华师版九年级上册数学教学课件-频率与概率
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25.2.2 频率与概率 华师大版数学九年级上册教学课件
解 从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有 36种.由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等.
(1)抛出点数相同（记为事件A）的结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)和(6,6)
这6种，所以抛出的点数之和等于8的这个事件发生的概率为
P（A）=
6 36
(1)抛出的点数相同； (2)抛出的点数之和等于9； (3)抛出的点数至少有一个为2.
提示：两枚骰子分别记作第一 枚和第二枚，可以用表格列举 出所以可能的结果.
课程讲授
2 用列表法求概率
1
2
3
4
5
6
1
（1,1） （2,1） （3,1） （4,1） （5,1） （6,1）
2
（1,2） （2,2） （3,2） （4,2） （5,2） （6,2）
1
2
3
4
5
6
抛掷30次
抛掷60次
抛掷90次
课程讲授
1 频率与概率的关系
实验1：把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币 50次，将实验数据记录在下表中：
抛掷次数n
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
“正面向上”的次数m
22 46 79 102 123 150 172 205 234 254
形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一个球，记下
颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一个球，记下颜色如此大量摸
课程讲授
1 频率与概率的关系
频率与概率的关系
“正面向上”的概率
1
频率逐渐稳定
0.5
事件发生的概率
在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值.
频率与概率课件华东师大版九年级数学上册
故选：C． 解题密码: 用列表法或画树状图法列出所有均等结果求概率是解题的关键．
课堂小结
Classroom summary
谈一谈本节课自己的收获和感受？
1.频率是在试验的基础上得出的，概率从数量上刻画了一个随机事件发生
的可能性的大小，它是可以通过计算得出的理论值．频率和概率可能非常
接近，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事
件发生概率.但并不意味着完全相同．
2.当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重
不漏的列出所有可能的结果,用理论分析法求概率时通常用列表法或画树
状图法．
自我探究
Self-inquiry
和同学一起做重复试验，将结果填入教材143页表，并在图中用不同颜 色的笔画出相应的两条折线.
观察两个转盘，我们可以发现：两个转盘蓝色区域所对的圆心角都为
90°，说明它们都是各占整个转盘的四分之一.
结合重复试验与理论分析的结果，我们发现 1
P(小转盘指针停在蓝色区域)=___4______ 1
思维提升
Thinking promotion
归纳:
随机事件“同时”与“先后”的关系：
“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先
后两次发生”的结果是一样的.
当一次试验涉及两个因素时,并且可能出现的结果数目较
多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列
表或画树状图的办法列举所有结果.
思维提升
25.2.2 频 率 与 概 率
学习目标
learning target
1.会用直接列举法和画树状图或列表法列举所有的等可能结果. 2.体会频率与概率之间的关系，会灵活运用列举法求实际生活中随机事 件的概率. 3.发现猜想试验、收集数据、分析结果等过程，体会概率是描述不确定 现象规律的数学模型.
初三上数学课件(华东师大)-频率与概率
A．1 1
C.3
B．21 D．14
8．从 2,3,4,5 中任意选两个数，记作 a 和 b，那么点(a、b)在函数 y＝1x2图象
上的概率是( D )
1 A.2
B．31
C．14
D．16
9．如图的四个转盘中，C、D 转盘被分成 8 等份，若让转盘自由转动一次，
停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是( A )
(3)样本数据为 C 级的人“日均发微博条数”分别为 0,2,3,3.画树状图如下：
由树状图可知，共 16 种等可能的结果，其中“日均发微博条数”都是 3(记 为事件 A)有 4 种结果，故 P(A)＝146＝14. 【方法归纳】对于概率计算，通常采用列表法或者树状图法加以解决．但 是在列表时要注意是“放回”还是“不放回”的模型，否则可能会出错．
知识点一：用理论分析的方法求概率
对一个事件发生的概率可用 树状图 等方法进行分析计算．
1．“五一”期间，小明与小亮两家准备从二龙山、太阳岛、五大连池中选
择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的
概率是( A )
1 A.3
B．61
C.19
D．14
2．(邵阳中考)掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如
14．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色， 再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ；(精确到 0.1) (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 0.6 ，摸到黑球的概率是 0.4 ； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
九年级数学上册第25章概率初步25.2随机事件的概率2频率与概率授课课件新版华东师大版
∴选择A装置的获胜可能性较大.
