北师大版数学七年级上册课件3.5探索与表达规律
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北师大版七年级数学上册：3.5 探索与表达规律 课件(共19张PPT)
…… n …… 2n+4
折一折 议一议
将一张普通的纸对折，可得到一条折痕。 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保 持平行。连续对折并观察完成下表。
① 对折次数与所得层数的变化关系表：
对折次数 1 2 3 4 … n
所得层数 2 4 8 16
2n
② 对折次数与所得折痕数的变化关系表：
对折次数 1 2 3 4 … n
仔细观察，15周围的数与它都有着什么样的关系呢？
议一议： 研究其它月份：
这样的方框中的数字关系也成立吗？
这样存在的普遍规律，你 能用数学方法来解释吗？
若中间这个
数为a，则 另8个数怎
？？ ？
么表示?这9
？a？
个数的和是 多少？
？？？
a？-8 a？-7 a？-6
a？-1 a a+？ 1
a+？6 a+？7 a+？ 8
折痕条数 1 3 7 15 … 2n-1
小结
探索规律的一般思路： 观察、比较
推理、分析
总结、验证
课后作业
1、习题3.7
2、课后延伸 （1）与家长分享你所发现的规律。 （2）试从生活中找出一种规律， 并用字母表示这个规律。
北师大版数学教材七年级上册 第三章 整式及其加减
一物生来真稀奇， 身穿三百多件衣，
每天给它脱一件， 日 年底只剩一张皮。 历
（打一日常用品）
探Байду номын сангаас1
如图，是一张残缺了一些日期的日历，你们能很 快地把它补充完整吗？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》课件
联系拓广 ＊3.一个三位数能不能被 3 整除，只要看这个数的各位数字 的和能不能被 3 整除，这是为什么？四位数能否被 3 整除是 否也有这样的规律？你还能得到哪些结论？
3.5 探索与表达规律
方法归纳 用代数式表示数的变化的规律： （1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规 律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; （2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； （3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然 后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.
做一做 设计类似的数字游戏，并解释其中的道理。
课本第 100 页
随堂练习
3.5 探索与表达规律
课本精讲
有三堆棋子，数目相等，每堆至少有 4 枚．从左堆中取出 3 枚放
入中堆，从右堆中取出 4 枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩
余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？请
做一做，并解释其中的道理。
课本第 99 页
3.5 探索与表达规律
习题 3.8
课本精讲
问题解决
1.(1)按图（1)方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排
列餐桌，摆 4 张桌子可坐多少人？摆 5 张桌子呢？摆 n 张桌
子呢？
课本第 99 页
3.5 探索与表达规律
课本精讲
（2)按图（2)方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列 餐桌，摆 4 张桌子可坐多少人？摆 5 张桌子呢？摆 n 张桌子 呢？
课本第 98 页
3.5 探索与表达规律
课本精讲
（1)日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间
的数有什么关系？
（2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式
3.5 探索与表达规律 课件-北师大版数学七年级上册
二
星期
三
星期
四
星期
五
星期
六
2
5
7
11
12
13
14
16
3
a-6
10
a+1
17
a+8
4
6
1
a-8
8
a-1
15
a+6
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
9
a
五个数之和=a+(a-8)+(a+8)+(a-1)+(a+1)+(a-6)+(a+6)=7a
规律: “H”形中七数之和=7×中间数
4 9 16 25
C)
2n－1
n2－4
2n－1
2n＋1
A.
B. 2
C. 2
D. 2
n
n
n
n
2．如图所示，第①个图形中共有1个小平行四边形，第②个图形中共有
5个小平行四边形，第③个图形中共有11个小平行四边形……则第⑩个
图形中小平行四边形的个数是( D )
A．54
B．110
C．19
D．109
四、当堂练习
利用本章所学知识，我们可以进一步探索和表达规律。
二、新知探究
探究一：数字和数式中的规律
星期
日
星期
一
请同学们认真观察月历表，回答下列问题：
(1)日历图的套色方框中的 9 个数之和与该
方框正中间的数有什么关系?你有什么猜想？
图中蓝色方框中九个数之和=90=9×10.
星期
三
星期
四
星期
五
星期
六
2
5
7
11
12
13
14
16
3
a-6
10
a+1
17
a+8
4
6
1
a-8
8
a-1
15
a+6
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
9
a
五个数之和=a+(a-8)+(a+8)+(a-1)+(a+1)+(a-6)+(a+6)=7a
规律: “H”形中七数之和=7×中间数
4 9 16 25
C)
2n－1
n2－4
2n－1
2n＋1
A.
