2.1数列的概念与简单表示法(第一课时)

思考：是否所有的数列都有通项公式？若有，通
项公式是否唯一？
答：①不是 ②若一个数列有通项公式，也不一定 唯一，如数列：-1，1，-1，1……的 通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写 成an=(-1)n+2，也可以写成 an= -1（n为偶数）
1（n为奇数）
（4）递推公式法：
给出数列{an}的第1项（或前几项）及以后各 项与它相邻的前一项（或前几项）之间的关 例如：系式来表示数列.
第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法（1）
导入新课：
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问 题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如1，3，6， 10，…
1
3
6
10
由于这些数可以用三角形点阵表示，他们就将这些数
称为三角形数
类似地，1，4，9，16，…，可以用正方形点阵表示，如下图
思考： {an}与 an有何区别？
答：{an}表示一个数列，而 an表示数列的第n项。
（1）列举法：将每一项按一定顺序，一一列举出 来表示数列的方法
比如：三角形数：1，3，6，10，… （2）图象法：在坐标系中描出（n,an）这些孤立
的点.
比如：三角形数：1，3，6，10，… 将点（1，1）；（2，3）；（3，6）；（4，10）；… 在坐标系中描出。 y 如右图：
通项公式
an=n
an=2n
an=2n-1
an=n2
an=2n
an
=
1 n
an = n • (n +1)
an = (-1) n-1 an =10 n -1
an=1
写出下列数列的通项公式：
（1）1，- 3，5，- 7，9，.…
（2）22 -1，32 - 2，42 - 3，52 - 4，…
35 7 9
(3)5,55,555,5555, …
的通项公式应 当牢记在心， 这对于归纳、
2，4，6，8，… 1，3，5，7，…
猜想求解复杂 1，4，9，16，…
数列的通项公 式是大有好处
2，4，8，16，…
的，能极大的
1，12，
1， 3
1， 4
…
提高解题速度。 1×2，2×3，3×4，4×5，…
1，-1，1，-1，…
9，99，999，…
1，1，1，1，…
数列：有序性、可重复性、确定性.
总结: 数列与集合的区别
数列
集合
各项必须是数
集合中的元素可以是数字，也 可是其他形式
数列中的数是有顺序的，如1， 集合中的元素具有无序性，如 2，3与1，3，2代表不同的数 {1，2，3}={1，3，2} 列
同一个数在一个数列中可以重 集合中的元素具有互异性，如
复出现，如1，1，1，1，
(2)79 1 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项； 3
如果不是，请说明理由.
(2)根据题意得
79 2 = n2 + n -1
解：(1)a10
=
10 2 +10
(n
3 +1)
2
-1 = 109 3
+ (n +1) -1
n2 +3n +1
3
3
解得， n =15或n = -16
n ∈N *
an+1 =
解：
(1)an = n2 - 5n + 4 < 0
(2)an = n2 - 5n + 4
解得，1< n < 4 n ∈N * ∴n = 2或n = 3
∴数列中有两项是负数 .
= (n - 5)2 - 9 24
对称轴为n = 5 = 2.5 2
又 n∈N* ∴ n = 2或n = 3, an取得最小值 ,
图象是一些孤立的 点
x
O
数列的实质:
从函数的观点看，数列的项 a n是序号n的函数.
即数列可以看成以正整数集 N（* 或它的有限子集
{1,2，…，n}）为定义域的函数 an =f（n） 当自
变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值.
反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i） （i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个 数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…
已知数列{an }的通项公式 an = 3n2 - 28n.
(2) - 49和68是否为该数列中的项， 若是，是第几项，若不 是，请说明理由 .
解： (2)令3n2 - 28n = -49
整理得，3n2 - 28n + 49 = 0
解得，n = 7或n = 7 (舍去) 3
∴-49是该数列的第 7项.
答案：
(4) 1 ,1, 9 , 8 ,… 3 53
(1)an = (-1)n+1 (2n -1);
(2)an
=
(n +1)2 2n +1
n
;
(3)an
=
5 9
(10n
- 1);
(4)an
=
n2 n+2
例题2已知数列{an
}的通项公式an
=
n2
+n 3
- 1，其中n ∈
N*.
