5.简单复合函数的求导法则导学案

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新教材适用2023_2024学年高中数学第2章5简单复合函数的求导法则课件北师大版选择性必修第二册

2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝__1___. [解析] 易得f′(x)＝4(2x＋a)，又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20，解得a＝1.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
复合函数的概念
典例 1 函数 y＝2x＋1 12可以看成哪两个函数的复合？
[解析] 函数 y＝2x＋1 12可以看成函数 y＝1u与函数 u＝(2x＋1)2 的复
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全.
课堂检测•固双基
1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( A ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 [解析] 将x2－1看作整体，记u＝x2－1，则y＝(x2－1)n由y＝un和u＝ x2－1 复合而成．
即 y′＝18x－24. (2)设 y＝cos u，u＝2x－π4，则 yu′＝－sin u，ux′＝2，于是 yx′＝yu′·ux′＝－2sin2x－π4，即 y′＝－2sin2x－π4.
(3)设 y＝ln u，u＝4x－1，则 yu′＝1u，ux′＝4，于是 yx′＝yu′·ux′＝4x－4 1，即 y′＝4x－4 1. (4)设 y＝eu，u＝x2，则 yu′＝eu，ux′＝2x，于是 yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即 y′＝2xex2.
知识点 2 复合函数的求导法则
复合函数 y ＝ f(φ(x)) 的导数为： y′x ＝ ______[f_(φ__(x_)_)]_′___________ ＝ _________f′__(_u_)_φ_′__(x_)_，__其__中__u_＝__φ_(_x_) ___________.

