第6节 空间向量的运算及应用

立体几何

第6节空间向量的运算及应用

[选题明细表]

知识点、方法题号

空间向量的线性运算2,9 共线定理、共面定理的应用1,4,6,8,10,12,13 空间向量数量积的应用3,5,7,11,14

(建议用时:20分钟)

1.(多选题)在下列命题中,其中正确命题的是( ABCD )

(A)若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行

(B)若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面

(C)若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面

(D)已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc

解析: a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故A不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故B不正确;三个向量a,b,c 中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故C不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故D不正确.故选ABCD.

2.如图,M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P是MN的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示,则( D )

(A)=a+b+c (B)=a+b+c

(C)=a+b+c (D)=a+b+c

解析:依题意=(+)=+(+)=a+b+c,故选D.

3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( D )

(A)-2 (B)(C)-(D)2

解析:a-λb=(-2,1,3)-(-λ,2λ,λ)

=(λ-2,1-2λ,3-λ),

a=(-2,1,3),

若a⊥(a-λb),则-2(λ-2)+1-2λ+3(3-λ)=0,

解得λ=2,故选D.

4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于( D )

(A)(B)(C)(D)

解析:由于a,b,c三个向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即有

解得m=,n=,λ=.故选D.

5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( C )

(A)a2(B)a2(C)a2(D)a2

解析:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.

=(a+b),=c,

所以·=(a+b)·c

=(a·c+b·c)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.

6.设e1,e2是两个不共线的空间向量,若=2e1-ke2,=3e1+3e2,

=ke1+e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值为.

解析:因为A,B,D三点共线,

所以存在实数λ使得=λ,

因为=2e1-ke2,

=-=(k-3)e1-2e2,

所以

所以k2-3k-4=0,解得k=-1或4.

答案:4或-1

7.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是.

解析:=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),·=-7,||=,||=, 所以cos θ==-,

又因为θ∈[0,π],

所以θ=π.

答案:π

8.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则满足DB∥AC,DC∥AB的点D的坐标为.

解析:设点D(x,y,z),

易知=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),

=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),

因为DB∥AC,DC∥AB,所以∥,∥,

则解得所以D(-1,1,2).

答案:(-1,1,2)

(建议用时:25分钟)

9.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=,=x+y+z,则x,y,z的值分别为( A )

(A),,(B),,

(C),,(D),,

解析:如图所示,

因为M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,

所以=+,=,=,=-,=(+),

所以=+[(+)-]

=++,

所以x=,y=z=,故选A.

10.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B 的中点,则||为( A )

(A) a (B) a (C) a (D) a

解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则A(a,0,0),C 1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z),

因为点M在AC1上且=,

所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),

所以x=a,y=,z=.

所以M(,,),

所以||== a.

11.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,P i(i=1,2,…,16)是上、下底面上其余十六个点,则·(i= 1,2,…,8)的不同值的个数为.

解析:由题意得,=+(i=1,2,…,8),

则·=·(+)=||2+·,

因为⊥,所以·=||2=1,

所以·(i=1,2,…,8)的不同的值的个数为1.

答案:1

12.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4,点Q在棱AA1上,且AQ=3A1Q,四边形EFGC1是平面BCC1B1内的正方形,且C1E=1,P是面BCC1B1内的动点,且P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长,则线段PQ长度的最小值为.

解析:建立如图所示的空间直角坐标系.