微积分期中考试试卷
14-15厦门大学第一学期微积分I期中试卷解答
一、计算下列各题：（每小题5分，共50分） 1．求极限1230lim(12)xx x -+→-；解：1122223233lim(12)=lim[(12)]lim(12)e xx x x x x x x -+-→→→--⋅-=.2．1ln(1arcsin 1y x x =++++（0x >），求d y ；解：1d )1y x x =++1]d d2x x =+x =3．设2()sin y x ax b kx =++，其中0k >为常数，求n 阶导数； 解：设b ax x v kx u ++==2,sin ，用莱布尼兹高阶导数公式，v kx C v kx C v kx y n n n n n n ''⋅+'⋅+⋅=--)2(2)1(1)()()(sin )(sin )(sin而 ()(sin )sin(π),,1,22j j jkx k kx j n n n =+=--, 于是()21212()sin(π)(2)sin(π)(1)sin(π).222n n n n n n n y k x ax b kx nk x a kx n n k kx ----=++++++⋅+-+4．设函数()f x 在0x =处连续，且0()lim3ln(12)x f x x →=+，求(0)f ，(0)f '；解：因为函数()f x 在0x =处连续，故00()(0)lim ()limlimln(12)0ln(12)x x x f x f f x x x →→→==⋅+=+.00()(0)()ln(12)(0)limlim lim 3260ln(12)x x x f x f f x x f x x x→→→-+'==⋅=⨯=-+. 5．求曲线1ln(e )y x x=+（0x >）的渐近线；解：1lim lim ln(e )1x x y k x x→+∞→+∞==+=，1lim ()lim [ln(e )]x x b y kx x x x →+∞→+∞=-=+-11lim ln(1)e ex x x →+∞=+=，故所求渐近线为1ey x =+.6．计算不定积分2ln(1)d x x x +⎰；解：322221ln(1)d ln(1)d 21x x x x x x x x +=+-+⎰⎰2221ln(1)()d 21x x x x x x =+--+⎰ 2222111l n (1)l n (1)222x x x x C =+-+++22211(1)ln(1)22x x x C =++-+ 7．求33sec tan d x x x ⎰；解：3322sec tan d sec tan d sec x x x x x x =⎰⎰42(sec sec )d sec x x x =-⎰5311sec sec 53x x C =-+8．设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=确定，求()y y x =的驻点，并判别它是否为极值点.解：对方程3222221y y xy x -+-=两边求导，得2642()20y y yy y xy x '''-++-=， 解得 232x yy y y x-'=-+.令0y '=，则x y =，代入方程，可得32210x x --=，即2(1)(21)0x x x -++=，解得1x =. 故所求驻点为(1,1).对2642()20y y yy y xy x '''-++-=两边求导，得22212()64()42()20y y y y y y y y y x y ''''''''''+--+++-=， 将1,1,0x y y '===代入，得64220y y y ''''''-+-=，则1=02y ''>，故1x =为极小值点. 9．设0a >，求曲线(cos sin ),(sin cos ),x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩在π4t =处的曲率；解一：d (cos cos sin )tan d (sin sin cos )y a t t t t t x a t t t t -+==-++，π4d 1d t y x ==； 2232d s e c s e c d (s i n s i n c o s )y tt x a t t tt a t ==-++，22π4d d πt y x a ==.故所求曲率为23/24.(1)πy k y a''==='+解二：d (sin sin cos )cos d x a t t t t at t t =-++=；π4d d 8t x a t ==； d (cos cos sin )sin d y a t t t t at t t =-+=；π4d d 8t y a t ==；22d (cos sin )d x a t t t t =-；22π4d π(1)d 24t x t ==-；22d (sin cos )d y a t t t t =+；22π4d π(1)d 24t y a t ==+；所求曲率为14πk a a ===. 10．求0x → 解：x →=原式01) =2x →202112=l i m 12s i n 3x x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭3=.4二、计算下列各题：（每小题6分）1．若(1)0f =且(1)2f '=，计算20(sin cos )lim (e 1)tan x x f x x x→+-； 解：2200(sin cos )(1sin cos 1)(1)lim lim (e 1)tan (e 1)tan x x x x f x x f x x f x x→→+++--=-- 2220(1sin cos 1)(1)sin cos 1lim .sin cos 1(e 1)tan x x f x x f x x x x x →++--+-=+--20sin cos 1(1)lim (e 1)tan x x x x f x→+-'=- 由于 22222001()sin cos 112limlim(e 1)tan 2x x x x x o x x x xx →→-++-==-，于是 20(sin cos )1lim '(1)(e 1)tan 2x x f x x f x →+=- 2． 已知数列{}n x 满足：01n x <<，11(1)4n n x x +-≥，求lim n n x →∞；解：()212110,4(1)4(1)n n n n n n x x x x x x +--≥-=>--{}n x 单调增。
《微积分II》(第一层次)第二学期期中练习题
《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题一1. 求直线11212x y z -+==绕z 轴旋转一周的曲面的方程 .2. 求曲线22222z x yx y x⎧=+⎪⎨+=⎪⎩在点 ( 1 , -1 , 2 ) 处的切线方程 .3. 设由(,)0F y x z -= 确定(2)(,),z z x y F C=∈， 求2z x y∂∂∂ .4. 求函数sin()x u x e y z =+-在点( 1 , 1 , 1 ) 处沿(1,2,2)l =-的方向导数 . 5. 已知2u xy z =-，求u 在点(9,12,10)M -梯度()grad u M . 6. 求曲面22z x y =+的切平面，使其通过直线11112x y z -+== .7. 证明曲面3(0)xyz a a =>上任何一点处的切平面与坐标面所围成的四面体的体积等于一个常数 .8. 求函数22233z x xy y x y =++-++的极值 .9. 设∑为由22,2z x y z =+=所围曲面，求∑的内接长方体体积的最大值 . 10. 求sin(),:,0,02Dy x dxdy D x y x y π-+===⎰⎰所围区域 .11. 