第七章假设检验
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❖ 人们对假设H0作出判断的依据是在一次实验中看小 概率事件A是否出现，而小概率事件A是否出现又是 由一次抽样的结果来判断的，由于抽样的随机性， 人们无论拒绝H0，还是接受H0，都不会百分之百正 确，有可能犯以下两类错误：
3
❖ 例2 为了研究一种新化肥对种植小麦的效力，选用 13块条件相同面积相等的土地进行试验，各块产量 如下(单位：公斤)：
❖ 施肥的：34，35，30，33，34，32； ❖ 未施肥的：29，27，32，28，32，31，31. ❖ 问这种化肥对小麦产量是否有显著影响？ ❖ 用X与Y分别表示在一块土地上施肥与未施肥情况下
12
❖ 如上所述，在假设检验中要指定一个很小的正数α ， 把概率不超过α的小概率事件A认为是实际不可能 事件.这个数α称为显著性水平.
❖ 对于各种不同的问题，显著性水平α可以选取不一 样.为查表方便起见，常选取α=0.01，0.05，0.01
等等.
13Leabharlann Baidu
第七章 假设检验
❖ 7.1 假设检验的基本概念 ❖ 7.1.3 假设检验中的两类错误
概率论与数理统 计
第七章 假设检验
1
第七章 假设检验
❖ 7.1 假设检验的基本概念 ❖ 7.1.1 问题的提出 ❖ 在前面的6.1.1中，讨论过对总体分布中的某些未知
参数或分布的形式作某种假设，然后通过抽取的样 本，对假设的正确性进行判断的问题，称为假设检 验问题. ❖ 同参数估计一样，假设检验是数理统计的主要内容 之一.在实际中，有很多这样的问题需要人们去解决.
事件A的概率α很小，则在大量的重复试验中，它
出现的频率应该很小.
❖ 例如α=0.001，则大约在1000次试验中，事件A才
出现一次.因此，概率很小的事件在一次实验中实际 上不可能出现.人们称这样的事件为实际不可能事件.
❖ 在概率统计的应用中，人们总是根据所研究的具体
问题，规定一个界限α(0<α<1)，把概率不超过α
小(μ麦2,的σ产22量)分.如布果，已那知么它问们题分就别是服检从验N假(设μ“1,μσ11=2)μ与2”
是否成立？
4
❖ 例3 在齿轮加工中，齿轮的径向综合误差X是一个随 机变量.在6.2节例1中给出了测得的X的200个数据并 作出了直方图，根据直方图，就可估计X服从正态 分布.判断这个估计是否正确的问题就是检验假设 “X服从正态分布”是否成立的问题.
6
❖ 例1和例2这样一类假设是在总体分布类型已知的情 况下，仅仅涉及到未知参数的统计假设，称为参数 假设.
❖ 例3这样一类假设是在未知总体分布类型的情况下， 对总体分布类型或者总体分布的某些特性提出的统 计假设，称为非参数假设.
❖ 在例1~3中，只提出一个统计假设，而且目的也仅 仅是判断这一个统计假设是否成立，并不同时研究 其它统计假设，这类假设检验又称为显著性检验.
5
❖ 这些例子所代表的问题是很广泛的，其共同点就是 先对总体分布中某些参数或对总体分布的类型作某 种假设，然后根据抽取的样本值作出接受还是拒绝 所作假设的结论.
❖ 今后，把对总体的分布所作的假设用H0表示，并称 为原假设或零假设.
❖ 在对假设H0的检验中，需要从样本出发，建立一个 法则，一旦样本值确定后，利用所制定的法则，即 可作出是接受还是拒绝H0的结论，这种法则有时就 称为一个检验.
❖ 有两个假设的检验问题的一般提法是，在给定的备 择那就假意设味H1着下接对受原备假择设假H0设作H出1，判否断则，就若接拒受绝原原假假设设HH00.， 实假际设H上1这中类作假出设拒检绝验哪问一题个就接是受要哪在一原个假的设判H断0.和备择
❖ 由于本书不考虑评价检验好坏的问题，对这类假设 检验问题，不予讨论，也就是说只研究显著性检验 问题.
❖ 本章将讨论参数假设与非参数假设的一些显著性检 验方法.
7
❖ 对假设检验问题进一步深入讨论时，往往需要提出 两个甚至多个统计假设，而且假设检验的目的是需 要判断多个假设中哪一个是正确的.
❖ 例如，为了评价一个检验的好坏，除了要考虑原假 设H1H称0外为， 备还择需假要设同. 时考虑另外一个备选的假设H1，
11
❖ 如果事件A不出现，那么表明原假设H0与试验结果 不矛盾，不能拒绝H0，当然人们也没有理由肯定H0 是真实的.
