲涅耳原理一、衍射现象即不沿直线传播而向各方向绕射的现象。
定义：光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏上出现光强不均匀的分布现象——光的衍射。
当障碍物或孔隙的线度比波大很多，通常都显示光的直线传播现象。
声波和水波的衍射可常见。
例：人在房间说话，另一房间的人能听见。
又,把杨氏装置中的两孔之一遮蔽，使光束通过单孔照射，仔细观察，屏上明亮区比直线传播所估计的要大且出现明暗不均匀的现象。
二、惠更斯——菲涅耳原理惠更斯：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源,各自发出球面次波，在以后时刻,所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。
原理较粗糙,不能解释干涉、衍射甚至还有倒退波的存在。
它不涉及波的时空周期特性——位相、波长、振幅，而衍射现象有明暗相间的条纹出现。
波动有两个基本性质：（1）振动在空间的传播；（2)具有时空周期性，能够相干迭加。
“次波”概念反映前一基本性质,也是成功之处。
但当时对波动性认识肤浅，惠更斯并不知光速有多大，只把光看成空气中的声波（纵波）,其“振动”也是非周期性的无规则脉冲，因而原理中并没反映出波的时空周期性.菲涅耳的改进因牛顿威望极高，微粒说影响极大,光的波动理论停滞不前，几乎过了一百年，到了十九世纪，杨反用波的迭加原理解释了薄膜的颜色，首先提出“干涉"一词概括波与波的相互作用，为了验证自己的理论,做了一个双缝干涉，即杨氏干涉实验，他并对出现于阴影边缘附近的衍射条纹给出了正确解释，但这些富有价值的光学研究并没被重视，直到1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地获胜，才开始了光的波动说的兴旺时期，那次竞赛会上,评委中有许多著名的学者，如毕奥、拉普拉斯、泊松，他们都是微粒说的拥护者,竞赛题目的具体表达式带有明显的有利于微粒说的倾向性.然而,菲涅耳吸收了惠更斯的次波概念，阐述的次波相干迭加的新观点具有极大说服力，使反对派马上接受了，会后泊松又仔细审核菲涅理论，并用圆盘衍射，屋圆盘中心轴线上应有亮斑，看来似乎不可思议离奇的结论，不久，在实际中阿喇果果真发现了这一惊人的理论，这一发现对惠——菲原理是十分有力的支持. 惠-—菲原理:波面上每个面元ds 都可看成是新的振动中心，它们又发出次波,在空间某一点p 的振动是所有这些次波在该点的相干迭加。
第2章 光的衍射
第二章 光的衍射1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。
求第к个带的半径。
若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。
解：2022r r k k +=ρ 而20λk r r k +=20λk r r k =- 20202λρk r r k =-+将上式两边平方，得 422020202λλρk kr r rk++=+略去22λk 项，则 λρ0kr k =将 cm 104500cm,100,1-80⨯===λr k 带入上式，得cm 067.0=ρ2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。
问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm 。
解：（1）根据上题结论 ρρ0kr k =将cm 105cm,400-50⨯==λr 代入，得cm 1414.01054005k k k =⨯⨯=-ρ当k 为奇数时，P 点为极大值； k 为偶数时，P 点为极小值。
（2）P 点最亮时，小孔的直径为 cm 2828.02201==λρr3．波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强度I 0之比。