求222222(),:2,4.Dx y dxdy D x y x x y x ++≥+≤⎰⎰12. 计算Dxd σ⎰⎰，其中D 为第一象限内221x y +=与x 轴，y 轴所围的闭区域 .13. 计算三重积分222222x y z dxdydz abcΩ--⎰⎰⎰(1-)，其中Ω为椭球体：2222221x y z abc++≤.14. 求曲环面：(cos )cos ,(cos )sin ,sin (0)x b a y b a z a a b ψϕψϕψ=+=+=<≤所界的物体体积 .15. 计算222()Cx y z dS ++⎰，其中C 为螺旋线：cos ,sin ,(02)x a t y a t z bt t π===≤≤的部分 .16. 计算曲线积分[()][()]x xAmBy e my dx y e m dy ϕϕ'-+-⎰，式中()y ϕ与()y ϕ'为连续函数，Am B 为连接点1122(,)(,)A x y B x y 和的任意逐段光滑曲线，但与线段A B 围成的面积为A 的平面区域D Am B =.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题二1. 求以2222x y y z ⎧+=⎨=⎩为准线，以(2,0,0)为顶点的锥面的直角坐标方程.2. 设由(,)0x z F y y =确定(1)(,),z z x y F C =∈，求 x z z y x y∂∂+∂∂ 3. 求函数23u xy z =在点( 1 , 2, -1 ) 处沿22l i j k =-+的方向导数 .4. 求椭球面2222321x y z ++=上某点处的切平面π的方程，使平面π过已知直线6321:212x y z L ---==-. 5. 求椭球面2222221x y z abc++=的切平面 （,,0x y z ≥），使其与三个坐标平面所围的立体的体积最小，并求最小值.6. 求曲面21z xy -=上到原点最近的点.7. 求22,:2.Ddxdy D x y y +≤⎰⎰8. 设函数()f x 连续，满足()2Df t f dxdy =+⎰⎰，这里D 为222x y t +≤，求()f x .9. 求 401limsin()t txt dx xy dy t→+⎰⎰ .10. 计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω是球体222x y z z ++≤.11. 计算曲线积分. 1. 222zdl x yΓ+⎰，其中Γ的参数方程是：3cos ,3sin ,3(02)x t y t z t t π===≤≤.2.(e +)(e cos 7)xxsiny 8y dx y x dy Γ+-⎰,其中Γ为由点(2,0)A 沿22(4)9x y -+=到点(6,0)B 的一段 .12. 计算曲面积分（2×10分=20分）.1. 求222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为2222(12)x y z z z ++=≤≤ .2. 设∑为上半球面z =的上侧，计算3326zx dydz zy dzdx z dxdy ∑++⎰⎰.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题三1. 求直线11:111x y z L --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.2. 函数),(y x f z =由方程04)(2222=++-+z y x z y x 确定，求z 在点)1,2,2(-P 处的全微分dz .3. 设函数),(y x z z =由方程0),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 可微，计算并化简yz yxz x ∂∂+∂∂.4. 求函数y xy y x z --+=232的极值.5. 已知 2222332u x y z x y =+++-，求u 在点(1,1,2)M 的梯度()gradu M .6. 求函数2a r c t a n (2)u x y z =++在点(0,1,0)A 处沿空间曲线22230240x y z x x y ⎧++-=⎨--=⎩在(2,0,B 的切向量的方向导数.7. 试求一平面π,使它通过空间曲线23(1)y xz y ⎧=Γ⎨=-⎩：在1y =处的切线,且与曲面22:4x y z ∑+=相切.8. 设常数0a >，平面π通过点(4,5,3)M a a a -，且在三个坐标轴上的截距相等. 在平面π位于第一卦限部分求一点000(,,)P x y z ，使得函数(,,)u x y z =在P 点处取最小值.9. 已知曲面Σ2=，设0000(,,)P x y z 为曲面Σ上的一点.1. 求曲面Σ在点0000(,,)P x y z 的切平面方程；2. 求该切平面在各个坐标轴上的截距之和.（10分） 10. 计算二重积分 1arcsin 3arcsin sin yydy xdx π-⎰⎰.11. 计算二重积分(,)Df x y d x d y ⎰⎰其中0,12,(,)0,y x x f x y ≤≤≤≤=⎩其他， 而积分区域{(,)2,02}D x y y x =≤≤≤≤12. 计算 Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线 2y x =及直线2y x =-所围成的区域.13.计算三重积分 2Vz dxdydz ⎰⎰⎰，其中V 是椭球体2222221x y z abc++≤. （10分）14. 计算 22()Cx y ds +⎰，其中C 为曲线 (cos sin ),(sin cos ),(02)x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤.15. 判断曲线积分2222Cx y x y dx dy x yx y-++++⎰是否与路径无关？当C 为曲线2cos ,sin (02)x t y t t π==≤≤，并且沿t 增加的方向时，计算该曲线积分.（10分）16. 计算曲面积分 222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中Σ为曲面2222x y z a ++=.。
厦门大学《微积分 I-1》课程期中试卷
1， 2
1
g(1)
f (g(1)) (g(1))2
f (0) (g(1))2
3 4
3。
f (g(1))
f (0)
28
九、（本题共 10 分，第一小题 4 分，第二小题 6 分）
设函数 f (x) 在[0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导，且有 f (0)=0 ， f (1) f (2)=2 ， f (3)=4 。证明:
知 f (0)=1， f (0)=2 ， f (0)=3，求 g(x) 在 x 1处的一阶导数和二阶导数。
解：注意到 f (g(x)) x ,两边对 x 求导，得
f (g(x)) g(x) 1 ○1
上式两边再对 x 求导，可得
4
f (g(x)) (g(x))2 f (g(x)) g(x) 0
x t sin t
五、（本题
10
分）计算由摆线的参数方程
y
1
cos t
(0 t 2 ) 所确定的函数 y y(x) 的
一阶导数和二阶导数。
解：
dy dy dt = sin t dx dx 1 cos t
dt
d2 y d ( sin t ) dt cos t (1 cos t) sin t sin t 1 1
x0
x0
lim[b(1 sin x) a 2] lim (eax 1) 0 ，得 a b 2 0 。
x0
x0
因为 f (x) 在 x 0 上可导,所以 lim f (x) f (0) lim f (x) f (0) ，即有
