卷积反投影重建(二维)
反投影重建算法
反投影重建算法
反投影重建算法（FBP）是一种计算机断层扫描成像（CT）重建图像
的方法。
该算法基于通过旋转体与X射线束的物理原理，将多个方向
的X射线透射数据进行积分，并使用反投影算法将数据重构成一张图像。
FBP算法分为两个基本部分：投影操作和反投影操作。
投影操作是一
种从图像中提取片段的技术，而反投影操作则是将这些片段重构成图像。
FBP重建算法的本质是一种频域过滤操作，其通过滤波技术提取
图像中的高频信息，并使用反投影技术将其还原为一张二维图像。
反投影重建算法的主要优点是其速度和适应性。
这种算法能够轻松地
生成高质量的图像，并且对于许多不同的应用程序都可以使用不同的
滤波模式。
目前，FBP算法被广泛应用于医学成像、工业检测和材料
科学等领域。
需要注意的是，FBP算法并不是完美的。
由于其基于体积的积分，因
此它可能受到一个“锐角偏差”问题的影响。
锐角偏差问题是指，当
图像中存在锐利的边缘或角落时，算法可能会出现伪影或失真的问题。
为了应对这个问题，一些改进算法被提出，例如金刚簇算法（来自中
国科技大学），基于块的迭代顺序最小化算法和模糊模式匹配算法等。
总之，反投影重建算法是一种实用的成像算法，对于许多不同的领域都具有广泛的适用性。
虽然这种算法具有其局限性，但是通过改进算法可以进一步提高它的可靠性和精度。
卷积和反卷积的计算公式
卷积和反卷积的计算公式一、卷积计算公式。
（一）离散卷积（一维情况）设离散序列x[n]和h[n]，它们的卷积y[n]定义为：y[n]=∑_m =-∞^∞x[m]h[n - m]（二）离散卷积（二维情况）对于二维离散信号x[m,n]和h[m,n]，其卷积y[m,n]为：y[m,n]=∑_k =-∞^∞∑_l=-∞^∞x[k,l]h[m - k,n - l]（三）连续卷积（一维情况）对于连续函数x(t)和h(t)，它们的卷积y(t)定义为：y(t)=∫_-∞^∞x(τ)h(t-τ)dτ二、反卷积计算公式。
反卷积（也称为去卷积）是卷积的逆运算。
在离散情况下，如果已知y[n]（卷积结果）和h[n]，求x[n]，可以通过求解以下方程（在某些条件下）：y[n]=∑_m =-∞^∞x[m]h[n - m]1. 频域方法（离散情况）- 对y[n]、h[n]分别进行离散傅里叶变换（DFT），得到Y[k]和H[k]。
- 根据卷积定理Y[k]=X[k]H[k]，则X[k]=(Y[k])/(H[k])（假设H[k]≠0）。
- 再对X[k]进行逆离散傅里叶变换（IDFT）得到x[n]。
2. 迭代算法（离散情况）- 一种简单的迭代算法是假设初始的x^0[n]=y[n]/h[0]（当h[0]≠0时）。
- 然后通过迭代公式x^i + 1[n]=x^i[n]+frac{y[n]-∑_m =-∞^∞x^i[m]h[n - m]}{∑_m =-∞^∞h[m]h[n - m]}逐步逼近真实的x[n]，其中i表示迭代次数。
在连续情况下，反卷积的求解更加复杂，通常也可以利用频域方法，通过傅里叶变换将问题转换到频域，利用Y(ω)=X(ω)H(ω)，得到X(ω)=(Y(ω))/(H(ω))（假设H(ω)≠0），再通过逆傅里叶变换得到x(t)，但在实际应用中要考虑到函数的性质、收敛性等诸多问题。
计算机断层扫描成像(CT)
1引言自七十年代初第一台电子计算机断层扫描装置问世以来，成像技术发展异常迅速，设备不断更新。
以医学成像为例，已实现了三大飞跃，即脏器清晰图像的获得，把生化病理研究推向分子结构的水平和直接提供有关成像组织的化学成分的信息，步入了断层显像的新时代。
计算机断层扫描和图像重建技术，是在不破坏物体情况下，将物体每一个断层面上的结构和组份的分布情况显示出来的一种实验方法，都是利用计算机图像重建的方法来得到物体内部的信息。
人们对射线成像的最早认识是从x 光机开始的。
医用x 光机成像技术的发展和应用已有近百年的历史，它是利用x 射线的物理性能和生物效应，来对人体器官组织进行检查。
由于普通x 光机只能把人体内部形态投影在二维平面上，因此会引起成像器官和骨骼等的前后重叠，造成影像模糊。
为了克服这一缺点，英国ENI 公司的工程师豪恩斯菲尔德(G.N.Hounsfield)运用了美国物理学家科马克(Cormack)于1963年发表的图像重建数学模型，推出了第一台x 射线计算机断层图像重建技术（X-CT ）装置，并1977年9月在英国Ackinson Morleg 医院投入运行。
1979年该技术的发明者Hounsfield 和Cormack 为此获得了诺贝尔医学奖。
X-CT 的出现是X 射线成像技术的一个重大突破。
经过多代的发展，X-CT 已获得广泛的应用。
在医学上，目前已可用来诊断脊柱和头部损伤，颅内肿病，脑中血凝块，及肌体软组织损伤，胃肠疾病，腰部和骨盆恶性病变等等。
目前X-CT 除了广泛应用于临床诊断、生命科学和材料科学以外，还在工业和交通等方面也有重要的应用，例如，在线实时无损检测工业CT 等。
2CT 成像实验原理2.1概述数学上可以证明，通过对物体进行多次投影就可得到该物体的几何形状。
CT 的基本思想是：让一束γ射线投射在物体上，通过物体对γ射线的吸收（多次投影）便可获得物体内部的物质分布信息。
当强度为0I 的一个窄束γ射线穿过吸收系数为μ的物体时，其强度满足指数衰减关系0ut I I e -=(1)式中t 为射线所穿过物质层厚度。
