第二节 数列的极限

x3
x1
x2 x4
xn
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引例
观察数列
( −1) n−1 通过观察:当n无限增大时, x n = 1 + n
− ( −1) n−1 {1 + }当 n → ∞ n
时的变化趋势. 无限接近于1.
问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
∵ xn − 1 = ( −1)
n −1
2
而此二数不可能同时落在
2
长度为 1 的开区间 ( a− 1 , a+ 1 ) 内,因此该数列发散 .
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定理2 (收敛数列的有界性) 收敛数列{xn}一定有界. 证: 设 从而有 取
ε =1, 则 ∃N,当 n> N 时, 有 xn −a <1,
取 则有
≤ xn −a + a <1+ a M =m { x , x2 ,⋯, xN , 1+ a } ax 1 xn ≤ M ( n =1, 2,⋯ . )
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(−1) n = 0. 例2 证明 lim xn = lim 2 n →∞ n →∞ ( n + 1) 证明 ∀ε > 0, 取N = [ 1 − 1], 则当n>N 时,就有 ε
xn − a
1 = ( n + 1) 2
1 < < ε. n +1
所以 分析
xn − a
(− (−1) n lim = 0. 2 n → ∞ ( n + 1)
1 1 1 1 , , ,⋯ , n ,⋯; 2 4 8 2
− 1 4 n + ( −1) n−1 2, , , ⋯ , ,⋯; 2 3 n
注意： (1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取 x1 , x 2 ,⋯ , x n ,⋯ .
x n = f (n), n ∈ N + . (2).数列是整标函数
1 1 = n n
1 给定 , 由 1 < 1 , 只要 n > 100时,有 x − 1 < 1 , 时 n 100 n 100 100 1 , 只要 n > 10000时, 有 x n − 1 < 1 , 给定 时 10000 10000
给定 ε > 0, 只要 n > N ( = [1])时, 有 x n − 1 < ε成立.
n→ ∞
xn → A (n → ∞)
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 习惯上也说 lim xn不存在 n →∞ 极限定义的简记形式
lim x n = A ⇔∀ε >0, ∃N∈N+, 当n>N时, 有|xn−a|<ε . ∈ > 时 <
n→ ∞
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注：
(1).ε 的任意性，它是描述xn 与a 的无限接近程度. (2). N 与ε有关，但不唯一. (3) 几何解释 几何解释:
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ−ε
x 2 x1 x N + 1
2ε
a +ε
x N + 2 x3
x
a
当 n>N 时,所有的点xn 都落在开区间(a-ε,a+ε) ,只有 有限个(至多只有N个)落在这区间以外. (4).数列极限的定义未给出求极限的方法.
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例1 证明 证明
n + ( −1) n−1 lim = 1. n→ ∞ n
x1 , x 2 ,⋯ , x i ,⋯ x n ,⋯
x n1 , x n2 ,⋯, x nk ,⋯
注： 在子数列 {xn } 中，一般项 x n 是第k 项，而 x n 在
k
k
k
n 原数列 {x n } 中却是第 nk 项，显然， k ≥ k .
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定理4(收敛数列与子数列间的关系）如果数列{xn} 收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a. 证: 设数列 若 是数列 的任一子数列 . 时, 有
∵ q < 1, ln q < 0,
∴n > 1+
ln q
,
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二、 收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 证明 : 假设同时有 lim xn = a 及 lim xn = b , 且 a<b.
b − a >0 按极限的定义, 对于 ε = , 存在充分大的正整数 N, 2 使当n>N时, 同时有 |xn −a|< ε = b − a 及|xn −b|< ε = b − a , 2 2 因此同时有 xn < b + a 及 xn > b + a , 2 2
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数列极限的精确定义 3. 数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正 数ε , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xn−a |<ε 都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
lim x n = A 或
由此证明收敛数列必有界. 注 此性质反过来不一定成立 . 例如, n+ 虽有界但不收敛 . 1 数列 (− ) 1
{
}
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定理3(收敛数列的保号性) . 若 时, 有 证: 对 a > 0 , 取
推论: 推论: 若数列从某项起
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子数列的收敛性
所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保 持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一 个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）. 例如， 例如，
1 ∀ε > 0, 取N = [ ], 则当n>N 时,就有 ε n + ( −1) n−1 −1 < ε n
n + ( −1)n−1 即 lim = 1. n→ ∞ n
n + ( −1) n −1 1 分析 xn − a = −1 = n n 1 < ε ,即 n > 1 对于任意ε >0,要使|xn-1|<ε, 只要 ε n
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第二节
数列的极限
一、 数列极限的定义
二、 收敛数列的性质
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一、数列极限的定义
概念的引入 概念的引入
计算圆的面积 正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2
R
⋯⋯
⋯⋯
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,⋯ , An ,⋯
S
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思考与练习
如何判断极限不存在? 如何判断极限不存在 方法1. 找一个趋于∞的子数列 的子数列; 方法 找一个趋于 的子数列 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 方法 找两个收敛于不同极限的子数列
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作业： 习题1-2 作业：p-30 习题 3(2)(3), 4, 5
n +1
( n = 1,2,⋯) 是发散的.
证：因为当 k → ∞ 时,
x 2 k → −1, x 2 k +1 → 1
故数列 {xn } 发散.
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内容小结
1. 数列极限的 “ ε – N ” 定义及应 用 收敛数列的性质: 2. 收敛数列的性质: 保号性; 唯一性 ; 有界性 ; 保号性 任一子数列收敛于同一极限
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1. 数列的概念
按照某一法则, 对每一n∈N+, 对应着一个确定的实数 xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, ⋅ ⋅ ⋅ , xn , ⋅ ⋅ ⋅ , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 第n项xn叫做数列的一般项. 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅ ; , , , 1, −1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (−1)n+1, ⋅ ⋅ ⋅ . , , , − +
1 1 ( −1) n = −0 = . 2 < 2 ( n + 1) ( n + 1) n+1
∀ε > 0, (设ε < 1 ), 要使 | xn − a |< ε , 只要 设 1 1 < ε , 或 n > − 1, n+1 ε
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例3 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2, ⋅ ⋅ ⋅ , qn-1, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限是0. 证明 ∀ε > 0, 取N = [1 +
则 ∀ε > 0, ∃N, 当
现取正整数 K , 使
于是当 k > K时, 有
xN
nk >
从而有
≥N
********************* *********************
N
xnk −a <ε , 由此证明
k→ ∞
lim xnk = a.
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注:若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,则原数 列一定发散 . 证明 数列 x n = ( −1)
ε
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数列极限的通俗定义 2. 数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为 lim xn = a . n→∞ 当n无限增大时, xn无限接近于a . ⇔当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . ⇔当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. ⇔当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数. 因此, 若 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给 定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近常数a.
ln ε ], 则当n>N 时,就有 ln q
n −1
xn − 0 = q
< ε.
所以 分析
lim q
n→ ∞
n −1
n −1
= 0.
n −1
∵ xn − 0 = q
−0 = q
,
∀ε > 0, 要使 | xn − a |< ε , 只要 q n−1 < ε . 取自然对数,得 ( n − 1) ln q < ln ε . ln ε
n→∞ n→∞
这是不可能的. 所以只能有a=b.
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例4. 证明数列 证明: 证明: 用反证法.
是发散的.
假设数列
{ xn} 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 ε = 1 ,则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a− 1 < xn < a+ 1
但因
2
xn交替取值 1 与－1 ,