(1)写出a10 , an-1和an2
,
(2)an (3)an
…；(4)an
= n2 ； 2
= 1+ (-1) 2
- 1 (n n
=3
an
n
；
= 2k
= (-1)n • 2+ (-1) n
- 1),
其中k ∈N *
n
(5)3,33,333,3333,…；
(n = 2k), n
(5)an
=
10 n -1； 3
总结：
数列{an}
一些基本数列 1，2，3，4，…
3
= 3
∴n = -16不符合题
(n2 )2 + n2 -1 n4 + n2 -1
an2 =
3
= 3
意，舍去 ∴n =15
即79 2 是这个数列的第15项. 3
总结：
通项公式直接反映了an与n之间的关系，给出一个数a, 可以通过 通项公式来判断数a是否为数列的项，判断时只要看an = a 是否有正整数解即可.
总结：数列与函数对比表
R或R的子集 y＝f(x) 点的集合
N*或它的有限子集{1,2,3，…，n} an＝f(n)
一些离散的点的集合
（3）通项公式法：如果数列的第n项与序号n之间的关 系可以用一个式子来表，那么这个 式子叫做这个数列的通项公式
即：an=f（n），n∈N* 我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项.
思考： (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一
个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？ 提示: 不是同一个数列 没有按照一定的顺序排列，不符合数列的有序性
(2)数列中的数可以重复吗？ 可以
(3)数列与集合有什么区别？ 提示: 集合：无序性、互异性、确定性；
令3n2 - 28n = 68
即3n2 - 28n - 68 = 0
解得，n = -2或n = 34 3
n = -2 ∉ N * ,
n = 34 3
∉
N*
∴68不是该数列的项 .
例题3 已知数列{an }的通项公式为 an = n2 - 5n + 4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
已知数列{an }的通项公式 an = 3n2 - 28n.
(1)写出该数列的第 4项和第 6项； (2) - 49和68是否为该数列中的项， 若是，是第几项，若不 是，请说明理由 .
解：(1) an = 3n2 - 28n ∴a4 = 3× 42 - 28 × 4 = -64 a6 = 3× 62 - 28 × 6 = -60
1
4
9
16
由于这些数可以用正方形点阵表示，他们就将这些数 称为正方形数
学习新课：
按照一定顺序排列的一列数称为数列.
（1）三角形数：1，3，6，10，… （2）正方形数：1，4，9，16，… （3）1，2，3，4，…的倒数排列成的一列数 （4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，…
特征：1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序
例题1 写出下列数列的一个通项公式：
(1) 1 , 3 , 7 , 15 , 31 ,…；
(1)an
=
2n -1； 2n
合写成：
{ 2 4 8 16 32
(2) 1 ,2, 9 ,8, 25 ,…； 22 2
(3)0,1,0,1,0,1,…；
3 13 13 (4) -1, ,- , ,- ,
2 34 56
如：1， 2， 22， 23， ...， 263. 有穷数列 递增数列
1， 1 ， 1， 1 ， ... 234
无穷数列 递减数列
1， 2， 3， 4，...， 62.
有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， ... -1， 1， -1， 1， ...
Fra Baidu bibliotek
无穷数列 常数列 无穷数列 摆动数列
例题分析：
总结：(1)要注意n的取值范围n ∈N *
最小值为 - 2
(2)要注意二次函数的对称性.
(1)已知数列{an
}的通项公式是an
=
n -1 , 那么这个数列是【 n +1
A
】
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
{ } (2)数列 - 2n2 + 29n +3 中的最大项是 108
解：由条件知 an = -2n 2 + 29n + 3 an = -2n 2 + 29n + 3 = -2(n- 29)2 + 889 4 16 ∴对称轴n = 29 = 7.25 4
又 n∈N*
∴ n = 7时，an取得最大值 .
即最大项为第 7项，此时 a7 = -2 × 72 + 29 × 7 + 3 =108
1，1，1，1，1，…组成的集
1，…
合只能写成{1}
数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位 的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在 第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的 数称为这个数列的第n项.
数列一般可以写成：a1,a2,a3,a4,…,an,… 简记为：{an}
如果数列{an}的首项a1=1，从第2项起开始每一 项等于它的前一项的2倍再加1， 即an=2an-1+1（n>1）,那么
a2=2a1+1=3 a3=2a2+1=7
… 像这样给出数列的方法叫做递推法，其中 an=2an-1+1（n>1）是递推公式.
(1)按项数分：有穷数列与无穷数列； (2)按项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、 常数列与摆动数列.