第三节长期趋势模型预测学习资料

(二)模型参数的估计方法
设二元线性回归模型为： y ˆt b0b1x1b2x2
用最小平方法求参数。
ynb0b1 x1b2 x2
x1yb0 x1b1 x12b2 x1x2
x2yb0 x2b1
x1x2b2 x22
［公式10—17］
b0
Db D
0
，
b1
Db D
1
，
b
2
Db 2 D
如果回归系数的符号与实际不符，如例10-11中 的正确b1性,b，2<必0须，重那新么构，建就模有型理。由怀疑所求模型的
(三)注意样本资料的结构变形
回归模型的选择是根据样本资料确定的， 模型中的参数也是根据样本资料计算出来 的。因此，回归模型只能说明变量在一定 范围内的因果关系。超过这一范围后，不 仅模型的函数形式可能发生变化，如果由 直线变为曲线，模型中的参数值也可能不 再符合实际。如果这时仍以原模型进行外 推预测就会出现较大偏差，甚至得出完全 错误的结论。
yˆ 4.5932 0.7927 236 191.67(亿元)
二、多元回归预测 (一)多元线性回归模型的建立 一元线性预测研究的是因变量与一个自 变量之间的相互关系，因变量的值只受一个 自变量的影响。但是在现实生活中，仅仅只 受一个因素变动影响的现象几乎没有。通常， 一个现象的变化总是诸多因素共同作用的结 果。由多个自变量来推测因变量未来状态， 这便是多元线性回归预测。
［R 例y 1102—y62 9］3 y 3
2409 6
S y 5 2 y 6 3 y 7 2890
6
6
401 . 5 481 . 67
返回2
T y 9 2 y 10 3 y 11 5243 873 . 83
6
6
2 R T 2 S 2 401 . 5 873 . 83 2 481 . 67
先按标准方程组的要求计算出有关数据，
将计算结果代入方程组，得：
78910b016b0118.5b2 1349176b00286b1231.03b2 163.8418.5b031.03b137.19b2
求解b0，b1，b2：
D 6909 .4，Db0 215867 .2，Db1 838，Db2 404114
住宅面积x1和医疗卫生机构建筑面积先存在密切的 复相关关系（其统计资料见表10-11）。
要求：建立二元线性回归方程，用最小平方法求估 计参数，并预测当竣工的城镇住宅面积为2600万平 方米、医疗卫生建筑面积为250万平方米时的卫生陶 瓷需求量。
设二元线性回归方程为:
y ˆt b0b1x1b2x2
其中： b0D D 0， bb1D D 1， bb2D D 2b
3
3
yˆ t 493 . 48 64 . 49 t 7 . 52 t 2
用这一模型得
2012 年出口额的预测值为：
yˆ 13 493 . 48 64 . 49 (11 2 ) 9 .7 5 (11 2 ) 2 1302 . 86（万元） 2013 年出口额的预测值为：
y 14 493 . 48 64 . 49 (11 3 ) 9 . 75 (11 3 ) 2 1501 . 63 ( 万元）
b0
Db0 D
215867 .2 6909 .4
31.2425
b1
Db1 D
838 6909 .4
0.12128
b2
Db2 D
404114 6909 .4
58.4876
yˆ 31.2425 0.12128 x1 58.4876 x2 yˆ 31.2425 0.12128 26 58.4876 2.5 118 .1（3 万件）
n
D x1 x2
x1 x12
x1x2
x2
x1x2 x22
y Db0 x1 y
x2 y
x1 x12
x1x2
x2
x1x2 x22
n
Db1 x1 x2
y x1y x2y
x2
x1x2 x22
n
Db2 x1 x2
x1 x12
x1x2
y x1y x2y
(三)二元线性回归预测模型的运用 ［例10—11］设某地区卫生陶瓷需求量y与城镇竣工
二次曲线预测模型有三个参数，Biblioteka Baidu此需确 定首、中、尾三个点。值得注意的是，三点间 距应相等。若时间数列为偶数时，通常删去最 早一期数据。每一个点是取三项还是五项，完
N来确定。当时间数列 N很大时，一般取五项平均；当时间数
N不大时，一般取三项平均。
(一)直线趋势预测模型 直线趋势预测模型为：