学案2：5.2.3　简单复合函数的导数

5.2.3 简单复合函数的导数【课标要求】课程标准：理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则，能求简单复合函数的导数．学习重点：复合函数的求导．学习难点：分清函数的复合关系，选好中间变量.【新知拓展】复合函数求导对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x .(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导法则运用熟练后，中间步骤可省略不写．【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝ln x ＋e x ＋x 3＋3x是复合函数．( ) (2)函数y ＝sin 23x 可以看作函数y ＝u 2，u ＝sin t 和t ＝3x 的复合函数．( )(3)函数y ＝ln 1x的导数为y ′＝x .( ) 2．做一做(1)下列结论中正确的是( )A ．若y ＝cos 1x ，则y ′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y ′＝2x cos x 2C ．若y ＝cos5x ，则y ′＝－sin5xD ．若y ＝12x sin2x ，则y ′＝12cos2x (2)已知某函数的导数为y ′＝12(x －1)，则这个函数可能是( )A．y＝ln 1－x B．y＝ln11－xC．y＝ln (1－x) D．y＝ln1 x－1(3)函数y＝sin2x cos3x的导数是________.(4)若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.【题型探究】题型一简单复合函数求导问题例1求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)；(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝3x＋5.[规律方法]1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构；(3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导；(5)善于把一部分表达式作为一个整体；(6)最后要把中间变量换成自变量的函数．[跟踪训练1]求下列函数的导数：(1)y ＝e 2x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (3)y ＝5log 2(2x ＋1)；(4)y ＝13－3x －1.题型二较为复杂函数的求导例2 求下列函数的导数：(1)y ＝x e 5x ＋2；(2)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.[规律方法]对于复杂函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量，同时要注意复合函数的复合关系，选好中间变量．[跟踪训练2] 求下列函数的导数：(1)f (x )＝sin2x ＋e 2x ；(2)f (x )＝53x ln (2x ＋1)；(3)f (x )＝sin(1－2x )a 4x －1.题型三导数的综合应用例3 已知曲线y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3在点⎝⎛⎭⎫π2，0处的切线斜率为k ，若|k |<1，求ω的值．[规律方法]高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合，如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．[跟踪训练3] (1)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________；(2)曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是________.【随堂达标】1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)42．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A ．12(e x －e －x ) B ．12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x 3．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)等于( )A ．0B ．60C ．－1D ．－604．函数y ＝x ln (2x ＋5)的导数为________.5．求出下列函数的导数：(1)y ＝e x tan x ；(2)y ＝ln (4x ＋5)3；(3)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (4)y ＝sin x x n ；(5)y ＝e －x ＋2(2x ＋1)5.【参考答案】【评价自测】1．【答案】(1)× (2)√ (3)×2．【答案】(1)B (2)A (3)2cos2x cos3x －3sin2x sin3x (4)1【题型探究】题型一简单复合函数求导问题例1[解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2. (3)函数y ＝sin(2x ＋1)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·(2x ＋1)′＝2cos u ＝2cos(2x ＋1)．(4)函数y ＝3x ＋5可以看作函数y ＝u 和u ＝3x ＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u )′·(3x ＋5)′＝32u ＝323x ＋5. [跟踪训练1]解 (1)设u ＝2x ，则y ＝e u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·2＝2e 2x .(2)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (3)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′u (2x ＋1)′x ＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. (4)设u ＝－3x －1，则y ＝u －，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－13u －·(－3)＝(－3x －1) －＝3(－3x －1)2(－3x －1)2. 题型二较为复杂函数的求导例2[解] (1)y ′＝x ′e 5x ＋2＋x (e 5x ＋2)′＝e 5x ＋2＋x e 5x ＋2·5＝(5x ＋1)e 5x ＋2.(2)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin2x )cos2x ＝－12x sin4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin4x ′＝－12sin4x －x 2cos4x ·4 ＝－12sin4x －2x cos4x . [跟踪训练2]解 (1)因为f (x )＝sin2x ＋e 2x ，所以f ′(x )＝2cos2x ＋2e 2x .(2)因为f (x )＝53x ln (2x ＋1)，所以f ′(x )＝53ln (2x ＋1)＋53x ·22x ＋1＝53ln (2x ＋1)＋10x 3(2x ＋1). (3)因为f (x )＝sin(1－2x )a 4x －1，所以f ′(x )＝－2cos(1－2x )a 4x －1－sin(1－2x )a 4x －14ln a (a 4x －1)2＝－2cos(1－2x )－4sin(1－2x )ln a a 4x －1. 题型三导数的综合应用例3[解] ∵曲线y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3过点⎝⎛⎭⎫π2，0，∴cos ⎝⎛⎭⎫ω·π2＋π3＝0， ∴ω·π2＋π3＝n π＋π2(n ∈Z )，∴ω＝2n ＋13(n ∈Z )，又y ′＝－ωsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴k ＝y ′|x ＝π2＝－⎝⎛⎭⎫2n ＋13sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2n ＋13×π2＋π3 ＝－⎝⎛⎭⎫2n ＋13sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π2＝±⎝⎛⎭⎫2n ＋13. ∵|k |<1，∴|2n ＋13|<1，∴ω＝13. [跟踪训练3]【答案】(1)5x ＋y －3＝0 (2)5【解析】(1)y ′＝－5e －5x ，曲线在点(0,3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.(2)设曲线y ＝ln (2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1，∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1， ∴y 0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.【随堂达标】1．【答案】A 【解析】A 中的函数是一个多项式函数；B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数；C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数；D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数．故选A ．2．【答案】A【解析】y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 3．【答案】B【解析】f ′(x )＝10(1－2x 3)9(－6x 2)，所以f ′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60.4．【答案】ln (2x ＋5)＋2x 2x ＋5【解析】y ′＝[x ln (2x ＋5)]′＝x ′ln (2x ＋5)＋x [ln (2x ＋5)]′＝ln (2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln (2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．解 (1)由于y ＝e x tan x ，则y ′＝(e x )′tan x ＋e x (tan x )′＝e xtan x ＋e x cos 2x ，即y ′＝e x tan x ＋e x cos 2x . (2)由于y ＝ln (4x ＋5)3，则y ′＝124x ＋5. (3)由于y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋x －2，则y ′＝3x 2－2x 3. (4)由于y ＝sin x x n ，则y ′＝x cos x －n sin x x n ＋1. (5)由于y ＝e －x ＋2(2x ＋1)5，则y ′＝(9－2x )(2x ＋1)4e －x ＋2.。

《简单复合函数的导数》教学设计

( 3 x 1) 3
3
所以
3
所以曲线 y 3 x 1 在点(2/3，1)处的切线斜率
k y
x
2
3
1
所以曲线在点(2/3，1)处的切线方程为 y-1=1×(x-2)即 3x 3 y
1 0
例 4.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的
【设计意图】：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数
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学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
二、新知探究
探究 1： y ln( 2 x 1) 函数的结构特点.
1
若设 u = 2x − 1 (x > ) , 则 y = lnu 从而 y = ln(2x − 1) 可以看成是由 y = lnu 和 u
2.(1)-2
1
3.a=-4
2 ax
3
2
在点（0，1）处与直线 2x-y+1=0 垂直，求 a 的值
( 2) 6(1 2 x ) 2
5
(2）7
(3)
2
( 2 x 1) ln 2
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2.运用复合函数的导数运算法则求函数的导数，要关注中间变量的作用.
（1）运算过程中依靠中间变量识别构成复合函数的基本初等函数的结构.
（2）运算结果应表示为原来自变量的函数.
【设计意图】：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、作业布置
基础训练：1.求下列函数的导数：
(1) y
2
2.掌握复合函数的求导法则，能够利用求导法则求复合函数的导数，提升数学运算的素养.
教学内容