B. 2
C. 2
D. 2
n
n
n
n
2．如图所示，第①个图形中共有1个小平行四边形，第②个图形中共有
5个小平行四边形，第③个图形中共有11个小平行四边形……则第⑩个
图形中小平行四边形的个数是( D )
A．54
B．110
C．19
D．109
四、当堂练习
利用本章所学知识，我们可以进一步探索和表达规律。
二、新知探究
探究一：数字和数式中的规律
星期
日
星期
一
请同学们认真观察月历表，回答下列问题：
(1)日历图的套色方框中的 9 个数之和与该
方框正中间的数有什么关系?你有什么猜想？
图中蓝色方框中九个数之和=90=9×10.
北师大版数学七年级上册3.5探索与表达规律(第1课时)课件(共26张PPT)
基础巩固题
4．如图，图①有2个相同的小长方形，图②有6个相同的小长方
形，图③有12个相同的小长方形，图④有20个相同的小长方形 ……按此规律，那么图n有__n_(_n_＋__1_) __个相同的小长方形．
课堂检测
基础巩固题
5.假设有足够多的黑白围棋子,它们按照一定的规律排成一行,
如图:
○○●●○●○○●●○●○○●●○●○○●●○●……
日一二三四五六 1234 5
“H”形中七数之和 =10+12+17+18+19+24+26
6 7 8 9 10 11 12
=126.
13 14 15 16 17 18 19
7×中间数=7×18=126.
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
规律:“H”形中七数之和=7×中间数.
探究新知 素养考点 探索图形变化的规律
例 若按下图方式摆放桌子和椅子：
填写下表：
桌子张数 1
可坐人数 6
2 3 4 5… n
8 10 12 14 … 2n+4
探究新知 餐桌的摆法二：
若按照上图的摆法摆放餐桌和凳子，完成下表：
桌子张数 1 2 3 4 5 … n
可坐人数 6 10 14 18 22 … 4n+2
2.用合并同类项和去括号法则验证规律. 1.观察日历中3×3方框里九个数之间的关系，发现规 律，并用代数式表示规律.
探究新知
知识点 1 数字变化中的规律 观察下图日历，请你回答以下问题：
日
一
二
三
四
五
六
（1）日历中横排三个数（如9、 10、11）相加的和与中间的数字
探索与表达规律课件PPT
=126.
7×中间数=7×18=126.
规律:“H”形中七数之和=7×中间数.
3.5 探索与表达规律
探究新知
日 一 二
1
6 7 8
13 14 15
20 21 22
27 28 29
三
2
9
16
23
30
四
3
10
17
24
31
五
4
11
18
25
六
5
12
19
26
十字形中五数之和
=7+13+14+15+21
=70
10×9=90，
所以这9个数的和等于正中间的数的9倍．
3.5 探索与表达规律
探究新知
（4）这个关系对其他这样的方框也成立吗？你能用代数
式表示这个关系吗？（提示：设a）
a-8 a-7 a-6
a-1
a a+1
a+6 a+7 a+8
9a
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = ____
我就会慢慢品读,一页读几分钟。班主任杨老师说:“刘峻琳
的每篇作文从选材到立意都很大气,其立足点都不是个人、家
庭,而是从民族、国家等角度去写,这都与他的阅读习惯有关。
3.5 探索与表达规律
刘峻琳同学的阅读习惯非常好,有快读有慢读,
既保证了一定的阅读速度,同时也没有落下重点。
下面我们来介绍另外一种快速阅读法。这种方法
方法点拨：规律探究问题的特点是问题的结论不是直接给出，
7×中间数=7×18=126.
规律:“H”形中七数之和=7×中间数.