解：根据题意 m 1=R 500nm mm 1R mm 5.0R m 121hk hk 0====λr有光阑时，由公式 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=R r R Rr r R R k h h 11)(02002λλ 得 11000110001105005.011620211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-R r R k hk λ4100011000110500111620222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-R r R k hk λ 按圆孔里面套一个小圆屏幕()13221312121212121a a a a a a a a p =+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=没有光阑时 210a a =所以42/211200=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a I I p4．波长为632.8nm 的平行光射向直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏。
第二章 光的衍射
· Q
θ
r
面元dS发出的各次波的 面元dS发出的各次波的 和位相满足： dE(p) 和位相满足：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
· p
1. S上各面元位相相同； 上各面元位相相同 上各面元位相相同；
S(波前 波前) 波前 设初相为零
2. 次波在 点引起的振动的振幅 次波在P点引起的振动的 点引起的振动的振幅 成反比； 与r成反比； 成反比 3. 次波在 点的位相由光程 决定。 次波在P点的位相由光程∆决定 点的位相由光程 决定。
b 2 b b b sinu ， 由 I = I0 可得到以下结果： 可得到以下结果： u
1.主最大（中央明纹中心）位置： 1.主最大（中央明纹中心）位置： 主最大 单缝衍射 sin u = 1 →I = I0 = Imax θ = 0处 u = 0 → ， u 即为几何光学像点位置
1. 波面在 点产生的振动 波面在P点产生的振动
A(Q) dE( p) ∝ K(θ) cos(ω −kr) dS t r A(Q)取决于波面上Q点处的强度。 点处的强度。 ( )
K(θ)：方向因子
θ ≥ 90o，K = 0
θ ↑→ θ )↓ ↑→K( ↓
θ = 0， K=Kmax ，
( K(θ)A Q) dE( p) = C dS ⋅ cos(ωt −kr) r ( K(θ) A Q) cos(ω −kr)dS t EP = ∫∫ dE = C∫∫ S S r ——菲涅耳衍射积分 菲涅耳衍射积分
圆孔的衍射图样： 圆孔的衍射图样：
屏上 图形： 图形：
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二、圆屏衍射
P点合振幅为： 点合振幅为： 点合振幅为 A = ak+1 −ak+2 +ak+3 −ak+4 +... P
第2章 光的衍射
m
R sin
1）中央主最大值的位置 0=0
sin 1 0.610
R
( 第一最小)
2）最小值的位置
sin 2 1.116
sin 3 1.619
R
R
其它最大值的位置:
sin 10 0.819
sin 20 1.333
sin 30 1.847
单 缝 衍 射 次 最 大 值 的 位 置
四.夫氏单缝衍射图样的特点
(1) 各最大值光强不等,中央主最大光强最强, I0=A02, 各级次 最大依次减弱. 最亮的次最大光强还不到主最大光强的5%. (2) 角宽度和条纹线宽. (3)暗纹等间距，次最大不是等间距. （4）白光作光源：中央白，边缘为彩色.
当
d jБайду номын сангаас时, b k
,出现缺级.
缺级的亮纹级次
d j k b
衍射缺级(N=6，d=3b )
六、双缝衍射 双缝衍射是光栅衍射N=2的情况，是夫琅禾费衍射。
sin 2 u sin 2 sin 2 u I P A02 2 2 [4 A02 cos 2 ( / 2)] 2 u sin ( / 2) u
2 d sin
P点的总光强为:
sin u I P I0 u
2
sin N / 2 sin / 2
2
单缝衍射因子
多光束干涉因子
I0= A02为只有一条缝存在时单缝衍射中央主最大光强 单缝衍射因子对干涉主极大起调制作用
u
b sin
七. 干涉和衍射的区别和联系
干涉和衍射两者的本质都是波的相干叠加的结 果，都满足惠更斯-菲涅耳原理. • 区别:1)参与相干叠加的对象不同。干涉是有限几 束光的叠加，而衍射则是无穷多次波的相干叠加， 前者是粗略的，后者是精细的叠加。
第二章 光的衍射剖析
水
波
通
波
过
的
狭
衍
缝
射
后
的
衍
射
2.2.2 惠更斯 — 菲涅尔原理
S
e
rP *
t S ： 时刻波阵面
S ：波阵面上面元
S
(子波波源)
子波在 P点引起的振动振幅 s 并与 有关 .
r
菲涅尔指出 衍射图中的强度分布是因为衍射时， 波场中各点的强度由各子波在该点的相干叠加决定.P 点振动是各子波在此产生的振动的叠加 .