反投影重建算法
反投影重建算法反投影重建算法是一种常用于医学影像领域的图像重建方法，其原理基于X射线的穿透性质和成像原理。
该算法可以从一系列投影图像中恢复出被测物体的内部结构，为医学诊断提供重要的信息。
在了解反投影重建算法之前，我们先来了解一下X射线成像的基本原理。
X射线成像是一种无创检查方法，通过将X射线束通过被测物体后，测量X射线在不同方向上的衰减情况，从而获取被测物体的内部结构信息。
在传统的X射线成像中，使用的是传统的透射成像方法，即将X射线通过被测物体后，直接在胶片或探测器上记录吸收信息。
然而，传统透射成像存在一些局限性，如对于密度相近的组织无法进行有效区分。
反投影重建算法的出现就是为了解决传统透射成像的局限性。
该算法利用了被测物体对X射线的吸收特性，通过在不同方向上测量X 射线的衰减情况，然后将这些投影数据进行反投影操作，即根据投影数据在不同方向上的衰减信息，将其反向投射回原来的空间位置。
这样，就可以通过反投影操作恢复出被测物体的内部结构。
具体来说，反投影重建算法的步骤如下：1. 收集投影数据：通过将X射线束从不同方向照射到被测物体上，并在胶片或探测器上记录下不同方向上的吸收信息，形成一系列投影数据。
2. 反投影操作：将投影数据进行反投影操作，即将各个投影数据反向投射回原来的空间位置。
这个过程可以看作是将每个投影数据沿着其对应的投影方向，从胶片或探测器上反向传播到被测物体内部的过程。
3. 累加重建：将所有反投影后的数据进行累加，得到最终的重建图像。
在反投影操作中，相交的区域会累加，而非相交的区域则不会累加，从而在最终的重建图像中得到被测物体的内部结构信息。
反投影重建算法是一种简单而有效的图像重建方法，在医学影像领域得到了广泛的应用。
与传统的透射成像相比，反投影重建算法可以提供更多的信息，能够更好地区分密度相近的组织，从而提高了诊断的准确性。
此外，反投影重建算法还可以应用于其他领域，如安全检查、材料检测等。
儿童CT检查操作的特殊要求
儿童CT检查操作的特殊要求1 正当性判断——儿童CT检查的正当性判断应比成人更加谨慎，临床适应症更严格，逐例评估收益-风险比。
——在严重外伤等紧急情况下，对儿童实施CT检查具有正当性。
在条件许可的情况下，儿童的影像检查应优先考虑使用无电离辐射的超声或磁共振成像等方法。
——儿童心脏大血管CT成像较心导管造影更具正当性。
——不使用CT对儿童的疾病进展进行连续监测或健康筛查。
2 扫描前准备——详细了解患儿病史，获取既往检查的影像资料。
——婴儿检查前采取喂食与襁褓束缚的方式来减少运动。
提供儿童主题装饰、音乐、玩具、数数以及与父母保持语音通话的方式，分散幼儿注意力，安抚恐慌焦虑情绪，取得患儿的配合。
——必要时予以镇静或麻醉。
设备条件允许时采用双源CT大螺距扫描或超宽探测器采集，以及尽可能进行不注射对比剂的平扫，可减少对镇静或麻醉的需求。
——远离扫描部位的辐射敏感器官采用铅制围裙、眼镜、围脖等防护用具遮盖，尽可能予以包裹。
扫描区域内不使用铋制防护用品。
——备齐儿童不同年龄段适用的复苏囊、喉镜等抢救用物型号。
3 扫描方案优化——为不同分组的儿童定制各检查部位的儿童专用扫描协议，最合理的分组依据为受检部位体厚，其次为患儿体重，前两者信息不易获得时根据患儿年龄分组。
——根据临床指征或检查目的进行个性化的扫描参数优化，在满足诊断需求前提下尽可能降低患儿辐射剂量。
——为获得一致的图像质量，不同厂家甚至同一厂家不同型号的CT应定制不同的扫描协议。
3.1 扫描体位——使用安全绑带将儿童固定于检查床。
儿童胸腹部检查两臂无法上举抱头时，伸直上肢置于身体两侧。
——常规仰卧位，根据检查及静脉穿刺部位选择头先进或足先进。
不能配合呼吸的患儿进行肺部双期相扫描时，取侧卧位，贴紧检查床的一侧表现为呼气相，另一侧为吸气相。
——检查部位置于机架旋转中心。
3.2 定位扫描——80kV～100kV，正位定位扫描时，球管置于检查床下。
定位扫描范围限制目标检查部位。
MRI设备详细介绍
mri设备详细介绍mri, 设备MRI设备MRI设备是利用生物体的磁性核（主要是氢核）在磁场中所表现出的MR特性来进行成像的设备。
随着超导技术、磁体技术、电子技术、计算机技术和材料科学的进步，MRI设备得到飞速的发展。
MRI设备已成为最先进、最昂贵的现代化诊断设备之一。
MRI设备既是评价医院综合能力的一项重要指标，又是医院现代化程度和诊断水平的标志。
我国现有600多台MRI设备正在运行，并以每年几十台的速度增长（含临床应用型和临床研究型）。
本章将以临床应用型永磁开放式MRI设备为例，系统地介绍MRI设备的构成和工作原理。
第一节概述一、发展简史MR现象于1946年第一次由布洛赫（F.Bloch）领导的斯坦福大学研究小组和伯塞尔（E.Purcell）领导的哈佛大学研究小组分别在水与石蜡中独立地观察到。
因此，布洛赫和伯塞尔共同获得了1952年的诺贝尔物理学奖。
随后，人们利用MRI技术进行了多领域的应用。
MRI设备早期集中在物理和化学方面，用来确定化学成分、分子结构和反应过程。
1967年，第一次用MRI设备测试人体活体。
1971年，达马丁（Damadian）发现了MRI的一个重要参数—T1。
肿瘤组织的T1值远大于相应正常组织的T1值。