❖ 这时，需要通过再次试验或其它方法作进一步研究， 不过，因为给出假设H0是经过周密的调查和研究才 作出的，是有一定依据的，所以对原假设需要加以 保护，也就是说拒绝它要慎重；而当不拒绝它时， 一般实际上是接受了它，除非进一步的研究表明应 该拒绝它.
2
❖ 例1 某药厂生产一种抗菌素，已知在正常生产情况 下，每瓶抗菌素的某项主要指标服从均值为23.0的 正态分布.某日开工后，测得5瓶的数据如下： 22.3，21.5，22.0，21.8，21.4，
❖ 问该日生产是否正常？ ❖ 用X表示该日生产的一瓶抗菌素的某项主要指标.如
果已知X~N(μ,σ2)随机变量服从分布，那么问题 就是要检验假设“μ=23”是否成立.
14
❖ 从上面的讨论可以看出，处理假设检验问题的推理 方法类似于数学中的反证法，即假设命题H0成立， 如果推出了矛盾，则否定命题H0.
❖ 但是，这里又区别于数学中的反证法，因为在作出 拒绝的结论时，所依据的矛盾并不是形式逻辑下绝 对的矛盾，而是基于小概率原理，即认为在一次实 验中小概率事件A实际不可能出现.
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第七章 假设检验
❖ 7.1 假设检验的基本概念 ❖ 7.1.2 假设检验的基本思想 ❖ 根据贝努里大数定律，在大量的重复试验中，某事
件A出现的频率依概率收敛事件A的概率，因而若某
事件A的概率α很小，则在大量的重复试验中，它
出现的频率应该很小.
9
❖ 根据贝努里大数定律，在大量的重复试验中，某事 件A出现的频率依概率收敛事件A的概率，因而若某
的事件看成是实际不可能事件，认为这样的事件一 次实验中是不会出现的.这就是所谓的“小概率原 理”.
10
❖ 假设检验的基本思想是以小概率原理作为拒绝假设 H0的依据.
❖ 具体一点说，设有某个假设H0要检验，先假设H0是 正确的，在此假定下，构造一个概率不超过
α(0<α<1)的小概率事件A.
❖ 如果经过一次试验(一次抽样)，事件A出现了，那 么人们自然怀疑假设H0的正确性，因而拒绝(否 定)H0.
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❖ 例2 为了研究一种新化肥对种植小麦的效力，选用 13块条件相同面积相等的土地进行试验，各块产量 如下(单位：公斤)：
❖ 施肥的：34，35，30，33，34，32； ❖ 未施肥的：29，27，32，28，32，31，31. ❖ 问这种化肥对小麦产量是否有显著影响？ ❖ 用X与Y分别表示在一块土地上施肥与未施肥情况下
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❖ 如上所述，在假设检验中要指定一个很小的正数α ， 把概率不超过α的小概率事件A认为是实际不可能 事件.这个数α称为显著性水平.
❖ 对于各种不同的问题，显著性水平α可以选取不一 样.为查表方便起见，常选取α=0.01，0.05，0.01
等等.
13Leabharlann Baidu
第七章 假设检验
❖ 7.1 假设检验的基本概念 ❖ 7.1.3 假设检验中的两类错误
概率论与数理统 计
第七章 假设检验
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第七章 假设检验
❖ 7.1 假设检验的基本概念 ❖ 7.1.1 问题的提出 ❖ 在前面的6.1.1中，讨论过对总体分布中的某些未知
参数或分布的形式作某种假设，然后通过抽取的样 本，对假设的正确性进行判断的问题，称为假设检 验问题. ❖ 同参数估计一样，假设检验是数理统计的主要内容 之一.在实际中，有很多这样的问题需要人们去解决.
事件A的概率α很小，则在大量的重复试验中，它
出现的频率应该很小.
❖ 例如α=0.001，则大约在1000次试验中，事件A才
出现一次.因此，概率很小的事件在一次实验中实际 上不可能出现.人们称这样的事件为实际不可能事件.
❖ 在概率统计的应用中，人们总是根据所研究的具体
问题，规定一个界限α(0<α<1)，把概率不超过α
小(μ麦2,的σ产22量)分.如布果，已那知么它问们题分就别是服检从验N假(设μ“1,μσ11=2)μ与2”
是否成立？
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❖ 例3 在齿轮加工中，齿轮的径向综合误差X是一个随 机变量.在6.2节例1中给出了测得的X的200个数据并 作出了直方图，根据直方图，就可估计X服从正态 分布.判断这个估计是否正确的问题就是检验假设 “X服从正态分布”是否成立的问题.
