第五章定积分的应用01284

第一节 定积分的微元法
在第十六章中，利用定积分表示曲边梯形的面积、变 速直线运动的路程这些量时，均采用了分割、近似、求和、 取极限四个步骤，建立了所求量的积分式.以求曲边梯形面 积为例子，简单回顾一下求解过程.
设函数y f (x)在区间a,b上连续,且f (x) 0,求以曲线
y f (x)为曲边,以a,b为底的曲边梯形的面积A.
区间为-2,2,其面积微元为dA
y 4 y 4 x2
(4 x2 )dx故所求图形面积为
A
2
(4 x2 )dx 2
2 (4 x2 )dx 32
2
0
3
2 O
2
x
图5-4 例1示意图
例2 计算由两条抛物线y x2与y2 x所围成的平面图形的面积.
解
如图5
5所示,
取x为积分变量.解方程组
第五章 定积分的应用
第一节 第二节 第三节 第四节
定积分的微元法 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用 定积分在经济问题中的简单应用
本章用定积分方法分析和解决一些实际问题.通过一些 实际例子，不仅可以掌握某些量的计算公式，而且更重要 的是学会运用微分元法将一个未知量表达成定积分的分析 方法.
b
面积A f (x)dx a (2)由上,下两条曲线y f1(x), y f2 (x), f2 (x) f1(x) 及x a, x b, (a b)所围成的图形(见图5-2), 其面积微 b 元dA f2 (x) f1(x), 面面积A f2 (x) f1(x)dx a
解
如图5
6所示, 取y为积分变量比较简便.解方程组
x
1 2
y2
得交点பைடு நூலகம்2, 2)与(8, 4),所以积
x 4 y
分区间为2, 4.其面积元素为
dA
( y
4)
y2 2
dy,故所求图
形面积为
A
4 ( y 2
4)
y2 2
dy
y2 2x
(8, 4)
y x4
O (2, 2)
1 2
y2
4y
y y
x2 2 x
得交点为(0,0)与(1,1),故积分
y
区间为0,1,其面积微元为dA
( x x2 )dx.(等式右端为什么不
y2 x
能表示为(x2 - x )dx ?)因而所求
y x2
图形面积为
A
1
(
0
x
x2 )dx
2 3
3
x2
1 3
1
x
3
0
1 3
O
x
图5-5 例2示意图
例3 求由抛物线y2 2x与直线y x 4所围成的平面图形的面积.
答案
课堂练习题
1.求由曲线y = ln x, y轴和直线 y = ln a,y = ln b b > a > 0
所围图形的面积.
答案
2.曲线r = 2a cos所围图形面积S为多少?
答案
第二节 定积分在几何中的应用
一、平面图形的面积 1. 在直角坐标系下的计算
(1)根据第一节的分析可知,由曲线y f (x) 0, x a, x b, (a b)及x轴所围成的图形(见图5 1),其面积微元dA f (x)dx
1 6
4
y
3
2
18
图5-6 例3示意图
y
例4 求摆线
x
y
a(t sin t) a(1 cos t)
,
(0
t
2
)
的第一拱与x轴所围成的图形
面积(见图5-7)
解 以x为积分变量,当t 0时, x 0;
当t 2时,x 2.一进应用积分
的换元法得所求面积
O
2 a x
图5-7 例4示意图
2 a
b
元dA g2 ( y) g1( y),面积A g2 ( y) g1( y) c
例1 求抛物线y 4 x2与x轴所围成的平面图形面积.
解 如图17 4所示,取积分变量为x,为了确定平面图形所在范围,
先求抛物线y
4
x2与x轴的交点.为此解方程组
y
4
x2
y 0
交点为(2, 0)与(2, 0), 可知积分
2
A ydx a(1 cost)d a(t sin t)
O a x x dx b x 图5 1 微元法图形
b
(2)将上式右端在区间a,b上积分,得A f (x)dx一般地, a
若所求量A与x变化区间 a, b 有关.且关于区间 a, b 具有可加性, 在a,b上的任意一个小区间x, x dx上找出所求量的一微小量
的近似值dA f (x)dx,然后把它作为被积表达式,从而得到所求
y y f2(x)
y d x g1( y) y dy x g2 ( y)
a
x
x dx b x
dA y
O
y f1(x)
c
O
x
5-2 微元法求面积
5-3 微元法求面积
(3)由左右两条曲线x g1( y), x g2 ( y),g2 ( y) g1( y)
及y cy d,(c d )所围成的的图形(见图17 3),其面积微
n
Ai
n
f
(i )xi
i1
i1
(4)取极限 = max{x1,x2, ,xn},于是
n
b
A
lim
0 i1
f
(i )xi
f (x)dx
a
在上述四步中, 若从任意分割后的若干子区间上任取一个
代表来讨论,这个代表区间可记为x, x dx,而点i可以用x来
代替,那么(2)中的近似形式f (i )xi可表示为f (x)dx,它和(4)中
b
量A的积分表达式A f (x)xdx a
这种方法叫做微元法(或叫做元素法),dA f (x)xdx称为所求 量A的微元或元素.
思考题 1.使用定积分微元法要满足哪些条件?
答案
2.请用定积分表示由曲线y= 1 , y x, x 2所围图形的面积S. x 答案
3.应用微元法解决实际问题,最重要的一步是什么?
b
的定积分 f (x)dx被积表达式相同,从而可以把上述四步简化 a
为两步.
y
(1)选取积分变量x a,b,在
y f (x)
a,b上任取一代表性区间x, x dx
如图17 1所示,区间x, x dx上的小
dA
曲边梯形的面积A可近似以数f (x)为
高, dx为底的小矩形面积f (x)dx,即 A f (x)dx
(1)分割 将a,b任意分成n个子区间xi1, xi ,(i 1, 2, , n),相
应地将曲边梯形分成n个小曲边梯形;
(2)近似 在每一个子区间 xi1, xi 上任取一点i ,以f (i )和xi
为边长的小矩形的面积近似替代相应的小曲边梯形的面积Ai ,
即Ai f (i )xi
(3)求和
曲边梯形面积A的近似值为A