\ dE0
A0 dx coswt b
BD ^ BD: BB以前以及BD以后光程相等
dx b
a
22
令BM x,则MN＝x sin
E Acos(kr vt)
dE
A dx 2
0 cos(
x sin
wt)
b
A p
A 0
sin( b sin )
b sin
A 0
sin u u
A sin cu 0
R
r0 +
r0
)
kr0R R + r0
即:k
( Rh2 R +
r0R
r0)
Rh2
(
1 r
0
+
1 R
)
13
k为奇数A 大
\
k 分数介于间
k为偶数Ak小
4、讨: 论
1）平行照射: R , k Rh2 r0
A kr
k
0
2）不用光阑:
Rh , a k 0
A
a1 2
3）圆孔半径固定 ： Rh c, 但P点仅露出第一个带: k 1
第二章光的衍射-fst
2.2.3圆孔衍射
R r (r0 h)
2 hk 2 k
2 hk 2
2
2
R R ( R h)
2 k 2 0
r r h 2( R r0 )
2 k 2 0
r r (rk r0 )(rk r0 )
(r0 k
2
r0 )k
2
k r0
物科院²应用物理教研室
南京师范大学物理科学与技术学院
物课院²应用物理教研室
1
第二章 光的衍射
• • • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 惠更斯—菲涅耳原理 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射 夫琅和费单缝衍射 夫琅和费圆孔衍射 平面光栅衍射 晶体对X射线的衍射
物科院²应用物理教研室
2
2.1 惠更斯—菲涅耳原理
---Fresnel-衍射积分
物科院²应用物理教研室
19
2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
需要概念清晰，计算简单的方法。 1. 半周期带(Half-period zone) 球面波的振幅 在一个点光源 ik e 形成的球面波 U0 (Q ) a 前上分割波带: 衍射积分 各个波带的 贡献的和
物科院²应用物理教研室
k 1
ak
22
2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
2.2.2合振幅的计算 合振幅Ak为
Ak a1 a2 a3 a4 (1) ak
按Fresnel原理,得第K个带所发次波达到P点 时的振幅为 DSk ak K ( k ) rk
物科院²应用物理教研室
2-1-3 Huygens-Fresnel 原理： 光波波前上每一点可看成一个新的次级波源， 发出子波; 下一个时刻的波前为所有子波的共同包络面； 波的传播方向在子波源与子波面和包络面的 切点的连线方向上 ; 子波在空间中带权重线性迭加。
R r (r0 h)
2 hk 2 k
2 hk 2
2
2
R R ( R h)
2 k 2 0
r r h 2( R r0 )
2 k 2 0
r r (rk r0 )(rk r0 )
(r0 k
2
r0 )k
2
k r0
物科院²应用物理教研室
南京师范大学物理科学与技术学院
物课院²应用物理教研室
1
第二章 光的衍射
• • • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 惠更斯—菲涅耳原理 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射 夫琅和费单缝衍射 夫琅和费圆孔衍射 平面光栅衍射 晶体对X射线的衍射
物科院²应用物理教研室
2
2.1 惠更斯—菲涅耳原理
---Fresnel-衍射积分
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19
2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
需要概念清晰，计算简单的方法。 1. 半周期带(Half-period zone) 球面波的振幅 在一个点光源 ik e 形成的球面波 U0 (Q ) a 前上分割波带: 衍射积分 各个波带的 贡献的和
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k 1
ak
22
2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
2.2.2合振幅的计算 合振幅Ak为
Ak a1 a2 a3 a4 (1) ak
按Fresnel原理,得第K个带所发次波达到P点 时的振幅为 DSk ak K ( k ) rk
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2-1-3 Huygens-Fresnel 原理： 光波波前上每一点可看成一个新的次级波源， 发出子波; 下一个时刻的波前为所有子波的共同包络面； 波的传播方向在子波源与子波面和包络面的 切点的连线方向上 ; 子波在空间中带权重线性迭加。
第二章 光的衍射
dS
N
r
r0
p
①波面是一等相面。→光源S上所有面元ds具有相同位相（令其为0） ②次波源ds 在P点的振幅与 r 成反比。→ 次波是球面波 ③次波源ds 在P点的振幅正比于其面积且与倾角θ有关，随 θ的增大而减小。 ④次波源ds 在P点的位相由光程Δ=nr 决定， →
2
3、表达式：
