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高等数学A-第1章-8-7(函数连续性)
lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置。
定理4 （连续函数的复合函数是连续函数）
设函数 u g( x) 在点 x x0连续, 且 g( x0 ) u0 , 而函数 y f (u) 在点u u0 连续, 则复合函数 y f [g( x)]在点 x x0也连续.
x x0
(2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续.
4.函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续.
解： f ( x) 1 在x 0处没有意义, x
x 0为f ( x)的间断点.
又 lim f ( x) lim 1 ,
x0
x0 x
这时称x=0为f(x)的无穷间断点.
例6.设f ( x) sin 1 ,讨论x 0处的连续性. x
解: f ( x) sin 1 在x 0处没有意义, x
可见，f(x)在x0处连续必须满足三个条件：
(1) f ( x0 )有定义 (2) lim f ( x)存在
x x0
(3) lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
3.左右连续定义
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义, 且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
0, 0, 使当 u a 时,
恒有 f (u) f (a) 成立.
无穷级数 函数项级数 幂级数收敛半径
s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
定理2 如 果 幂 级 数anxn的 所 有 系 数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,R0,
收 敛 域 为 {0 };
(2)幂 级 数 对 一 切 x都 收 敛 ,R, 收 敛 域 (, ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
定理2 如 果 幂 级 数anxn的 所 有 系 数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,R0,
收 敛 域 为 {0 };
(2)幂 级 数 对 一 切 x都 收 敛 ,R, 收 敛 域 (, ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;
第8章 常微分方程—8-8(习题课)
习题5
求解
y a y 2 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
y y x,
xπ 2
y 4 y 0 , x π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足条件
处连续且可微的解. 例4 设函数 数, 且 内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
dp f ( x, p ) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形 • 欧拉方程
齐次
非齐次
代数法
x 2 y p x y q y f ( x) d t 令 x e ,D dt t y D( D 1) pD q f (e )
例3 求微分方程
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解:
y C1 sin 2 x C2 cos 2 x
) cos 2 x, x y 1 sin 2 x ( 1 2 2 2
定解问题的解: 故所求解为
y 1 ) cos 2 x , sin 2 x ( 1 2 2
高等数学A
第8章 常微分方程
习 题 课
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微分方程习题课
第二换元积分法(2)与分部积分法
1 1 t2 1 2 dt 2 1 t2
1 1 2 2 ( 1 t ) d ( 1 t ) 2 1 t2
1 ( 1 t 2 )3 1 t 2 C 3
1 1 x 3 x
2
1 x2 C. x
x xde 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则可将
x e 化为容易积分的 dx 形式.
即
dxe e dx xde x x x xde dxe e dx
x x x
两边积分，得
xe dx xde dxe e dx xe
x
x x x
x
e C
x
设函数u u( x ) 和v v ( x ) 具有连续导数,
例8 计算
x arctan xdx.
x x arctan x d (arctan x ) 2 2 x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x 2 x 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x 2 x 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
例10 计算 解
x e xde e sin x e d (sin x )
x x x x x
e sin x e cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e x d cos x ) e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
例9 计算
( x 3 x 1) ln xdx.
3
例10 计算
例11 计算
高等数学A-第2章-11-11(弧微分曲率及习题课)
s
2
x
MM
2
x
2
MM MM
MM 2
x 2
MM MM
2
x2 y2 x 2
MM MM
2
1
பைடு நூலகம்
y x
2
s x
MM MM
2
1
y x
2
lim
MM
lim
MM 1,
lim y y
x0 MM MM MM
x0 x
lim s lim x0 x x0
y 1 x2 l 0 2 Rl 2 R
y 1 x
Rl
K y 1 x
Rl
显然 K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
例5. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x asint ;
x acos t
x 表示对参
y bcos t ;
y bsint
数 t 的导数
故曲率为
M1
弧长相同时,弧段弯曲程 度越大转角越大
M
S1
M
N S2 N
转角相同时,弧段越短 弯曲程度越大
定义: 设MM s,由M到M的切线转角为,
(1) K 称为平均曲率;
s
(2) 若 lim 存在, 称此极限值为点M处的曲率.
s0 s
y
记为 K d lim .