此结果预示着MRI设备在医学诊断中的广阔应用前景。
1973年，受CT图像重建的启示，纽约州立大学的劳特布尔（Lauterbur）在《Nature》杂志上发表了MRI设备空间定位方法（均匀静磁场上迭加梯度磁场）。
利用MRI模型（两个并排在一起的充水试管）的四个一维投影，成功的获得了第一幅MRI模型的二维图像。
1974年，曼斯菲尔德（Mansfield）研究出脉冲梯度法选择成像断层的方法。
1975年，恩斯特（Ernst）研究出相位编码的成像方法。
1977年，爱特斯坦（Edelstein）、赫切逊（Hutchison）等研究出自旋扭曲（Spin Warp）成像法。
1977年，达马丁完成了首例动物活体肿瘤检测成像，并获得首张人体活体MRI设备图像。
CT系统参数标定模板的设计
CT系统参数标定模板的设计饶勤;张明辉【摘要】本文针对二维CT系统的参数标定问题,在医学数据的基础上进行探究,首先采用普通模板对未知CT系统进行标定,确定了该CT系统旋转中心、探测器单元之间的距离以及X射线的方向;然后基于反投影滤波模型,在MATLAB软件上编写算法实现了CT成像,并运用了更加高效方便的卷积函数代替了滤波过程,以及采用汉宁窗算法减少了傅里叶变换的数据损失;最后分析整个标定与重建模型的精度和稳定性,得出误差主要源于数据的离散性的结论,并进一步总结出标定模板的设计要点,提出了一个高效、易用的标定模板.该模板经过验证,其吸收率函数具有易于拟合的特征.新的模版与标定算法有效提升了标定精度,而且对噪声有着更高的容忍性.【期刊名称】《电声技术》【年(卷),期】2019(043)006【总页数】4页(P18-21)【关键词】CT系统参数标定;反投影滤波模型;汉宁窗算法;MATLAB【作者】饶勤;张明辉【作者单位】东南大学自动化学院,江苏南京211189;东南大学自动化学院,江苏南京211189【正文语种】中文【中图分类】TH7891 引言CT(电子计算机断层扫描术)是一种利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息的扫描技术。
因其检测技术对样品无损伤，现已广泛应用于医疗诊断、工业检测、安检等诸多领域当中[1-2]。
在CT系统中，采用以平行X射线垂直入射探测器平面的方式的二维CT系统最为典型，其把等间距排列的探测器单元近似看作为一系列的接收点，探测器与X射线发射器的相对位置保持不变的CT系统。
在检测过程中，其绕旋转中心逆时针旋转180次，通过512个探测器单元来测量样品吸收衰减后的X射线能量，然后通过增益等操作得到180组接收信息。
而在CT系统的安装过程中往往存在着一定的误差，从而使系统成像质量较差。
由此，对安装完成的CT系统进行参数定标就显得十分重要。
反投影重建算法
反投影重建算法介绍反投影重建算法是一种常用于医学图像重建的技术，它通过将多个投影图像反向投影到空间中，来重建出原始物体的三维形态。
该算法基于X射线摄影和计算机图形学的理论，被广泛应用于医学成像领域，尤其是计算机断层扫描(CT)。
基本原理反投影重建算法的基本原理是通过测量某物体在不同角度下的投影数据，然后将这些数据反向投影到空间中，得到物体的三维重建图像。
具体步骤如下：1.采集投影数据：使用X射线或其他成像设备，获得物体在不同角度下的投影数据。
这些投影数据可以通过测量X射线的衰减程度来获取。
2.投影数据的逆变换：将投影数据的方向进行反转，得到反投影数据。
这一步是算法中最重要的一步，它将每个测量点的投影数据映射回三维空间。
3.反投影重建：将反投影数据从二维空间转换为三维空间。
这可以通过将反投影数据相加来实现。
在这个过程中，需要注意对数据进行插值，以确保重建图像的精确度。
算法细节反投影重建算法的具体细节有多种实现方式，下面列举几种常见的算法：1. 直接反投影算法直接反投影算法是一种最简单的算法，它将每个投影像素直接投影回三维空间。
具体步骤如下：1.对每个投影像素点，计算它在三维空间中的坐标。
这可以通过测量点在投影平面上的位置和投影矩阵来实现。
2.将每个投影像素点的坐标值累加到三维空间的相应位置上。
这一步是反投影的核心过程，通过将每个像素点的坐标值相加，最终可以得到物体的三维重建图像。
3.可选的后处理步骤：根据需要，可以对重建图像进行滤波、增强或其他处理，以提高图像的质量。
2. 迭代反投影算法迭代反投影算法是一种更复杂但更精确的算法，它通过多次迭代求解，逐渐优化重建图像的质量。
具体步骤如下：1.初始化重建图像：将重建图像的像素初始化为某一固定值。
2.迭代求解：重复以下步骤，直到算法收敛或达到最大迭代次数：–计算投影数据的理论值：根据当前重建图像，计算预测的投影数据。
–计算误差：比较预测的投影数据与实际测量数据之间的差异，得到误差。
卷积反投影重建(二维)
卷积反投影图像重建1 反投影重建基本介绍设待重建图像为),(y x a ，它的二维傅氏变换为^12(,)(,)A A ωωρφ=。
根据中心切片定理，^(,)A ρφ可通过),(y x a 在不同视角φ下的投影()r p x φ的一维傅氏变换求得。