K coskr t dS r 其中: C 比例系数; K 倾斜因子: 随增大而缓慢减小的函数 dE C k 2
波数
在P点的合振动为：
K ( ) E dE C cos(kr t )ds r S s
上式即为原理的积分表达式， 亦称为菲涅耳衍射积分公式。
当k为奇数时: Ak
当k为偶数时: a a a a a a1 a1 a a2 3 3 a4 5 k 3 ak 2 k 1 k 1 ak 2 2 2 2 2 2 2 2 a a 1 k 1 ak 2 2 a a 当k足够大时, ak ak 1 , k 1 ak k 2 2 a a Ak 1 k ( P点相消, 暗点) 2 2 Ak
所以，没有遮挡时，整个波面光能量沿直线传播，且沿轴线离开小园孔时， 光强逐渐减弱，但不发生起伏。 ⑤当小园孔仅允许一个半波带通过时
a1 2
A1 a1
与不用光阑时 A
a1 相比, 2
A1 2 A I1 4 I
⑥若用平行光束入射，R→∞，
k kr0
综上所述：光在通过小园孔后到达任一点时的光强，不单纯 地由光源到该点的距离来决定，还取决于小园孔的位置和大 小。
光学 第2章 光的衍射
r0 R
R
r0 R
drk
2
可以看出
dSk rk
与k无关，说明它对每个半
波带均相同，因此对
ak 和Ak 均无影响。
又由于： k rk K ak K ，其相位依次相差 ，如图。
a1 a3
ak
a2
a4
从图可以看出:
a2
a1 2
a3 2
，a4
a3 2
a5 2
，
ak
ak 1 2
ak 1 2
(2) 水波的衍射——水波绕过小孔继续传播
水波的衍射现象随障碍物的线度(如挡板上的小孔的尺寸)变化的情况：
孔的尺寸比波长大很多时，水波沿直线传播； 孔 的尺寸和波长可比拟时，有明显的衍射现象。
结论：在传播路径上遇到障碍物时，机械波能绕过障碍物继续向前传 播，这种现象称为机械波的衍射。
3
(3) 电磁波的衍射——偏远山区能接收到电台广播是由于无线电波能 绕过大山
ak
a1 2
ak 1 2
ak
k足够大时，ak
ak
1，
ak 1 2
ak
ak 2
Ak
a1 2
ak 2
(P点相消,暗点)
a1 a3 k为奇数
a2 a4
ak Ak
1 2
ak
1 2 a1
a1 a3
k为偶数
ak
1 2
ak
a4
Ak
1 2 a1
a2
故得：Ak
1 2
a1 1 k1 ak
1 2
a1
23
三.菲涅耳圆屏衍射
1. 装置：点光源S所发球面波照射到不透光圆屏上，在屏上可观察到衍射花样。
2. P点的合振幅
R
r0 R
drk
2
可以看出
dSk rk
与k无关，说明它对每个半
波带均相同，因此对
ak 和Ak 均无影响。
又由于： k rk K ak K ，其相位依次相差 ，如图。
a1 a3
ak
a2
a4
从图可以看出:
a2
a1 2
a3 2
，a4
a3 2
a5 2
，
ak
ak 1 2
ak 1 2
(2) 水波的衍射——水波绕过小孔继续传播
水波的衍射现象随障碍物的线度(如挡板上的小孔的尺寸)变化的情况：
孔的尺寸比波长大很多时，水波沿直线传播； 孔 的尺寸和波长可比拟时，有明显的衍射现象。
结论：在传播路径上遇到障碍物时，机械波能绕过障碍物继续向前传 播，这种现象称为机械波的衍射。
3
(3) 电磁波的衍射——偏远山区能接收到电台广播是由于无线电波能 绕过大山
ak
a1 2
ak 1 2
ak
k足够大时，ak
ak
1，
ak 1 2
ak
ak 2
Ak
a1 2
ak 2
(P点相消,暗点)
a1 a3 k为奇数
a2 a4
ak Ak
1 2
ak
1 2 a1
a1 a3
k为偶数
ak
1 2
ak
a4
Ak
1 2 a1
a2
故得：Ak
1 2
a1 1 k1 ak
1 2
a1
23
三.菲涅耳圆屏衍射
1. 装置：点光源S所发球面波照射到不透光圆屏上，在屏上可观察到衍射花样。
2. P点的合振幅
第二章 光的衍射
a1 a k 2 + 2 Ak = a a a a 1 + k −1 − a k ≈ 1 − k 2 2 2 2 ( k 为奇数 ) ( k 为偶数 )
讨论（ 讨论（1）
a1 a k 2 + 2 Ak = a a a a 1 + k −1 − a k ≈ 1 − k 2 2 2 2
i =1 k
k
Ak = ∑ a2i −1 = a1 + a3 + a5 + a7 + ⋯
i =1
奇数带
Ak = ∑ a2i = −(a2 + a4 + a6 + a8 + ⋯)
i =1
k
偶数带
菲涅耳波带片的透镜作用
2 Rhk = kλ
R r0 R + r0
⇒
令
f ' = R 2 kλ hk
⇒
1 1 1 + = 2 R r0 Rhk kλ 1 1 1 + = （透镜成像公式） ′ R r0 f
1 x − ξ 2 y − η 2 ≈ z 1 + + 2 z z
“近场” 近似
je jkz ~ U ( x, y ) = − λz
jk 2 2 ∫ ∫−∞ A(ξ ,η ) exp 2 z (x − ξ ) + ( y − η ) dξ dη
+∞
[
]
夫琅和费（Fraunhofer） 夫琅和费（Fraunhofer）衍射
远场近似
1 x − ξ 2 y − η 2 r ≈ z 1 + + 2 z z 1 x 2 + y 2 xξ + yη ≈ z 1 + − 2 z2 z2
讨论（ 讨论（1）
a1 a k 2 + 2 Ak = a a a a 1 + k −1 − a k ≈ 1 − k 2 2 2 2
i =1 k
