同济大学高等数学第六版上册总复习PPT

高等数学
( 上 ) 期末考试
考 时 试 间
:
1月14 日
:
(周 ) 五
上 8 : 00 10 : 00 午
考前答疑时间
1月12 日 周 三

下 午 晚 上
1 : 30 4 : 15 6 : 00 8 : 45 1 : 30 4 : 15 6 : 00 8 : 45
105 教室 .
dy f ( x ) dx
充分必要关系：
函数 f x 可微 可导 连续 有极限
3.
高阶导数
函数 f ( x )的 n 阶导数
d
n
f (x)
n
f
(n)
(x)
df
(n 1)
dx
x

dx
的 n 阶导数公式
,a
x
, sin x , cos x , ln x ,
1 .
0
0 0
型及

型未定式
x F ( x )
lim
f ( x)
lim
0
f ( x )
x F ( x )
0
.
2 .
0
0 , , 0 ,1 , 型未定式
0 型
lim f x g x lim f x 1 gx
型
上连续，
并且不是常数,
函数的最大最小值分别为:
a xb
max
a xb
f (x) M ,
min
f (x) m,
那末，对于 m 与 M 之间的任意一个数 C ，
在 a, b 内至少存在一点 ，
使得
f ( ) C ( a b ) .
y
M C
o
y f ( x)
a
应用 (如果下列各极限存在) 1.若 则
~ ,

lim
lim

或
lim

lim

2 .若
lim c 0
则
lim

lim
c
或
lim

lim
c
~ c
~ c
常用的等价无穷小替换
sin x arcsin x tan x arctan x ex 1 ln 1 x
1 导数 f x 是函数
在几何上是曲线
，
y f x 的切线斜率
。
2
s t 是直线运动的位移函数
， 则 s t v t 是它的
。
速度函数
， 而 v t s t a t 是它的加速度函数
1月13 日 周 四
下 午 晚 上
地点 :
致远楼
求
y
y x
y x
y x
2
y x
t
2 x
( x 0) 2 x
t ln x
（换元 x e ，x 0 ）
t
解
y

2
x y xy y 2 x
2
令 x e
则 y
y
dy dt
x1
1
2 3 x2
b
x
m
第二章 导数与微分
关 dy y dy y dx y dy o( x ) 系 dx
导
x 0
数
y x
基本公式 高阶导数
微 分
dy y x
lim
求 导 法 则
1.
f x
f x x f x
dy dx
y y( x )
( t ) ( t )
d
2
y
2
dx
d ( t ) dt ( ) dt ( t ) dx

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )
3
.
5.
应用
y f x 变量 y 关于自变量 x 的变化率
(2)
lim (1
x
1 x
) e
x
1
lim(1 x ) x e
x 0
1
应用 :
u( x ) 0
lim (1 u( x ))
u( x )
e
等价无穷小替换
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
:
f x 在 x 0 点可导 ,
3
近似计算
则有
f x 0 f x 0 x f x 0 f x 0 x df x 0
或 f x 0 x f x 0 f x 0 x f x 0 df
1 x
u x v x n
的莱布尼兹公式
4.(1)隐函数求导法则
由方程 ：F
x, y 0
求导数
dy d y , dx dx 2
.
2
2 dy d y 两边对 x 求导 , 解出 , dx dx 2
(2)参数函数求导法则
x t y t
使得函数 f ( x )在该点的导数等于零，
即
f ( ) 0
'
y
C
y f (x)
o
a
1
2
b
x
(3)、拉格朗日中值定理
如果函数 f ( x )
(1)在闭区间[a , b]上连续,
(2)在开区间 ( a , b ) 内可导,
那末在( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ，
~
x
x
0
1 cos x ~
x
2
(1 x )

1 ~ x
2
二 函数的连续性 1、连续的定义
x x0
lim
f ( x ) f ( x0 )
2、单侧连续
左 续 连
右 续 连
lim
lim
x x
x x0

f (x) f
( x0
) f ( x0 )
0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )
f x0
,
f x 0 0
x0
(2)、罗尔中值定理
如果函数 f ( x )
(1)在闭区间[a , b]上连续,
(2)在开区间 ( a , b ) 内可导,
(3)在区间端点的函数值相等，即 f ( a ) f ( b ) ,
那末在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,
n
n1
( 在 x0 与 x 之间)
0( ( x x 0 ) )
皮亚诺形式的余项
常用函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式
e
x
1 x
x
2