简单复合函数求导法则

明目标、知重点填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
分析复合函数的结构，找准中间变量是
反思与感悟
求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由
外及内逐层求导.
明目标、知重点填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ). 解 (1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋
3的复合函数. ∴yx′＝ yu′· ux′ ＝ (u2)′· (2x＋ 3)′＝ 2u· 2 ＝ 4(2x＋ 3) ＝8x＋12.
探究点一
思考1
复合函数的定义
观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，
说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；
而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复
合”得到的，
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
2x＋ 1
1 例 3 求曲线 y＝e 在点(－，1)处的切线方程. 2 解 ∵y′＝e2x＋1· (2x＋1)′＝2e2x＋1，
∴y′ ＝ 2，
2x＋ 1
∴曲线 y＝e
1 在点(－，1)处的切线方程为 2

学案解复合函数的求导法则与应用

学案解复合函数的求导法则与应用一、引言复合函数是高等数学中的重要概念之一，求导法则是求解复合函数导数的基本工具。

在本学案中，将详细介绍复合函数的求导法则以及其应用，以帮助学生理解并掌握这一知识点。

二、复合函数的求导法则复合函数的求导法则可以简单总结为链式法则。

设函数y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数，其导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数f(u)关于u的导数，du/dx表示函数g(x)关于x 的导数。

三、复合函数求导法则的具体应用1. 基本类型在讲解复合函数求导法则的具体应用之前，首先介绍几个基本类型的复合函数求导。

（1）对常数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，且c为常数，则复合函数y=f(c)的导数为0。

（2）对幂函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，且n为常数，则复合函数y=f(u^n)的导数为dy/du * du/dx = n*u^(n-1) * g'(x)。

（3）对指数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，则复合函数y=f(a^u)的导数为dy/du * du/dx = ln(a)*a^u * g'(x)。

（4）对对数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，则复合函数y=f(log_a(u))的导数为dy/du * du/dx = 1/(u*ln(a)) * g'(x)。

2. 特殊类型（1）复合函数中含有三角函数的情况设u=g(x)为可导函数，且y=f(u)=sin(u)，则复合函数y=sin(g(x))的导数为dy/du * du/dx = cos(u) * g'(x)。

（2）复合函数中含有反三角函数的情况设u=g(x)为可导函数，且y=f(u)=arcsin(u)，则复合函数y=arcsin(g(x))的导数为dy/du * du/dx = 1/sqrt(1-u^2) * g'(x)。

北师版高中数学选择性必修第二册精品课件第二章 §5 简单复合函数的求导法则

解:(1)∵函数y=(3x-2)2可看作是由函数f(u)=u2和u=φ(x)=3x-2复合而成的,
∴yx'=f'(u)φ'(x)=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
2
(2)∵函数 y=ln(6x+4)可看作是由函数 f(u)=ln u 和 u=φ(x)=6x+4 > - 3 复合
6
√10
f'(40)=
2√40
=
1
(mm/min).
4
答案:D
4.若f(x)=ecos x,则f'(x)=
答案:-sin x·ecos x
.
5.求曲线 y=f(x)=
1
2 -3
1
在点 4, 处的切线方程.
2
3
1 2
解:由复合函数的求导法则,可得 f'(x)=- (x -3x) 2 ·(2x-3),
综上,[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).
3.一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到
了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数
y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y= f(φ(x)) ,其中u为中间变量.
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为yx'=[f(φ(x))]'= f'(u)φ'(x) ,其中u=φ(x).
e
-2t
9
9
(2)y=5(x+32)=5(16e-2t+36),
9×16 -2t
288 -2t
y'= 5 e ×(-2)=- 5 e .