x 0
《微积分一》期中试卷解答(1)
金审学院2016—2017学年第1学期《微积分一》期中试卷一、选择题（每题3分，满分15分）1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ B）.A.()y f x =- B .34()y x f x = C. ()y f x =-- D. ()()f x f x +-2.下列极限中正确德是（ B）.A. 11lim(1)x x e x →∞+=B. 1lim sin 1x x x →∞=C. sin 2lim2x x x →∞= D. arctan lim 1x xx→∞= 3. 当0x →时，函数()sin 1xf x e=-是函数()g x x =的（ C）.A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶无穷小D. 等价无穷小4. 已知函数()sin 2,00xx xf x x ⎧<⎪⎪=⎨>，则点0x =是()f x 的（ A ）.A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 连续点5. 设函数()0,01sin ,0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处可导，则常数a 的取值范围为（ C ）. A. 01α<< B ．01α<≤ C ．1α> D ．1α≥二、填空题（每题3分，满分15分）1. 函数22()arcsin(3)32xf x x x x =-+-+的定义域为 . (2,4] 2. 要使函数1()(12)xf x x =-在点0x =处连续，则需补充定义(0)f = . 2e -3. 设函数(0)xy x x =>，则函数的微分dy= . (ln 1)x x x dx +4. 若直线5y x m =+是曲线232y x x =++的一条切线，则常数m = . 15. 设函数222(21)xy x x x e =+++，则(7)(0)y = . 72128or三、计算题（每题6分，共48分）1．求极限1lim1x x →-.解：111x x x →→=-（这是计算极限的常用方法！）11x x →→==42.2===2. 求极限3113lim 11x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭. 解：2232211113132lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x →→→++-+-⎛⎫-== ⎪---++-++⎝⎭(用通分化简手法) 22111lim (1)(1)x x x x x x →-+-=-++22111lim()11x x x x x x →+=-+++++21() 1.33=-+=- 另解：()2233311113132lim lim lim 1111x x x x x x x x x x x →→→++-+-⎛⎫-∞-∞== ⎪----⎝⎭型（00型） 2121lim3x x x →+=-21 1.3+=-=-3. 求极限()121cos 0lim 1xx x-→+.解：()()()22ln 111ln 1lim21cos 1cos 1cos 0lim 1lim x x x xxxx x xee→+⋅+---→→+==2200limlim 222.x x x xe e e →→===/ （利用了无穷小代换）另解：()()()22ln 111ln 1lim21cos 1cos 1cos 0lim 1lim x x x xxxx x xee→+⋅+---→→+==（型） 22002112limlim 212sin sin 1.x x xx x x xx ee e e →→+⋅⋅+==== 4. 求极限2lim n n →∞⎛⎫+++. 解：记2n x n =++222221111n n x z n nn n n n =+++≤+++==+++++；另一方面，22222n n x y n nnnn nn nn n=+≥+++==+++++这里n n n y x z ≤≤，且lim 1n n n n y →∞====，lim 1=lim .n n n n n n z y →∞→∞====因此，由夹逼定理得到lim 1n n x →∞=，即2lim 1.n n →∞⎛⎫+=+ 注：此种类型的极限，目前只能用夹逼定理方法求出极限来，等学习过定积分后才有简便方法计算.5. 已知函数()ln 12cos5x y π=++，求.y '解：()(()()'arctanln 12cos'arctan 'ln 12'cos '55x xy ππ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1'2'012x x =+⋅++112ln 2112xxx =+⋅++ 2ln 2.12x x =++ 注意：这里cos5π是常数，cos'05π⎛⎫= ⎪⎝⎭，而不是sin.5π- 6. 已知函数y =，求.y ' 解：用对数求导法，两边取对数，得到4455(3)ln ln ln(3)ln(1)(1)x y x x x -==--++1ln(2)4ln(3)5ln(1)2x x x =++--+， 对这个结果两边求导数，得到'1452(2)31y y x x x -=+-+-+，于是 145145'2(2)312(2)31y y x x x x x x ⎛⎫⎫=+-=+- ⎪⎪+-++-+⎝⎭⎝⎭(3)(1)8(2)(1)10(3)(2)2(2)(3)(1)x x x x x x x x x -++++--+=+-+326(3)(322(2)(1)x x x x x --++=++另解：直接求导，得到)()54454510(1)(3)'(3)(1)'(3)''(1)(1)x x x x x y x x +--+⎛⎫-== ⎪ ⎪++⎝⎭()()5444410(1)'(3)(3)'(3)(1)(1)x x x x x x +⋅----+=+=36(3)(1)x x -=+36(3)(1)x x -=+32= 7. 已知函数sin ty e t -=，求''.y解：()()()'sin 'sin 'sin 'sin cos (sin cos )t t t t t t y e t t e e t e t e t t t e ------==+=-+=-+ ， ()()()''(sin cos )'(sin cos )'sin cos 't t t y t t e t t e e t t ---=-+=-++-+()(sin cos )cos sin 2cos .t t t t t e e t t e t ---=--++--=-另解：()()()()''sin ''sin ''2'sin '(sin )''tttty e t t ee t et ----==++ （用莱布尼茨公式）2(1)sin 2(1)cos (cos )'t t t e t e t e t ---=-+-+ sin 2cos (sin )t t t e t e t e t ---=-+-2cos .t e t -=-8. 设函数()y y x =由参数方程2(1)t y x t e e ty e⎧=+⎪⎨+=⎪⎩所确定，求t dy dx =.解：由参数方程中的2(1)tx t e =+，可得()()222(1)'(1)'(1)'t t t dxt e t e t e dt=+=+++2222(1)(32)t t t e t e t e =++=+ 由参数方程中的ye ty e +=，可得()()00y y d e ty de de d ty +==⇒+=()0y e t dy ydt ⇒++=y dy y dt e t⇒=-+， 且0t =时，1y =，所以2()(32)y t dy dy dt ydx dt dx e t t e =⋅=-++，212011.