x
n
0( x ).
n
n
2!
n!
sin x x
x
3

x
5
( 1)
x
2n 1
3!
5!
2
( 2 n 1 )!
o( x
lim( f x g x )
通分

1 0

1 0

00 00

0 0
0 ,1 ,
0

0
型
lim f x
lim e
g x

g ( x ) ln f ( x )
lim g x ln f x
0 取对数 1 0
f ( b ) 0 ),
那末在开区间 a , b 内至少有函数 f ( x ) 的一个零点,
即至少有一点(实根)
y
( a b ) ，使得 f ( ) 0 .
y f ( x)
a o
1
2
3
b
x
定理 3(介值定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间
a, b
t
t 2 t
方程
y
y x

y x
2

2 x
(x e ,
的通解
2
t
t ln x )
Βιβλιοθήκη Baidu
y x ( C 1 C 2 ln x ln
x ).
1、两个重要极限
(1)
应用 :
lim
x 0
sin x x
1
1. u( x ) 0
u( x ) 0
lim
sin u( x ) u( x )
1

dt dx

1 x
1 x
y, t
dt dx
xy y t ,
1 x
2
x
2
y t
y tt
dx 2 x y ytt yt ,
t
( y y ), t t
(
dt

1 x
)
代入原方程得
yt 2 yt y 2e
(1)
0
0 ln 0 ln 1 0 ln
0 .
对于
1

型另有重要极限的方法
1 u
:
u 0
lim 1 u
e
3、泰勒中值定理
如果函数 f ( x ) 在含有 x 0 的某个开区间( a , b ) 内具
有直到 ( n 1) 阶的导数,
则当 x 在 ( a , b ) 内时,
y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x )
则称函数
y f ( x ) 在点 x 0 可微 ， 记 dy
x x0
A x
定理
函数f ( x )在点x 0 可微的充要条件是函数 f ( x )
在点x 0 处可导, 且 A f ( x 0 ).
定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上的连续函数
y
一定有最大值和最小值.
f ( x 1 ) min f m f ( x 2 ) max f M
M
y f ( x)
a
o
x1
x2
b
x
m
推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.
定理 2 (零点定理)
且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号(即 f ( a )
(2)在开区间 ( a , b ) 内可导,且 F ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处
均不为零，
'
那末在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,使等式
f (a ) f (b) F (a ) F (b)

f ( )
'
F ( )
'
成立.
2、洛必达法则
齐次方程的通解
1
是二重特征根
特解 y
*
2 yt y 2e t yt
Y e (C 1 C 2t )
t
,
t
x Ce
2
Q ( t )e
t
2
Q ( t ) 2
取
Q (t ) t
特解
y
*
t e
2
t
方程 yt 2 yt y 2e 的通解： y e ( C 1 C 2 t ) t e .
常用的 泰勒公式
导数的应用 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
1、中值定理
(1)费马(Fermat)引理
在 U x 0 , 上 ， 若 f x f x 0 f x 0 存在 ， 则
f x 0 0
或 f x
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
f
(n)
f ( x 0 ) 2!
( x x0 )
2

( x0 )
n!
其中 Rn ( x ) f
( n 1 )
( x x0 )
n
Rn ( x)
( )
( n 1)!
( x x0 )

函数f ( x )在 x 0 处连续 是函数f ( x )在 x 0 处 既左连续又右连续.
定理
初等函数在其定义区间内都是连续的.
3、间断点的分类
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y y 可去型 y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
三 闭区间上连续 函数的性质
x0
第三章 中值定理和导数的应用
洛必达法则 Cauchy 中值定理
F ( x) x
0 ,1 , 型
0 0

0
令y f
g
型
型
型
0

取对数
f g
0 型
f g f 1 g
Lagrange 中值定理
n0
f (a ) f (b)
Rolle 定理
Taylor 中值定理
2n 1
)
cos x 1
x

x
4

x
6
( 1)
lim
x 0
lim
x
f x x f x
x 0
lim

左导数 f x 右导数 f x
x
f x x f x
x 0

x
f x 可导 f x f x
2. 微分 ： 若
使等式
f ( b ) f ( a ) f ( )( b a ) 成立.
'
f (b ) f (a ) ba f ( ).
或
f ( )
f (b ) f (a ) ba
y
C
y f (x)
B
A
D
o
a
1
2 b
x
(4)、柯西中值定理
(1)如果函数 f ( x )及 F ( x ) 在闭区间[a , b]上连续,