C
ds s0 s
M. . M0 S M S
曲率圆与曲率半径习例6-8
用 内容小结
课堂思考与练习
结构框图
习题课 内容小结
典型习例
一. 弧微分
4.对数求导法 参数方程的求导法则
例4.设y ( x 2 1)sin x , 求y.
解: ln y sin x ln( x 2 1),
d d (ln y ) [sin x ln( x 2 1)], dx dx
1 2x 2 y cos x ln( x 1) sin x 2 , y x 1
dy t dy . d t dx ( t 1 )( 1 cos y ) dx dt
2 t x cos y 0 d y 例8.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
2.1.12 参数方程确定函数的导数
分段函数的求导法 内容小结 课堂思考与练习
一、对数求导法
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x )
v( x)
的情形.
dy 设 y u( x ) , 求 . dx 解: 首先, 两边取对数 ln y v( x ) ln u( x ),
高等数学A
第2章 一元函数微分学
2.1 导数及微分
2.1.11 对数求导法 2.1.12 参数方程所确定的函数的导数
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2.1 导数及微分
对数求导法
2.1.11 对数求导法
对数求导法习例1-5 参数方程确定函 数的导数 参数方程确定函数 的导数习例6-9
导 数 及 微 分
例2.设 y x sin x ( x 0), 求y.
高等数学A-第2章-11-4(对数求导法 参数方程的求导法则)
t x cos y 0 d 2 y 例7.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
当 x x0时, H ( x ) g( x ) 当 x x0时,
H ( x ) H ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0 H ( x ) H ( x0 ) g( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0
y ( x 1)
2 sin x
2 x sin x cos x ln( x 1) 2 . x 1
2
例5.设y 5
x5
5
x 2
2
, 求y .
1 1 , 2 ln y ln( x 5 ) ln( x 2 ) 解: 5 5
三、由参数方程确定的函数的求导法则
dy a. y f ( x ) f ( x) x ( t ) dx 1. y (t ) b. F ( x , y ) 0 dy f ( x ) dx
2.问题: 消参困难或无法消参时如何求导?
x (t ) 定理: 设 确定了 y为 x的函数, y (t )
x ( t ) 和 y ( t ) 可导, 且 ( t ) 0,
dy ( t ) 则 . dx ( t )
(微积分基本定理)
2 2
例3 求由 y 2 e dt
0
t
2x 2 t dt 0
dy 0所确定的隐函数y对x的导数 . dx
解
方程两边对x求导得，
e 2 yy 4 x 2 2 0
dy 4 x 2 y2 . dx ye
y2
例4 设y 0 ( x 1)( x 2) dx , 求其极值点.
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 [a , b ] 上 的一个原函数，则 a f ( x )dx F (b ) F (a ) .
证 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
x
b
a
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
解
x
2
y ( x 1)( x 2)2 ,
令y 0, 得x 1, x 2,
x ( ,1)
y
y
1
0
(1,2)
2
0
( 2,)
ห้องสมุดไป่ตู้
极小值点为x 1.
例5
e 求 lim cos x
x 0
1
t 2
dt
x
2
.
0 分析：这是 型不定式，应用L’Hospital法则. 0
x
例 7 设 f ( x ) 在( , )内连续，且 f ( x ) 0.证明函数
tf ( t )dt 0 在(0, )内为单调增加函数. F ( x) x 0 f ( t )dt
例 8 设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
x
例3 求由 y 2 e dt
0
t
2x 2 t dt 0
dy 0所确定的隐函数y对x的导数 . dx
解
方程两边对x求导得，
e 2 yy 4 x 2 2 0
dy 4 x 2 y2 . dx ye
y2
例4 设y 0 ( x 1)( x 2) dx , 求其极值点.
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 [a , b ] 上 的一个原函数，则 a f ( x )dx F (b ) F (a ) .
