几种具有高阶收敛速度的改进牛顿迭代法

z x f (x ) f (x ) f (x ) 2 f (x )
x
z
f (z ) 1 [ f ( z ) 1 lX( x )
1X l ( x )] 2
（15 ）
其中
lX( x )
f (z ) f (z ) f (z )
（16 ）
c
(x
x ) /2
其中每个迭代法的渐进误差常数 c 和收敛阶 p 如下表所示： 表 1 迭代法的渐进误差常数值
Á Â Á Â Á Á Á Â Á Á Á Á Á Â Â Á Á Á Â Á Á Á Â Á Á Â Â Á Á Á Â Ã Ä Å Ä Á Â Ã Å Æ ÂÅ Á Ä Ç
2013 年第 27 期
应用科技
（河南辉煌科技股份有限公司， 河南 郑州 450001 ）
要： 文章中， 我们提出了具有不同阶的改进牛顿迭代法来求解非线性方程。这些改进的牛顿迭代法基于不同的思想构造出
f (x ) f (x ) f (x ) 2 f (x ) x z 1 f (z ) [ f (z ) 1 l (x ) 1 l ( x )] 2
x ) / 2)
f (x )
f ( x )(
x
x
)
） （13
其中
l (x )
f (z ) f (x ) f (z )
（14 ）
1.1.3 收敛阶为九阶的 9VCH 迭代法 思路 ： 如果 将 （14 ）式中 的 f"(xn) 改为 f'(zn)， 而 其它 均 不 变 ， 则 1.1.2 中所述的迭代法将具有九阶收敛速度 。但此时每步迭代计算 量要增加 1 次， 收敛效率也会改变， 这些将在下面的收敛效率分析 中给予详细阐述。 迭代格式为： f (x )
2 结束语
应用科技
2013 年第 27 期
科技创新与应用
变压器油中气体总含量的测定方法概述
李朝伟 常 焕
（中国华电集团哈尔滨发电有限公司， 黑龙江 哈尔滨 150040 ）
摘 要： 文章简述了变压器油中气体总含量测定的意义， 三种测定方法， 及根据气体总含量判断变压器故障的标准。 关键词 ： 变压器油； 气体总含量； 测定
x x f (x ) 1 [ f (x ) 1 l (x ) 1 l ( x )] 2
（2 ）
） （12
（3 ）
其中
l (x )
f ( x ) f (x ) f (x )
1 f (x )
4
]
可得到下面具有 再将它与 Halley 迭代法相结合进行两步迭代， 七阶收敛速度的 迭代法。为简单起见， 将它称为 7VCH 迭代法。 f (x ) 迭代格式为： z x
x( y ) x (t )dt ， 这 里我们将利用 Simpson 数 值积分公
f (t )dt 中的定积分采 用待 定系数 法， 这 时 我们可 得到 另 一
将上式等号右边的 xn+1 用 x*n+1 代替 （x*n+1 由 （3 ） 式计算得到） ， 最 后可得到三阶迭代法为：
x x f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 2 f (x )
a 0 b x x
） 式可写为 所以， （9
f (t ) dt (x
将 （10 ） 式代入 （8 ） 式， 并令 x=x*， 可得
0 f (x ) (x x ) f (x ) (x x) 2
则逼近于 x* 的 xn+1 满足隐式迭代式
x x f (x ) f (x ) x x f (x ) 2
- 284 -
f (( x
在这里， 我们称它为逆 Simpson 迭代法。 （2 ） 另一改进的牛顿迭代法 （Halley 迭代法 ） 的建立 建立积分方程 对函数 y=f(x)采用牛顿公理，
y( x) y( x ) f (t )dt
（8 ） 我们都学过 “代数精度” 的概念， 一个数值积分公式的代数精度 越高， 其近似计算就越精确。 此时， 设 f (t )dt af ( x ) bf ( x ) cf ( x ) （9 ） 并分别令 f(x)=1， x,x2， 采用待定系数法可以解出：
个三阶的改进牛顿方法； （3 ） 结合上面所得到的基本三阶迭代法及参考文献里所讲述的基本迭代法， 我们加以改进： 将两种收敛 阶较高的迭代法进行两步合并迭代， 可以达到直至九阶的收敛速度。在正文中， 我们会对这些迭代方法的构造思想进行详细地 阐述， 并对它们的收敛性加以严格证明。 关键词 ： 牛顿迭代法； 收敛速度； 收敛效率指数 1 不同阶的改进牛顿迭代法的建立 1.1 迭代法的建立过程 1.1.1 具有三阶收敛速度的迭代法的建立 （1 ） 逆 Simpson 迭代法的建立 考察函数 y=f(x)的反函数 x=x(y)， 利用牛顿公理可建立积分方程