()(32)(0)(320)3t t y tdy ydxe t t e e e e==⋅=-=-=-++++⋅ 注：由参数方程2(1)ty x t ee ty e⎧=+⎪⎨+=⎪⎩中消去t ，可得2(1)ye e yy e e x e y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭-=+，且0t =时，1, 1.x y ==这时可利用反函数求导方法计算11t x y dydy dx dxdx dy=====，但比较烦.四、综合题（每题8分，满分16分）1. 试求常数a 和b 的值，使21lim 0.1x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭解：因为22211()(1)(1)()1lim lim lim .111x x x x x ax b x a x a b x bax b x x x →∞→∞→∞⎛⎫++-++--++---== ⎪+++⎝⎭所以由21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭得到101, 1.0a ab a b -=⎧⇒==-⎨+=⎩ 另解：因为22112lim lim 1122lim 1lim (1)1.11x x x x x x ax b ax b x x x ax b a x b x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+--=+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以由21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭得到()lim (1)10.x a x b →∞---=这时必有 101, 1.10a ab b -=⎧⇒==-⎨--=⎩2. 设函数()()2sin ,0,0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足(0)0,'(0)1f f ==，求a . 解：由题设，可得()0000()2sin ()2sin (0)lim limlim lim x x x x f x x f x xa F F x x x x →→→→+====+00()(0)sin lim 2lim x x f x f x x x→→-=+'(0)2 3.f =+= 注：本题中，在确定3a =后，若补充条件：()f x 在0x =处二阶可导，则有()2000()2sin 3(0)()2sin 3lim lim lim0x x x f x xF x F f x x x x x x x →→→+--+-==-0.0⎛⎫⎪⎝⎭型 0'()2cos 3lim2x f x x x →+-=0'()'(0)2cos 2lim 2x f x f x x→-+-= 0'()'(0)cos 1lim 2x f x f x x x →--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭001'()'(0)cos 1lim lim 20x x f x f x x x →→--=+- ()0111''(0)lim sin ''(0)0''(0).222x f x f f →=+-=+=因此，本题条件下，函数()()2sin ,03,0f x xx F x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处未必可导. 五、证明题（本题6分）设函数()f x 在[]0,1上非负连续，且(0)(1)0f f ==，证明: 对任意的实数(01)a a <<，存在[0,1)ξ∈，使得()().f a f ξξ+=证明：对任意的实数(01)a a <<，如果()0f a =，则0ξ=满足()().f a f ξξ+=如果()0f a ≠，即有()0f a >，此时构造函数()()(),[0,1].F x f x a f x x a =+-∈-由题设可知()F x 在[0,1]0,1a -⊂[]上连续，且(0)(0)(0)()0,F f a f f a =+-=>(1)(1)()(1)()()0,F a f a a f a f f a f a -=-+-=-=-<于是对()F x 在[0,1]a -上用零点存在定理知，存在(0,1)a ξ∈-，使得()0.F ξ=即()()f a f ξξ+=，(0,1)(0,1).a ξ∈-⊂综合上述讨论，知道对任意的实数(01)a a <<，存在[0,1)ξ∈，使得()().f a f ξξ+=注：本题条件下，不能推出函数()f x 在(0,1)上可导，因此不可能考虑用中值定理来证明所要的结论来.。
微积分I期中试题及答案
广 东 商 学 院 试 题2010-2011学年第一学期期中课程名称 微积分I 课程代码 课程班号 共 2 页…………………………………………………………………………………………一、填空题（每题2分，共20分）1.函数()9ln 912++-=x x y 的定义域是__________.2.设()()x x g x xx f 1,11=+-=，则复合函数()[]=x g f _______________.3.=∞→xx x 31sin lim _______________. 4.若函数()⎩⎨⎧≥+<=0,20,x x x ae x f x 在0=x 处连续，则=a _______.5. 设,sin x y =则()=10y _________.6.曲线x x y ln = 与直线0=-y x 平行的切线方程是＿＿＿＿＿＿＿。
7．已知当0→x 时，112-+bx 与2x 是等价无穷小，则=b ____。
8.设,cos csc )sin 1(sin 22x x x x f -=+则=)(x f ________________9.极限12sinlim 2+∞→x xx x =_______________10.设函数()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=000,ln 1cos 1)(22 x x x b x x x a x f 在x=0处连续，则a=______ ,b=________二、单选题（每题2分，共10分）1.1-=x ey 的反函数是 ( )A. ()1ln -=x y B()x y -=1lnC. x y ln 1+= D x y ln 1-=2． 己知()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,40,00,2x x x x e x f x ，则当0→x 时，()x f 的极限为( )A.4B.1C.0D.不存在 3．当的是时，x x x )21ln(0+→（ ）。
A 、低阶无穷小B 、高阶无穷小C 、同阶但不等价无穷小D 、等价无穷小4．设()x f 在点0x 可导，则()()xx f x x f x ∆-∆-→∆0002lim（ ）A ．()02x f ' B. ()02x f '- C. ()02x f ' D.()20x f '-5．设y 是由方程122=+y x 确定的隐函数，则=''y ( )A.y1-B.21yC.31yD 31y-三、计算题Ⅰ（每题6分，共24分）1. 已知,3lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→xx c x c x 求c .2. 求23cos 1tan sin limxx x x -→.3. 求函数10log2ln 3axe xx y -+-=的导数。
微积分A(2)期中样卷 答案
并考察 f ( x, y ) 在 (0,0) 的连续性和可微性.