证 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
x
b
a
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
解
x
2
y ( x 1)( x 2)2 ,
令y 0, 得x 1, x 2,
x ( ,1)
y
y
1
0
(1,2)
2
0
( 2,)
ห้องสมุดไป่ตู้
极小值点为x 1.
例5
e 求 lim cos x
x 0
1
t 2
dt
x
2
.
0 分析：这是 型不定式，应用L’Hospital法则. 0
x
例 7 设 f ( x ) 在( , )内连续，且 f ( x ) 0.证明函数
tf ( t )dt 0 在(0, )内为单调增加函数. F ( x) x 0 f ( t )dt
例 8 设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
x
第4章无穷级数3-8(函数项级数 幂级数收敛半径)
n 0
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
第一换元积分法与第二换元积分法
例2 计算
3
1 dx. 2x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2x
)dx
1 2
3
1 2x
d
(
3
2
x)
32 xu
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C. 2
例3 计算
x(1
1 2
ln
dx. x)
解
Hale Waihona Puke x(11 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x
)
u 1 2ln x
1 2
1 du u
1 ln u 2
C
1 ln1 2
2 ln
x
C.
例4 计算
(1
x x
)3
dx
.
解
(1
x x
)3
dx
x 11 (1 x)3 dx
x a
1 arctan a
x C. a
作为公式
练习题
x
2
1 8x
dx. 25
练习题
1
x
2
高等数学A-第5章-6-4(5.4 平面与空间直线(2))
例 2 求过点 M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
高等数学A
第5章 空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
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5.4 平面与空间直线
两直线的夹角 习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面 与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
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第5章 空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
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5.4 平面与空间直线
两直线的夹角 习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面 与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
极限的四则运算
x3 x2 2
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
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B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
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B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
第8章 常微分方程—8-7(简单应用)
4t 2
[4t 2 1].
例7 已知f (u)具有二阶连续偏导数 , 且z f (e x sin y)满足方程
2z 2z 2x e z, 2 2 x y
求f ( x )。
解 这是一个偏微分方程，可通过多元函数微分法 因为
化为常微分方程来解。
z z x f ( u)e si n y , f ( u)e x cos y, x y
f ( x) g ( x) 2 e x .
(1) 求 F ( x )所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出 F ( x )的表达式 . (2003考研)
例5 已知 ( ) 1, 试确定 ( x)使曲线积分
y L [sin x ( x )] x dx ( x )dy与路径无关。
2 0
x
上式两端再对x求导，得
x f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
2
x 2 f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
这是变量可分离方程，分离变量并积分得
f ( x ) 1 3x f ( x ) dx x 2 dx, 1 3 l n f ( x ) ( 2 )dx, x x 1 l n f ( x ) 3 l n x c1 x
2z x 2x 2 f ( u ) e si n y f ( u ) e si n y, 2 x
2z x 2x 2 f ( u ) e sin y f ( u ) e cos y, 2 y 2z 2z 2x e z, 代入原方程，得 2 2 x y x 2x 2 [ f (u)e sin y f (u)e sin y]
f ( x) e
高等数学A第6章多元函数微分学9-10(多元函数的极值 条件极值—拉格朗日乘数法则).
函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件） 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )具有偏导数, 且在( x0 , y0 )取得 极值,则fx ( x0 , y0 ) 0, fy ( x0 , y0 ) 0. 证 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极小值,
Q(h, k)
1 A
[(
Ah
2
2ABhk
B2k 2 )
( AC
B2)k2]
1A[(Ah Bk)2 ) ( AC B2 ) k 2 ]
可见 , 当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而△z＞0 , 因此 f (x, y)
在点 (x0, y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而 △z＜0, 因此 f (x, y) 在点
则称z f ( x, y)在P0 ( x0 , y0 )有极大值 或极小值f ( x0, y0 ).
极大值与极小值统称为极值. P0 ( x0 , y0 )为极值点.
若引进点函数, 则 当f (P ) f ( P0 )时, f (P0 )为极大值; 当f ( P ) f ( P0 )时, f ( P0 )为极小值.
＋
所以， f(x,y) 没有极值.