简单复合函数的导数(教学设计)

§一、内容和内容解析内容：简单复合函数的导数.内容解析：要正确地对复合函数求导，首先要分析清楚复合函数的结构，教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数地复合过程中，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么.二、目标和目标解析目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数. 目标解析：通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备求出简单的形如复合函数的导数的能力.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心.三、教学问题诊断分析教学问题：学生已经掌握了函数的求导以及一些基本初等函数的求导公式对于复合函数的导数,学生的认知困难主要在两个方面:（1）什么是复合函数？学生对新概念的理解和接受是比较困难的；（2）如何对复合函数进行求导？要求学生掌握方法并运用.因此,应该重视培养学生独立思考和计算的能力，重视学生参与知识的发现过程、重视课堂问题的设计,引导学生解决问题.基于以上分析，本节课的教学重点定为：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程；教学难点定为：记忆复合函数求导法则的公式结构.四、教学策略分析教材主要研究形如()()y f g x =()ln 21y x =-，这样学生更容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数通过加减乘除运算得到的，教材中通过细致研究sin 2y x =的导数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则.对于复合函数的导数，教师在教学时要注意引导学生分析复合函数结构，找出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于()f ax b +的形式即可.。

高中数学选择性必修二 5 2 3简单复合函数的导数(导学案)

5.2.3简单复合函数的导数导学案1. 了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．重点：复合函数的概念及求导法则难点：复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________．y＝f (g(x))思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于_________________________ _______．y′u·u′x; y对u的导数与u对x的导数的; 乘积1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx．()(2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝13x－1．()(3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( ) 2．函数y ＝13x －12的导数是() A ．63x －13 B ．63x －12C ．－63x －13 D ．－63x －123．下列对函数的求导正确的是( )A ．y ＝(1－2x )3，则y ′＝3(1－2x )2B ．y ＝log 2(2x ＋1)，则y ′＝12x ＋1ln 2C ．y ＝cos x 3，则y ′＝13sin x3D ．y ＝22x －1，则y ′＝22x ln 2一、新知探究探究1. 如何求y =(1+x)3导数呢？若求y =(1+x)6的导数呢？还有其它求导方法吗？探究2. 如何求y =ln⁡(2x −1) 导数呢？探究3：求函数y =sin2x 的导数三、典例解析例6.求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3; （2）y =e −0.05x+1; (3) y =ln⁡(2x −1)1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝e 2x ＋1；(2)y ＝12x －13；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝ln 3xe x .例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm),关于时间t (单位:s)的函数满足关系式y =18sin⁡(2π3t −π2) .求函数在时的导数，并解释它的实际意义。

第5课时简单复合函数的求导法则

| c - 1| 5
2x 2x 2x
= 5 .解得 c=6 或 c=-4.
故直线 l 的方程为 2x-y+6=0 或 2x-y-4=0.
导.学. 固. 思
1.下列函数不是复合函数的是( A ). A.y=-x - +1
x
3
1
B.y=cos(x+ )
4
π
C.y=
1
lnx
D.y=(2x+3)4
π π 4 4 1 u
3
��
则 yx'=yu'·ux'=cos u·(-2)=-2cos(-2x+ )=-2cos(2x- ).
3 3
��
��
(4)原函数可看作 y=10 ,u=2x+3 的复合函数,则 u 2x+3 yx'=yu'·ux'=10 ·ln 10·2=(ln 100)10 .
u
简单复合函数导数的应用求曲线 f(x)=e
2 2
导.学. 固. 思
简单复合函数的导数求下列函数的导数: (1)y=(2x-1) ;(2)y=
��
4
1 1-2��
;
(3)y=sin(-2x+3 );(4)y=102x+3.
【解析】(1)原函数可看作 y=u ,u=2x-1 的复合函数,则 4 3 3 yx'=yu'·ux'=(u )'·(2x-1)'=4u ·2=8(2x-1) . (2)y=
导.学. 固. 思
问题4
复合函数的求导步骤有哪些?
如果函数f(u)、u(x)有导数,那么

