附录I截面的几何性质

平面假定
物性关系
变形
应变分布
应力分布
确定横截面上剪应力的方 法与过程
静力方程
应力公式
第3章 杆件的应力与强度
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
τ(ρ) = M x ρ
IP
最大剪应力
max
M x max
IP
Mx WP
WP
IP
max
Wp 扭转截面系数
第3章 杆件的应力与强度
圆轴扭转时强度设计
受扭圆轴的强度设计准则
剪切胡克定律
在弹性范围内加载时，剪应力与剪应变之间存在成 正比:
τ = Gγ
第3章 杆件的应力与强度
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析
应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量 扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确 定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横 截面上的剪应力是怎样分布的。
y
y
✓5、组合d图An形对某x一点的n 极惯性x矩或对n 某一轴的惯性矩n 、惯性积
IP IPi
Ix Ixi
I y I yi
Ixy Ixyi
惯性半径的特征：
1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。
2.惯性半径的单位为m。 z
3.惯性半径的数值恒取正值。
附录Ⅰ 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径、惯性积
性 质：
y
z
dA
A
ry
O
I y
z 2dA
A
＞0
I z
y 2dA
A
＞0
I yz
yzdA
A
＞0 ,=0 ,＜0
z
IP Iy Iz
A
附录Ⅰ 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径、惯性积
惯性半径： 任意形状的截面图形的面积为A，则图形对
y轴和x轴的惯性半径分别定义为
y
z
dA
A
ry
O
图形对 y 轴的惯性半径
iy
Iy A
z 图形对 z 轴的惯性半径
iz
Iz A
附录Ⅰ 截面的几何性质
y
z
dA
A
ry
O
iy
Iy A
ix
Ix A
附录Ⅰ 截面的几何性质
静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的平行移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算
附录Ⅰ 截面的几何性质
静矩、形心及其相互关系
y
z
dA
A
ry
O
图形A对于 y 轴的静矩
对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定 发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩Mx和相应扭 转截面模量WP数值综合考虑才能确定。
附录Ⅰ 截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质
研究杆件的应力与变形，研究失效问题以 及强度、刚度、稳定性问题，都要涉及到与截 面图形的几何形状和尺寸有关的量。
这些量统称为截面的几何性质，主要包括： 形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、 惯性积、形心主轴和形心主矩等。
zC 0
yC
Sz A
h a 2b 3 ab
附录Ⅰ 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径、惯性积
y
z
dA
A
ry
O
图形对 y 轴的惯性矩
I y
z 2 dA
A
图形对 z 轴的惯性矩
Iz
y 2 dA
A
图形对 y z 轴的惯性积
z
I yz
yzdA
A
图形对O点的极惯性矩
I p
r 2dA
r2dA ＞ 0
A
附录Ⅰ 截面的几何性质
✓1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，
而极惯矩，是对点定义的。
x2 (x1)
y
x1
✓2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
dA
dA
✓3、任何平面图形对于通过其形
心的对称轴和与此对称轴垂直的轴
y
y
x
o
的惯性积为零。
✓分I4布xy、的对越A于远xy面，d积其A相惯等性A的矩2 截x越y面大dA，。dA截面A2相对x于y 坐dA标轴 0
为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴
横截面上的最大剪应力max限制在一定的数值以下，即：
τ max
= M xmax Wp
≤[τ]
第3章 杆件的应力与强度
☆ 圆轴扭转时 的应力与强度
注意事项
max 是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大
者，对于等截面圆轴最大剪应力发生在扭矩最大的横截 面上的边缘各点；
dSy zdA
微面积dA对z轴的静矩
所以
Sy
zdA
A
z
同理图形A对于 z 轴的静矩
S z
ydA
A
附录Ⅰ 截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系
S y
zdA
A
S z
ydA
A
❖ 1、截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，所以静 矩与坐标轴有关；
❖ 2、截面对形心轴的静矩为零；
❖ 3、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。
zC
百度文库
Sy A
n
Ai zCi
i 1 n
Ai
i 1
附录Ⅰ 截面的几何性质
【例 I-1】 试确定图示截面心 C 的位置。
【解】
y 10
将截面分为 两个矩形； 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
n
x
Ai xi
i 1
n
Ai
A1 x1 A2 x2 A1 A2
i 1
y
A1
第3章 杆件的应力与强度
薄壁圆筒剪应力 大小：
切应力沿着壁厚是均匀分布的。
☆ 圆轴扭转时 的应力与强度
A0：平均半径所作圆的面积。
第3章 杆件的应力与强度
剪应力互等定理
在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且 数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指
向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理。
ydA
A
A
S y AzC Sz AyC
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标；
已知图形的形心坐标可以确定静矩。
附录Ⅰ 截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系
对于组合图形：
S z
n
i 1 n
Ai yCi
S y
i 1
Ai
zCi
n
yC
Sz A
Ai yCi
i 1
n
Ai
i 1
❖ 4、静矩的单位是长度的三次方，常用单位为m3或者 mm3.
附录Ⅰ 截面的几何性质
静矩、形心及其相互关系
y
y
z
zC
dA
A
ry
O
C
yC
z
O
z
A
Sy
zdA
A
Sz
ydA
A
S y AzC Sz AyC
附录Ⅰ 截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系
S y
zdA
A
S z
ydA
A
yC
Sz A
y 1
A2
y 2
A1 A2
x1 1
y 1 O
y 2
2 10
x2
x
80
附录Ⅰ 截面的几何性质
【例 I-2】 试确定图示梯形面积的形心和对底边的静矩。
【解】 图形对底边的静矩
y
b
C1 C
h
C2
O
z
a
Sz A1 y1 A2 y2
1 bh 2 h 1 ah h 232 3
h2 a 2b
6 形心位置