即：待建图像：12^1212()12122^2cos()02cos()02cos()0(,)(,)(,)1(,)4(,)(,)(,)i x y i r i r i r a r a x y F A A e d d A e d d P ed d d Pe d ωωππρθφππρθφππρθφθωωωωωωπρφρρφρφρρφφρρφρ-∞∞+-∞-∞∞--∞∞--∞∞--∞======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰[](1.1)因为cos()r x r θφ=-，所以有：122(cos sin )22cos()r x y x y x r ωωπρφφπρπρθφ+=+==-同时：12d d J d d ωωρφ= 11222//2cos 2sin 4//2sin 2cos J ωρωφπφπρφπρωρωφπφπρφ∂∂∂∂-===∂∂∂∂ (1.2)先来看该式的第二个积分：[]22cos()cos()cos()cos()(,)(,)|()(,)|(,)|cos(),r r r r i x i r x r r r x r r x r P ed Pe d h x p x g x g r πρπρθφθφθφθφρρφρρρφρφφθφφ∞∞-=--∞-∞=-=-==*==-⎰⎰ (1.3)式中：(,)()(,r r rg x h x p x φφ=* (1.4) 式(3.10)的物理意义是投影(,)r p x φ经过传递函数为1[()]r F h x ρ=的滤波器后得到的修正后的投影(,)r g x φ在满足cos()r x r θφ=-时的值。
将(3.11)代入(3.8)，得到：^(,)[cos(),]a r g r d πθθφφφ=-⎰ (1.5)称为滤波反投影方程，其物理意义是经过给定点(,)r θ的所有滤波后的投影在0φ=~π范围内的累加—反投影重建，得出(,)r θ点的像素值。
逆投影原理
逆投影原理逆投影原理什么是逆投影原理？逆投影原理是一种重建二维或三维图像的技术。
它基于X射线计算机断层扫描（CT）的原理，通过逆运算来重建已知的投影数据。
逆投影原理被广泛应用于医学、工业、航空等领域，成为了非常重要的成像技术之一。
逆投影的基本概念在探测信号通过被测体后产生的投影数据中，我们只能获得被测对象在不同方向上的一维信息。
逆投影原理通过反向计算，将这些一维信息转化为二维或三维图像。
逆投影的数学原理逆投影原理基于Radon变换，将一维的投影数据转换为二维的图像数据。
逆投影的数学模型是一个积分方程，可以用迭代算法来求解。
逆投影的重建步骤1.数据采集：通过传感器或相机等设备获得被测对象的投影数据。
2.图像预处理：对采集的数据进行滤波和去噪处理，提高重建质量。
3.逆投影计算：根据投影数据和逆投影算法，计算出对应的图像数据。
4.图像重建：将计算得到的图像数据转化为可视化的图像。
逆投影应用逆投影原理被广泛应用于各种领域。
在医学领域，逆投影可以用于构建CT扫描图像，帮助医生准确诊断疾病。
在工业领域，逆投影可以用于检测材料的缺陷和测量尺寸。
在航空领域，逆投影可以用于飞机的非破坏性检测。
总结逆投影原理是一种重建图像的技术，通过逆运算将一维投影数据转化为二维或三维图像。
它的数学原理是基于Radon变换的积分方程，可以通过迭代算法求解。
逆投影在医学、工业、航空等领域有着广泛的应用。
通过逆投影原理，我们可以获得更准确的图像数据，帮助我们进行更精确的分析和判断。
逆投影算法的优化逆投影算法在计算过程中可能存在一些问题，例如数据噪声、幅度不匹配、伪影等。
为了提高逆投影的质量和精度，研究者们提出了一些优化方法。
1.滤波技术：在逆投影计算过程中，对投影数据进行滤波处理可以降低噪声的影响，提高图像质量。
常用的滤波方法有低通滤波、中值滤波等。
2.线性化技术：将非线性的逆投影问题转化为线性问题，可以简化计算过程。
例如，利用四ier切片定理和滤波反投影定理，可以将逆投影过程分解为两个步骤：滤波和反投影。
CT成像-基本概念
《医学影像成像原理》 试题库李月卿 第三章 CT 成像一、专业名词解释与翻译 1．窗口技术:window technology是显示数字图像的一种重要方法。
即选择适当的窗宽和窗位来观察图像，使病变部位明显地显示出来。
2．窗宽：window width,WW表示数字图像所显示信号强度值的范围.(图像显示过程中代表所显示信号强度值的范围。
）3．窗位：window level ，WL又称窗水平,是图像显示过程中代表图像灰阶的中心位置。
（放大的灰度范围的平均值,所放大灰度范围的灰度中心值，即显示器所显示的中心CT 值。
）4．投影:projection检测器接收透过受检层面后出射的X 线束的强度（I ）称为投影。
（CT 扫描装置扫描完一个层面后,获得一个方向上的一组吸收系数之和的数值与X 线束扫描位置的曲线，这个曲线称作X 线束经被测人体吸收后在该方向上的投影,投影上各点数值称为投影值。
）5．CT 值：computed tomography numberCT 影像中每个像素所对应的物质对X 线线性平均衰减量大小的表示。
以水的衰减系数作为基准，CT 值定义为将人体被测组织的吸收系数x μ与水的吸收系数w μ的相对值，用公式表示为：K CT wwx ⨯-=μμμ值6．采集时间：acquisition time即成像时间或扫描时间,指获取一幅图像所花费的时间。
7．半程扫描时间：half-scan time是指X 线管扫描移动角度在210°~240°时的扫描时间。