3.5 探索与表达规律
探究新知
日 一 二
1
6 7 8
13 14 15
20 21 22
27 28 29
三
2
9
16
23
30
四
3
10
17
24
31
五
4
11
18
25
六
5
12
19
26
十字形中五数之和
=7+13+14+15+21
=70
10×9=90，
所以这9个数的和等于正中间的数的9倍．
3.5 探索与表达规律
探究新知
（4）这个关系对其他这样的方框也成立吗？你能用代数
式表示这个关系吗？（提示：设a）
a-8 a-7 a-6
a-1
a a+1
a+6 a+7 a+8
9a
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = ____
我就会慢慢品读,一页读几分钟。班主任杨老师说:“刘峻琳
的每篇作文从选材到立意都很大气,其立足点都不是个人、家
庭,而是从民族、国家等角度去写,这都与他的阅读习惯有关。
3.5 探索与表达规律
刘峻琳同学的阅读习惯非常好,有快读有慢读,
既保证了一定的阅读速度,同时也没有落下重点。
下面我们来介绍另外一种快速阅读法。这种方法
方法点拨：规律探究问题的特点是问题的结论不是直接给出，
北师大版七年级数学上册 3.5探索与表达规律(共30张PPT)
星期一
7 14 21 28
星期二
1 8 15 22 29
星期三
2 9 16 23 30
星期四
3 10 17 24 31
星期五
4 11 18 25
星期六
5 12 19 26
活动三：让学生拿出一张长方形的纸对折，可
以得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕 与上次的折痕保持平行，连续折6次后，可以得 到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？
+(a+8) = _9_a____
拖动下列方框,你会发现什么?
星期 星期 星期 星期 星期 星期 星期
日一二三四五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数
活动二:
27 28 29 30 31
星期 六
5 12 19
26
（(1)观察日历表中的数有什么特点，它们之间有什么关系？
(2)任意圈出一横行上相邻的三个数之和与中间数有什么关系？ （3）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（4）这个关系对任何一个月的日历成立吗？为什么？
（5）任意圈出一竖列（斜列）上相邻三个数也有同样的关系吗？为什么？
大家来归纳
对折1次,折痕为1. 对折2次，折痕为3，即3=22-1 对折3次，折痕为7，即7=23-1
对折4次，折痕为15,即15=24-1 对折5次，折痕为31,即31=25-1。
…… 对折n次，折痕为2n-1。
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探索与表达规律 1PPT优秀课件
•
6. 对于那些认为现实走在小说家想象 力前面 的作家 而言， 困难在 于如何 把握生 活的复 杂结构 和本质 内容。
•
7. 对艺术家而言，日新月异的变革时 代，既 意味着 巨大挑 战，也 能激发 创作热 情，促 使他们 投身沸 腾的生 活。
•
8. 博物馆是一个城市的历史见证。在 博物馆 里，处 处是珍 品，步 步是文 化，那 些流逝 着历史 智慧的 文物， 让人惊 叹不已 。
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
2、按下图方式摆放餐桌和椅子：
(1)1张餐桌可坐4人,2张餐桌可坐__6_人. (2)按照上图的方式继续排列餐桌，完 成下表。
桌子张数 可坐人数
3
4
n
8 10 2n+2
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
我们在探索规律时,要认真观察 数据,先把数据中不变的量分离出来, 再把变化中的共同规律归纳出来,列 成式子，然后进行验证，从而得出正 确的能反应数量关系的规律。
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
问题5:若按下图方式将桌 子拼在一起.
(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子,按 照上图方式每5张拼成1张大桌子, 则40张 桌子可拼成8张大桌子, 共可坐 112 人.
(3)在(2)中, 若改成每8张桌子拼成1张大 桌子, 则共可坐 100 人.
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
•
4．抽象的内容能加以阐发。所谓“抽 象”，是 与“具 体”相 对而言 ，抽象 的也就 是概括 的。所 谓“阐 发”就 是化抽 象、概 括为具 体。阐 发常见 的有两 种形式 ：一是 举出实 例，一 是分析 因果。
最新北师大版七年级上册数学3.5 探索与表达规律(第1课时)课件
课堂检测
能 力 提 升 题
观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中
共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，
……按此规律，图形⑧中星星的颗数是( C )
A．43
B． 45
C．51
D．53
课堂检测
拓 广 探 索 题
先观察，再解答：图①是生活中常见的日历，你对
它了解吗？
课堂检测
20 21 22
27 28 29
三
2
9
16
23
30
四
3
10
17
24
31
五
4
11
18
25
六
5
12
19
26
十字形中五数之和
=7+13+14+15+21
=70
5×中间数
=5 ×14
=70
规律: 十字形中五数之和=5×中间数.