解:
f x (0,0) = lim
Δx →0
(Δx) 3 f (0 + Δx,0) − f (0,0) = lim = 1 , ………………………2 分 Δx → 0 ( Δx ) 3 Δx
f (0, 0 + Δy ) − f (0, 0) ( Δy ) 3 = lim − = −1 . ……………………2 分 Δy → 0 ( Δy ) 3 Δy
y cos( xy )esin( xy ) dy + 2esin(2 x ) − esin x
∫
x
二．计算题（每题 10 分，共 40 分）
⎧ x3 − y3 , ⎪ 2 2 1. 求函数 f ( x , y ) = ⎨ x + y ⎪0, ⎩
x2 + y2 ≠ 0 x +y =0
2 2
在原点的偏导数 f x (0,0) 与 f y (0,0) ,
∫
1
0
x p −1 (1 − x r ) q −1 dx 可以表示为
。
2
答案：
∫x
0
1
p −1
(1 − x r ) q −1 dx =
1 p B( , q), p > 0, q > 0, r > 0; r r
。
2 2
15. 设 F ( x) = 答案： F ′( x ) =
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x x 2x
esin( xy ) dy ，则 F ′( x) =
6
微积分（2）期中考题 答案
一．填空题（每空 3 分，共 15 空） （请将答案直接填写在横线上！ ）
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
浙江工商大学11-12微积分下a层期中试卷答案
浙江工商大学2011/2012学年第二学期期中考试试卷一、填空题(每小题2分,共20分)21x +{}22(,)02,D x y y y x y=<≤-≤≤; 3.4;4.[1sin ][1sin ]xy xy xy xyye e dx xe e dy +++; 5.3210(,)yydyf x y dx -⎰⎰; 6.2x +;7.2()()()x xf xy xg y y ''⋅+⋅-; 8.I K J <<; 9.6; 10.小. 二、单项选择题(每小题2分,共10分)1.D;2.A;3. C;4.B; 5 D.三、计算题(1)(每小题5分,共20分)1. 设021()1,01x x x f x x e ≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，计算51(1)f x dx --⎰解:54041220(1)1()=()+()f x dxt x f t dt f t dt f t dt ----=-⎰⎰⎰⎰ 04201=+121x dx dx e x -++⎰ 其中:0022201ln(1)ln(1)ln 2211x x x x e dx dx e e e e -----==-+=+--++⎰⎰ 420120212621t dxt x dt x -=+=+ 所以,51(1)f x dx --=⎰220ln(1)ln 26e +-+2. 确定,,a b c 的值，使得30sin lim ,(0)ln(1)x x bax xc c t dt t →-=≠+⎰解: 300sin lim ,(0),lim(sin )0ln(1)x x x bax xc c ax x t dt t →→-=≠-=+⎰ 30ln(1)lim 0xx bt dt t →+∴=⎰因此0b =3230000sin cos cos limlim lim 0ln(1)ln(1)x x x x ax x a x a xc x x t dt x t →→→---===≠++⎰同理1a =，从而12c =3. 计算201x xyy e e I dx dy y =-⎰⎰ln2解:ln 11yxy y e I dydx y =-⎰⎰21ln ()01xy y y y e dy y =-⎰2ln 13(1)12y yy y e dy y =-=-⎰2 4. 已知(2,sin )z g x y y x =- ,g 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂解:122cos zg g y x x ∂''=⋅+⋅∂2zx y∂∂∂1112212222[(1)sin ]cos [(1)sin ]cos g g x y x g g x g x '''''''''=⋅-+⋅+⋅-+⋅+⋅ 1112212222(2sin cos )sin cos cos g g x y x g g y x x g x '''''''''=-+⋅-⋅+⋅+⋅ 四、计算题(2)(每小题6分,共24分)1. 341(1)xdx x x -⎰ 解：3344211222arcsin 1()x d x xd x x =-⎰⎰22374)11442x π==或3342122(1)1x dx x t dt x x t =--⎰⎰ 2. 设2(,,)xu f x y z e yz ==其中(,)z z x y =由方程0x y z xyz +++=确定，求(0,1,1)ux∂-∂ 解：=10u f f f z x x y z x ∂∂∂∂∂⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂22x x z e yz e yz x ∂=+⋅∂0x y z xyz +++=两边对x 求偏导数：10z zyz xy x x∂∂+++=∂∂11z yz x xy ∂+⇒=-∂+ 22x x ue yz e yz x∂∴=+⋅∂1()1yz xy +-+ (0,1,1)ux∂-∂=1 3. 计算,Dx y dxdy -⎰⎰其中积分区域是221x y +≤在第一象限的部分解：{}{}222212(,)1,,(,)1,D x y x y y x D x y x y y x =+≤≤=+≤>12()()DD D x y dxdy x y dxdy y x dxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222110)()y x yxx y dx dxy x dy --=-+-⎰⎰2(21)3=4. 计算0()aI f x dx =⎰，其中(2)()a xy a y f x edy --=⎰解：00()()()0aaa I f x dx f x x xf x dx '==-⎰⎰2200()a aa x xf x dx xe dx -'=-=⎰⎰21122a e =-五、应用题(每小题8分，共16分)1. 生产某种产品需要A,B,C 三种原料，而且产量与A,B,C 原料的用量x, y, z有以下关系：20.005Q x yz =，已知三种原料售价分别为1,2,3（万元），今用2400（万元）购买原料，问如何进料才能使产量最大？ 解:目标函数20.005Q x yz = 条件函数232400x y z ++=作拉格朗日函数：2(,,,)(232400)F x y z x yz x y z λλ=+++-令22202030232400xy x F xyz F x z F x y x y z λλλ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪++=⎪⎩解得1200,300,200x y z ===（唯一驻点） 由问题的实际意义知1200,300,200x y z ===当时产量最大。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间（-∞，-1）上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：B2. 函数f(x)=x^3-3x的导数为：A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+3答案：A3. 曲线y=x^2+2x+1在点（1，4）处的切线斜率为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案：B5. 曲线y=e^x与直线y=1所围成的面积为：A. 1B. e-1C. 0D. ∞答案：B6. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值为：A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。