观察：若将图形倒置，你会联想到什么？ 这个图形很像一棵树，所以称为树形图.列表和树形图是列举法
求概率的两种常用的方法.
精品课件
6
例1：两个布袋中分别装有除颜色外，其他都相同的2个白球，1个 黑球，同时从这两个布袋中摸出一个球，请用列表法表示出可能出现的 情况，并求出摸出的球颜色相同的概率.
精品课件
4
从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种.
∴选择A装置的获胜可能性较大.
精品课件
5
由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举.即先转动 Ａ盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现4， 5，7三种结果.
由图可知：可能的结果为：（1，4），（1，5），（1，7），（6，4）， （6，5），（6，7），（8，4）来自（8，5），（8，7）.共计9种.
精品课件
3
对于上面问题中“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较 大的可能性更大呢？”可以将这个游戏分两步进行.于是，我们 构造表格：
首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可 能出现的结果就会有3个.接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针 可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况.当A盘 指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个. 一共会产生9种不同的结果.
解析：由题意可列下表：
精品课件
7
例2：四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4， 现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回）， 再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.
（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标有数字的所 有可能情况；
25.2.2频率与概率课件华东师大版九年级数学上册(1)
解：（2）②30 000×0.4=12 000（人）， ∴估计参加“迷你马拉松”的人数是12 000人．
树状图
在图中，从上至下每条路径就是一个
频
可能的结果，我们把它称为树状图.
率
与
概
1. 通过重复试验用频率估计概率，必须要求试验是
率
频率估
在相同条件下进行的；
计概率
2.在相同条件下"，验次数越多，就越有可能得到 较好的估计值，但不同小组试验所得的估计值也
从上面的问题可以看出：
1.通过重复试验用频率估计概率，必须要求试验是在 相同条件下进行的，比如，以同样的方式抛掷同一种 图钉；
2.在相同条件下，试验次数越多，就越有可能得到 较好的估计值，但不同小组试验所得的估计值也并不 一 定相同.
总共要做多少次试验才能认为 得出的结果比较可靠呢?
从图表可以看出，当试验进行到720次以后，所得频率值就在46%上下浮 动，且浮动的幅度不超过0.5%，我们可以取46%作为这个事件发生概率的 估计值，即P（钉尖触地）≈ 46%.
如果随着试验次数的增加，两个转盘的指针停在蓝色区域的 频率都逐渐稳定下来，那么就容易选择了.
观察两个转盘，我们可以发现，转盘甲中的蓝色区域所对的圆心 角为90°，说明它占整个转盘的四分之一(转盘乙尽管大一些，但 蓝色区域所对的圆心角仍为90°，说明它还是占整个转盘的四分 之一.
结合重复试验与理论分析的结果，我们发现
2.某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，小明通过多次摸
球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，
则估计红、黄、蓝球的个数分别为
（A
）
A．35，25，40
B．40，25，35
树状图
在图中，从上至下每条路径就是一个
频
可能的结果，我们把它称为树状图.
率
与
概
1. 通过重复试验用频率估计概率，必须要求试验是
率
频率估
在相同条件下进行的；
计概率
2.在相同条件下"，验次数越多，就越有可能得到 较好的估计值，但不同小组试验所得的估计值也
从上面的问题可以看出：
1.通过重复试验用频率估计概率，必须要求试验是在 相同条件下进行的，比如，以同样的方式抛掷同一种 图钉；
2.在相同条件下，试验次数越多，就越有可能得到 较好的估计值，但不同小组试验所得的估计值也并不 一 定相同.
总共要做多少次试验才能认为 得出的结果比较可靠呢?
从图表可以看出，当试验进行到720次以后，所得频率值就在46%上下浮 动，且浮动的幅度不超过0.5%，我们可以取46%作为这个事件发生概率的 估计值，即P（钉尖触地）≈ 46%.