yˆtk abt
(二)模型参数的估计方法 在最小平方法下，求参数b０及b１的公式为：
b0
n
y
b1
x
n
b1
n xy x y
n x 2 x 2
［公式10—16］
(三) [例10—10］某地2001-2010年10年中居民消费 支出和居民收入情况见表10-10，若2011年居民 收入为236亿元，试预测2011年居民消费支出额。
第三节 长期趋势模型预测
一、最小平方法 二、取点法
一、最小平方法
(一)直线趋势预测模型
直线趋势预测模型为：
yˆt a bt 式中，a, b为参数，可由下式估计：
a y bt
b
nty t y
nt2 t2
［公式10—10］
［例10—6］ 某地区2002-2010年生产总值的 资料见表10-3
6
6
那么 b T R 97 36 .83 7 .52 N 3 11 3
则 a R 7 b 36 .83 7 7 .52 19 .28
3
3
yˆ t k 19 .28 7 .52 t 用这一模型得 2005 年、2006 年的预测财政收入为：
yˆ12 19 .28 7 .52 (11 1) 109 .52（亿元） yˆ13 19 .28 7 .52 (11 2 ) 117 .04（亿元）
［例10—8］
某地区财政收入的资料见表10-7，试用取点 法（三项加权平均）配合直线预测模型，预测 2011年、2013年的财政收入。
R y1 2 y 2 3 y 3 29 2 36 3 40 36 .83
6
6
T y N 1 2 y N 2 3 y N 3 85 2 94 3 103 97
yˆt1 301.238 44.03（3 4 1） 3.88（1 4 1）2 618.（ 4 万元）
二、取点法
取点预测法的具体做法是：根据预测模型 参数的多少，在时间数列的首、尾或者首、中、 尾分别取三项或五项数值，从远到近用1，2， 3或1，2，3，4，5加权平均，这样来确定两个 点，或者三个点，通过这两点或三点来估计模 型的参数。直线预测模型由于只需要确定两个 参数，因此确定、尾两点即可。
一般来说，多元回归预测比一元回归预 测要可靠，但在多元回归模型中，自变量 个数越多，求解方程参数越困难。为了简 化计算而不致影响预测的可靠性，可以分 别计算各自变量与因变量的相关关系；合 理筛选自变量，保留与因变量联系最密切 的自变量，建立回归模型。
多元线性回归模型可以通过如下方式描 述：
y b 0 b 1 x 1 b 2 x 2 b p x p u
(四)注意因变量的滞后变动
实践中，因变量与自变量的变动不是同时 发生的，两者之间存在或长或短的时间差， 一般是自变量变动在先，因变量变动在后。 例如，存贷利率变化后，间隔一段时间才 有储蓄额、基本建设投资额的变化。因此， 进行回归预测还要考虑现象变动的时间差。
(五)注意变量间的非线性关系
线性回归分析法在预测中有着很重要的应 用，但客观事物之间不一定都呈线性关系， 在许多情况下，非线性回归模型更为合适。 一些非线性形式的回归模型经过适当变换， 可以成为线性形式。
要求：建立直线趋势预测模型，用最 小平方法求解参数，并预测该地区2011 年的生产总值。
设直线趋势预测模型为
：
yˆ t a bt
经计算， n 9 , t 45 , t 2 285 , y 613 , ty 3328
用最小平方法估计：
b
n ty t y
n t 2 t 2
(二)二次曲线趋势预测模型 二次曲线趋势预测模型为：
yˆt abtct2 用取点法求a，b，c的计算公式为：
a
R
7 b 6c 3
b
T R N 3
3 N 5 c ( 三项加权平均 3
)
c
2 R T 2 S N 3 2
［公式10—14］
a
R
11 3
b 15 c
b
T R N 5
3N 3
7
c ( 五项加权平均
)
c
2 R T 2 S N 5 2
［公式10—15］
式中；S为数列中间三项或者五项的加权算术平均数；
其他符号同前。
［例10—9］
某进口公司出口额的资料见表10-8试据 此用取点法建立二次抛物线模型，预测 2012年和2013年的出口额。
用三项加权平均法计算的结果列于表10-9中。
［例10—7］某地区2002-2010年农产品 收购额资料见表10-4.