－
二、多元函数的最值问题
1.多元函数的最值问题
(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值.
第章无穷级数-(函数项级数幂级数收敛半径)
当y 2时, 可得n1n1发散,
当y
2时,
可得
(
n1
1)n收敛. n
2 y 2, 从而 2 x 1 2 1 x 3
收敛域为[1,3).
方 由比值法得，
法
二
lim un1 n un
lim
n
( x 1)n1 2n1(n 1)
(
2n x
n 1)
n
x 1 ,
2
当 x 1 1即 1 x 3时,原幂级数绝对收敛; 2
当 x 1 1即x 1或x 3时,原幂级数发散;
当x
2
3时,
原幂级数成为
1,
发散,
n1n
当x
1时, 原幂级数成为
(
收敛域为[1,3).
n1
1)n n
(1)计算 lim an1 ;
n an
(2)由的值得R 1 ;
(3)由数项级数判定x R时 an xn的敛散性得收
n0
敛域[R, R]或[R, R)或(R, R]或(R, R).
标准幂级数收敛域的求法习例
例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域
（1）
形如
an xn a0 a1x an xn
n0
的函数项级数称为幂级数的标准形式.
an xn a0 a1 x an xn
(1)
n0
an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
第6章多元函数微分学6-10(隐函数及其微分法)
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
x
e y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d z z ( x, y )由F x , y 0所 确 定, 例4. 函 y x z z 证 明 x y z xy. x y
z z 解法1. 令 ( x , y, z ) F x , y y x 1 z z x F1, F2 F1 2 F2 x 2 x z z 2 y F1, F2 y 2 F1 F2 y 1
x x Fx z z2 2 z x Fz
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x x F1 y F2 x ( 2 ) F1 ( 2 ) F2
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv Fu Fy 1 v 1 ( F , G ) 定理证明略.仅 Fu Fv Gu G y J ( u, y ) 推导偏导数公 y Gu Gv 式如下：
幂级数与函数
s( x ) ln( 3 x ) ln 3,
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
高等数学A第6章多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面 曲面的切平面及法线)
x x0 Fx ( M ) y y0 Fy ( M ) z z0 Fz ( M ) 0
也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例
例4 求曲线x y z 6, x y z 0, 在 (1,2,1)处的切线及法平面 .
为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t0 处的导向量 就是该点的切向量.
r (t0 ) ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例
x x 例2 求曲线 y ( x )在( x0 , y0 , z0 )处的切线与法平面 . z ( x)
n
M0
T
该曲线在M0的切向量为 T { ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )}
又F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0,
则Fx ( t0 ) Fy ( t0 ) Fz ( t0 ) 0.
即Fx , Fy , Fz ( t0 ), ( t0 ), ( t0 ) 0, n { Fx , Fy , Fz }与切向量T垂直, n即为切平面的法向量.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
M
T
点击图中任意点动画开始或暂停
1. 曲线方程为参数方程的情况
T M
设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M ( x0 x, y0 y, z0 z )
y y0 z z0 切线方程为 x x0 , ( x0 ) ( x0 )
也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例
例4 求曲线x y z 6, x y z 0, 在 (1,2,1)处的切线及法平面 .
为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t0 处的导向量 就是该点的切向量.
r (t0 ) ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例
x x 例2 求曲线 y ( x )在( x0 , y0 , z0 )处的切线与法平面 . z ( x)
n
M0
T
该曲线在M0的切向量为 T { ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )}
又F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0,
则Fx ( t0 ) Fy ( t0 ) Fz ( t0 ) 0.
即Fx , Fy , Fz ( t0 ), ( t0 ), ( t0 ) 0, n { Fx , Fy , Fz }与切向量T垂直, n即为切平面的法向量.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
M
T
点击图中任意点动画开始或暂停
1. 曲线方程为参数方程的情况
T M
设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M ( x0 x, y0 y, z0 z )
y y0 z z0 切线方程为 x x0 , ( x0 ) ( x0 )
第4章无穷级数3-7(函数项级数 幂级数收敛半径)
对一切x , an x n绝对收敛. R .
n 0
an1 ( 3)若 lim , n an un1 an1 则 lim lim x ( x 0) n un n an
则 lim un 0, 故 an x n发散. R 0. 定理证毕.