答案：6x2. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为______。
答案：1/33. 函数f(x)=ln(x)的反函数为______。
答案：e^x4. 曲线y=cos(x)在x=π/2处的切线方程为______。
答案：x+y=π/2三、计算题（每题10分，共40分）1. 计算定积分∫[0,2] (x^2-2x+1) dx。
答案：∫[0,2] (x^2-2x+1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x] | [0,2] = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/32. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[1,3]上的极值。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9令f'(x) = 0，解得x=1或x=3。
f(1) = -4，f(3) = 1，f(2) = -1。
因此，函数在区间[1,3]上的极大值为1，极小值为-4。
3. 计算曲线y=x^2从x=0到x=1的弧长。
2003级《微积分(乙)下》期中试卷
=_______________________________。
5． __________。
二、计算题：
1．求直线 在平面 上的投影直线方程。（8分）
2．设 而且 具有连续偏导数，求： ， ， 及 。（9分）
3．设 ，求： ， 及 。（9分）
4．设 ， ， ，求： ， 及 。（9分）
则由其切线矢量垂直于已知平面，可得：
即
故切点 在 或 ，而各切线方程为： 或 。
7.解：
8.解：法一：在球面坐标下，积分区域为：
而
以及 则得：
法二：在柱面坐标下，积分区域为：
则有
9.解：椭圆上的点 到直线 的距离为：
，
取辅助函数 ，令
由前两式易得：
，∴ ，
代入最后一式有： ，∴ 。
对应的距离分别为：
由于仅有2个驻点，而且由几何问题的实际意义可知：这2点到直线 的距离分别为最短和最长，即为上述数值。故所求点为 ，最短距离为 。
二、计算题：
1.解：过此直线的平面束为： ，
即 ，
使之与已知平面 垂直，则
，
即 ，故 ，
取 。
从而所求直线在平面 上，所以所求直线方程为 。
2.解：
所以，有：Байду номын сангаас
3.解：因为
所以，有
而且，
4.解：因为
所以，有
从而，
以及
5.解：在 处，有：
则有
所以切平面的法矢量可取为
则得切平面方程：
和法线方程：
6.解：曲线可用参数形式表示为：
5．求曲面 其中 为常数，在 处的切平面和法线方程。（9分）
6．求曲线 上平行于平面 的各切线方程。（9分）
北京交通大学第二学期《微积分B》期中考试及其试题答案
北 京 交 通 大 学2006 -2007 学年第二学期《微积分B 》期中考试评分标准（考试时间110分钟）一、填空题（每空2分，共20分） 1．函数),(y x f z =的几何图形是 空间曲面 2．设y x sin u =，求=∂∂xusiny ；=∂∂yuxcosx3．点集 {}{}10|,E ≤+<=y x y x 的边界点为 {0,0} ⋃{{x,y}| x +y =1 } 4．设2-x yu =e, 则=∂∂∂yx u 2yxe y x x 2)1(22--5．设()z x z y x f y -=,,, 则()=1,2,1df 2dx - dz 6．220112limx y xy x y→→-+= 17．()2x z =+1-y yarcsinarcsin 的定义域是22{(,)|02,-}=<≤≤≤D x y y y x y8．设L 为椭圆xy22431+=，其周长记为a ，则⎰=+Lds y x )43(22 12a9．设22(2,)yz x f x x=，f 具有一阶连续偏导数，则=∂∂xz2xf+2x 2f 1 -y 2f 210．曲线：22,,6t z t y t x ===，在t =1点处的切线方程为：111136-=-=-z y x以上填空的内容如果错了，但有部分对的结果，可以考虑给1分。
二、计算下列各题 (每题6分，共18分 )1. 设),(y x z 是由方程 1sin 1=--xyz xyz 所确定的隐函数，求)1,0(x z 。
解：两边对x 求导: ()0)xy(yz cosxyz 2=--∂∂+∂∂+⋅xy z yx zxz 2分由方程有z (0,1) =-1 1分()()()0)xy(yz cosxyz 1,021,0=--∂∂+∂∂+⋅xy z yxzx z 1分)1,0(x z =2 2分2．设()()()()(),,,,,22200000xy x y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，求(),fx y 在点(),00处的偏导数.解：由定义，有 ()000h)0,0(0,0)0,0( 0=-=-+=→→hf h f f LimLimh h x 3分()000h)0,0(0,0)0,0( 0=-=-+=→→hf h f f LimLimh h y 3分3．设z =22),(y xxy y x f -=-，f 具有一阶连续偏导数, 求y x z z f f ,,,21解：可以解出 ),(y x f =y1y 1x 2-+)( 2分()xy -11)y ,( 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-∴x y y x xy x f()()yz x z x y y x f x y x y f y x 2,2,12,11y -x 22221-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4分三、计算下列各积分（要求画出积分区域）（每题6分，共30分）1.⎰⎰Dxyd σ, 其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域。
【学在交大】大一微积分期中试卷答案
十、讨论函数 f ( x) lim 解：由题意，得
1 x 2n x 的连续性，若有间断点，判别其类型． n 1 x 2 n
x, 0, f ( x ) x, 0, x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
x 0
'
x.