如果随着试验次数的增加，两个转盘的指针停在蓝色区域的 频率都逐渐稳定下来，那么就容易选择了.
观察两个转盘，我们可以发现，转盘甲中的蓝色区域所对的圆心 角为90°，说明它占整个转盘的四分之一(转盘乙尽管大一些，但 蓝色区域所对的圆心角仍为90°，说明它还是占整个转盘的四分 之一.
结合重复试验与理论分析的结果，我们发现
2.某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，小明通过多次摸
球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，
则估计红、黄、蓝球的个数分别为
（A
）
A．35，25，40
B．40，25，35
华师大版数学九年级上册同步课件2第2课时频率与概率
实验累计次数
220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
钉帽着地的次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224
钉帽着地的频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56
70 60 50 40 30 20 10
在图25.2.1中，从上至下每条路径就是一 个可能的结果，我们把它称为树状图.
问题：用力旋转图25. 2. 2所示的转盘甲和转盘乙的指针， 如果想 让指针停在蓝色区域，那么选哪个转盘成功的概率比较大？
思考： 1. 有同学说: 转盘乙大，相应地，蓝色区域的面积也大， 所以选转盘乙成功的概率比较大.你同意吗？ 2. 还有同学说:每个转盘只有两种颜色，指针不是停在红 色区域就是停在蓝色区域，成功的概率都是50%，所以 随便选哪个转盘都可以.你同意吗？
如果随着实验次数的增加，两个转盘的指针停在蓝色 区域的频率都逐渐稳定下来，那么就容易选择了.
分析： 视察两个转盘，我们可以发现：转盘甲中的蓝色区域所 对的圆心角为90o，说明它占整个转盘的四分之一；转盘乙尽管 大一些，但蓝色区域所对的圆心角认为90o，说明它还是占整个 转盘的四分之一。你能预测指针停在蓝色区域的概率吗？
几何概率模型可以转化成 古典概率模型，如此例可 以将两圆均等分为360份
问题：从一定高度落下的图钉，会有几种可能的结果？ 它们产生的可能性相等吗？
实验累计次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109 钉帽着地的频率( %) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5
华师大版九年级上册课件：2522频率与概率 省优获奖课件ppt
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 3
频率与概率知几何
普查,总体,个体,样本, 抽查,频数,频率
普查 为了一定的目的,而对考察对象进行全面的调查, 为普查; 总体,个体 所要考察对象的全体,称为总体,而组成总体 每一个考察对象称为个体; 抽样调查,样本 从总体中抽取部分个体进行调查,这种调 查称为抽样调查;其中,从总体中抽取的一部分个体叫做 体的一个样本;
频数,频率 在考察中,每个对象出现的次数 称为频数,而每个对象出现的次数与总次数 的比值称为频率. 驶向胜 利的彼 岸
做一做
1
你是“玩家”吗
探索频率与概率的关系
游戏规则: 准备两组相同的牌,每组两张,两张牌面的数字分别是 和2.从两组牌中各摸出一张为一次试验. (1)一次试验中两张牌的牌面的数字和可能有哪些值?
两张牌的牌面数字和等于2的理论概率等于1/4.
小结
拓展
回味无穷
频率与概率的关系
当试验次数很大时,一个事件发生频率 也稳定在相应的概率附近.因此,我 们可以通过多次试验, 用一个事件发生的频率来估计这一事 件发生的概率.
独立 作业
知识的升华
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 统计的基本思想： • 用样本去估计总体. • 用频率去估计概率.
2,3,4
(2)每人做30次试验,依次记录每次摸得的牌面数字,并 据试验结果填写下表:
牌面数字和 频数 频率 2 3 4
驶向胜利 的彼岸
做一做
2
ห้องสมุดไป่ตู้
是“玩家”就玩有用的
探索频率与概率的关系
(3)根据上表,制作相应的频数分布直方图. (4)你认为哪种情况的频率最大? (5)两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少? (6)六个同学组成一个小组,分别汇总其中两人,三人, 四人,五人,六人的试验数据,相应得到试验60次,90 次,120次,150次,180次时两张牌的牌面数字和等于3的 频率,并填写下表,并绘制相应的频数分布直方图.