(2) 幂级数对一切x 都收敛,R ,
收敛域( , ).
问题
如何求幂级数的收敛半径?
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
n a x 如果幂级数 定理2 n 的所有系数a n 0 , n 0
a n1 设 lim n a n
1 则 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
n 0
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x ) 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
n
(x在收敛域上)
注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.
( 2)
n 1
n
1 a n 1 lim 0, 解 lim n n 1 n a n
R ,
收敛域( , ).
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an ( x x0 )n有两种方法求其收敛域.
n 0
an1 ( 3)若 lim , n an un1 an1 则 lim lim x ( x 0) n un n an
则 lim un 0, 故 an x n发散. R 0. 定理证毕.
(2) 幂级数对一切x 都收敛,R ,
收敛域( , ).
问题
如何求幂级数的收敛半径?
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
n a x 如果幂级数 定理2 n 的所有系数a n 0 , n 0
a n1 设 lim n a n
1 则 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
n 0
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x ) 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
n
(x在收敛域上)
注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.
( 2)
n 1
n
1 a n 1 lim 0, 解 lim n n 1 n a n
R ,
收敛域( , ).
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an ( x x0 )n有两种方法求其收敛域.
高等数学A-第1章-8-1(函数及其性质修改)
由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数. 如 y x
2. 函数的有界性
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数 f ( x) 在X 上有界否则称无界 . .
即若X D, M 0, x1 X , 有 f ( x1 ) M 成立,
2. 函数定义域的确定
(1)由实际问题决定.
(2)自然定义域. 理论研究中, 对应法则是用数学公式表示的 函数, 这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所 有值构成的实数集. 即当函数由公式（表达式）给出时，使 公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域. 如：
分式的分母不为0；
2n
f ( x ), n为正整数, 要求f ( x ) 0;
o
x
o
x
(6) 整标函数
以自然数为自变量的函数: y f ( n) 图形为一些离散的点构成.
1.1.6 函数的特性 1. 函数的单调性
对任意 x1 , x2 I , 若 x1 x2 , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) (或f ( x1 ) f ( x2 ))
设函数y f ( x )在区间I (有限或无限 , 开或闭)上有定义,
2 例 求函数的定义域 (1) y 4 x
2 4 x 0 解： (1) 要求 1 x 2 x 1 0
1 1 ( 2) f ( x ) . 1 x 1 1 1 1 x
所以函数的定义域为(1,2].
1 1 0 x 0, 1, 1 . (2) 要求 x 2 1 1 0
故若两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 则这 两个函数就是相同的, 否则就是不同的.
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高等数学 A
第1章 函数与极限1.来自 函数及其性质1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的运算 1.1.3 区间与邻域 1.1.4 函数的映射 1.1.5 函数的概念 1.1.6 函数的特性 1.1.7 反函数与复合函数 1.1.8 函数的四则运算 1.1.9 初等函数
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
i1
i1
设A, B是两个非空集合,且x A, y B,则称有次序的一对元素 x, y为一个序偶,记作(x, y). 由集合A, B中所有元素作成的序偶 构成的集合,称为A与B的直积或Cartesian乘积,记作A B,即
A B {(x, y) | x A, y B}
例如, R R {(x, y) | x R, y R}表示整个坐标平面, 记作R2,即R2 R R {(x, y) | x R, y R}.
练习:A {1, 2}, B {1, 2,3},求A B.
1.1.3 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
数集{x x x0 }称为点x0的邻域 ,
点x0叫做这邻域的中心 ,
叫做这邻域的半径 .
x0
x0
x0 x
U(x0, ) {x x0 x x0 }.
点x0的去心的 邻域,记作U (x0 , )
U (x0, ) {x 0 x x0 }.
x0
x0
x0 x
邻域引入的作用:根据(>0)的变化,刻画
变量x逼近常量x0 (即x x0 )的程度.