探究新知
素养考点
探索图形变化的规律
例 若按下图方式摆放桌子和椅子：
填写下表：
桌子张数
下去，摆成第n个“T ”字形需要的棋子个数为_______．
课堂检测
基 础 巩 固 题
1．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则
摆第n个“口”字需用棋子( A )
A．4n枚
C．(4n＋4)枚
B．(4n－4)枚
D．n2 枚
课堂检测
基 础 巩 固 题
2.用正方形套住日历中的任意 9 个数，若中间的数
26 27 28 29
四
2
9
16
23
30
五
3
北师大版数学七年级上册3.5探索与表达规律课件
（3）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ 答：因为 (2+18)+(3+17)+(4+16)+(9+11)+10=90，
所以这三个数各是10，17，24. 4．如图，图①有2个相同的小长方形，图②有6个相同的小长方形，图③有12个相同的小长方形，图④有20个相同的小长方形……按
“H”形中七数之和=10+12+17+18+19+24+26
10×9=90， (2)用一个长方形框圈出日历中的三个数字(图②中的阴影部分)，如果这三个数字之和为51，那么这三个数各是多少？
5 探索与表达规律（第1课时）
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，……，请问数字20落
课堂检测
基础巩固题
4．如图，图①有2个相同的小长方形，图②有6个相同的小长方
形，图③有12个相同的小长方形，图④有20个相同的小长方形 ……按此规律，那么图n有__n_(_n_＋__1_) __个相同的小长方形．
课堂检测
答：因为 (2+18)+(3+17)+(4+16)+(9+11)+10=90，
(3)第(2)小题中圈出的三个数字的和可能是64吗？为什么？
（2019·黑龙江省中考真题）归纳“T ”字形，用棋子摆成的“T ”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T ”字形
需要的棋子个数为_______．
如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n个图中的阴影部分小正方形的个数是_____________.
所以这三个数各是10，17，24. 4．如图，图①有2个相同的小长方形，图②有6个相同的小长方形，图③有12个相同的小长方形，图④有20个相同的小长方形……按
“H”形中七数之和=10+12+17+18+19+24+26
10×9=90， (2)用一个长方形框圈出日历中的三个数字(图②中的阴影部分)，如果这三个数字之和为51，那么这三个数各是多少？
5 探索与表达规律（第1课时）
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，……，请问数字20落
课堂检测
基础巩固题
4．如图，图①有2个相同的小长方形，图②有6个相同的小长方
形，图③有12个相同的小长方形，图④有20个相同的小长方形 ……按此规律，那么图n有__n_(_n_＋__1_) __个相同的小长方形．
课堂检测
答：因为 (2+18)+(3+17)+(4+16)+(9+11)+10=90，
(3)第(2)小题中圈出的三个数字的和可能是64吗？为什么？
（2019·黑龙江省中考真题）归纳“T ”字形，用棋子摆成的“T ”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T ”字形
需要的棋子个数为_______．
如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n个图中的阴影部分小正方形的个数是_____________.
探索与表达规律课件 2024-2025学年北师大版数学七年级上册
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数字游戏题 阅读课本第97页“随堂练习”之后和第98页“随堂练习”之前 的内容,思考下列问题. 1.设该游戏中心里想的两位数的十位数字是a,个位数字是b, 请你表示出这个两位数,并计算这个两位数经过游戏中的运算 之后的结果. 10a+b,(2a+3)×5+b=10a+b+15.
解:心里想的那个数分别是5,12,18,告诉老师的结果是 心里想的那个数的2倍.
单击此处编辑母版文本样式数字规律例1 Nhomakorabea观
察
式:12+1=1×2,22+2=2×3,32+3=3×4,
写出第4个等式,并写出第n个等式.
下
列
各
……按此规律
解:42+4=4×5;第n个等式是n2+n=n(n+1).
单击此处编辑母版文本样式
单击此处编辑母版文本样式
2.若将日历图中的方框改为十字形,你能发现哪些规律?如 果改成“H”形框呢?
在十字形框中,设框正中间的数为a,则这5个数之和为5a;在 “H”形框中,设框正中间的数为a,则这7个数之和为7a.
单击此处编辑母版文本样式
3.仿照上面的方法,请你在日历图中设计一个其他形状的方 框,你能发现什么规律?
合作探究 单击此处编辑母版文本样式
探索、表达规律 阅读课本第96页至第97页“随堂练习”之前的内容,思考下列 问题. 1.在日历图中,若方框中有9个数,你认为设哪个数为a时求这 9个数之和最简便呢?根据你所设的未知数,你能求出这9个数之 和吗?