8．全程扫描：full-scan是指为了获取比较高质量的CT 图像进行360°的扫描。
9．最大密度投影：maximum intensity projection,MIP 是将径线所通过的容积组织或物体中每个像素的最大强度值进行投影，最大强度代表最大CT 值，故一般称为最大密度投影。
10．最小密度投影:minimum intensity projection ，MinIP是在某一平面方向上对所选取的三维组织层块中的最小密度进行投影重建图像。
CTMRI图像重建算法课件
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反投影重建后
原像素值
再除以投影线数，平均化
断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值
1
2
3
4
5
6
滤波函数的选择
为了醒目起见，可将式(4.39)中的m 作为常数，于是有： 及 同理，把 看成常数，由 及 得：
二维傅里叶变换法
二维傅里叶变换法将各个投影进行一维傅里叶变换，再把各角度上的变换结果汇集起来，在变换成极坐标上补足求得的傅里叶变换的频域曲面，再改为空间直角坐标。按公式进行二维傅里叶反变换后即可得到重建图像。 二维傅里叶变换法是最理想的图像重建方法之一。但该方法需要进行正、反两次傅里叶变换，计算量比较大，在实际应用中不易实现。
反投
1DFT
X │ρ│
频域
空域
滤波反投影法
1D IFT
卷积反投影法
滤波反投影仍需1D傅利叶变换 能否更简单？ 解决方法：卷积、滤波
卷积反投影法
在空间域进行滤波 先滤波再反投，但不需要傅利叶变换
反投
X C（R）
空域
卷积反投影法
卷积反投影法
成像方法是在后投影之前，对所有的投影数据进行卷积，使结果的图像无所谓的“星月样”晕伪影。 成像的过程可分成三步：首先是获取全部的投影数据并作预处理。 其次是将所得数据与卷积因子相乘，其间须通过大量的数学运算，同时采用的算法还须考虑图像的分辨率和噪声等。 最后，其后投影数据值中正负值相互抵消，根据系统显示的不同矩阵大小，各投影滤过的原始数据被投影成像并通过监视器显示。
《CT重建技术简述》课件
CT重建技术的基本方法
阅读CT图像
通过观察和解CT图像，医 生可以获取人体各种结构的 信息，从而进行疾病的诊断 和治疗。
显影剂的应用
使用显影剂可以增强X射线的 吸收率，提高图像的对比度， 从而更清晰地观察和分析内 部结构。
二维重建技术
将扫描得到的二维图像进行 重建和处理，以获得更详细 的结构信息和解剖细节。
之间建立空间关系，构建三维模型。
3
法线三角网格法
法线三角网格法通过计算体素的法线向
量，将体素连接成三角网格，生成光滑
模型拟合法
4
和真实感的三维模型。
模型拟合法通过将扫描得到的体素数据 与已知模型进行匹配，拟合出最符合实
际的三维模型。
CT重建技术在医疗领域的应用
用于疾病诊断
CT重建技术可以提供清晰的内 部结构图像，帮助医生准确地 诊断各种疾病，如骨折、肿瘤 和脑血管疾病。
二维重建技术
1 基本概念和原理
2 孔径径向延拓重建技术
二维重建技术利用扫描得到的X射线投影数据， 通过逆投影和滤波等算法，重建出二维断层 图像。
孔径径向延拓重建技术是一种基于滤波的方 法，通过对投影数据进行滤波和反投影处理， 生成清晰的二维图像。
3 滤波重建技术
滤波重建技术通过对投影数据进行频域滤波 处理，消除伪影和噪音，提高图像的质量和 清晰度。
2 图像分辨率问题
CT重建图像的分辨率对于 小结构的显示仍有一定局 限，需要进一步改进算法 和技术，提高图像的清晰 度。
3 未来的发展趋势
CT重建技术的发展将更加 注重人工智能（AI）技术 的应用，以及深度学习算 法在图像重建中的创新和 优化。
CT重建技术简述
CT重建技术是一种医学影像处理技术，利用CT扫描所得的数据，通过一系列 的算法和方法，将这些数据转化为具有解剖结构和功能信息的图像。
第六章 由投影重建图像 1.断层摄影图像的获取 2.重建图像的几种方法
2) 反投影法
2) 反投影法
例如：把与A象素有关的z1 ,z3 ,z5叠加起来，可
知 A的值将和总和成正比。其他各个象素也一
样，事实上，叠加的结果都包含有 9 个象素的 总和，为保持射线密度的平均值不变，可以用 总象素数 9 去除总和，从而获得一个相应象素 的平均密度值，即重建图像的各个象素值分别
1）减少未知数数目
2）增加扫描路径
3）改变扫描路径
1) 解联立方程组方法
对于本问题，只有第三种 方程组为：
A B D z1 D E F z4 C D z2 B E z5 A B C z3 A C E z6
图(c)是改变扫描路径的情况，此时获得的新联立
些改变，但其基本原理还是相同的。下面我们
仅就 T-R 型扫描方式，讨论几种图像重建的方
法。
2. 重建图像的几种方法
常用的几种由投影重建图像的方法：
l解联立方程组方法 l反投影法 l利用傅立叶变换进行图像重建 l利用卷积进行图像重建
l图像重建的逐步逼近法
l最优化重建 l扇形投影数据的重建
1) 解联立方程组方法
复技术。如把投影看成是一种劣化过程，而重
建则是一种复原过程。具体来说，ห้องสมุดไป่ตู้投影时我
们丢失了沿射线方向的分辨能力(只剩1—D信
息)，而重建则利用多个投影恢复了2—D的分
辨力。
第六章 由投影重建图像
