数值分析4-埃尔米特插值
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第一章
插 值
埃尔米特插值
埃尔米特插值问题
问题描述
多项式插值余项的表示形式
从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律：
如果已知条件有n个，则在余项中分母为n!； 相应的，分子上的导数阶数也是n；
如果条件中出现某点 则在后面的因式中存在 x i的从 0阶直到 k 阶的导数值 （ x - x i ) k +1
x ∈ [ x i , x i +1 ]
一致
记 h = max | x i +1 − x i | ，易证：当 h → 0 时，P1h ( x ) → f ( x ) y y= f(x) 失去了原函数的光滑性。
y=p(x)
o
x
分段线性插值的余项
f ( x ) − s 1 ( x ) ≤ max
x i ≤ x ≤ x i +1
n
2
Ln(x) × f (x) →
1.5
1
0.5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 RuΒιβλιοθήκη Baiduge 现象
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.5 -5
分段线性插值
在每个区间[ xi , x i +1 ] 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):
f ( x ) ≈ P1 ( x ) = x − x i +1 x − xi yi + y i +1 x i − x i +1 x i +1 − x i
样条函数插值
− 1 = p ' (1) = − 12 + 3 ( a + b + c ) + ( 2 a + b )
2 = p ( 2 ) = − 22 + 8 ( 4 a + 2 b + c )
由此解出
a = 4 , b = − 15 , c = 17
于是所求插值多项式 p(x) = 4x5 −15x4 +17x3 − 5x2 − 2x + 2
2 = p (1) = a 0 + a 1 + a 2
由此解出 a 0 = 1, a 1 = 0 .a 2 = 1 故有 p(x) = 1 + x
2
题8 求作次数≤5的多项式p(x),使满足下列插值条 件：
xi
0
1
2
yi
2
1
2
y
y
"
'
-2
-1
i
-10
i
解
以泰勒公式，满足条件 q (0) = 2, q ' (0) = −2, q "' (0) = −10
题2 求作次数≤2的多项式p(x),使满足插值条件 p ( 0 ) = 1, p (1) = 2 , p ' ( 0 ) = 0 解 求解这个简单问题可直接由待定系数法。 令所求的插值多项式
p(x) = a
'
0
+ a1x + a
2
x
2
p (x) = a1 + 2a 2 x
依所给插值条件可列出方程 1 = p (0 ) = a 0 0 = p ' (0 ) = a1
各种插值方法的总结
待定系数法 基函数法
承袭法
p n +1 ( x ) = p n ( x ) + cw n ( x )
承袭性公式的证明
假设： pn ( x )满足已知的 n + 1个条件 则：在这 n + 1个条件下 wn ( x )的值为0 又因为： pn +1 ( x ) = pn ( x ) + cwn ( x ) 则在这 n + 1个条件下： pn +1 ( x ) = pn ( x ) 即 pn +1 ( x )满足这已知的 n + 1个条件 因为已知条件共有 n + 2个 因此，可以利用最后一 个条件来确定系数 c
f ( x ) − s1 ( x )
f ′′ (ξ i ) ≤ max ( x − x i )( x − x i + 1 ) x i ≤ x ≤ x i +1 2! max f ′′ ( x ) ⎛ x − x ⎞ 2 h i2 x i ≤ x ≤ x i +1 i ⎜ j ⎟ ≤ ≤ max f ′′ ( x ) ⎜ ⎟ 2! 2 8 x i ≤ x ≤ x i +1 ⎝ ⎠
问题：
当剩余的条件多于一个时，应该如何处理？ 把常数c改为一个多项式，此多项式采用 待定系数法的形式。 多项式的次数如何确定？ 剩余条件个数-1
分段低次插值
例：在[−5, 5]上考察 f ( x ) =
2.5
1 1 + x2
的Ln(x)。取 xi = −5 + 10 i (i = 0, ... , n)
分段Hermite插值
给定 x 0 , ... , x n ; y 0 , ... , y n ; y 0 , ... , y ′ ′ n 导数一般不易得到。 余项
max f 4 (x) ⎛ x − x ⎞4 h4 x ≤ x≤ x ⎜ j i ⎟ ≤ i max f (4) (x) f (x) − s1(x) ≤ i i+1 ⎜ 2 ⎟ 384 xi ≤x≤xi+1 4! ⎠ ⎝
的插值多项式
q(x) = −5x
2
− 2x + 2
令
p( x) = −5x 2 − 2x + 2 + x 3 (ax2 + bx + c) p′( x) = −10 x − 2 + 3x 2 (ax 2 + bx + c) + x 3 (2ax + b)
用剩下的插值条件列出方程