教学设计9：简单复合函数求导

简单复合函数求导教学目标1．知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程．(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则．2．过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键．在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题．重点难点重点：复合函数的求导方法．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确．教具准备多媒体课件．教学过程导入新课上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式．活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y＝(3x－2)2的导数．基本初等函数的导数公式表f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ·ln a (a >0) f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a (a >0且a ≠1)f (x )＝ln x f ′(x )＝1x导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．默写完后，给予点评．设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题．提出问题问题1：求函数y ＝(3x －2)2的导数，除了把函数y ＝(3x －2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f (x )＝ln x 的导数是什么？函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数又是什么？学情预测：f (x )＝ln x 的导数是f ′(x )＝1x ，函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数是f ′(x )＝33x ＋2.回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则．探究新知(一)复合函数首先分析函数y ＝ln(3x ＋2)的结构特点．若设u ＝3x ＋2(x >－23)，则y ＝ln u .从而函数y ＝ln(3x ＋2)可以看成是由函数y ＝ln u 和函数u ＝3x ＋2(x >－23)经过“复合”得到的．即y 可以通过中间变量u 表示成自变量x 的函数．如果把y 与u 的关系记作y ＝f (u )，u 与x 的关系记作u ＝g (x )，那么这个“复合”过程可以表示为y ＝f (u )＝f (g (x ))＝ln(3x ＋2)．我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数y ＝(3x－2)2是由y ＝u 2和u ＝3x －2“复合”而成等等．一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．理解新知例1 指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)； (4)y ＝sin 2(1－1x)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． (2)函数y ＝e－0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝πx ＋φ的复合函数． (4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sin v 及v ＝1－1x 的复合函数．活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程．设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础．例2 写出由下列函数复合而成的函数． (1)y ＝ln u ，u ＝12x －3；(2)y ＝e u ，u ＝3x ＋5. 解：(1)y ＝ln(12x －3)；(2)y ＝e 3x ＋5. 设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果．探究新知问题：对复合函数如何求导数呢？ (二)复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′(y x′表示y对x的导数)，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．(板书)理解新知例3 求下列函数的导数．(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(3x＋2)．解：(1)因为函数y＝(3x－2)2可以看作函数y＝u2和u＝3x－2的复合函数，所以y＝(3x －2)2对x的导数等于y＝u2对u的导数与u＝3x－2对x的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(3x－2)′＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.(2)因为函数y＝ln(3x＋2)可以看作函数y＝ln u和u＝3x＋2的复合函数，所以y x′＝y u′·u x′＝(ln u)′·(3x＋2)′＝1u·3＝33x＋2.设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习．运用新知例4(课本例4)求下列函数的导数．(1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ)(其中π，φ均为常数)．解：(1)函数y＝(2x＋3)2可以看作函数y＝u2和u＝2x＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′(2x＋3)′＝4u＝8x＋12.(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝e u和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(e u)′(－0.05x＋1)′＝－0.05e u＝－0.05e－0.05x＋1.(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看作函数y＝sin u和u＝πx＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(sin u)′(πx＋φ)′＝πcos u＝πcos(πx＋φ)．点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果．[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．分解 y u ′＝2u ，u x ′＝2. 求导 y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ·2. 相乘函数y ＝(2x ＋3)2的导数是y x ′＝4u ＝4(2x ＋3)．回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代．例5 求下列函数的导数． (1)y ＝x －a x 2－2ax；(2)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)y ′＝1·x 2－2ax －(x －a )·2x －2a2x 2－2ax x 2－2ax ＝－a 2(x 2－2ax )x 2－2ax ＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2，y ′＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2.点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． (2)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 2(2x )＝1－14(1－cos4x )＝34＋14cos4x .y ′＝－sin4x .解法二：y ′＝(sin 4x )′＋(cos 4x )′＝4sin 3x (sin x )′＋4cos 3x (cos x )′ ＝4sin 3x cos x ＋4cos 3x (－sin x )＝4sin x cos x (sin 2x －cos 2x ) ＝－2sin2x cos2x ＝－sin4x .点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步．设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法．巩固练习求下列函数的导数．(1)y ＝(2x －3)3；(2)y ＝(1－3x )3；(3)y ＝sin(3x ＋π3)；(4)y ＝x 2＋1.【答案】(1)y x ′＝6(2x －3)2；(2)y x ′＝－9(1－3x )2；(3)y x ′＝3cos(3x ＋π3)；(4)y x ′＝xx 2＋1.变练演编求下列函数的导数．(1)y ＝e 2x ＋5；(2)y ＝53x －1；(3)y ＝log 3(2x ＋4)； (4)y ＝sin2x －cos(3x －2)；(5)y ＝2x sin(2x ＋5)．【答案】(1)y x ′＝2e 2x ＋5；(2)y x ′＝3(53x －1ln5)；(3)y x ′＝2(2x ＋4)ln3；(4)y x ′＝2cos2x ＋3sin(3x －2)；(5)y x ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算．达标检测1．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝sin 3x ＋sin 3(3x )；(3)y ＝sin(2x )2x －1；(4)y ＝log a (x 2－2)．2．求y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)的导数．【答案】1.(1)y x ′＝10(2x ＋1)4； (2)y x ′＝3sin 2x cos x ＋9sin 2(3x )cos(3x )； (3)y x ′＝2cos2x (2x －1)－2sin2x(2x －1)2；(4)y x ′＝2x(x 2－2)ln a .2．y x ′＝4x ＋32x 2＋3x ＋1.课堂小结1．复合函数的定义．2．复合函数的求导法则，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为比较简单的函数，然后再利用复合函数的求导法则求导．3．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．布置作业课本习题1.2A 组第6、7题，B 组第2题．补充练习基础练习一、选择题1．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．3 3C ．－6 3D ．63 2．函数y ＝sin 23x ＋5cos x 2的导数是( )A ．2sin3x －5sin x 2B ．2si n 6x －10x sin x 2C ．3sin6x ＋10sin x 2D ．3sin6x －10x sin x 2 二、填空题3．若函数f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝__________.4．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是__________．三、解答题5．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．【答案】1.B 2.D 3.1ln3 4.3x －y －11＝0 5. 5.拓展练习1．求下列函数的导数．(1)y ＝2x sin(3x ＋π6)；(2)y ＝x sin2x ＋cos3x ；(3)y ＝cos(－2x ＋π6)；(4)y ＝22x ＋1.2．求曲线y ＝sin2x 在点P (π，0)处的切线方程．3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．【答案】1.(1)y x ′＝2sin(3x ＋π6)＋6x cos(3x ＋π6)．(2)y x ′＝sin2x ＋2x cos x －3sin3x . (3)y x ′＝2sin(－2x ＋π6)．(4)y x ′＝22x ＋2ln2. 2．2x －y －2π＝0. 3．a ＝3，b ＝－11，c ＝9.设计说明本节课主要讲了两个方面的内容：一、复合函数的定义和复合函数的复合过程与分解过程；二、复合函数的求导法则与由初等函数构成的复合函数的求导方法．通过大量的例题与练习巩固这两方面的知识，使学生对这部分知识不仅要熟悉还要灵活掌握，为接下来的利用导数研究函数的性质打下坚实的基础．在方法方面，重在引导与不断地总结；在法则方面，重在加强练习．在教学过程中不断地与学生互动，使学生不断超越自我，享受成功的喜悦．。

