可微函数的导函数与原函数的奇偶性讨论

∫
x
∫
x
∫ f ( t ) dt
0
x
∫ f ( t ) dt+ c 令 u= - t= ∫ f ( - u) du + c=∫ f ( u) du+
F( - x )=
0 x x 0 0
x
c=
意义 。
参考文献 : 张奠宙 . 现代数学与中 学数学 [ M ]. 上海 : 上海教育出版 社.
F( x ) 所以 f ( x )的原函数的全体 F( x )为偶函数 。 ( 8) f( x )是偶函数 f ( - x ) = f ( x ) F( - x )= -
DOI : 10. 16729 /j . cnki . jhnun. 2004. 02. 008
第 24 卷第 2期 2004年 5月
承德民族师专学报 Journal of Chengde T eachers ' Co lleg e f or Na tio nali ties
Vol. 24 No . 2 May. 2004
∫ f ( t ) dt+
0
x
c= -
∫ + f ( - u ) du
0
x
c=
∫ f ( u) du +
0
x
c= - F( x )+ c
—
32 —
u [ 合函数的导函数 y′ 是偶函数 , ψ ′ ( x ) , f′wk.baidu.comψ( x ) ]奇偶 性相异 ,则复合函数的导函数 y′ 是奇函数 。
证明 : 若 y= f ( u) , u= ψ( x ) 可导 , ψ ′ ( x ) , f′ u [ ψ ( x ) ]对 x 是偶函数则 : = f′ u ( u )ψ ′ ( x ) = f′ u [ψ ′ (x) ] y′ 是两个偶函数之积 , 故 y′ 是偶函数。 若ψ ′ ( x )与 f′ u [ ψ( x ) ]奇偶性相异 , 偶函数与奇 函数之积是奇函数。 u= x2 复合函数 y= sinx2 y= sinu y= cosx 2 u′ x = 2x 有 co sx 2 是偶函数 u′ x = 2x 是奇函数 则 y′ = 2x· cosx2 是奇函数 。 三、可微函数的原函数的奇偶性 命题 3. 若函数 f ( x )在区间上连续且 ( 6) 若 f ( x )为奇函数 , 则 f ( x )的一切原函数 都是偶函数。 (下转第 32页 ) — 13 —
可微函数的导函数与原函数的奇偶性讨论
包建廷 , 王庆丽
(河北大学 硕研班 , 河北 保定 071002)
摘要 : 函数的奇偶性是研究函数性态的重要知识 , 应用十分广泛 。 在高等数学中 , 可微函数的导函数的奇偶性与原函数的 奇偶性也存在密切的联系 。 本文利用高等数学的 知识进行讨论 。 关键词 : 可微函数 ; 导函数 ; 原函数 ; 奇偶数 ; 原函数奇偶性 中图分类号 : O172 文献标识码 : A 文章编号 : 10051554( 2004) 02001301
张雪莲 /著
学习利用 Authorw are 制作帮助文件
制作成精美图片再输入 。 6. 输 入各个帮 助主题的 内容。 在 Help t opic m enu 的右侧放 置一显示图标 , 命名为 Ov er view , 双击打开 ,输入相关内容。 与此相同 , 依次创建其它 显示图标 ,并输入相应主题的内容。 7. 创建主题按钮与其内容之间的链接。 双击打 开 Help t opic menu 群组图标 , 在 Select to pic 右侧 放置一导航图标 , 设置为热区响应 , 双击打开 , 进入 Navig ate Ico n 对话框 ,从 Desti nati on 区的下拉列表 中选定 Any where 选项 , 从弹出的图标选择窗口中 选定 Ov er w iew 图标作为链接对象 , 单击 OK , 双击 其上面的热区标志 , 在弹出的对话框中进行设置 , 响 应类型为 Ho tspo t, 匹配方式为 Si ngl e- cli ck, 并从 显示窗口中设置热区的位置和大小。 同样设置其它 主题按钮与相应内容之间的链接 。 8 、 进行多级弹出窗口设置。 一个完整的帮助文 件是通常需要多级弹出窗口的 , 可分别在各个显示 图标中设置超文本链接 。 (上接第 13页 ) ( 7) 若 f ( x )为偶函数 , 则 f ( x )的原函数中 , 仅 有一个为奇函数 , 证明: f( x )在区间上连续 , 它的原函数的全体表 示 F( x ) = 0 f ( t ) dt+ c 是任意常数 而 f ( x )是奇函数任意 x , f ( - x ) = - f ( x ) , F( x ) = 至此 , 关于目录这个菜单项就制作完了。有关其 他菜单项的制作 , 读者可依次进行制作 , 由于篇幅限 制 , 这里就不多说了 。 整个程序的流程图如图 3 所 示。