k
Ak = ∑ a2i −1 = a1 + a3 + a5 + a7 + ⋯
i =1
奇数带
Ak = ∑ a2i = −(a2 + a4 + a6 + a8 + ⋯)
i =1
k
偶数带
菲涅耳波带片的透镜作用
2 Rhk = kλ
R r0 R + r0
⇒
令
f ' = R 2 kλ hk
⇒
1 1 1 + = 2 R r0 Rhk kλ 1 1 1 + = （透镜成像公式） ′ R r0 f
1 x − ξ 2 y − η 2 ≈ z 1 + + 2 z z
“近场” 近似
je jkz ~ U ( x, y ) = − λz
jk 2 2 ∫ ∫−∞ A(ξ ,η ) exp 2 z (x − ξ ) + ( y − η ) dξ dη
+∞
[
]
夫琅和费（Fraunhofer） 夫琅和费（Fraunhofer）衍射
远场近似
1 x − ξ 2 y − η 2 r ≈ z 1 + + 2 z z 1 x 2 + y 2 xξ + yη ≈ z 1 + − 2 z2 z2
第二章光的衍射夫琅禾费单缝衍射
b
0
e ikx sin dx A0
b sin 2 i( r ') e
sin(
b sin ) b sin
P点处的光强：
I P E P E P * A0 2
sin 2 (
b sin ) b sin 2 ( )
2
令
b sin u
,极大（零级）
3 得 u1 1 .43 2 5 u 2 2.46 2
7 u 3 3.47 2
A12 0.0472 A02 A22 0.0165 A02
A32 0.0083A02
b sin 1 u uk k , k 1,2,3 2 即次明纹(中心) ：
I o A0
I P I0
sin 2 u u2
4、光强分布
2 dI d sin u 2 2 2 sin u (u cos u sin u ) A0 ( 2 ) A0 0 3 du du u u
极值： sin u
0
u tan u
(1) 主极大（中央明纹中心）位置：
由
sin u 0
b sin ( 2 k 1) ， k 1,2 ,3… 2
( k 0)
（4）各级亮纹强度分布是不均匀的 以中央明纹的强度为1，则 第一级明纹为4.7% 第二级明纹为1.7% 第三级明纹为0.83%
1
相对光强曲线
0.017 0.047 0.047 0.017
-2( /b) -( /b) 0 /b 2( /b)
由暗纹条件： sin k
b 1 sin1 b
第二章_光的衍射
a2
a4
奇数个半波带
a1
矢量a1的起点在某一水平 基线上，其余各矢量的起 点都与前一矢量的终点等 高，从基线指向最末一矢 量ak终点的即为合振动Ak 的振动矢量。
a3
a5 a6
a2
a4
Ak
偶数个半波带
20
应该说，把波面分成半波带是不够精细的，特别 是当包含的不是整数半波带，在用半波带来处理 就困难了。 这时可以将半波带进一步细分，如将第一个半波带分 成m个环带，则相邻半波带到P点的光程差为：
27
几个特例： 1、平行光入射，R, R hk 2、不用光阑，Rh, A
光沿直线传播
k r0
a1 2
3、仅露出一个半波带， A1 a 1
I1 4 I
二、圆屏衍射
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上p点的光强将 没有贡献。 如图 设圆屏遮蔽了开始的k个 半波带，从第k+1个半波 带开始，其余所有的半波 带所发出的次波都能到达 P点。
Q
四个假设：
①所有次波都有相同的初相位
②次波是球面波 dE r cos(kr t ) ③ dEp ④
2
1
ds
(相位差，光程差 )
, nr
K ( ) ：倾斜因子
0 ， K K m a x K ( ) ，K 0 2
l
(2)
r0
P
2 R ( R r0 ) 将（1）、（2）式分别微分得
ds 2 R sin d
2
sin d
ds rk 2 Rdr k R r0
第二章光的衍射(菲涅耳圆孔衍射)
• 如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对 应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些 点，合振幅较小．
• 如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大 值和最小值之间．
• 结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动 时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．
2021/2/4
8
四、菲涅耳圆屏衍射
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面（也即有k个半波带发 出的次波不起作用）对轴线上p点的光强将没有贡献。
15
例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、 3、5、…、19等10个奇数带露出。第2、4、6、…、20 等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传 播时光强的多少倍？ 解：波带片在轴上场点的振幅为
AP a1 a3 ... a19 10a1
自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为 ：