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❖ 例1和例2这样一类假设是在总体分布类型已知的情 况下，仅仅涉及到未知参数的统计假设，称为参数 假设.
❖ 例3这样一类假设是在未知总体分布类型的情况下， 对总体分布类型或者总体分布的某些特性提出的统 计假设，称为非参数假设.
❖ 在例1~3中，只提出一个统计假设，而且目的也仅 仅是判断这一个统计假设是否成立，并不同时研究 其它统计假设，这类假设检验又称为显著性检验.
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❖ 这些例子所代表的问题是很广泛的，其共同点就是 先对总体分布中某些参数或对总体分布的类型作某 种假设，然后根据抽取的样本值作出接受还是拒绝 所作假设的结论.
❖ 今后，把对总体的分布所作的假设用H0表示，并称 为原假设或零假设.
❖ 在对假设H0的检验中，需要从样本出发，建立一个 法则，一旦样本值确定后，利用所制定的法则，即 可作出是接受还是拒绝H0的结论，这种法则有时就 称为一个检验.
❖ 有两个假设的检验问题的一般提法是，在给定的备 择那就假意设味H1着下接对受原备假择设假H0设作H出1，判否断则，就若接拒受绝原原假假设设HH00.， 实假际设H上1这中类作假出设拒检绝验哪问一题个就接是受要哪在一原个假的设判H断0.和备择
❖ 由于本书不考虑评价检验好坏的问题，对这类假设 检验问题，不予讨论，也就是说只研究显著性检验 问题.
❖ 本章将讨论参数假设与非参数假设的一些显著性检 验方法.
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❖ 对假设检验问题进一步深入讨论时，往往需要提出 两个甚至多个统计假设，而且假设检验的目的是需 要判断多个假设中哪一个是正确的.
❖ 例如，为了评价一个检验的好坏，除了要考虑原假 设H1H称0外为， 备还择需假要设同. 时考虑另外一个备选的假设H1，
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❖ 如果事件A不出现，那么表明原假设H0与试验结果 不矛盾，不能拒绝H0，当然人们也没有理由肯定H0 是真实的.
❖ 这时，需要通过再次试验或其它方法作进一步研究， 不过，因为给出假设H0是经过周密的调查和研究才 作出的，是有一定依据的，所以对原假设需要加以 保护，也就是说拒绝它要慎重；而当不拒绝它时， 一般实际上是接受了它，除非进一步的研究表明应 该拒绝它.
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❖ 例1 某药厂生产一种抗菌素，已知在正常生产情况 下，每瓶抗菌素的某项主要指标服从均值为23.0的 正态分布.某日开工后，测得5瓶的数据如下： 22.3，21.5，22.0，21.8，21.4，
❖ 问该日生产是否正常？ ❖ 用X表示该日生产的一瓶抗菌素的某项主要指标.如
果已知X~N(μ,σ2)随机变量服从分布，那么问题 就是要检验假设“μ=23”是否成立.
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❖ 从上面的讨论可以看出，处理假设检验问题的推理 方法类似于数学中的反证法，即假设命题H0成立， 如果推出了矛盾，则否定命题H0.
❖ 但是，这里又区别于数学中的反证法，因为在作出 拒绝的结论时，所依据的矛盾并不是形式逻辑下绝 对的矛盾，而是基于小概率原理，即认为在一次实 验中小概率事件A实际不可能出现.
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第七章 假设检验
❖ 7.1 假设检验的基本概念 ❖ 7.1.2 假设检验的基本思想 ❖ 根据贝努里大数定律，在大量的重复试验中，某事
件A出现的频率依概率收敛事件A的概率，因而若某
事件A的概率α很小，则在大量的重复试验中，它
出现的频率应该很小.
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❖ 根据贝努里大数定律，在大量的重复试验中，某事 件A出现的频率依概率收敛事件A的概率，因而若某
的事件看成是实际不可能事件，认为这样的事件一 次实验中是不会出现的.这就是所谓的“小概率原 理”.
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❖ 假设检验的基本思想是以小概率原理作为拒绝假设 H0的依据.
❖ 具体一点说，设有某个假设H0要检验，先假设H0是 正确的，在此假定下，构造一个概率不超过
α(0<α<1)的小概率事件A.
❖ 如果经过一次试验(一次抽样)，事件A出现了，那 么人们自然怀疑假设H0的正确性，因而拒绝(否 定)H0.