回顾与思考 3
频率与概率知几何
普查,总体,个体,样本, 抽查,频数,频率
普查 为了一定的目的,而对考察对象进行全面的调查, 为普查; 总体,个体 所要考察对象的全体,称为总体,而组成总体 每一个考察对象称为个体; 抽样调查,样本 从总体中抽取部分个体进行调查,这种调 查称为抽样调查;其中,从总体中抽取的一部分个体叫做 体的一个样本;
频数,频率 在考察中,每个对象出现的次数 称为频数,而每个对象出现的次数与总次数 的比值称为频率. 驶向胜 利的彼 岸
做一做
1
你是“玩家”吗
探索频率与概率的关系
游戏规则: 准备两组相同的牌,每组两张,两张牌面的数字分别是 和2.从两组牌中各摸出一张为一次试验. (1)一次试验中两张牌的牌面的数字和可能有哪些值?
两张牌的牌面数字和等于2的理论概率等于1/4.
小结
拓展
回味无穷
频率与概率的关系
当试验次数很大时,一个事件发生频率 也稳定在相应的概率附近.因此,我 们可以通过多次试验, 用一个事件发生的频率来估计这一事 件发生的概率.
独立 作业
知识的升华
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 统计的基本思想： • 用样本去估计总体. • 用频率去估计概率.
2,3,4
(2)每人做30次试验,依次记录每次摸得的牌面数字,并 据试验结果填写下表:
牌面数字和 频数 频率 2 3 4
驶向胜利 的彼岸
做一做
2
ห้องสมุดไป่ตู้
是“玩家”就玩有用的
探索频率与概率的关系
(3)根据上表,制作相应的频数分布直方图. (4)你认为哪种情况的频率最大? (5)两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少? (6)六个同学组成一个小组,分别汇总其中两人,三人, 四人,五人,六人的试验数据,相应得到试验60次,90 次,120次,150次,180次时两张牌的牌面数字和等于3的 频率,并填写下表,并绘制相应的频数分布直方图.
华师大版数学九年级上册2随机事件的概率1第2课时频率与概率课件
如果某水果公司以2元/千克的成本进了10000千克柑橘,则这 批柑橘中完好柑橘的质量是________,若公司希望这些柑橘 能够获利5000元,那么售价应定为_______元/千克比较合适.
归纳
利用频率估计概率
当实验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果产生的 可能性不相等时，我们一般可以通过统计频率来估计概率.
当实验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果产 生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率, 即在同样条件下,大量重复实验所得到的随机事件产生 的频率的稳定值来估计这个事件产生概率.
等可能性事件
讲授新课
一 用列表法求概率
等可能性事件
等可能性事件的两个特征： 1.出现的结果有限多个； 2.各结果产生的可能性相等； 等可能性事件的概率可以用列举法而求得. 列表法就是把要求的对象一一用表格表示出来分析求解的 方法．
思考: 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃 和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃中抽取一张牌,你 从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分， 为偶数我得1分,先得到10分的获胜”.如果你是小亮,你愿 意接受这个游戏的规则吗?
27
2.如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背 面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽 出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大 时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜 的机会是否相同．
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，甲抽到的牌面数字比乙大的有5
种情况，小于等于乙的有7种情况，
∴P（甲胜）= 7 ，P（乙胜）= 12
5
，
12
∴甲、乙获胜的机会不相同．
华东师大版数学九年级上册频率与概率PPT精品课件
400
369
750
662
1500
1335
3500
3203
7000
6335
14000 华东师大版数学九年级上册课件：25.2.2频率与概率
12628
成活的频 率(m/n)
0.8
0.94 0.870
0.923
0.883 0.890
0.915
0.905
移植总数 （m） 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 14000
归纳总结
• 实验时要避免走两个极端即既不 能为了追求精确的概率而把实验的 次数无限的增多,也不能为了图简单 而使实验次数很少.