1.1.5 函数的概念 1. 函数的定义
设D是实数集，称映射 f : D R 为定义在D上的函数, 通常简记为
y f (x), xD 或 f : x | y f (x), xD
因变量
自变量
数集D叫做函数f的定义域,记作 D f ，即 D f D
(2) 符号函数
1,
y
sgn x
0,
1,
x0 x0 x0
o
x
y
1
o
x
1
(3) 取整函数 y=[x]
y
4
[x]表示不超过x的最大整数
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
(4) Dirichlet(狄利克雷)函数
y
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
(3)定义域的表示法：
不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法.
例 求函数的定义域 (1) y 4 x2 1
x1
解： (1) 要求4 x2 0 1 x 2 x 1 0
(2)
f
(
x)
1
1 1
1
1
.
x
所以函数的定义域为(1,2].
x0
(2)
要求
1
1 x
0
x 0,1, 1 . 2
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
设x0与是两个实数 , 且 0.
判断函数 f 与 g 是否是同一函数？
(1) f ( x) lg x2, g( x) 2 lg x
(2) f ( x) x, g( x) x2
(3) f ( x) 3 x4 x3 , g( x) x3 x 1
表示函数的记号是可以任意选取的, 除了常用的f 外, 还可以用其他的英
文字母或希腊字母, 比如“g F、 、 ”等，相应的函数可记为
1
• 无理数点
习
复合函数
例
1-7
1.1.8 函数的四则运算
基本初等函数
1.1.9初等函数 初等函数
1.1.1 集合 1.集合的概念 2. 集合的表示法 3.数集分类:
1.1.2 集合的基本运算
A B {x | x A且x B} AB
对偶律： A B A B
A B A B
Ai Ai ,
i1
i1
Ai Ai
1.1 函数及其性质
集合 集合的运算
1.1.1---1.1.4 区间与邻域
函数定义
1.1.5 函数的概念 函数定义域和函数图形
函
表示函数关系式的方法及分段函数 函
数
函数的单调性
数
及 其
函数的有界性
1.1.6 函数的特性 函数的奇偶性
性
函数的周期性
及 其 性 质
质 1.1.7 反函数与复合函数 反函数
y gx, y F x, y x
单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这
种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数．例如，x2 y2 a2．
只有一个自变量的函数，称为一元函数.
2. 函数定义域的确定
(1)由实际问题决定. (2)自然定义域. 理论研究中, 对应法则是用数学公式表示的 函数, 这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所 有值构成的实数集. 即当函数由公式（表达式）给出时，使 公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域. 如：
函数值f (x)的全体所构成的数集称为函数f的值域， 记作R( f )或f (D),即 R( f ) f (D) {y y f (x), x D}
可见, 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R 内，因此构成函数的要素是：定义域与对应法则
故若两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 则这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.
分式的分母不为0；
2n f ( x), n为正整数,要求f ( x) 0;
log a f ( x), 要求a 0且a 1, f ( x) 0; arcsin f ( x), arccos f ( x), 要求 f ( x) 1; y f ( x) g( x) , 要求f ( x) 0.
1 1 0
1 1
x
3. 函数的图形
点集C {(x, y) y f (x), x D} 称为函数y f (x)的图形.
y
W y o
(x, y)
x
x
D
4. 分段函数
对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表 达式不同，这种函数称为分段函数.
(1) 绝对值函数
y
y
x
x, x,
x0 x0
第1章 函数与极限1.来自 函数及其性质1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的运算 1.1.3 区间与邻域 1.1.4 函数的映射 1.1.5 函数的概念 1.1.6 函数的特性 1.1.7 反函数与复合函数 1.1.8 函数的四则运算 1.1.9 初等函数
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
i1
i1
设A, B是两个非空集合,且x A, y B,则称有次序的一对元素 x, y为一个序偶,记作(x, y). 由集合A, B中所有元素作成的序偶 构成的集合,称为A与B的直积或Cartesian乘积,记作A B,即
A B {(x, y) | x A, y B}
例如, R R {(x, y) | x R, y R}表示整个坐标平面, 记作R2,即R2 R R {(x, y) | x R, y R}.