从投影重建图像的技术在许多科学领域，包括从分子
量级(借助电子显微镜)到宇宙量级(射电天文学)都得 到了应用。它极大地增强了人类观察物体内部结构的
收敛于对应象素值）而引起的结构模糊。
二维卷积计算举例
二维卷积计算：解析其原理和应用领域卷积计算是深度学习中常见的一种操作，它广泛应用于图像处理、语音识别、自然语言处理等领域。
其中，二维卷积计算是卷积计算的一种形式，专门针对二维数据，如图像、矩阵等。
本文将通过举例和案例分析的形式，介绍二维卷积计算的基本原理、应用领域以及如何实现。
一、二维卷积计算基本原理二维卷积计算是指对两个二维矩阵进行运算，得到一个新的矩阵。
具体来说，给定两个矩阵A和B，其中A为输入矩阵，B为卷积核，通过在A上滑动B并执行相应的乘法操作，得到输出矩阵C。
卷积计算的公式如下：C[i][j]=Σ[(A[i+x][j+y]*B[x][y])forallx,y]其中，i和j表示输出矩阵C的坐标，x和y表示卷积核B的坐标。
这个公式表明，对于输出矩阵C中的每一个位置(i,j)，将卷积核B在输入矩阵A上滑动，并计算乘积之和。
二、应用领域二维卷积计算在图像处理、自然语言处理等领域有着广泛的应用。
下面我们以图像处理为例，介绍二维卷积计算在实际问题中的应用。
在图像处理中，我们可以将图像看作一个二维矩阵，而卷积核可以看作是一个小的滤波器。
通过将卷积核在图像上滑动并执行乘法操作，可以得到新的特征图，这些特征图能够描述图像的不同特征，如边缘、纹理等。
例如，我们可以使用不同的卷积核来提取图像的不同特征。
一个卷积核对图像中的边缘特征比较敏感，而另一个卷积核对图像中的纹理特征比较敏感。
通过将不同的卷积核应用于同一图像，我们可以得到不同的特征图，这些特征图可以用于后续的分类或识别任务。
三、实现方式在实际应用中，我们通常使用深度学习框架来实现二维卷积计算。
目前流行的深度学习框架包括TensorFlow、PyTorch等。
这些框架提供了高效的计算引擎和丰富的API，使得我们可以轻松地实现二维卷积计算。
例如，在TensorFlow中，我们可以使用tf.nn.conv2d函数来实现二维卷积计算。
这个函数接受输入矩阵和卷积核作为参数，并返回输出矩阵。
卷积前后维度公式
卷积前后维度公式一、一维卷积。
1. 定义。
- 设输入序列为x = [x_1,x_2,·s,x_n]，卷积核为k=[k_1,k_2,·s,k_m]（m≤slant n）。
2. 卷积计算方式及维度变化。
- 卷积计算为y_i=∑_j = 1^m x_i + j - 1k_j，i = 1,2,·s,n - m+1。
- 输入维度为n，卷积核维度为m，则输出维度为n - m+1。
二、二维卷积。
1. 定义。
- 设输入图像为X∈ R^H× W（高度为H，宽度为W），卷积核为K∈ R^h×w（高度为h，宽度为w）。
2. 卷积计算方式及维度变化（无填充、步长为1）- 对于输出图像Y中的元素y_ij，y_ij=∑_m = 1^h∑_n = 1^w x_i + m - 1,j + n - 1k_mn。
- 输出图像的高度H_out=H - h+1，宽度W_out=W - w + 1，即输出维度为(H -h + 1)×(W - w+1)。
3. 卷积计算方式及维度变化（有填充、步长为1）- 设填充p（上下左右填充相同的像素数），则输入图像变为X∈ R^(H +2p)×(W + 2p)。
- 输出图像的高度H_out=H+2p - h + 1，宽度W_out=W + 2p - w+1，输出维度为(H + 2p - h+1)×(W + 2p - w + 1)。
4. 卷积计算方式及维度变化（有填充、步长为s）- 输出图像的高度H_out=(H + 2p - h)/(s)+1，宽度W_out=(W + 2p - w)/(s)+1。
三、三维卷积。
1. 定义。
- 设输入数据为X∈ R^D× H× W（深度为D，高度为H，宽度为W），卷积核为K∈ R^d× h× w（深度为d，高度为h，宽度为w）。
2. 卷积计算方式及维度变化（无填充、步长为1）- 输出数据的深度D_out=D - d+1，高度H_out=H - h+1，宽度W_out=W -w+1，输出维度为(D - d + 1)×(H - h+1)×(W - w + 1)。
CT重建中滤波器的设计与实现
影数据经过滤波反投影， 得到扫描断屠的重建图像 嘲 。
（０＝ （ ） （ ｆ ） ｐ ｆ ， ， ）
（） １
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ｐｔ ） （０为某一角度下的投影数据， （０为 ， ｆ） ，
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ａｇ ｒ ｈ ｔ ｍｐ ｏ ｅ ｔ ｐ ｅ ｆ ｈ ａ ｅ ｒ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｎ ａ ｄ ａ ｏ ｈ ｒｒ ｓ ａ ｃ ｉ ｌ ｏ ｕ ｎ ｔ ｅ ｄ ｓ ｎ ａ ｌ ｏ ｔ ｍ ｏ ｉ ｒ ｖ ｉ ｈｅｓ ｅ ｄ ｏ ｅ ｉ ｇ ｅ ｏ ｓｒ ｃ ｉ ， ｎ ｎ ｔ ｅ ｅ ｅ ｒ ｈ ｍａｎ ｙ ｆ ｃ ｓｏ ｈ ｅ ｉ ｎｄ ｔ ｍ ｏ ｇ ｉ ｌｍ ｅ ｔｔｏ ｆｔ ｅ ｐ ｅ ｒ ｃ ｓｉ ｇ ｆ ｔ ｒ ｉ ｒ ｅ ｏ ｏ ｔｉ ｌａ —ｅ ｇ ｓ ｓ ｏ ｔ ，ａ ｄ ｌ ｗ—ｎｏ ｓ ｍ ａ ｅ ． ｒ ｍ ｍｐ ｅ ｎ ａ ｎ ｏ ｒ ｐ ｏ ｅ ｓ ｌ ， ｎ ｏ ｄ ｒｔ ｂ ａｎ ｃｅ ｒ ｄ ｅ ， ｍ ｏ ｈ ｎ ｉ ｈ ｎ ｉ ｅ ｏ ｉｅ ｉ ｇ ｓ Ｆ ｏ
