4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴

d2 y g y qC
dx2 H FH
这个微分方程的解答可用双曲线函数表示为
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y Ach
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g
x Bsh FH
g x qC
FH
g
y Ach g x B sh g x qC
FH
FH
g
两个常数A和B，可由边界条件求出如下：
在x=0处，y=0，得
A qC
g
在x=0处，dy =0，得B=0。
dx
因此
y

qC
g
c h
g
FH
x
1
在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线
(3)均匀径向荷载作(推导略) 三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。
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F
DK
K1
2
A
H K3
B
FRA
压力线（一种特殊
FRB
的索多边形）
(1)确定各截面合力的大小和方向
由力多边形的射线来确定
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FRA
FP1
极点O
12 23 FP2
FRB
FP3
自行封闭 的力多边 形
(2)确定各截面合力的作用线
FP1
FP2
FP3
12 G C 23
(1)求任一拱截面的内力
(2)选择合理拱轴
由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。 因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线 形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯 矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强 度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR 作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应 不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。
在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同荷载的 作用，而对应不同的荷载就有不同的合理轴线。通 常，是以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。 这样，在一般荷载作用下，拱仍会产生不大的弯矩。
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4.3.2 三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为 合理拱轴线。
2 、合理拱轴的数解法
由 M M 0 FH y 0
得
M0 y
FH
上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴
线y与相当简支梁弯矩图的竖标M 0成正比。
d2M 0 q(x) dx 2
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d2 y dx 2


q(x) FH
用下拱的合理轴线的 微分方程
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d2 y q(x)

dx 2
FH
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应
该取正号，即
d2 y q(xΒιβλιοθήκη Baidu dx 2 FH
将q = qC+γ y代入上式，得
4 f x(l x) l2
(4-9)
三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为
一抛物线。在方程(4-9)中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨
比的任一抛物线都是合理拱轴。
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(2)竖向连续分布荷载
【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试
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(1)满跨竖向均布荷载
【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载， 试求其合理拱轴线。
q
y
C
x
f
q
解:
A l/2
B
A
x
l/2
ql/2
l
B ql/2
M 0 q x(l x) 2
FH

M
0 C
f
ql 2
8f
y M0 FH
F
D K2
K1 A
H K3
B
FRA
FP1
极点
12 23 FP2
O
FRB
FP3
FRA
压力线（一种特殊
FRB
的索多边形）
自行封闭 的力多边 形
三铰拱各截面合力的作用线可由索多边形中的各索线
来确定,当某段内竖向力连续分布时，该段的压力线为
曲线。
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3、压力线的用途
FQ D FRD sin D
FN D FRD cos D
合力FRD
D rD
MD

DD
FND FQD
rD为由截面形心到合力FRD的 垂直距离；aD为合力FRD与D 点拱轴切线之间的夹角。
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2、压力线的图解法
FP1
FP2
FP3
12 G C 23
4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴
4.3.1 压力线
1、压力线的意义
拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱
各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱
内压力经过的路线。
如果三铰拱中，某截面D左边(或右边)
所有外力的合力FRD已经确定，则由 此合力便可分解为该截面形心上的三
个内力
M D FRD rD
求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱
所受的竖向分布荷载为q = qC+γ y。
qC
解：将式 y M 0 / FH 对 x微分两次，得
qC+g f
C
f
x
d2 y
1
d2M 0
dx 2 FH dx 2
A
l/2
B
l/2
用q(x)表示沿水平线单 位长度的荷载值，则
y
这就是在竖向荷载作