允许缺货的经济订购批量模型

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§6.5 允许缺货的经济订购批量模型
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Q 2* 2Dc3 c1 c 2 c1c 2 2 4900 500 1000+2000 85个 1000 2000
最大缺货量为S*
c1 1000 Q 2* 85 28个 c1 c2 3000
Q 2* S*
2Q 2*
2
c1
D c3 + c2 Q 2* 2Q 2*
2
S*
2
85 28
2 85
2
28 2000=57158.82元 4900 1000 500+ 85 2 85
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习题：
• 1.假设某工厂需要外购某部件，年需求为4800件， 单价为40元，每次的订购费用为350元，每个部件 存储一年的费用为每个部件的价格的25%。又假设 每年有250个工作日。该部件需要提前5天订货（即 订货后5天可送货到厂），允许缺货，每个部件缺 货一年的缺货费为25元，请求出： • （1）最优订货批量；最大缺货量； • （2）再订货点； • （3）两次订货所间隔的时间；同期中缺货的时间 ；不缺货的时间 • （4）每年订货、存储与缺货的总费用；
Q d 1 c1c 2 p 2 4900 500 1000+2000 121.24 121个 4900 1 1000 2000 9800
d 4900 c1 1 1000 1 p * 9800 * 最优缺货量为S Q 121.24 20个 c1 c2 1000 2000 d 4900 2Dc3 c1c 2 1 2 4900 1000 500 2000 1 p 9800 一年的最少费用为 40414.52元 c1 c2 1000 2000
§6.6 允许缺货的经济生产批量模型
此模型与经济生产批量模型相比，放宽了假设条件：允许 缺货。与允许缺货的经济订货批量模型相比，相差的只是：补充 不是靠订货，而是靠生产逐步补充，因此，补充数量不能同时到 位。开始生产时，一部分产品满足需要，剩余产品作为存贮。生 产停止时，靠存贮量来满足需要。这种模型的存贮状态图为 ：
1 d 1 d [Q (1 ) S ] V [Q(1 ) s][t1 t2 ] 2 p 2 p 平均存储量= = V S t1 t2 t3 t4
d [Q (1 ) S ]2 p = d 2Q (1 ) p
§6.6 允许缺货的经济生产批量模型
同样，我们知道在 t3和t4期间的平均缺货量为S/2,在t1和t2期间的缺货量都 为零，可求得 平均缺货量=一个周期的平均缺货量 =周期内总缺货量/周期时间 =周期内不缺货时总缺货量+周期内缺货时总缺货量/周期时间 将相关公式代入得
* 1
每周订货次数 T
250 250 3.57天 * D/Q1 4900/70
D 4900 每年订货次数 * 70次 Q 70 1 * D 1 4900 一年的总费用为 T C Q c1 * c3 701000 500 70000 元 2 Q 2 70
Q 2 Dc3 (c1 c2 ) d c1c2 1 p
最优缺货量
d c1 1 p Q S c1 c2
d 2 Dc1c3 1 p c2 (c1 c2 )
单位时间最少的总费用
d 2 Dc1c2 c3 1 p c1 c2
§6.5 允许缺货的经济订购批量模型
所谓允许缺货是指企业在存储量降至0时，不急于补充等一段 时间，然后订货。顾客遇到缺货也不受损失或损失很小，并假设 顾客会耐心等待，直到新的补充到来。当新的补充一到，企业立 即将所缺的货物交付给这些顾客，即缺货部分不进入库存。如果 允许缺货，对企业来说除了支付少量的缺货费用外另无其他的损 失，这样企业就可以利用“允许缺货”这个宽松条件，少付几次 订货费用，少付一些存储费用，从经济观点出发这样的允许缺货 现象对企业是有利的。
1 1 2 0(t1 t2 ) S (t3 t4 ) S 2 平均缺货量= = 2 t1 t2 t3 t4 V S
=
1 2 S 2 S 2 d d [Q(1 ) S ] S 2Q(1 ) p p
§6.6 允许缺货的经济生产批量模型
单位时间的总费用 TC =（单位时间的存贮费）+（单位时间的生产准备费） + （单位时间的缺货费） =（平均存贮量）×c1 +（单位时间的生产次数）×c3 + （平均缺货量）×c2
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TC
§6.6 允许缺货的经济生产批量模型
例：假设例1中图书馆设备公司在允许缺货的情况下，其总费用最少 的最优经济生产批量和最优缺货量为何值？此外，一年的最少费用应该是
多少？假定每年的书架需求量为4900个，每年的生产能力为9800个，每次
的生产准备费为500元，每个书架一年存贮费用为1000元，一个书架缺货 一年的缺货费为2000元。 解： 2Dc c c 3 1 2 *
2c3 (c1 c2 ) c1c2 D