简单复合函数的求导法则

4. y=3x2+xcos3x，求导数 y′=
5.求 y=
x2 的导数. y′= sin 2 x
6.课本 51 Biblioteka 练习作业反思P51 习题 2—5 第 1、3 题
石泉中学高二数学备课组
学习例 3 课本 50 页例 3 过程 2 与方 1. 函数 f ( x) 2x 的导数是（法 2 A. f ( x) 4x B. f ( x) 4 x
2
） C. f ( x) 8 x
2
D. f ( x) 16x （）
2．函数 y=（x+1）（x－1）在 x=1 处的导数等于 A．1 B．2 C．3 D．4
北师大版
高中数学选修 2—2 第二章《变化率与导数》导学案
§5 简单复合函数的求导法则
序号课型学习目标重点难点 17 时间备课人班级王立民姓名审核人王立民新授课
1．掌握简单复合函数的导数的推导 2．简单复合函数的导数的应用
重点：掌握简单复合函数的导数的推导。难点：简单复合函数的导数的应用。备注知识回顾：默写八个导数公式。自主学习：阅读教材 P49 并思考：复合函数的概念一般地，对于两个函笔记
数 y f (u ) 和 u x ，如果通过变量 u ， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y f (u ) 和 u x 的复合函数，记作 y= 3．求导法则：若 y f g ( x) ，则 y′= 纠错
精讲互动：
例 1 课本 50 页例 1 例 2 课本 50 页例 2

