中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A
第1章 函数与极限1.来自 函数及其性质1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的运算 1.1.3 区间与邻域 1.1.4 函数的映射 1.1.5 函数的概念 1.1.6 函数的特性 1.1.7 反函数与复合函数 1.1.8 函数的四则运算 1.1.9 初等函数
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设A, B是两个非空集合,且x A, y B,则称有次序的一对元素 x, y为一个序偶,记作(x, y). 由集合A, B中所有元素作成的序偶 构成的集合,称为A与B的直积或Cartesian乘积,记作A B,即
A B {(x, y) | x A, y B}
例如, R R {(x, y) | x R, y R}表示整个坐标平面, 记作R2,即R2 R R {(x, y) | x R, y R}.
练习:A {1, 2}, B {1, 2,3},求A B.
1.1.3 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
数集{x x x0 }称为点x0的邻域 ,
点x0叫做这邻域的中心 ,
叫做这邻域的半径 .
x0
x0
x0 x
U(x0, ) {x x0 x x0 }.
点x0的去心的 邻域,记作U (x0 , )
U (x0, ) {x 0 x x0 }.
x0
x0
x0 x
邻域引入的作用:根据(>0)的变化,刻画
变量x逼近常量x0 (即x x0 )的程度.
1.1.5 函数的概念 1. 函数的定义
设D是实数集，称映射 f : D R 为定义在D上的函数, 通常简记为
y f (x), xD 或 f : x | y f (x), xD
因变量
自变量
数集D叫做函数f的定义域,记作 D f ，即 D f D
(2) 符号函数
1,
y
sgn x
0,
1,
x0 x0 x0
o
x
y
1
o
x
1
(3) 取整函数 y=[x]
y
4
[x]表示不超过x的最大整数
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
(4) Dirichlet(狄利克雷)函数
y
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
(3)定义域的表示法：
不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法.
例 求函数的定义域 (1) y 4 x2 1
x1
解： (1) 要求4 x2 0 1 x 2 x 1 0
(2)
f
(
x)
1
1 1
1
1
.
x
所以函数的定义域为(1,2].
x0
(2)
要求
1
1 x
0
x 0,1, 1 . 2
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
设x0与是两个实数 , 且 0.
判断函数 f 与 g 是否是同一函数？
(1) f ( x) lg x2, g( x) 2 lg x
(2) f ( x) x, g( x) x2
(3) f ( x) 3 x4 x3 , g( x) x3 x 1
表示函数的记号是可以任意选取的, 除了常用的f 外, 还可以用其他的英
文字母或希腊字母, 比如“g F、 、 ”等，相应的函数可记为
1
• 无理数点
习
复合函数
例
1-7
1.1.8 函数的四则运算
基本初等函数
1.1.9初等函数 初等函数
1.1.1 集合 1.集合的概念 2. 集合的表示法 3.数集分类:
1.1.2 集合的基本运算
A B {x | x A且x B} AB
对偶律： A B A B
A B A B
Ai Ai ,
i1
i1
Ai Ai
1.1 函数及其性质
集合 集合的运算
1.1.1---1.1.4 区间与邻域
函数定义
1.1.5 函数的概念 函数定义域和函数图形
函
表示函数关系式的方法及分段函数 函
数
函数的单调性
数
及 其
函数的有界性
1.1.6 函数的特性 函数的奇偶性
性
函数的周期性
及 其 性 质
质 1.1.7 反函数与复合函数 反函数
y gx, y F x, y x
单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这
种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数．例如，x2 y2 a2．
只有一个自变量的函数，称为一元函数.
2. 函数定义域的确定
(1)由实际问题决定. (2)自然定义域. 理论研究中, 对应法则是用数学公式表示的 函数, 这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所 有值构成的实数集. 即当函数由公式（表达式）给出时，使 公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域. 如：
函数值f (x)的全体所构成的数集称为函数f的值域， 记作R( f )或f (D),即 R( f ) f (D) {y y f (x), x D}
可见, 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R 内，因此构成函数的要素是：定义域与对应法则
故若两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 则这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.
分式的分母不为0；
2n f ( x), n为正整数,要求f ( x) 0;
log a f ( x), 要求a 0且a 1, f ( x) 0; arcsin f ( x), arccos f ( x), 要求 f ( x) 1; y f ( x) g( x) , 要求f ( x) 0.
1 1 0
1 1
x
3. 函数的图形
点集C {(x, y) y f (x), x D} 称为函数y f (x)的图形.
y
W y o
(x, y)
x
x
D
4. 分段函数
对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表 达式不同，这种函数称为分段函数.
(1) 绝对值函数
y
y
x
x, x,
x0 x0