x( y ) x( y ) x (t )dt
Байду номын сангаас
） （1 在文献与中， Homeier 提出了用梯形公式来计算 （1 ） 式右端的定 积分， 在这里我受到了启发： 采用 Simpson 公式来估计此积分值， 由 此我们可得到一个隐式迭代法：
x x f (x ) 1 [ 6 f (x ) 1 f (x ) 4 f (( x x ) / 2) ]
随着变压器不断向着高电压、 大容量的方向发展， 在变压器维 护方面， 人们不仅重视油中溶解气体分析， 以便及时发现变压器内 部早期故障， 而且对油中气体的总含量也引起了广泛的注意。含氧 量高会加速绝缘油的老化并使油氧化， 进而腐蚀固体绝缘。有的文 献指出， 如果运行中保持含氧量小于 500μL/L 时， 可以使油老化速 如果仍按原寿命计算的话， 率大为减缓， 变压器的寿命将延长 5 倍， 油中总含气量的大小 则可以明显的提高出力。除了氧气的影响外， 对变压器的安全运行也是有不可忽视的影响的。对含气量来说， 在 施加电压时间较短时， 即使油中含有大量溶解气体， 也不会影响介 质的耐压强度。但是它对游离放电却有不可忽视的影响， 因为气体 可以聚集起来形成气泡， 特别是当温度和压力骤然下降而形成气泡 时， 其影响是较大的。这时， 这种气体在电场中被拉成长体， 极易发 生气体碰撞游离， 甚至造成热击穿。 这也就是电晕产生的原因。 如果 气体骤集在高场强的部位， 更是极为危险的。 实践证明， 监测并控制变压器油中的气体含量不仅能防止油中 气泡和氧气对绝缘的危害， 而且把油中含气量的实测数据与不同油 保护方式变压器油中正常含气量水平进行比较， 可获得设备内部状 态的某些信息， 特别是与油中溶解气体分析数据综合判断更是有益 的。事实上以往人们利用真空脱气法进行油中溶解气体分析时， 首 先就很重视测定油中总含气量和含氧量。对于密封变压器， 当油中 总含气量超过 6%， 而氧气含量明显增长时， 则可能存在大气泄漏于 油箱内。如果油中含气量很高 （＞6% ） ， 但含氧量却很低， 甚至为零或 出现负峰时， 则变压器内部可能存在早期热性或电性故障。对于开 且氧气含量低于 16%时， 则 放式变压器， 如果油中含气量超过 11%， 预示着设备存在内部故障。如果油中总含气量和含氧量均很高， 则 可能油中溶解空气过饱和， 这随着温度或压力的变化， 将会形成大 量气泡进入气体继电器而引起动作报警。 下面介绍几种油中含气量测定的方法。 1 真空法 早在 20 世纪 70 年代国内就采用真空脱气法测量油中总含气 量即在油中溶解气体分析过程中的脱气阶段就读出油中总含气量 。 我国在 20 世纪 80 年代制订了 YS-C-3-1-84 真空脱气法，该方法 虽有操作简单、 分析速度快的优点， 但因受平衡时间、 注油速度等因 素影响。其重复性较差， 且存在气体回溶现象。 1991 年， 我国先后发布了 DL/T 423-1991 （采用真空压差法 ） 和 DL/T 450-1991(采用二氧化碳洗脱法)。 真空压差法除了存在与真空 脱气法类似的缺点之外， 还因真空仪器不易普及的问题而难以推广 应用。 2 二氧化碳洗脱法 二氧化碳洗脱法采用高纯度的二氧化碳气体以极其分散的形 式通过一定体积的试样油，将油中溶解的气体洗脱并携带出来， 并 与二氧化碳同时通过装有氢氧化钾溶液的吸收管， 这时二氧化碳被 完全吸收， 所留下来的溶解气体就进入有精确刻度的量管里， 从刻 度管可以测得气体的体积数。该测量方法重复性较好， 但实际应用 表明， 两次平行测定结果的精确度一般可以达到 DL/T 450-1991 的 要求。 但是该方法操作较为繁琐， 需使用干冰亦不方便， 加之需用水 银， 易造成分析人员的健康损害。尤其是该方法不能测出油中二氧 本文所构建的迭代格式均比牛顿迭代法优越， 且具有较快的收 敛速度； 在实验的过程中， 有的迭代格式甚至出现全局收敛的情况。 从实验中还可以看出， 具有三阶收敛速度的 Simpson 迭代法和 Hal－ ley 迭代法比二阶牛顿迭代法迭代次数少 、 收敛速度快；七阶的 7VCH 和九阶的 9VCH 迭代次数最少， 它们的收敛速度非常快， 但计 算量也相应的较大。
科技创新与应用
几种具有高阶收敛速度的改进牛顿迭代法
赵春阳 牛振波
摘
来： （1 ） 通过对函数 y=f(x)的反函数 x=x(y) 进行考察， 得 到积分 方程 x ( y) 较高且每步迭代计算量较少的迭代法， 对积分方程 y ( x)
y( x )