1 ex 1 x 1 1 1 a x lim ， 故令 ， 函数 f x 在 x 0 x 0 x 2 e 1 x0 x e x 1 2
处连续。 又
1 1 1 x 2 e x 1 2 x x e x 1 f x f 0 lim lim x e 1 2 lim x 0 x 0 x 0 x x 2 x 2 e x 1 xe x 2e x x 2 e x xe x 2e x 1 lim x 0 x 0 2 x3 6 x2 e x xe x e x 1 lim x 0 12 x 12 1 故当 a 时 f x 在 x 0 处可导， 2 1 ex ,x 0 x2 2 x e 1 ' 且 f x 1 , x 0 12 x sin x 六、求积分 dx. cos 2 x lim
解： （1）若 F x kx h x ，则 h x F x kx ，其为以 T 为周期的函数的充要条件 是
F x T k x T
即
x T
0
f t dt k x T h x T h t f t dt kx.
x 1
a b x b
3x 1 x 3
2020—2021《高等数学微积分B1》上期中试卷
得
分
注：请将选择题和填空题的答案填写在下方的答题栏中
选择题答题栏
得分
题号
1
2
3
4
5
6
答案
填空题答题栏 7 8 9
得分 10 11 12
一、单项选择题（本大题包括 6 小题，每题 3 分，每小题仅有一个选项符合题意，共 18 分，
请将答案填入试卷上方的答题栏中）
1、下列极限运算的结果正确的是（ ）
1
A. lim (1+ n)n = e
，化简得
f
1
( x2 )
=
2 − 2c
①+②得
f
1
( x1
)
+
1
f ( x2 )
= 2 ，这里显然 x1
x2 .
②；
根据上述材料完成下题的证明：
设函数 f ( x) 在 0,1 上连续，在 (0,1) 上可导，且满足 f (0) = 0 ， f (1) = 1.证明：存在互不相
等的三点 x1, x2 , x3
3、在下列关于函数导数的说法中，正确的是（ ）
A. 若函数 f ( x) 在 x = a 处左右导数都存在但不相等，则 f ( x) 在 x = a 处不连续且不可导
B.
若
f
(x) 在
x
=
0 的邻域内存在一阶导数，且极限 lim x→0
f (x)
x2
存在，则
f
(0)
=
f
(0)
=
0 ，但
f (0) 未必存在
理知，存在一点 c (0,1) ，使得 f (c) = 1 .分别在 0,c 和 c,1 上应用拉格朗日中值定理，可知
09微积分期中附答案
1.已知f (e x -1)＝3x -2，则f (x )＝ ，且f (x -2)的定义域为 .2. 已知221lim 22x x ax bx x →++=+-，则常数a ＝ ，b ＝ . 3.曲线y 2＝2x 在点(2, 2)处的切线方程为 . 4.设221)1(x x xx f +=+，则1()f x x '+=.5.函数3483)(x x x f -= 在区间]1, 1[-上最大值为 ，最小值为 .6.曲线xx y 12+=的所有渐近线的方程为 ； 7.某厂的总利润函数L (Q )＝80Q -2Q 2，则产量Q ＝15时的边际利润为 .二、单项选择题(4172'=⨯')1.xx x x sin 1sin lim 20→的值为 ( ) (A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在 2.设hh hx x f )1(lim )(+=∞→，则=)3(ln f ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33.函数1sin 0()0 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0=x 处 ( ) (A) 连续且可导 (B) 连续但不可导 (C) 可导但不连续 (D) 不连续且不可导4.对任意x ，有f (－x )＝－f (x )，且f '(－x 0)＝－k ≠0，则f '(x 0)＝ ( ) (A) k (B) －k (C) k 1 (D) k1- 5.函数)(x f y =有21)('0=x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ∆的 ( )(A)等价无穷小 (B)同阶但不等价的无穷小 (C)低阶无穷小 (D)高阶无穷小6.已知函数f (x )在点x ＝0的某邻域内连续，且f (0)＝0，2)(lim2=→x x f x ， 则在点x ＝0处f (x ) ( ) (A)不可导 (B)可导且f '(0)≠0 (C)取得极小值 (D)取得极大值 7.设在] 1 , 0 [上0)(>''x f ，则有 ( ) (A) f ' (1 ) > f ' (0 ) > f (1 ) - f (0 ) (B) f ' (1 ) > f (1 ) - f (0 ) > f ' (0 )(C) f (1 ) - f (0 ) > f ' (1 ) > f ' (0 ) (D) f ' (0 ) > f (1 ) - f (0 ) > f ' (1 )1.)1(lim 2x x x x -++∞→ 2.30tan sin lim.sin 2x x xx→- 3. 0sin 1lim.1cos x xx x→-- 4.12lim(1)x x x →∞+ 四、计算导数、微分（5420''⨯=）1.设xxx f +-=11arcsin )(，求)(x f '. 2.设xxy sin =，求2π=x 处的微分dy .3.设 42ln 2x y y =+，求点) 1 , 1 (处的dxdy 4.x x y ln ⋅=，求()n y五、解答题（5315''⨯=）1．求函数111--=x x ey 的间断点，并判断间断点的类型2.设⎩⎨⎧>≤-=-0,sin 0,1)(2x x x e x f x ，求)(x f '.3.证明方程x xe ＝2.7至少有一个小于1的正根. 六、已知函数xxy ln =，试求其单调区间、极值及其曲线上的拐点和渐近线(7') 七、某厂生产某种商品的固定成本为2000元，每生产1吨该商品需要的成本为60元．已知该种商品的市场需求规律为Q =1000-10 p (价格p 单位：元，需求量Q 单位：吨)．(1)问该商品的产量为多少时利润最大？(2)求获得最大利润时的价格及需求对价格的弹性．(3)需求弹性为1.5时，若价格降低10%，商品的销售量预期会增加百分之几？总收益预期会如何增加还是减少？变化百分之几？ (10')09级数学期中试卷答案—，填空题 123)(1-=-x e f x 令)0(1>=-t t ex 则t x ln 1+=t t t f ln 312)ln 1(3)(+=-+=即)0(ln 31)(>+=x x x f ).2(2∞+∈∴>-x o x 即)2(-x f 的定义域为).2∞+∈x2．令))(1(2t x x b ax x +-=++则231))(1())(1(lim 2lim 1221=+=+-+-=-+++→→t t x x t x x x x b ax x x x 5=∴t 则5422-+=++x x b ax x 4=∴a 5-=b3．x y 22=俩边对x 求导 则yy y y 1'2'.2=⇒= 21'2.2====y x y k 022)2(212=+-⇒-=-y x x y 4．2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f令t x x =+1，则t t f t t f 2)('2)(2=⇒-= )1(2)1('x x x x f +=+∴5．3483)(x x x f -=则)2(122412)('223-=-=x x x x x f令.00)('1=⇒=x x f 22=x 11)1(=-f 0)0(=f 5)1(-=f)(x f ∴在[-1，1]上最大值为11，最小值为-56．D ),0()0.(+∞⋃-∞=f∞=+→x x x 1lim20111lim 1lim 22-=+-=+-∞→-∞→xx x x x111lim 1lim22=+=++∞→+∞→xx x x x ∴曲线y 有垂直渐进线0=x 。
北京交通大学微积分期中考试试卷及答案
lim
x→+∞
⎢⎣⎡ln
1
+
2
x
ln⎜⎛1 + ⎝
3 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
( ) ( ) 解：
lim
x→+∞
⎢⎣⎡ln
1
+
2
x
⎡
ln⎜⎛1 + ⎝
3 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
lim ⎢⎢ln ⎢ x→+∞
1+ x
2x
⋅
ln⎜⎛1 ⎝
+
3 x
⎟⎞ ⎠
⎤ ⎥ ⎥
3⎥
⎢⎣ 3
x ⎥⎦
( ) = lim ln 1+ 2x
x
sin
⎝
1 x
−
ln
x
⋅ cos
1 x
⎟⎞ ⎠
−
x 1+ x2
( ) ⑵.