单击此处编辑母版文本样式
设方框正中间的数为a最简便,这9个数之和:(a-8)+(a7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8)=9a.
3.5探索与表达规律-北师大版七年级数学上册课件(共18张PPT)
(
)
同用样大小的黑色五角星按图3-5-4所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是
(
)
下面一组按规律排列的数：1,2，4,8，16，…，第2018个数应是
(
)
第504个正方形的右下角
B. 第504个正方形的右下角 ②2×4-32=8-9=-1;
将一列数-1,2，-3,4，-5,6，-7，…排列成如下形式：
课堂讲练
典型例题
新知 规律的概念及探索规律的方法
【例1】阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序 a b=n，可以使：(a+c) b=n+c，a (b+c)=n-2c，如果 1 1=2，那么2020 2020=__-_2_0_1_7__.
【例2】观察图3-5-3中正方形四个顶点所标的数字规律，可
6. 观察下面的数表： 1 234 34567 45678 …
【C组】 9 10
(1)依此规律：第6行最后一个数字是_____1_6__；第n行最后 一个数字是___3_n_-_2__. (2)其中某一行最后一个数字可能是2 023吗？若不可能， 请说明理由；若可能，请求出是第几行？
解：(2)可能，第675行.
解：不可能，理由如下.
C. 第505个正方形的左下角
D. 第505个正方形的右下角
模拟演练
1. 如果规定符号“ ”的意义为a b= 么10 (-20)的值是___2_0____.
，那
2. 解：(1)4×6-52=-1 将一列数-1,2，-3,4，-5,6，-7，…排列成如下形式：
因此这样的三列数不存在，即不可能．
数中的最小数和最大数；
-5 6 -7 8 -9
3.5探索与表达规律(第一课时)(课件)-七年级数学上册课堂教学精品系列(北师大版)
探究新知
（2）这个关系对其他这样的 方框成立吗？你能用代数式表示 这个关系吗？ 解：成立
设方框中第一个数是x，则第二个数是（x+1），第三个数是 （x+2），第四个数是（x+3），第五个数是（x+4），第六个数 是（x+5），第七个数是（x+6），第八个数是（x+7），第九个 数这九是年（数x+的8）和。： x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6） +（x+7）+（x+8）=9 x+36
解：第二行的3个数的和，第二列3个数的和，两对角 线上3个数的和都相等。
探究新知
想一想
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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2
3
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（1）如图“十”字形 框，你能发现哪些规律？
请问数字20落在哪个手指上？ 200呢？ 2000呢？
观察下表，按数数的方法填写下表
大拇指 1 9
17
…
食指 2 8
10 16 18
…
中指 3 7
11 15 19
…
无名指 4
6 12 14 20
…
小指 5
13
21
数字20落在无名指上
解：除第一行是5个数之外，其它的都是4个数，从无名指到大 拇指再到小指的过程是一个循环，一个循环就是8个数字，接下 来又从无名指开始另一次循环，由此用20、200、2000，看求 出的得数，如果是整数，答案就是此循环数中的最后一个数， 如果有余数，看余数在循环数中第几个数对应的手指即可． 解答： 解：（20-5）÷8=1…7， 余数是7，所以是从无名指开始第7个，就是无名指； （200-5）÷8=24…3， 余数是3，所以是从无名指开始第3个，就是食指； （2000-5）÷8=249…3， 余数是3，所以是从无名指开始第3个，就是食指．
3.5探索与表达规律(2)+课件+2023-2024学年北师大版数学七年级上册
仅可以看到部分数值的“九宫格”，请尝试完成下列问题：
(1)1～9这九个数的和是 45
于
15
；
，所以每一横行的3个数之和a等
(2)如图2，一般地，由x1＋x5＋x9＝a，x3＋x5＋x7＝a，x2＋x5＋x8＝a，x4
＋x5＋x6＝a，将4式相加后代入x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9的值，
置，新的两位数与原来两位数的差等于新数与原数十位上的数字之差
的
9
倍；
(2)一个两位数，它十位数字为m，个位数字为n，若把它的十位数字与个
位数字对调，得到一个新的两位数，请你计算新数与原数的和，这个和有
什么性质？
解：新旧两位数的和为10m＋n＋(10n＋m)＝11m＋11n＝11(m＋n)，这个
和能被11整除．
对角线(共2条)上的3个数分别相加，和都相等，则x的值等于（ D ）
A．2 023
B．203
C．23
D．3
变式 “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个
三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相
等．现将－5，－3，－2，2，3，5，7，8填入如图2所示的“幻方”中，
解：设这个整数是a，则(2a＋7)×3－21＝6a.