1 = p (1) = − 5 + ( a + b + c )
插 值
埃尔米特插值
埃尔米特插值问题
问题描述
多项式插值余项的表示形式
从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律：
如果已知条件有n个，则在余项中分母为n!； 相应的，分子上的导数阶数也是n；
如果条件中出现某点 则在后面的因式中存在 x i的从 0阶直到 k 阶的导数值 （ x - x i ) k +1
x ∈ [ x i , x i +1 ]
一致
记 h = max | x i +1 − x i | ，易证：当 h → 0 时，P1h ( x ) → f ( x ) y y= f(x) 失去了原函数的光滑性。
y=p(x)
o
x
分段线性插值的余项
f ( x ) − s 1 ( x ) ≤ max
x i ≤ x ≤ x i +1
n
2
Ln(x) × f (x) →
1.5
1
0.5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 RuΒιβλιοθήκη Baiduge 现象
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.5 -5
分段线性插值
在每个区间[ xi , x i +1 ] 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):
f ( x ) ≈ P1 ( x ) = x − x i +1 x − xi yi + y i +1 x i − x i +1 x i +1 − x i
样条函数插值
− 1 = p ' (1) = − 12 + 3 ( a + b + c ) + ( 2 a + b )
2 = p ( 2 ) = − 22 + 8 ( 4 a + 2 b + c )
由此解出
a = 4 , b = − 15 , c = 17
于是所求插值多项式 p(x) = 4x5 −15x4 +17x3 − 5x2 − 2x + 2
2 = p (1) = a 0 + a 1 + a 2
由此解出 a 0 = 1, a 1 = 0 .a 2 = 1 故有 p(x) = 1 + x
2
题8 求作次数≤5的多项式p(x),使满足下列插值条 件：
xi
0
1
2
yi
2
1
2
y
y
"
'
-2
-1
i
-10
i
解
以泰勒公式，满足条件 q (0) = 2, q ' (0) = −2, q "' (0) = −10
题2 求作次数≤2的多项式p(x),使满足插值条件 p ( 0 ) = 1, p (1) = 2 , p ' ( 0 ) = 0 解 求解这个简单问题可直接由待定系数法。 令所求的插值多项式
p(x) = a
'
0
+ a1x + a
2
x
2
p (x) = a1 + 2a 2 x
依所给插值条件可列出方程 1 = p (0 ) = a 0 0 = p ' (0 ) = a1
各种插值方法的总结
待定系数法 基函数法
承袭法
p n +1 ( x ) = p n ( x ) + cw n ( x )
承袭性公式的证明
假设： pn ( x )满足已知的 n + 1个条件 则：在这 n + 1个条件下 wn ( x )的值为0 又因为： pn +1 ( x ) = pn ( x ) + cwn ( x ) 则在这 n + 1个条件下： pn +1 ( x ) = pn ( x ) 即 pn +1 ( x )满足这已知的 n + 1个条件 因为已知条件共有 n + 2个 因此，可以利用最后一 个条件来确定系数 c
f ( x ) − s1 ( x )
f ′′ (ξ i ) ≤ max ( x − x i )( x − x i + 1 ) x i ≤ x ≤ x i +1 2! max f ′′ ( x ) ⎛ x − x ⎞ 2 h i2 x i ≤ x ≤ x i +1 i ⎜ j ⎟ ≤ ≤ max f ′′ ( x ) ⎜ ⎟ 2! 2 8 x i ≤ x ≤ x i +1 ⎝ ⎠
问题：
当剩余的条件多于一个时，应该如何处理？ 把常数c改为一个多项式，此多项式采用 待定系数法的形式。 多项式的次数如何确定？ 剩余条件个数-1
分段低次插值
例：在[−5, 5]上考察 f ( x ) =
2.5
1 1 + x2
的Ln(x)。取 xi = −5 + 10 i (i = 0, ... , n)
分段Hermite插值
给定 x 0 , ... , x n ; y 0 , ... , y n ; y 0 , ... , y ′ ′ n 导数一般不易得到。 余项
max f 4 (x) ⎛ x − x ⎞4 h4 x ≤ x≤ x ⎜ j i ⎟ ≤ i max f (4) (x) f (x) − s1(x) ≤ i i+1 ⎜ 2 ⎟ 384 xi ≤x≤xi+1 4! ⎠ ⎝
的插值多项式
q(x) = −5x
2
− 2x + 2
令
p( x) = −5x 2 − 2x + 2 + x 3 (ax2 + bx + c) p′( x) = −10 x − 2 + 3x 2 (ax 2 + bx + c) + x 3 (2ax + b)
用剩下的插值条件列出方程
1 = p (1) = − 5 + ( a + b + c )