收稿日期 : 2003— 12— 15 作 者简介 : 包建 廷 ( 1966 — ) , 男 ,蒙 古族 , 承德民 族师 专 数学系副教授 。
二、可微函数的导函数的奇偶性 命题 1 : 可微奇函数的导函数是偶函数 , 可微偶 函数的导函数是奇函数 证明 : 设 y= f ( x )是可微的奇函数 。 则 f ( - x ) = - f ( x )同时求导。 - f′ ( - x ) = - f′ ( x ) 即 f′ ( - x ) = f′ ( x) 所以 f′ ( x )是偶函数。 设: y= f ( x )是可微的偶函数 f′ ( - x ) = f ( x )同 时求导 - f′ ( - x ) = f ( x ) f′ ( - x ) = - f′ ( x) 所以 y= f′ ( x )是奇函数 例如 : y= sinx 是奇函数 , ( si nx )′ = co sx = 是偶函数 y cosx 命题 2 复合函数 y= f( u) , u= ψ( x )可微 ,导函 数ψ ′ ( x ) , f′ u [ψ ( x ) ]对 于 x 来说 , 奇偶性相同。 则复
只有当 c= 0时有 F( - x ) = - F( x )即 f ( x )的原 函数中只有唯一的 F( x )是奇函数 。 例如 : f ( x ) = si nx 为奇函数它的原函数的全体 。 F( X) = 0 si ntdt+ c= co sx+ c 为偶函数 。 f ( x ) = co sx 为偶函数 ,它的原函数中只有 F( x ) = si nx 是奇函数 , 其余 F( x ) = si nx+ c 是非奇非偶 函数 。 可见 , 利用导函数与原函数的简单推导 , 得出的 可微函数的导函数与原函数的奇偶性的特点 , 应用 这些结论 , 对研究函数的极值 , 函数的性态有深刻的
一 、预备知识 定义 : 如果对于函数 y= f ( x )的定义域内任意 一个 x 有 f ( - x )= - f ( x )称 y = f ( x )是奇函数 , f ( x ) = f ( x )称为偶函数 。 结 论 : ( 1)函数 y= f ( x ) 是奇 (偶 )函数 , 则定义 域关于原点对称。说明 : 定义域关于原点不对称的函 数 , 一定不存在奇偶性 。 ( 2)奇函数的图像关于原点成中心对称图像 , 偶 函数的图像关于 y 轴成对称图形 , 反之成立 ,利用其 作出函数图像 。 ( 3)若 y= f ( x )在定义域上既为奇函数又为偶 函数则它的解析式 f ( x ) = 0 证明: 用 f ( x )既为奇函数又为偶函数 x∈ m ,… - x∈ m. f ( - x )= - f( x ) f ( - x ) = f ( x ) 既 - f ( x ) = f( x ) 既 f ( x )= 0 ( 4)两个 (奇 )偶函数的和 (差 ) ,在公共定义域内 都 是 奇 (偶 )函数 , 一个奇 函数与一 个偶函数 的和 (差 )在公共定义域内是非奇非偶函数 。 ( 5)复合函数的奇偶性 若 u= ψ( x )为奇函数 , 若 y = f ( u )为奇函数 , 这 复合函数 y= f (ψ( x ) )在定义域内为奇函数 若 y= f ( u)为偶函数 , 则 y= f (ψ ( x ) )在定义域 内为偶函数。 证明 : ( 1)若 u= ψ( x )为奇函数 , y= f ( u)为奇函 数 , f [ψ ( - x ) ]= f [ - ψ( x ) ]= f [- u ]= - f [u ]= - f [ψ( x ) ] 同理证明 ( 2)成立 。