所以所得的数一定是6的倍数．
所编游戏：一个整数，将这个数乘3减9，把结果再乘5加45，最后结
果一定是15的倍数．
说明：设这个整数为b，则(3b－9)×5＋45＝15b，所以所得结果一定
是15的倍数．(答案不唯一)
2．(2022·郑州市期中)如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个
当a＋b＜10时，结果的百位数字是 a，十位数字是a＋b，个位数
(1)1～9这九个数的和是 45
于
15
；
，所以每一横行的3个数之和a等
(2)如图2，一般地，由x1＋x5＋x9＝a，x3＋x5＋x7＝a，x2＋x5＋x8＝a，x4
＋x5＋x6＝a，将4式相加后代入x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9的值，
置，新的两位数与原来两位数的差等于新数与原数十位上的数字之差
的
9
倍；
(2)一个两位数，它十位数字为m，个位数字为n，若把它的十位数字与个
位数字对调，得到一个新的两位数，请你计算新数与原数的和，这个和有
什么性质？
解：新旧两位数的和为10m＋n＋(10n＋m)＝11m＋11n＝11(m＋n)，这个
和能被11整除．
对角线(共2条)上的3个数分别相加，和都相等，则x的值等于（ D ）
A．2 023
B．203
C．23
D．3
变式 “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个
三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相
等．现将－5，－3，－2，2，3，5，7，8填入如图2所示的“幻方”中，
解：设这个整数是a，则(2a＋7)×3－21＝6a.
所以所得的数一定是6的倍数．
所编游戏：一个整数，将这个数乘3减9，把结果再乘5加45，最后结
果一定是15的倍数．
说明：设这个整数为b，则(3b－9)×5＋45＝15b，所以所得结果一定
是15的倍数．(答案不唯一)
2．(2022·郑州市期中)如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个
当a＋b＜10时，结果的百位数字是 a，十位数字是a＋b，个位数
3-5 探索与表达规律 课件 初中数学北师大版七年级级上册(2023~2024学年)
2.下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第 10 个 这样的“小屋子”需要多少枚棋子？摆第 n 个 这样的“小屋子”呢？你是如何得到的？
…
59 4n+（2n-1）=6n-1
3.有三堆棋子，数目相等，每堆至少有 4 枚．从 左堆中取出 3 枚放入中堆，从右堆中取出4枚放 入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同 的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？ 请做一做，并解释其中的道理．
中间棋子数为10.
理由：假设三堆棋子数都为x（x≥4，且x 为整数）.第一次取出棋子后，左堆数量为 （x-3），中间的为（x+7），第二次取出 棋子后，中堆的数量为（x+7）-(x-3)=10.
课堂小结
【归纳结论】探索规律的一般步骤： （1）观察； （2）归纳； （3）猜想； （4）验证.
对于图形的变化规律一般有多种解法， 注意观察图形，分析其特点，找出解题方法.
我的结 果是27.
你心里想 的数是12.
你知道是怎样算出来的吗？
假设这个两位数十位上的数字为a， 个位上的数字为b. 则这个两位数可表示为(10a+b) (2a+3)×5+b=10a+b+15 新数字比原来的数字大15.
例：如图所示，用火柴棍拼成一排由三角 形组成的图形，如果图形中含有2、3或4个三 角形，分别需要多少根火柴棍，如果图形中含 有n个三角形，需要多少根火柴棍？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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18
北师大版七年级数学上册探索与表达规律课件
动手操作：在日历图中通过涂色再框中若干个日历数字，
使所有涂色框中的数（包括16）之和恰好是16的5倍或7倍 或奇数倍。你会设计出不同于上述形状的漂亮图案（如 大写英语字母，数字，简单汉字等）吗？
日一二三四 五六 123 45
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
（1）日历图的套色方 框中的9个数之和与该 方框正中间的数有什 么关系？
9个数之和为90 90=9×10
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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27 28 29 30 31
每张桌子上下两侧共可坐 4 人，
整排桌子左右两侧坐 ___2__人，n张 桌子可坐（4n+2）人。
方法二：直接视察图形的变化规律， 从而用代数式表达一般规律
探索规律一般步骤： 视察，猜想，表示，验证
用棋子摆成以下图案,试问第n个图案需要多少颗棋子?