4
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
又因r为k2：r02(r0k2)2r02 O k r0 (2)
l R
sB k
k
Rh
B
h
0
rk
r0
P
(略去 k 2 2 )
4
Rh2k R 2 (R h)2 2Rh (3) 由（1）、（2）、（3）式可得: h kr0
2(R r0)
Rh2k
当k不是很大时，有 ak 1 a1
Ip
Ap2
a12 4
I0
1.即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。 此时的P点应该是一个亮点。
2.此亮点称为泊松（Possion 1781—1840）亮斑。这 是几何光学中光的直线传播所不能解释的。
3.1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导 出圆盘轴线上应是亮点。
• 如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大 值和最小值之间．
• 结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动 时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．
2021/2/4
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四、菲涅耳圆屏衍射
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面（也即有k个半波带发 出的次波不起作用）对轴线上p点的光强将没有贡献。
15
例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、 3、5、…、19等10个奇数带露出。第2、4、6、…、20 等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传 播时光强的多少倍？ 解：波带片在轴上场点的振幅为
AP a1 a3 ... a19 10a1
自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为 ：
4
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
又因r为k2：r02(r0k2)2r02 O k r0 (2)
l R
sB k
k
Rh
B
h
0
rk
r0
P
(略去 k 2 2 )
4
Rh2k R 2 (R h)2 2Rh (3) 由（1）、（2）、（3）式可得: h kr0
2(R r0)
Rh2k
当k不是很大时，有 ak 1 a1
Ip
Ap2
a12 4
I0
1.即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。 此时的P点应该是一个亮点。
2.此亮点称为泊松（Possion 1781—1840）亮斑。这 是几何光学中光的直线传播所不能解释的。
3.1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导 出圆盘轴线上应是亮点。
第二章 光的衍射
sin u 0 dI d sin u I ( ) 0得 由 du du u u tgu
2 o 0 2
（1）单缝衍射中央最大值的位置：
Sinu = 0 ( b ) sin 0 u0 0 sin0 = 0
d ) sin k sin (k ) sinu 0 u ( b
1 dE cos(kr t ) r ds ③ dEp
④
2
, nr (相位差，光程差 )
4. 积分公式： dsK ( ) dE cos(kr t ) r K ( ) dE c cos(kr t )ds r K ( ) A( ) E dE c cos(kr t )ds r ——菲涅耳衍射积分
⑴. 有一系列的主最大和次最大； 单缝只有一个主最大。 ⑵. 主最大的位置与缝数N无关，
当k为偶数时
a3 a3 a5 a1 a1 Ak ( a2 ) ( a4 ) 2 2 2 2 2 ak 3 ak 1 ak 1 ak ak ( ak 2 ) 2 2 2 2 2
1 1 k 1 Ak [a1 (1) a k ] (a1 a k ) 2 2
k 1
-a
k2
a
k 3
-a
k 4
k 3
a a a ( -a ) 2 2 2 a a ( -a ) 2 2 a 2 4.讨论：
k 1 k 1 k2 k 3 k 1 k 4 k 1
a
a k 1 A 2
圆屏几何影子的中心永远有光到达. 当圆屏半径足够大，ak →0，P点为暗，
二、菲涅耳对惠更斯原理的改进
第二章 光的衍射
第二章 光的衍射1 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k 个波带的半径。
若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。