显然， c2 时，允许缺货订购模型趋于经济订购 批量模型。
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§6.5 允许缺货的经济订购批量模型
例3：某图书馆设备公司销售的书架靠订货提供而且都能及时供货。 该公司一年的需求量为4900个，一个书架一年的存贮费用为1000元，每次 订货费为500元，每年的工作日为250天。 问： 1. 不允许缺货。求一年总费用最低的最优每次订货量及相应的周期， 每年的订购次数和一年的总费用（存储费+订货费）。
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§6.5 允许缺货的经济订购批量模型
设每次订货量为 Q ，由于最大缺货量为S，则最高库存量
为 Q- S，故不缺货时期内的平均存贮量为(Q- S)/2，于是，周
期T 内的平均存贮量= (Q- S)t1/2T。由于t1 = (Q- S)/d，T= Q/d， 则周期T 内的平均存贮量= (Q- S)2/2Q。
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§6.5 允许缺货的经济订购批量模型
这种模型的存贮状态图为 ：
存贮量 Q-S
最大存贮量
o
不缺 货时 间 t1 缺 货时 间 t2
时间
S
最大缺货量
T 图6-3
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§6.5 允许缺货的经济订购批量模型
这种存贮模型的特点： 1. 需求率 （单位时间的需求量）为 d； 2. 无限供货率； 3. 允许缺货，且最大缺货量为S； 4. 单位货物单位时间的存贮费 c1 ； 5. 每次的订货费 c3 ； 6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费c2 ； 7.当缺货量达到S时进行补充，且很快补充到最大存贮量。
2. 允许缺货。设一个书架缺货一年的缺货费为2000元。求使一年总费 用最低的最优每次订货量及相应的周期，相应的最大缺货量，同期中缺货 的时间，不缺货的时间，每年的订购次数，一年的总费用。
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§6.5 允许缺货的经济订购批量模型
解：当不允许缺货时：
(1) 将有关参数代入公式可 得 2Dc3 2 4900 500 最优订货量Q 70 C1 1000
又周期T内的平均缺货量= (S t2 ) /2T。由于t2 = S/d，T=
Q/d，故周期T内的平均缺货量= S2/2Q。故单位时间的总费用 TC为：
(Q S ) 2 D S2 TC c1 c3 c2 2Q Q 2Q
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§6.5 允许缺货的经济订购批量模型
使TC达最小值的最佳订购量
d Q 1 p S c1 Dc3 S 2 c2 TC Q d d 2Q 2Q 1 p 1 p
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§6.6 允许缺货的经济生产批量模型
使单位时间总费用TC最小的最优生产量
存Βιβλιοθήκη Baidu量
最大存贮量
V
p-d d
O
S
最大缺货量
t1
t2
时间
t3 t4
T 图 6-4
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§6.6 允许缺货的经济生产批量模型
从图6-4中，可知在不缺货期间即在t1和t2期间内的平均存储量为
1 1 d V [Q(1 ) S ] 2 2 p
而在缺货期内存储量都为零，这样可以计算出平均存储量，其值等 于一个周期的平均存储量 平均存储量=周期总存储量/周期时间 将相关公式代入上式中得
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• 练习：某化工厂为其他公司生产笔记本电脑 ，其生产率和需求率可以视为常量，年生产 率150万台，年需求率为90万台；生产准备 费用为每次100万元，每台笔记本的平均生 产成本为4000元，而每年的存储费用为生产 成本的16%，而且，因为缺货一年造成的损 失为200元/台。假设该公司每年工作日为250 天，求解最优生产批量策略（最优生产批量 、最大缺货量、最少总费用、周期时间）。
Q 2* 85 同期所需时间为T= 4.34天 d 4900 / 250 S* 28 同期中缺货时间为t 2 1.43天 d 19.6 同期中不缺货时间为t1 T-t 2 4.34-1.43=2.91天 每年订购次数为 4900 57.6次 85
最少的一年总费用为
Q 2 Dc 3 (c1 c2 ) c1c2
订购量为Q＊时的最大缺货量 S
c1 Q c1 c2
2 Dc3c1 c2 (c1 c2 )
订购量为Q＊时的最大存贮量为 每个周期T所需时间
Q T d

2 Dc 3c2 c2 (c1 c2 )
S t2 d t1 T t 2