…
(1) (2)
(3)
① 填写下表:
图案编号 (1) (2) (3) (4) (5) … 棋子个数 5 11 17 23 29 …
3.5探索与表达规律(一）
引入课题
…
(1) (2)
(3)
用棋子摆成以上图案,试问第n个图案需要多少颗棋子?
你能很快用代数式表示图形的一般规律吗？
你能用几种方法来探索这些图形规律？
学习目标
（1）经历由特殊到一般和由 一般到特殊的过程，体会代 数推理的特点和作用。
北师大版初一数学上册3.5探索与表达规律(一)课件
28
29
30
31
（5）任意圈出一竖列（斜列）上相邻三个数也有同样的
关系吗？为什么？
日历的秘密
证明：若设中间数字为a，则如图所示的竖列、 斜列上的数字可分别表示为：
a-7 a-8
a-6
a
a
a
a+7
a+8 a+6
则可算出每种情况下，三个数的和均为3a .
日历的秘密
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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(6)你还能发现这样的方框中9个数之间的其它关系吗？请
用代数式表示.
日历的秘密
若日历表中某3×3Biblioteka 框中的中间一个数为a， 请补全下表.
a
日历的秘密
若日历表中某3×3方框中的中间一个数为a， 请补全下表.
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30
（1）日历图的十字框中5个数之间有哪些关
系？这五个数的和与中间一个数有何关系？
日历的秘密
北师大版七年级上册数学 3.5 探索与表达规律 教学课件
1 ，所以第 20 行从左到右第 10 个数，可从第 20 行去掉后 210 面的 10 个数而得到，即为－ 1 .
200
方法归纳
用代数式表示数的变化的规律： （1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在 规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; （2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； （3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好， 然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.
做一做 十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: 十字形中五数之和=5×中间数
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？ 规律: “H”形中七数之和=7×中间数
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？ “X”形
归纳
探索规律的一般步骤：
具
体
观 察
问
、
题
比 较
猜
表
想
示
规
规
律
律
得 出 结 论 验 证 成立 规 律
例3 将棱长为1的正方体层层叠放如图所示，问第(5)个、第(6)个图 形各需多少个正方体？
[解析] 认真观察图形，注意分析看不到的地 方，再从中找出规律．
解：第(5)个图形需1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1 ＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4＋5)＝35(个)正方 体．同理，第(6)个图形需56个正方体．
你们能很快地说出数字200落在哪个手指 上吗？2000呢？
讲授新课
一 数式变化中的规律
合作探究
请同学们认真观察日历表，回答下列问题：
(1)请找出同一横线上三个相邻数之间的关系： (2)请同学们找一找竖列三个相邻数的关系； (3)请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系； (4)请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系.
200
方法归纳
用代数式表示数的变化的规律： （1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在 规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; （2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； （3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好， 然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.
做一做 十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: 十字形中五数之和=5×中间数
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？ 规律: “H”形中七数之和=7×中间数
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？ “X”形
归纳
探索规律的一般步骤：
具
体
观 察
问
、
题
比 较
猜
表
想
示
规
规
律
律
得 出 结 论 验 证 成立 规 律
例3 将棱长为1的正方体层层叠放如图所示，问第(5)个、第(6)个图 形各需多少个正方体？
[解析] 认真观察图形，注意分析看不到的地 方，再从中找出规律．
解：第(5)个图形需1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1 ＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4＋5)＝35(个)正方 体．同理，第(6)个图形需56个正方体．
你们能很快地说出数字200落在哪个手指 上吗？2000呢？
讲授新课
一 数式变化中的规律
合作探究
请同学们认真观察日历表，回答下列问题：
(1)请找出同一横线上三个相邻数之间的关系： (2)请同学们找一找竖列三个相邻数的关系； (3)请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系； (4)请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系.
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仔细观察，按规律填空
（1）、1，2，3，4，__5 _ （2）、2，4，6，8，__10_ （3）、1，4，7，10，_1_3_
杨辉三角 1 11 121 1331 1 4 6 41
…
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的 数有什么关系？
因为 2+3+4+9+10+11+16+17+18=90
+(a+8) = __9_a___
规律：任何一个方框中9个数之 和 = 9×正中间的数.