• 实验时由于众多微小因素的影响， 每次测得的结果虽不尽相同具有偶 然性，但大量重复实验所得的 结 果却能反应客观规律，这称为大数 定律．
华东师大版数学九年级上册课件：25. 2.2频 率与概 率
华东师大版数学九年级上册课件：25. 2.2频 率与概 率
Hale Waihona Puke １：张小明承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果 华东师大版数学九年级上册课件：25.2.2频率与概率
果园，现在有两批幼苗可以选择，它们的成活率如下两个表格所示
Ａ类树苗：
B类树苗：
移植总数 （m）
10
成活数 （m）
8
50
47
270
235
上面的问题,所有可能结果不是有限个，都 不属于结果可能性相等的类型.移植中有两 种情况活或死.它们的可能性并不相等, 事件 发生的概率并不都为50%.柑橘是好的还是坏 的两种事件发生的概率也不相等.因此也不 能简单的用50%来表示它发生的概率.
华东师大版数学九年级上册课件：25. 2.2频 率与概 率
华东师大版数学九年级上册：频率与概率ppt课件
必然事件
回顾
不可能事件 随机事件(不确定事件) 可能性
0 不可 能发
生
华东师大版数学九年级上册：频率与 概率ppt 课件
½(50%)
可 能 发 生
1(100%)
必然 发生
华东师大版数学九年级上册：频率与 概率ppt 课件
概率 事件发生的可能性,也称为事件发生 的概率.
必然事件发生的概率为1(或100%), 记作P(必然事件)=1;
问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植 的成活率，应采用什么具体做法？
幼树移植成活率是实际问题中 的一种概率。这个实际 问题中的移植实验不属于各种结果可能性相等的类型， 所以成活率要由频率去估计。
在同样的条件下，大量的对这种幼树进行移植，并统计 成活情况，计算成活的频率。如果随着移植棵树n的越 来越大，频率 m 越来越稳定于某个常数，那么这个常 数就可以被当作n成活率的近似值
4、某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如
下表:
投篮次数
8
10
15 20
30
40 50
进球次数
6
8
12 17
25
32 39
进球频率
0.75 0.80 0.80 0.85 0.83 0.80 0.78
(1)计算表中进球的频率;
（2）这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 概率约是0.8
(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定 能投中8次吗?
１：张小明承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果 华东师大版数学九年级上册：频率与概率ppt课件
果园，现在有两批幼苗可以选择，它们的成活率如下两个表格所示
Ａ类树苗：
B类树苗：
回顾
不可能事件 随机事件(不确定事件) 可能性
0 不可 能发
生
华东师大版数学九年级上册：频率与 概率ppt 课件
½(50%)
可 能 发 生
1(100%)
必然 发生
华东师大版数学九年级上册：频率与 概率ppt 课件
概率 事件发生的可能性,也称为事件发生 的概率.
必然事件发生的概率为1(或100%), 记作P(必然事件)=1;
问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植 的成活率，应采用什么具体做法？
幼树移植成活率是实际问题中 的一种概率。这个实际 问题中的移植实验不属于各种结果可能性相等的类型， 所以成活率要由频率去估计。
在同样的条件下，大量的对这种幼树进行移植，并统计 成活情况，计算成活的频率。如果随着移植棵树n的越 来越大，频率 m 越来越稳定于某个常数，那么这个常 数就可以被当作n成活率的近似值
4、某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如
下表:
投篮次数
8
10
15 20
30
40 50
进球次数
6
8
12 17
25
32 39
进球频率
0.75 0.80 0.80 0.85 0.83 0.80 0.78
(1)计算表中进球的频率;
（2）这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 概率约是0.8
(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定 能投中8次吗?
