微积分期中考试试卷

浙江工商大学2010/2011学年第一学期期中考试试卷

课程名称： 微积分(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟

一、填空题(每小题3分,共15分) 1.⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+++∞→2221231lim n n n n n =. 2.设2010)1(lim =--∞→b

b a

n n n n ,则a =,b =. 3.曲线2x y =与曲线x a y ln =(0≠a )相切,则a =.

4.已知一个长方形的长x 以s m /2.0的速率增加,宽y 以s m /3.0的速率增加,当m x 12=,m y 5=时,其面积增加的速率为.

5.设x x f 2cos )(=,则)0()2(n f =.

二、单项选择题(每小题3分,共15分)

1.当],0[π∈x 时,0)(≠x f ,且x x f x f sin )()(+=+π,则在),(∞+-∞内)(x f 是().

(A )以π为周期的函数 (B )以π2为周期的函数 (C )以π3为周期的函数 (D )不是周期函数

2.数列}{n x 收敛于实数a 等价于(D ).

(A )对任给0>ε,在),(εε+-a a 内有数列的无穷多项

(B )对任给0>ε,在),(εε+-a a 内有数列的有穷多项

(C )对任给0>ε,在),(εε+-a a 外有数列的无穷多项

(D )对任给0>ε,在),(εε+-a a 外有数列的有穷多项

3.若0lim =∞

→n n n y x ,则(D ). (A )0lim =∞→n n x 且0lim =∞

→n n y (B )0lim =∞→n n x 或0lim =∞→n n y (C )当0lim =∞→n n x 时,}{n y 有界

(D )当∞=∞→n n x lim 时,0lim =∞→n n y 4.若1sin )

(lim 0=→x

x x ϕ,则当0→x 时,函数)(x ϕ与()是等价无穷小. (A ))1ln(x - (B )||sin x (C )||cos 1x - (D )121-+x

5.设函数e)

)(3(e e )(3

---=x x x f x ,则(). (A )3=x 及e =x 都是)(x f 的第一类间断点 (B )3=x 及e =x 都是)(x f 的第二类间断点 (C )3=x 是)(x f 的第一类间断点,e =x 是)(x f 的第二类间断点 (D )3=x 是)(x f 的第二类间断点,e =x 是)(x f 的第一类间断点

三、计算题(1)(每小题6分,共30分)

1.若()023lim

2

=+++++∞→b ax x x x ,求常数a ,b . 2.当a ,b 取何值时,函数1

lim )(2212+++=+∞→n n n x bx ax x x f 在),(∞+-∞内连续. 3.已知)(x f 在点a x =处可导,且0)(≠a f ,求n

n a f n a f ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+∞→)()1(lim . 4.试求)(cos d d lim 0x f x

x +→,其中)(x f 在1=x 处具有连续的一阶导数,且2)1(-='f .

5.求由方程x x y xy =-+)ln()sin(所确定的隐函数)(x y 在0=x 的导数)0(y '.

四、计算题(2)(每小题8分,共16分)

1.设⎪⎩

⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2 ,161221 ,1 ,21)(32x x x x x x x f .(1)写出)(x f 的反函数)(x g 的表达式;(2)问)(x g 是否有不可导点,若有指出这些点.

2.设函数x x x f x 2cos e 2tan ln )(-+=,求⎪⎭

⎫ ⎝⎛''2πf . 五、应用题(本题满分8分)

设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中价格)20,0(∈P ,Q 为需求量,(1)求需求量对价格的弹性||d E =η;(2)推导)1(d d η-=Q P R (其中R 为收益),并用弹性η说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.

六、证明题(每小题8分,共16分)

1.证明数列}{n x 收敛,其中11=x ,⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+n n n x x x 3211, ,2,1=n ,并求n n x ∞

→lim . 2.设函数)(x f 在],[b a 上连续,b d c a <<<,且)()(d f c f k +=,证明:

),(b a ∈∃ξ,使得)(2ξf k =.