⎧x ⎨ ⎩y
= =
ln 1+ t 2 t + arctan t
，求
dy dx
，
d2y dx 2
．
解：
dy
=
dy dt
=
1
+
1
1 +t
2
= t2 +2
dx dx
2t
2t
dt 1+ t 2
( )( ) d 2 y
=
d ⎜⎛ dy ⎟⎞ dt ⎝ dx ⎠ =
3. 设 f (x) = x(ln x)2 ，若定义 f (0) = ______，则 f (x) 在 x = 0 处右连续．
4.
已知
f
′(x0
)
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浙江工商大学2010/2011学年第一学期期中考试试卷
课程名称： 微积分(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟
一、填空题(每小题3分,共15分) 1.⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+++∞→2221231lim n n n n n =. 2.设2010)1(lim =--∞→b
b a
n n n n ,则a =,b =. 3.曲线2x y =与曲线x a y ln =(0≠a )相切,则a =.
4.已知一个长方形的长x 以s m /2.0的速率增加,宽y 以s m /3.0的速率增加,当m x 12=,m y 5=时,其面积增加的速率为.
5.设x x f 2cos )(=,则)0()2(n f =.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.当],0[π∈x 时,0)(≠x f ,且x x f x f sin )()(+=+π,则在),(∞+-∞内)(x f 是().
(A )以π为周期的函数 (B )以π2为周期的函数 (C )以π3为周期的函数 (D )不是周期函数
2.数列}{n x 收敛于实数a 等价于(D ).
(A )对任给0>ε,在),(εε+-a a 内有数列的无穷多项
(B )对任给0>ε,在),(εε+-a a 内有数列的有穷多项
(C )对任给0>ε,在),(εε+-a a 外有数列的无穷多项
(D )对任给0>ε,在),(εε+-a a 外有数列的有穷多项
3.若0lim =∞
→n n n y x ,则(D ). (A )0lim =∞→n n x 且0lim =∞
→n n y (B )0lim =∞→n n x 或0lim =∞→n n y (C )当0lim =∞→n n x 时,}{n y 有界
(D )当∞=∞→n n x lim 时,0lim =∞→n n y 4.若1sin )
(lim 0=→x
x x ϕ,则当0→x 时,函数)(x ϕ与()是等价无穷小. (A ))1ln(x - (B )||sin x (C )||cos 1x - (D )121-+x
5.设函数e)
)(3(e e )(3
---=x x x f x ,则(). (A )3=x 及e =x 都是)(x f 的第一类间断点 (B )3=x 及e =x 都是)(x f 的第二类间断点 (C )3=x 是)(x f 的第一类间断点,e =x 是)(x f 的第二类间断点 (D )3=x 是)(x f 的第二类间断点,e =x 是)(x f 的第一类间断点
三、计算题(1)(每小题6分,共30分)
1.若()023lim
2
=+++++∞→b ax x x x ,求常数a ,b . 2.当a ,b 取何值时,函数1
lim )(2212+++=+∞→n n n x bx ax x x f 在),(∞+-∞内连续. 3.已知)(x f 在点a x =处可导,且0)(≠a f ,求n
n a f n a f ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+∞→)()1(lim . 4.试求)(cos d d lim 0x f x
x +→,其中)(x f 在1=x 处具有连续的一阶导数,且2)1(-='f .
5.求由方程x x y xy =-+)ln()sin(所确定的隐函数)(x y 在0=x 的导数)0(y '.
四、计算题(2)(每小题8分,共16分)
1.设⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2 ,161221 ,1 ,21)(32x x x x x x x f .(1)写出)(x f 的反函数)(x g 的表达式;(2)问)(x g 是否有不可导点,若有指出这些点.
2.设函数x x x f x 2cos e 2tan ln )(-+=,求⎪⎭
⎫ ⎝⎛''2πf . 五、应用题(本题满分8分)
设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中价格)20,0(∈P ,Q 为需求量,(1)求需求量对价格的弹性||d E =η;(2)推导)1(d d η-=Q P R (其中R 为收益),并用弹性η说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.
六、证明题(每小题8分,共16分)
1.证明数列}{n x 收敛,其中11=x ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+n n n x x x 3211, ,2,1=n ,并求n n x ∞
→lim . 2.设函数)(x f 在],[b a 上连续,b d c a <<<,且)()(d f c f k +=,证明:
),(b a ∈∃ξ,使得)(2ξf k =.。