１：张小明承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果 华东师大版数学九年级上册：频率与概率ppt课件
果园，现在有两批幼苗可以选择，它们的成活率如下两个表格所示
Ａ类树苗：
B类树苗：
华师大版数学九年级上册25.频数与频率课件
【例1】
知1－讲
为了预测某一事件A产生机会的大小，七年级班全
体同学进行实验探究：全班共分6组，每组10人，每 人实验2次．每组实验结果如下：
请你给出一种可以估计事件A产生机会大小的方法，并 给出你的估计值(下面的统计表和统计图(供你参考使用)．
知1－讲
导引：把各组的实验次数与出现事件A的次数分别相加， 计算出其频率，即可得出其稳定值的浮动范围．
知1－讲
概括： 在前面的实验中，我们可以发现，虽然每次实验 的结果是随机的，无法预测，但随着实验次数的 增加，隐含的规律逐渐显现，事件产生的频率会 稳定到某一个数值附近.正因为随机现象产生的频 率有这样趋于稳定的特点，所以我们就可以用频 率估计随机事件在每次实验时发 生的机会的大小.
（来自《教材》）
是
．
知识点 2 在重复实验中视察不确定现象
知2－导
读一读 由此，我们可以体会到：开展重复实验活动（如同时 抛掷两枚硬币）时，虽然每次收集到的数据（如出现哪两 个面）可能会是不同的，但通过大量的重复实验，就可能 从中发现规律（如出现两个正面的频率稳定在25%附近） 我们可以借助数据分析，认识随机事件产生的规律
知2－讲
导引： 由频率＝频数÷实验次数算出频率； 根据表格绘制频率折线统计图； 根据折线图视察随着抛掷次数的增多，正面朝 上的频率稳定到哪 个数值，该数值即可作为正 面朝上机会的估计值．
解： 0.49；0.52；0.505；0.488 如图25.14.
知2－讲
0.5
总结
知2－讲
大量重复实验下频率稳定在一个数值附近．我 们可以用频率估计随机事件在每次实验时产生的机 会的大小．
出现正面 的频率在 0.5左右波
动！
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2．通过试验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无 论选择哪种方法，都必须保证试验在相同条件下进行， 否则结果会受到影响．在相同条件下，试验的次数越多， 就越有可能得到较准确的估计值；频率和概率在试验中 可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是 正常的、经常的．
知1－讲
3．一般地，当试验的可能结果有很多种且各种可能结果发
红色区域就是停在蓝色区域，成功的概率都是 50%， 所以随便选哪个转盘都可以.你同意吗？ 如果随着试验次数的增加，两个转盘的指针停在蓝色区 域的频率都逐渐稳定下来，那么就容易选择了.
知1－讲
1. 大量试验表明：当试验次数足够大时，事件A发生的频 率会稳定到它发生的概率的大小附近，所以，一个随机 事件在每次试验中发生的可能性可以用该事件在多数次 的重复试验中发生的频率来估计．同样当我们预知某一 事件在每次试验中发生的概率大小的值时，就可以知道 当试验次数很大时事件出现的频率逐渐会接近于这个概 率值．
知1－讲
本题考查利用频率估计概率，大量重复试验 下频率的稳定值即概率．随机事件可能发生，也 可能不发生．
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
【例2】 不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白 球，1个为红球．每次从袋中摸1个球，然后放回搅 匀再摸，在摸球试验中得到下表中部分数据．
(1) 请将上表补充完整(结果精确到1%)； (2) 画出折线图(如图25.2-4)；
知识点 1 频率与概率
知1－导
用力旋转图25. 2. 2所示的转盘甲和转盘乙的指针， 如果想让指针停在蓝色区域，那么选哪个转盘成功的概 率比较大？
知1－导
思考： 1. 有同学说:转盘乙大，相应地，蓝色区域的面积也 大，
所以选转盘乙成功的概率比较大.你同意吗？ 2. 还有同学说:每个转盘只有两种颜色，指针不是停在
A．1 C. 3
4
B. 1 4
D. 1 2
（来自《典中点》）
1. 频率是在试验的基础上得出的，概率从数量上刻画了一 个随机事件发生的可能性的大小，它是可以通过计算得出 的理论值．频率和概率可能非常接近，但并不意味着完全 相同．
2．用理论分析法求概率的方法通常有列表法和画树状图法．
解：（1）23 29%；67 34%；86 36%；
80
200
240
120 360
33%；136 400
＝34%，故表格中从左到右依
次填29%，34%，36%，33%，34%.