练习:A {1, 2}, B {1, 2,3},求A B.
1.1.3 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
数集{x x x0 }称为点x0的邻域 ,
点x0叫做这邻域的中心 ,
叫做这邻域的半径 .
x0
x0
x0 x
U(x0, ) {x x0 x x0 }.
点x0的去心的 邻域,记作U (x0 , )
U (x0, ) {x 0 x x0 }.
x0
x0
x0 x
邻域引入的作用:根据(>0)的变化,刻画
变量x逼近常量x0 (即x x0 )的程度.
1.1.5 函数的概念 1. 函数的定义
设D是实数集，称映射 f : D R 为定义在D上的函数, 通常简记为
y f (x), xD 或 f : x | y f (x), xD
因变量
自变量
数集D叫做函数f的定义域,记作 D f ，即 D f D
(2) 符号函数
1,
y
sgn x
0,
1,
x0 x0 x0
o
x
y
1
o
x
1
(3) 取整函数 y=[x]
y
4
[x]表示不超过x的最大整数
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
(4) Dirichlet(狄利克雷)函数
y
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
(3)定义域的表示法：
不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法.
例 求函数的定义域 (1) y 4 x2 1
x1
解： (1) 要求4 x2 0 1 x 2 x 1 0
(2)
f
(
x)
1
1 1
1
1
.
x
所以函数的定义域为(1,2].
x0
(2)
要求
1
1 x
0
x 0,1, 1 . 2
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
设x0与是两个实数 , 且 0.
判断函数 f 与 g 是否是同一函数？
(1) f ( x) lg x2, g( x) 2 lg x
(2) f ( x) x, g( x) x2
(3) f ( x) 3 x4 x3 , g( x) x3 x 1
表示函数的记号是可以任意选取的, 除了常用的f 外, 还可以用其他的英
文字母或希腊字母, 比如“g F、 、 ”等，相应的函数可记为
1
• 无理数点
习
复合函数
例
1-7
1.1.8 函数的四则运算
基本初等函数
1.1.9初等函数 初等函数
1.1.1 集合 1.集合的概念 2. 集合的表示法 3.数集分类:
1.1.2 集合的基本运算
A B {x | x A且x B} AB
对偶律： A B A B
A B A B
Ai Ai ,
i1
i1
Ai Ai
1.1 函数及其性质
集合 集合的运算
1.1.1---1.1.4 区间与邻域
函数定义
1.1.5 函数的概念 函数定义域和函数图形
函
表示函数关系式的方法及分段函数 函
数
函数的单调性
数
及 其
函数的有界性
1.1.6 函数的特性 函数的奇偶性
性
函数的周期性
及 其 性 质
质 1.1.7 反函数与复合函数 反函数
y gx, y F x, y x
单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这
种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数．例如，x2 y2 a2．
只有一个自变量的函数，称为一元函数.
2. 函数定义域的确定
(1)由实际问题决定. (2)自然定义域. 理论研究中, 对应法则是用数学公式表示的 函数, 这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所 有值构成的实数集. 即当函数由公式（表达式）给出时，使 公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域. 如：
函数值f (x)的全体所构成的数集称为函数f的值域， 记作R( f )或f (D),即 R( f ) f (D) {y y f (x), x D}
可见, 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R 内，因此构成函数的要素是：定义域与对应法则
故若两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 则这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.
分式的分母不为0；
2n f ( x), n为正整数,要求f ( x) 0;
log a f ( x), 要求a 0且a 1, f ( x) 0; arcsin f ( x), arccos f ( x), 要求 f ( x) 1; y f ( x) g( x) , 要求f ( x) 0.
1 1 0
1 1
x
3. 函数的图形
点集C {(x, y) y f (x), x D} 称为函数y f (x)的图形.
y
W y o
(x, y)
x
x
D
4. 分段函数
对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表 达式不同，这种函数称为分段函数.
(1) 绝对值函数
y
y
x
x, x,
x0 x0