式来计算定积分， 并结合 Taylor 展式， 就可以得到一个三阶的改进牛顿迭代法； （2 ） 我们已经学过代数精度的概念， 为了得到精度
参考文献
化碳气体， 这对新安装或大修变压器虽影响不大， 但对于运行变压 器则是不可忽视的， 因此也不易推广使用。 3 气相色谱法 利用气相色谱法测定油中总含气量是 DL/T 703-1999 推荐的 方法。如上所述， 由于真空压差法和二氧化碳洗脱法推广应用收到 该方法的原理、 分析 局限， 因此气相色谱法已成为普遍采用的方法。 仪器、 流程、 脱气方法以及分析手续， 实质上与油中溶解气体分析法 基本相同。即将定体积的油样加入一个密封系统中， 注入该油样中 不需测定的惰性气体， 如高纯氩气,置于很稳振荡器内充分振动， 使 油中溶解气体在油 、 气两相达到动态平衡状态后， 取其气相中的气 体，利用具有热导池和氢火焰离子化鉴定器的气相色谱仪进行分 析， 然后根据分配定律计算出油中溶解的气体浓度。对于新安装或 运行中无内部故障变压器测定油中含气量时，一般只计入 O2、 N2、 CO 和 CO2 等气体之和。 当运行中变压器内部存在严重故障时， 则应 将氢、 烃类气体均一起计入总含气量中。 DL/T 703-1999 推荐的方法具有灵敏度高， 重复性好的优点， 但 需另备一套气相色谱系统， 这是不经济的。鉴于油中气体总含量测 定与油中溶解气体分析一般是同时取样， 而且二者均采用震荡脱气 和色谱分析法， 因此实际应用中应该把他们结合起来， 一次完成全 分析。实际上只要 DGA 色谱分析系统能够分离分析包括 O2、 N2 在 内的九中油中气体， 就能完成油中故障特征气体含量的总气量及其 O2/N2 比的分析计算。这既节约实验成本， 也有利于对设备内部状态 进行综合判断。 最后说明总气量的判断标准。 绝缘油中总含气量作为一个质量 指标是随着变压器向超高压、 大容量发展而提出的， 其目的是监控 运行中超高压、 大容量变压器， 使之不存在产生气泡的危险。 1976 年 国际大电网会议认为，当含气量在 3%以下时，产生气泡的危险很 小， 因此， 建议采用如下标准， 并与含水量互相协调： 对电压等级为 151kv 变压器含气量要求在 2%以下； 对电压等级为 275kv 变压器含 气量要求在 1% 以下；对电压等级为 500kv 变压器含气量要求在 0.5%以下。 我国对于变压器油中含气量，已对投入运行前 330kv 和 500kv 变压器做出了明确的规定 （见下表 ） 。虽然对 500kv 运行中变压器油 暂未做明确规定， 但一般均控制在 2%以下。对于 110kv 和 220kv 封 闭式变压器， 目前国内亦无明确的要求， 但实践表明， 这些设备运行 中油的含气量控制在 3%， 甚至更低是完全可行的， 也是必要的。 附表 对油中含气量的要求
（11 ）
） 式为 Halley 迭代法。 我们简称 （11 1.1.2 收敛阶为七阶的 7VCH 迭代法 思路： 将 3 阶 Halley 迭代法 （11 ） 式与文献与中介绍的 EulerChebyshev f (x ) f (x ) f (x ) 迭代法 z x [1 ] f (x ) 2 f (x ) 进行线性组合， 可以得到另一个三阶收敛的新的迭代法：
这时， 将 （2 ） 式中 xn+1 的用 x*n+1 代替 f (x ) 其中 x x
f (x )
为牛顿迭代法。 则 （3 ） 式可写成如下形式
x x f (x ) 1 [ 6 f (x )
（4 ） 为了使每步的迭代计算量减少，我们利用 Taylor 展式，将和 f' 得到它们的近似估计值， 即 ((x*n+1+xn)/2)和 f'(x*n+1)在点 xn 处展开， （5 ） f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x)
p c
x ) f (x )
(x
x ) f (x ) 2
） （10
f ( x )(3 f
(x ) 2 f (x ) f 288 f (x )
( x ))
f (x )


35(3 f
(x )
f (x ) f
(x ))( 3 f ( x ) 2 f ( x ) f 9! f ( x )
(x ))
f (( x x ) / 2)
（6 ） ） 式、 （5 ） 式和 （6 ） 式代入 （4 ） 式， 可得到一种新的改进牛顿 将 （3 迭代法：
2
x x f (x ) f (x ) [ 6 f (x ) f ( x ) f (x ) 1 f (x ) 4 f (x ) ] 1 ） f (x ) f ( x ) f ( x ) （7 2