数学选修2-2第二章《§5形如y=f(ax b)的简单复合函数的求导法则》导学案

难点：将一个复合函数分解为两个（或多个）简单函数。
学
一. 实例分析阅读课本实际问题，尝试分析解决
习
过
程
S f (r ) r 2 ， r (t ) 2t 1 则 S 关于 t 的函数关系为
油膜面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率即为函数导函数 f 的，故 S f
姓名：
组名：
(t ) (2t 1)2 的求导，尝试猜想并感知复合函数 y f g(x) 的求导法则。 (t ) (2t 1)2 的导数，养成利用已知探求未知问题的习惯。
3.鼓励学生利用已知导数公式求 S f 二、学习重、难点：重点：复合函数的求导法则。
五．反馈检测 1．求下列函数的导函数（1） y e
x2
（2） y cos(3x 1) ln(2 x 1) ；（3） y (2x 1) ；
2x 1 x
2.一听（一易拉罐）汽水放入冰箱后，其摄氏温度 x(单位：℃)由时间 T（单位：h）以公式: x 4 16e 决定（1）求汽水温度 X 在 t=1 处的导数。（2）已知摄氏温度 x 与华氏温度 y 之间具有如下函数关系： x 析式，并求出 y 关于 t 的函数的导数。
y x f ( x) f (u) ( x)
三．举例应用例 1 求函数 y 3x 1 的导数解：
例 2 求函数 y (2 x 1)：
例 3 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度 y（单位:cm）关于时间 t（单位:s）的函数为 y h(t )
100 ，求函数在 t=3 时的导数，并解释它的几何意义。 2t 1
四．应用练习写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则求出函数的导数。（1）

北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第2章导数及其应用 5 简单复合函数的求导法则

√4+1
点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是√5.
= √5,即曲线 y=ln(2x-1)上的
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
2
.
解析令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又因为切线与
直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,
名师点睛
求复合函数的导数需处理好以下环节:
(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
(4)善于把一部分表达式作为一个整体;
(5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
根据导数的几何意义可得f'(1)=2e1-m-me1-m+m=2,
所以(e1-m-1)(2-m)=0,所以e1-m-1=0或2-m=0,
所以m=1或m=2.
1 2 3 4 5
2.函数y=(2x+1)3的导数为( C )
A.y'=3(2x+1)3
B.y'=3(2x+1)2
C.y'=6(2x+1)2
D.y'=6(2x+1)3
(2)y'=(sin 2x)'+(cos 2x)'=2cos 2x-2sin 2x.
2
(3)设 y=u ,u=ln x,则

高中数学第二章变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则教案(含解析)2数学教案

5简单复合函数的求导法则已知y ＝(3x ＋2)2，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明y ＝(3x ＋2)2如何复合的．提示：令u ＝g (x )＝3x ＋2，则y ＝u 2，u ＝3x ＋2，y ＝f (u )＝f (g (x ))＝(3x ＋2)2. 问题3：试求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数．提示：y ′＝(9x 2＋12x ＋4)′＝18x ＋12，f ′(u )＝2u ，g ′(x )＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系．提示：y ′＝[f (g (x ))]′＝f ′(u )·g ′(x )． 1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，记作y ＝f (φ(x ))，其中u 为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (φ(x ))的导数为：y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )．利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤： (1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数．(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数．简单的复合函数求导[例1] (1)y ＝sin 3x ；(2)y ＝11－2x2；(3)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)； (4)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.[思路点拨] 先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·(3x )′＝cos u ·3＝3cos 3x .(2)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －12)′·(1－2x 2)′＝－12u －32·(－4x )＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(3)设y ＝lg u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(lg u )′·(2x 2＋3x ＋1)′ ＝1u ln 10·(4x ＋3)＝4x ＋32x 2＋3x ＋1ln 10. (4)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3.则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝2sin v ·cos v ·2＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. [一点通]1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 1．函数y ＝13x －12的导数是( )A.63x －13B.63x －12C ．－63x －13 D ．－63x －12解析：选C ∵y ＝13x －12＝(3x －1)－2，∴y ′＝－2(3x －1)－3·(3x －1)′ ＝－6(3x －1)－3＝－63x －132．函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________．解析：f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4， ∴f ′(0)＝10. 答案：103．求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e2x ＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12； (2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2；(3)y ′＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e2x ＋1；(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1.(5)y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4′＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.(6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .复合函数导数的综合问题[例2] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s (t )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋5π6(0≤t ≤24)，其中s 的单位是m ，t 的单位是h ，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义．[精解详析] 设f (x )＝3sin x ，x ＝φ(t )＝π12t ＋5π6.由复合函数求导法则得s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋5π6.将t ＝18代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18 h 时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.[一点通] 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．4．f (x )＝ax －1，且f ′(1)＝1，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝12ax －1·(ax －1)′＝a2ax －1，∴f ′(1)＝a2a －1＝1.解得a ＝2. 答案：25．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ′＝a ·e ax，且y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，∴k ＝2＝f ′(0)＝a ，即a ＝2.答案：26．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x (单位：℃)随时间t (单位：h)的变化满足关系：x ＝4＋16e －2t .(1)求汽水温度x 在t ＝1处的导数；(2)已知摄氏温度x 与华氏温度y 之间具有如下函数关系x ＝59y －32.写出y 关于t 的函数解析式，并求y 关于t 的函数的导数．解：x ′＝－32e－2t.(1)当t ＝1时，x ′＝－32e 2.(2)y ＝95(x ＋32)＝95(16e －2t＋36)，y ′＝9×165e －2t ×(－2)＝－2885e －2t. 求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数． 1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4解析：选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝(2 018－8x )8的导数为( ) A ．y ′＝8(2 018－8x )7 B ．y ′＝－64xC ．y ′＝64(8x －2 018)7D ．y ′＝64(2 018－8x )7解析：选C y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′ ＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14mm/min 解析：选D f ′(t )＝1210t ·10＝510t ，∴f ′(40)＝5400＝14. 5．函数f (x )＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：函数的导数为f ′(x )＝e x －1＋x ex －1＝(1＋x )ex －1，当x ＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝2.答案：26．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )．① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.② ②代入①可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：27．设曲线f (x )＝ax －ln(x ＋1)在点(1，f (1))处的切线与y ＝12x 平行，则a ＝________.解析：f ′(x )＝a －1x ＋1，由题意得f ′(1)＝12，即a －12＝12，所以a ＝1. 答案：18．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2－x ＋1)4； (2)y ＝x 1＋x 2； (3)y ＝x ln(1－x )．解：(1)y ′＝4(2x 2－x ＋1)3(2x 2－x ＋1)′ ＝4(2x 2－x ＋1)3·(4x －1)．(2) (2)y ′＝ 1＋x 2＋x [(1＋x 2)12]′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2)-12 (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2)-12·2x＝1＋x 2＋x 21＋x2＝1＋2x21＋x2..(3)y′＝x′ln(1－x)＋x[ln(1－x)]′＝ln(1－x)＋x·－11－x＝ln(1－x)－x1－x.。