ｏ ｅ ｏ ｓｒ ｃｉ ｎ ｓ ｅ ｎ ｈｅ ｓ ｌｌ ｒ ｒ ｑ ｉｅ ａａ ｓｏ ａ ｅ ｓ ａ ｅ Ｓ ｔ ｉ ｍ ｏ ｅ ｗｉ ｅｙ ｕ ｅ ｎ ｐ ａ ｔ ｅ ｎ ｆ ｒ ｃ ｎ ｔ ｕ ｔ ｐｅ ｄ ａ ｄ ｔ ｍａ ｅ ｅ ｕ ｒ ｄ ｄ ｔ ｔ ｒ ｇ ｐ ｃ ， Ｏ ｉ ｓ ｏ ｒ ｄ ｌ ｓ ｄ ｉ ｒ ｃｉ ．Ｉ ｃ
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卷积反投影图像重建1 反投影重建基本介绍设待重建图像为),(y x a ，它的二维傅氏变换为^12(,)(,)A A ωωρφ=。
根据中心切片定理，^(,)A ρφ可通过),(y x a 在不同视角φ下的投影()r p x φ的一维傅氏变换求得。
即：待建图像：12^1212()12122^2cos()02cos()02cos()0(,)(,)(,)1(,)4(,)(,)(,)i x y i r i r i r a r a x y F A A e d d A e d d P ed d d Pe d ωωππρθφππρθφππρθφθωωωωωωπρφρρφρφρρφφρρφρ-∞∞+-∞-∞∞--∞∞--∞∞--∞======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰[](1.1)因为cos()r x r θφ=-，所以有：122(cos sin )22cos()r x y x y x r ωωπρφφπρπρθφ+=+==-同时：12d d J d d ωωρφ= 11222//2cos 2sin 4//2sin 2cos J ωρωφπφπρφπρωρωφπφπρφ∂∂∂∂-===∂∂∂∂ (1.2)先来看该式的第二个积分：[]22cos()cos()cos()cos()(,)(,)|()(,)|(,)|cos(),r r r r i x i r x r r r x r r x r P ed Pe d h x p x g x g r πρπρθφθφθφθφρρφρρρφρφφθφφ∞∞-=--∞-∞=-=-==*==-⎰⎰ (1.3)式中：(,)()(,r r rg x h x p x φφ=* (1.4) 式(3.10)的物理意义是投影(,)r p x φ经过传递函数为1[()]r F h x ρ=的滤波器后得到的修正后的投影(,)r g x φ在满足cos()r x r θφ=-时的值。
将(3.11)代入(3.8)，得到：^(,)[cos(),]a r g r d πθθφφφ=-⎰ (1.5)称为滤波反投影方程，其物理意义是经过给定点(,)r θ的所有滤波后的投影在0φ=~π范围内的累加—反投影重建，得出(,)r θ点的像素值。
^121(,)(,)()()(,)r A A F p x PP φφωωρφρρφ⎡⎤====⎣⎦可见，滤波（卷积）反投影算法的具体包含三大步：(1) 把在固定视角i φ下测得的投影(,)r p x φ经过滤波，得到滤波后的投影(,)r g x φ； (2) 对每一个i φ，把(,)r i g x φ反投影于满足cos()r i x r θφ=-的射线上的所有各点(,)r θ； (3) 将步骤(2)中的反投影值对所有0<φπ≤进行累加（积分），得到重建后的图像。
2 重建流程2.1 首先我们利用phantom （）函数产生一个头部幻影图像，用以检测二维重建算法，代码如下：I=phantom(256); subplot(2,2,1) imshow(I,[]);title('256*256原始图像');效果图如图1所示，图1为一个大椭圆和几个小椭圆。
2.2 初始参数设置重建采用的是平移加旋转的扫描方式，射线源在某一角度下水平移动，将物体全部照射后旋转一角度，如此重复，在这个过程中探测器相应地运动以接收X 射线。
根据此原理,将重建程序的初始参数设置如下:[N,N]=size(I);z=2*ceil(norm(size(I)-floor((size(I)-1)/2)-1))+3;% radon 变换默认平移点数/角度Nt=360; % 角度采样点数 Nd=N; % 平移数 x=pi/180; % 角度增量 d=N/Nd; % 平移步长 theta = 1:Nt; a=zeros(N);2.3 产生无噪声投影数据[R,xp] = radon(I,theta);e=floor((z-Nd)/2)+2;R=R(e:(Nd+e-1),:);R1=reshape(R,256,360);radon(I,theta)产生I投影,默认z点/角度,即使指定N点也是z点.