(2) 如图25.2-5
知1－讲
(3) 随着试验次数的增大，摸到红球的频率逐渐
趋于稳定．
(4)能，摸到红球的概率为
知1－讲
(3) 观察折线图，你有什么发现？ (4) 你能估计出摸到红球的概率吗？若能，请估计出摸
到红球的概率．
知1－讲
导引： (1)频数与总次数的比值即频率，依次计算出表格缺 少的数值即可．
(2)根据(1)中求出的频率画图即可．(3)观察折线图， 发现随着试验次数的增大，摸到红球的频率逐渐趋 于稳定．(4)大量反复试验下频率的稳定值即概率， 观察可知频率稳定值，用之估计概率即可．
枚硬币共有4个机会均等的结果:“出现两正”、 “出现两反”、“出现一正一反”、“出现一反 一正”，因此
P（出现两个正面） 2.3 正
正
正正
反
正反
反
反正 反反
正反 硬币1 硬币2 正 反 正 反
图 25.2.1
由此，我们可以看到:理论分析与重复试验得到 的结论是一致的.
了10次试验就得到了正面朝上的概率为30%”
B．某同学在抛掷两枚硬币的试验中做了400次，得
到“一正一反”的频率为26.7%，如果再做400
次，得到的频率仍然是26.7%
C．在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中，小明得
到“1点朝上”的概率为
1 6
，那么他再做300次试
验，一定有50次“1点朝上”
D. 在抛掷一枚硬币的试验中，小刚为了节约时间，
第二十五章 随机事件的概率
25.2 随机事件的概率
第2课时 频率与概率
1 课堂讲解 频率与概率
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
在第129页的重复试验中，我们发现:抛掷两枚硬币， “出现两个正面”的频率稳定在25%附近.怎样运用理 论分析的方法求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率呢？ 分析：从表25. 2. 3和图25. 2.1中可以看出，抛掷 两
生的可能性相等时，可以用P(A)＝
m n
的方式得出概率；
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发
生的可能性不相等时，常常通过统计频率来估计概率，
即在相同条件下，用大量重复试验所得到的随机事件发
生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率．
（来自《点拨》）
【例1】下列说法正确的是( )
知1－讲
A．在一次抛掷硬币的试验中，甲同学说：“我只做
1 .
3
知1－练
1 (北京)一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球 和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随 机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为( )
A ．1 6
B. 1 3
C. 1 2
D. 2 3
（来自《典中点》）
知1－练
2 (东营)如图，有一个质地均匀的正四面体，其四 个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边 形，投掷该正四面体一次，向下的面上的图形既 是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( )
同时抛掷5枚硬币，这样得到的结果不会受到影响
知1－讲
导引：大量重复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常 数的附近，这个常数就叫做该事件发生的概率的估 计值，而不是一种必然的结果．A.应进行多次试验 才能得出其概率；B.是随机事件，不能确定；C.是随 机事件，不能确定；D.正确．故选D.
答案：D
总结
知1－讲
3．一般地，当试验的可能结果有很多种且各种可能结果发
红色区域就是停在蓝色区域，成功的概率都是 50%， 所以随便选哪个转盘都可以.你同意吗？ 如果随着试验次数的增加，两个转盘的指针停在蓝色区 域的频率都逐渐稳定下来，那么就容易选择了.