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？
对于任何一个月的日历都成立，因为 对于任何一个月的日历都有如上题中的关 系成立.如2018年10月日历:
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关 系吗？用代数式表示.
234
10×9=90
9 10 11 所以这9个数的和等于
16 17 18 正中间一数的9倍
（2）这个关系对其他这样的方框也成立吗？你能 用代数式表示这个关系吗？
a-8 a-7 a-6
a-1 a a+1
a+6 a+7 a+8
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)
按左图方式摆放餐桌和椅子 （1）1张餐桌可坐_6__人；
2张餐桌可坐_1_0_人.
（2）按照左图的方式继续排 列餐桌,完成下表：
桌子 1 2 3 4 5 … 张数
n
可坐 6 10 14 18 22 … 2n 人数
……
4 +4 +4 +4
n张餐桌可坐 (4n+2)人
本节课小结
得
出
探索规律的一般步骤：
十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: 十字形中5数之和=5×中间数.
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: “H”形中7数之和=7×中间数.
用火柴棒按下图的方式搭三角形.
填写下表：
三角形
个数 1 2 3 4 5 …
n
火柴棒 3 5
根数
7 9 11
…
3
+2
+2
+2
+2 +2
三角形个数 1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 3 5 7 9 11 …
n 2n+1
三角形个数
1 2 4 5 …
n
火柴棒根数
3=1+2 5=1+2+2 7=1+2+2+2 9=1+2+2+2+2 11=1+2+2+2+2+2 …… 1+2n=1+2+2+2+2+2+2+…+2
下面是用棋子摆成的“小房子”.摆成第10 个这样的“小房子”需要多少枚棋子？摆第n个 这样的“小房子”呢？你是如何得到的？
结
论
具
观
猜
表
验
体
察
想
示
证 成立
问
特
规
规
规
题
例
律
律
律
不成立
索探新重 头回
完成练习册本课时的习题
（1）、1，2，3，4，__5 _ （2）、2，4，6，8，__10_ （3）、1，4，7，10，_1_3_
杨辉三角 1 11 121 1331 1 4 6 41
…
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的 数有什么关系？
因为 2+3+4+9+10+11+16+17+18=90
+(a+8) = __9_a___
规律：任何一个方框中9个数之 和 = 9×正中间的数.
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？
对于任何一个月的日历都成立，因为 对于任何一个月的日历都有如上题中的关 系成立.如2018年10月日历:
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关 系吗？用代数式表示.
234
10×9=90
9 10 11 所以这9个数的和等于
16 17 18 正中间一数的9倍
（2）这个关系对其他这样的方框也成立吗？你能 用代数式表示这个关系吗？
a-8 a-7 a-6
a-1 a a+1
a+6 a+7 a+8
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)
按左图方式摆放餐桌和椅子 （1）1张餐桌可坐_6__人；
2张餐桌可坐_1_0_人.
（2）按照左图的方式继续排 列餐桌,完成下表：
桌子 1 2 3 4 5 … 张数
n
可坐 6 10 14 18 22 … 2n 人数
……
4 +4 +4 +4
n张餐桌可坐 (4n+2)人
本节课小结
得
出
探索规律的一般步骤：
十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: 十字形中5数之和=5×中间数.
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: “H”形中7数之和=7×中间数.
用火柴棒按下图的方式搭三角形.
填写下表：
三角形
个数 1 2 3 4 5 …
n
火柴棒 3 5
根数
7 9 11
…
3
+2
+2
+2
+2 +2
三角形个数 1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 3 5 7 9 11 …
n 2n+1
三角形个数
1 2 4 5 …
n
火柴棒根数
3=1+2 5=1+2+2 7=1+2+2+2 9=1+2+2+2+2 11=1+2+2+2+2+2 …… 1+2n=1+2+2+2+2+2+2+…+2
下面是用棋子摆成的“小房子”.摆成第10 个这样的“小房子”需要多少枚棋子？摆第n个 这样的“小房子”呢？你是如何得到的？
结
论
具
观
猜
表
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体
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示
证 成立
问
特
规
规
规
题
例
律
律
律
不成立
索探新重 头回
完成练习册本课时的习题