解：当用平面光照射圆孔时，第k 个波带的半径，由： )11(R r R k k +=λ 平行光R=∞ 解出为：λ0kr R k =当：r 0=1m 、λ=450nm 、k=1时，第一半波带的半径：mm m R 67.01067.010********=⨯=⨯⨯⨯=--2 平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：（1）小孔半径应满足什么条件，才能使得小孔右侧轴线上距小孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm 。
解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：λ02/r R k k =，已知： r 0=4m 、λ=500nm 、圆孔的半径为：kkr R k 141.00==λ （1）当k 为奇数时，P 点的光强为最大值；当k 为偶数时，P 点的光强为最小值；（2）若使P 点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，将： k=1代入：k R k 141.0= 得到小孔直径：mm d 282.01=3 波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环，接受点P 离光阑1m ，求P 点光强度I 与没有光阑时的光强度I 0的比值。
解：已知：r 0=1m 、R=1m 、λ=500nm半径为R 1=0.5mm 的圆屏所能遮住的半波带数k 1：1)11(0211=+=r R R k λ 半径为R 2=1mm 的圆孔能露出的半波带数k 2：4)11(0222=+=r R R k λ 也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P 点接受到的光振幅为：1424322121a a a a a a A ≈+=+-= 光强度为：21a I =没有光阑时，P 点的光强度：I 0=a 12/4得到：I ：I 0 = 4 ：14 波长为632.8nm 的平行光照射直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点？（2）要使P 点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？解：已知：r 0=1m 、R k =2.76m 、λ=632.8nm 、R=∞（1）根据：)11(02r R R k k +=λ 解出正对圆孔中心的P 接受到的半波带数为：k=3因P 点接受到奇数个半波带，则P 点应为亮点。
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惠-菲原理的 数学表达式
四、衍射的分类
光源 S
障碍物
观察屏
*
P B 1.菲涅耳衍射（近场衍射）r0 和 R 中至少有一个是有限值。 2.夫琅禾费衍射（远场衍射） r0 和 R 皆为无限大。
R
r0
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
一、菲涅耳半波带
B1 P B0 P B2 P B1P
BB0 h r0
2 Rh h 2R
2 Rh kr0 R R r0 R k R r0 r0 R 2 h
2 1 1 Rh k r0 R
讨论：
2 1 1 Rh k r0 R
（1）当入射光的波长λ及圆孔的位置R和大小Rh给定时，k 取决于观察点P的位置r0。 对P点，若波面S恰好分成k个半波带时：
（2）确定观察点P（即r0一定），改变圆孔的位置R或大小 Rh，P点的光强发生强弱变化。 （3）若对确定的P点，圆孔仅够分成一个半波带
A1 a1
（4）若不用光阑（Rh→∞）： A
I1 I 4 无遮蔽的整个波面对P点的作用等于第一个波带在该点 作用的一半。
光的直线传播是Rh >>λ 时的极限情况。
b D
衍射反比律
b
0
只显出一条亮线——线光源的几何像
∴几何光学是波动光学在b >> 时的极限情形。
不同形状障碍物产生的衍射图样
三、强度的计算（振幅矢量法）
x
对于衍射角为θ的衍射线， 单缝两边缘衍射线到P点的光 程差δ=bsinθ，对应的相位差
D 2
L2
B
D
P0
ak K ( k )DS k rk
球冠的面积为
S 2 R R(1 cos ) 对ΔOBkP应用余弦定理可得
R ( R r0 ) r cos 2R( R r0 )
2 2 2 k
Bk
R
k
rk r0
O
hB 0
P
S
R(rk2 r02 )
R r0
不管圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永 远有光到达。
讨论：
ak 1 A 2
圆屏的面积越小，被遮蔽的半波带数目k就越少，ak+1就越 大，P点的光越强； 改变圆屏与光源间或圆屏与光屏间距离时，k随之改变，因 而将影响P点的光强；
若圆屏足够小，仅遮蔽中心半 波带的一部分，则光可完全绕过 它，除在圆屏“几何影子”的中 心有亮点（泊松亮斑）外，光屏 上没有任何影子；圆屏衍射图样： 以P为中心，在其周围有一组明 暗交替的衍射环。
a1 2
（5）如果平行光入射，即R→∞ 2 Rh k , Rh kr0 r0 （6）要发生衍射，光源 O 的线度要足够小。
四、圆屏的菲涅耳衍射
1.实验装置 2. P点的光强
圆屏遮蔽了前k个半波带，从k+1个半波带到最后的半 波带（a∞→0）在 P 点叠加，合振幅为：
·
O
B0
P
ak 1 A 2
其他明纹 D
Dy
1
b
D
D0
Dy0
I
b
b
b
中央明纹的半角宽度
2
o
3.条纹线宽度（条纹间距Δ y）
f 2
3
sin