所以为避免重建图像放大或缩小,下面计算取投影时需补偿,补偿量e如对256的图像,补偿为55,即pm的第55个点作为计算用的第一个投影.2.4 添加噪声并将有噪声平行投影进行显示[mm,nn]=size(R1);di=lognrnd(0,0.15,mm,nn);R1= 10*(R1-min(R1(:)))/( max(R1(:))-min(R1(:)));I0 = 1.5e5; % incident photons; decrease this for simulating "low dose" scans rand('state', 0), randn('state', 0);yi= poissrnd(I0 * di.*exp(-R1))+3*randn(size(R1));if any(yi(:) == 0)warn('%d of %d values are 0 in sinogram!', ...sum(yi(:)==0), length(yi(:)));endR1 = log(I0 ./ max(yi,0.01)); % noisy sinogramR1=max(R1,0);% 显示ff=2;uu=22000;v=ff*exp(R1/uu);subplot(2,2,2)imagesc(R1);title('256*360有噪声平行投影');colormap(gray)colorbarQ=reshape(R1,256,360);效果图如图-2: 图-22.5 滤波器的选择与设计最基本的从投影重建图像的滤波器：1971年提出的R-L重建滤波器(下图中实线表示)。
图-3 R-L 滤波器示意图空域表达式为:(2.1)其中B为截至频率。
若，d为空间采样间隔，可解出离散的滤波器空间脉冲响应：(2.2)MATLAB 代码如下:g=-(Nd/2-1):(Nd/2);for i=1:256if g(i)==0hl(i)=1/(4*d^2);else if mod(g(i),2)==0hl(i)=0;elsehl(i)=(-1)/(pi^2*d^2*(g(i)^2));endendendk=Nd/2:(3*Nd/2-1);2.6 重建图像代码设计:for m=1:Ntpm=Q(:,m);u=conv(hl,pm);pm=u(k);Cm=((N-1)/2)*(1-cos((m-1)*x)-sin((m-1)*x));for i=1:Nfor j=1:NXrm=Cm+(j-1)*cos((m-1)*x)+(i-1)*sin((m-1)*x);if Xrm<1n=1;t=abs(Xrm)-floor(abs(Xrm));elsen=floor(Xrm);t=Xrm-floor(Xrm);endif n>(Nd-1)n=Nd-1;endp=(1-t)*pm(n)+t*pm(n+1);a(N+1-i,j)=a(N+1-i,j)+p;endendend重建后的图像如图-3 所示:图-3程序中还包含对重建结果的评价/归一化均方距离判据/归一化平均绝对距离判据以及程序的运行时间等.不再进行详细介绍。
程序的最终运行效果如下：图-4 程序最终运行效果图3 分析反投影重建方法包括卷积反投影重建的缺点是会产生星状伪迹，原因分析如下： 断层平面中某一点的密度值可以看作是这一平面内所有经过该点的射线的投影值之和（的均值）。
整幅重建图像可以看作是所有方向下的投影累加而成。
射线标号示于图5中，像素值（代表密度）分别1x ,2x ,3x ,4x ， 赋值如下:15x =,20x =,32x =,418x =根据投影的定义(某条射线投影值为该条射线穿过的所有的像素值之和)，每条射线的投影i p (1,2i = )为：1215p x x =+=, 23420p x x =+=,3137p x x =+= 42418p x x =+=, 532p x ==, 61423p x x =+=720p x ==根据反投影重建算法的物理意义，重建图像中各像素，得到： 113635x p p p =++=，214723x p p p =++=， 323529x p p p =++=424661x p p p =++=，图- 5 断层像素值和射线(a) 原图像像素值 (b)反投影重建后图像 (c)求平均后图像图 6 反投影示例重建后的图像如图6(b)所示，可以看出原图像中像素值不为零的点反投影重建后仍较突出，但原图中像素值为零的点，经反投影重建后不再为零，即有伪迹。
有时为了使重建后图像的像素值更接近于原图的像素值，在求反投影时，把数据除以投影的数目（即射线数），如图6(c)所示。
因此有：,11pn k k ii px pn ==∑ (3.1)该式可作为反投影重建算法的计算式。
其中k x 表示像素k 的值，i k p ,表示经过像素k 的第i 条射线投影，p n 表示图像内的射线条数。
图7(a)表示空间中一个孤立点源A ，密度为1。
经过A 点的三条射线也示于图中。
射线束理论上可以很多，取三条示意。
不经过A 点的射线投影为零，经过A 点的射线投影值均为1，1231p p p ===。
(a) 孤立点源A 及三条射线 (b)相应的反投影重建图，有星状伪迹图 7 孤立点源的反投影重建及星状伪迹经反投影重建后，得到A 点的像素值为123()/31A f p p p =++=。
A 点以外的像素值原来为零，经反投影重建后不等于零，而是等于1/3。
所以，经反投影重建后的图像除保留A 点的像外，还有像素值为1/n 的灰雾背景，后者称为星状伪迹。
产生星状伪迹的原因在于：反投影的本质是把取自有限物体空间的投影均匀地回抹（反投影）到射线所及的无限空间的各点上，包括原先像素值为零的点。
(1)(2)(3)。