要求：建立二次抛物线趋势预测模型 2011年该地区农产品收购额。
首先，要分析二次差是否大致相等。经列表 （见表10-5）计算分析动态数列的二次差 大致相等，其发展的基本趋势属二次抛物线 形式。
其次，列计算表（见表10-6），求出a,b,c参 数，列出趋势方程。
即陶瓷需求量为 118 .13万件。
三、回归预测应注意的问题 (一)对预测对象进行定性分析 (二)对回归系数进行分析 (三)注意样本资料的结构变形 (四)注意因变量的滞后变动 (五)注意变量间的非线性关系
(一)对预测对象进行定性分析
建立方程前，首先应对预测对象进行定性 分析，以判断现象之间是否确实存在因果 关系，如定性分析出错，没有因果关系， 则建立的模型就失去了意义。
求参数a，b的计算公式为：
a
b
R 7b 3 ( 三项加权平均
T R N 3
)
a
b
R 11 3
T R N 5
b ( 五项加权平均
)
［公式10—12］ ［公式10—13］
式中：N为时间数列总项数（假定为奇数）；R为数 列初期三项或五项的加权算术平均数；T为数列近 期三项或五项的加权算术平均数。其中：
a
2944 708 60 20822 9 708 602
835032 2772
301.238
b 2642 44.033 60
c
9
20822 2944 9 708 602
60
10758 2772
3.881
yˆt 301.238 44.033t 3.881t 2
2005年农产品收购额的预测值为：
第四节 回归模型预测
一、一元线性回归模型预测 二、多元回归预测 三、回归预测应注意的问题
一、一元线性回归模型预测
(一)一元线性回归模型的建立 设x和y为两个相关变量，其中x为自变量， y为因变量。若通过样本数据判定两变量间存 在线性相关关系，则其一元线性回归模型为：
yb0b1xu
式中：u为随机干扰项；b0,b1为待定参数。
9 3328 45 613 9 285 45 2
4 .38
a y b t 613 4 .38 45 46 .21
n
n9
9
故实际预测模型为：
yˆ t k 46 .21 4 .38 t 所以， 2005 年该地区生产总值的预
测值为：
yˆ t 1 46 .21 4 .38 (9 1) 90 .0（1 亿元）
可以预测模型为
yˆ b0 b1x
b1
n xy x y n x2 x 2
10 116557 1114 929 1014058211142
0.7927
b0 y b1x 92.9 0.7927111.4 4.5932 yˆ 4.5932 0.7927x
所以，2005年消费支出额点预测值为：
c N 3 2
11 3 2
9 . 75
b T R 3 N 5 c 873 . 83 401 . 5 3 11 5 9 . 75 64 . 49
N 3
3
11 3
3
a R 7 b 6 c 401 . 5 7 ( 64 . 49 ) 6 9 . 75 493 . 48
(二)对回归系数进行分析
x如1回例,x归12,0模…-型1x1p中对中的因的回变模归量型系y：数的b影1响,b方2,向…和bp影表响示程自度变，量
b1住表=宅 明0.面 卫12积 生1的 陶28增瓷>加需0而求,它增量表加也明；随卫b医生2疗=陶卫5瓷8生.需4机8求构7量6建随>筑0竣面，工积它 的增加而增加。本例中，这种解释符合实际意义。