2 f 2 中央明纹 Dy0 b f 2 其他明纹 Dy b 中央明条纹的宽度等于其他明纹宽度的2倍。
4.白光衍射图样
5.缝宽对衍射图样的影响
任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发 出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络 面形成整个波在该时刻的新波面。
次波源
平 面 波
t 时刻波面
次波波面
t+Dt 时 刻波面
球 面 波
O
υΔt
直线传播规律
惠 更 斯 原 理
成功之处 较好的解释光的 反射、折射规律
双折射现象 不能解释干涉、衍射现象
A Na
sin u u
P点光强为：
sin 2 u I P I 0 2 I 0 sin c2 u u
1 ( a1 ak ) 2 1 k 为奇数 Ak ( a1 ak ) 2
k 为偶数 Ak
最小 最大
对P点，若波面S中还含有不完整的半波带时：
1 1 (a1 ak ) Ak (a1 ak ) 2 2
光强介于最大 和最小之间
观察屏在对称轴上移动时，屏上的光强发生交替变化， 在某些点较强，某些点较弱。
六、直线传播和衍射的关系
1.光的传播总是按照惠更斯-菲涅耳原理进行； 2.如果波面完全不被遮蔽，所有次波在任何观察点叠加 的结果就形成光的直线传播；如果波面被部分遮蔽，这 部分所发出的次波就不能到达观察点，叠加时由于缺少 了这部分次波的参加，便发生衍射现象。至于衍射现象 是否显著，与障碍物的线度及观察距离有关。 3.衍射现象是光的波动性最基本的表现，光沿直线传播 不过是衍射现象的极限表现。
M
C
D
D
a D R sin 2 2
N D sin 2 Aa D sin 2
N D N D sin sin 2 Na 2 Aa D N D 2 2
R
O
A
a2
D
aN
D a4
a 3 D
a1
D N D 令u b sin 2 2
rk r0 k
2
k 2 2 R r0 kr0 r02 2r0h 4 kr0 2r0h
2 h 2
S λ
A
rk r0
在ΔOAB中：
2 Rh R 2 ( R h)2
O
·
R
Rh B h B0
· P
R R 2Rh h 2Rh
2 2 2
0
b sin (2k 1)
b sin 2k
θ很小时
中央最大值（明纹）
2
次最大（明纹）
2
(k 1,2,3,)
最小值（暗纹）
sin k
b
2.条纹角宽度（条纹到透镜中心所张的角度）
2 中央明纹 D 0 b
3
b
2
b
b 中央明条纹的角宽度等于 其他明条纹角宽度的2倍。
第二章 光的衍射 Chap.2 Diffraction of Light
§2.1 惠更斯-菲涅耳原理（0.5课时） §2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射（1.5课时） §2.3 夫琅禾费单缝衍射* （1.5课时） §2.4 夫琅禾费圆孔衍射（0.5课时） §2.5 平面衍射光栅*（2课时） §2.6 晶体对X射线的衍射 §2 复习课（1课时）
二、惠更斯原理
1.相关概念
（ 1 ）波面（波阵面）：振动相位相同的点所构成的面称 为波面（波阵面）。 （ 2 ）波线（波射线）：表示波的传播方向的射线称为波 线（波射线）。 在各向同性介质中，波线总是与波面垂直。 （ 3 ）平面波与球面波：波面为平面的波称为平面波；波 面为球面的波称为球面波。
2.惠更斯原理
三、圆孔的菲涅耳衍射
1.实验装置
S A rk r0
λ
O
·
R
Rh B h B0
· P
2. P点的光强
BB0 h r0
首先考虑通过圆孔的波面S含有k个完整的菲涅耳半波带 在ΔABP中：
2 Rh rk 2 (r0 h)2 rk 2 r02 2r0h h2 rk 2 r02 2r0h
3. P点的振动振幅与dS成正比，与倾角θ有关
K -倾斜因子
= 0， K=Kmax
n
dS
K( ) 90o，K = 0
4. 次波在P 点的相位由光程Δ=nr 决定（φ=- 2πΔ/λ）
· Q
r
dE (P)
· P
S (波面)
dS发出次波的波动方程为
2 nr d E A cos t 0 2 0 0 k n 1
§2.3 夫琅禾费单缝衍射
一、实验装置
L1
L2
F
s
B
B
单狭缝衍射图样的特点是在中央有一条特别明亮的亮条 纹，两侧排列着一些强度较小的亮条纹。相邻的亮条纹之间 有一条暗条纹。如以相邻暗条纹之间的间隔作为亮条纹的宽 度，则两侧的亮条纹是等宽的，而中央亮条纹的宽度为其他 亮条纹的两倍。
二、衍射图样分析（菲涅耳半波带法）
S
R(rk2 r02 ) R(rk21 r02 ) R( rk 2 4) R rk DSk Sk Sk 1 R r0 R r0 R r0 R r0
DS k R rk R r0
ak K ( k )DS k rk
不足之处
导致倒退波的存在
三、惠更斯—菲涅耳原理
波面S上每个面元dS都可看成新的波源，它们均发出次波， 空间某一点P的振动是所有这些次波在该点的相干叠加。
dS 发出的各次波的相位和振幅符合下列假设：
1. S为等相位面，设初相为零，即φ0=0 2. dS发出的次波为球面波，在P点引起的振动振幅与r成反比
k
挡住奇数带： Ak a2 a4 a6 ... a2k a2k
k
在任何情况下，合成振动的振幅均为相应的各半波带在观 察点所产生的振动振幅之和，这种光学元件叫做波带片。
波带片
Ak a1 a3 a5 a7 a9 5a1 10 A