知1－讲
1. 大量试验表明：当试验次数足够大时，事件A发生的频 率会稳定到它发生的概率的大小附近，所以，一个随机 事件在每次试验中发生的可能性可以用该事件在多数次 的重复试验中发生的频率来估计．同样当我们预知某一 事件在每次试验中发生的概率大小的值时，就可以知道 当试验次数很大时事件出现的频率逐渐会接近于这个概 率值．
知1－讲
本题考查利用频率估计概率，大量重复试验 下频率的稳定值即概率．随机事件可能发生，也 可能不发生．
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
【例2】 不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白 球，1个为红球．每次从袋中摸1个球，然后放回搅 匀再摸，在摸球试验中得到下表中部分数据．
(1) 请将上表补充完整(结果精确到1%)； (2) 画出折线图(如图25.2-4)；
知识点 1 频率与概率
知1－导
用力旋转图25. 2. 2所示的转盘甲和转盘乙的指针， 如果想让指针停在蓝色区域，那么选哪个转盘成功的概 率比较大？
知1－导
思考： 1. 有同学说:转盘乙大，相应地，蓝色区域的面积也 大，
所以选转盘乙成功的概率比较大.你同意吗？ 2. 还有同学说:每个转盘只有两种颜色，指针不是停在
A．1 C. 3
4
B. 1 4
D. 1 2
（来自《典中点》）
1. 频率是在试验的基础上得出的，概率从数量上刻画了一 个随机事件发生的可能性的大小，它是可以通过计算得出 的理论值．频率和概率可能非常接近，但并不意味着完全 相同．
2．用理论分析法求概率的方法通常有列表法和画树状图法．
解：（1）23 29%；67 34%；86 36%；
80
200
240
120 360
33%；136 400
＝34%，故表格中从左到右依
次填29%，34%，36%，33%，34%.
(2) 如图25.2-5
知1－讲
(3) 随着试验次数的增大，摸到红球的频率逐渐
趋于稳定．
(4)能，摸到红球的概率为
知1－讲
(3) 观察折线图，你有什么发现？ (4) 你能估计出摸到红球的概率吗？若能，请估计出摸
到红球的概率．
知1－讲
导引： (1)频数与总次数的比值即频率，依次计算出表格缺 少的数值即可．
(2)根据(1)中求出的频率画图即可．(3)观察折线图， 发现随着试验次数的增大，摸到红球的频率逐渐趋 于稳定．(4)大量反复试验下频率的稳定值即概率， 观察可知频率稳定值，用之估计概率即可．
枚硬币共有4个机会均等的结果:“出现两正”、 “出现两反”、“出现一正一反”、“出现一反 一正”，因此
P（出现两个正面） 2.3 正
正
正正
反
正反
反
反正 反反
正反 硬币1 硬币2 正 反 正 反
图 25.2.1
由此，我们可以看到:理论分析与重复试验得到 的结论是一致的.
了10次试验就得到了正面朝上的概率为30%”
B．某同学在抛掷两枚硬币的试验中做了400次，得
到“一正一反”的频率为26.7%，如果再做400
次，得到的频率仍然是26.7%
C．在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中，小明得
到“1点朝上”的概率为
1 6
，那么他再做300次试
验，一定有50次“1点朝上”
D. 在抛掷一枚硬币的试验中，小刚为了节约时间，
第二十五章 随机事件的概率
25.2 随机事件的概率
第2课时 频率与概率
1 课堂讲解 频率与概率
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
在第129页的重复试验中，我们发现:抛掷两枚硬币， “出现两个正面”的频率稳定在25%附近.怎样运用理 论分析的方法求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率呢？ 分析：从表25. 2. 3和图25. 2.1中可以看出，抛掷 两
生的可能性相等时，可以用P(A)＝
m n
的方式得出概率；
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发
生的可能性不相等时，常常通过统计频率来估计概率，
即在相同条件下，用大量重复试验所得到的随机事件发
生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率．
（来自《点拨》）
【例1】下列说法正确的是( )
知1－讲
A．在一次抛掷硬币的试验中，甲同学说：“我只做
1 .
3
知1－练
1 (北京)一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球 和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随 机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为( )
A ．1 6
B. 1 3
C. 1 2
D. 2 3
（来自《典中点》）
知1－练
2 (东营)如图，有一个质地均匀的正四面体，其四 个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边 形，投掷该正四面体一次，向下的面上的图形既 是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( )
同时抛掷5枚硬币，这样得到的结果不会受到影响
知1－讲
导引：大量重复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常 数的附近，这个常数就叫做该事件发生的概率的估 计值，而不是一种必然的结果．A.应进行多次试验 才能得出其概率；B.是随机事件，不能确定；C.是随 机事件，不能确定；D.正确．故选D.
答案：D
总结