北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件第二章 §5 简单复合函数的求导法则

(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适当
选定中间变量.
(2)尽可能地先将函数化简,再求导.
(3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用.
(4)复合函数的求导过程可简记为分解—求导—回代,熟练以后,可
以省略中间过程.
-4-
§5 简单复合函数的求导法则
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解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)'
=2n(2x+1)n-1.
(2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3).
(3)y'=(xcos 2x)'=x'·cos 2x+(cos 2x)'·x
=cos 2x-2xsin 2x.
∴切线方程为 y-ln( 2-1)=- 2 (x-1),
即 x+ 2y-1- 2ln( 2-1)=0.
-13-
§5 简单复合函数的求导法则
探究一
探究二
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当堂检测
思维辨析
反思感悟根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求任何一
个初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以解
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数;
(6)复合函数求导,中间步骤可以省略,不必写出函数复合过程,可以
直接应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导.
-9-
§5 简单复合函数的求导法则
探究一
探究二

第5课时简单复合函数的求导法则(导学案)

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第一章
第第5一课章时
第 20 页
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【变式设问】求曲线 f(x)=e2x+1 过点 - 1 ,0 的切线方程.
2
提示:设切点为(x0,e2��0+1),则切线 l 的斜率为 k=2e2��0+1,故切线方程为 y-
e2 ��0 +1 =2e2 ��0 +1 (x-x0),将点
3 则,并结合导数公式和法则求习题熟练掌握复合函数求养数学运算的素养
一些简单复合函数的导数导法则的应用
3
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第第5一课章时
第4 页
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重点:能够利用复合函数的求导法则,对形如 f(ax+b)的复合函数求导. 难点:简单复合函数的求导法则的应用.
4
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第一章导数及其应用第5课时1 简单复合函数的求导法则
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4 课后思学
第一章第5课时
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学法建议
能力素养
阅读教材,合作探究,初步
2
3
23
(3)函数 y=lg(3-2x)是由函数 y=lg u 和 u=3-2x 复合而成.
7
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§5简单复合函数的求导法则
【学习目标】
1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则；
2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。

【重点、难点】
重点：简单复合函数的求导法则；
难点：复合函数的导数。

【使用说明与学法指导】
1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；
1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；
【自主探究】
1.复合函数
对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量.
2.复合函数的导数
如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x
y 【合作探究】
求下列函数的导数
（1）82)21(x y += （2）33x x y +=
（3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y
1、 )ln 1(2x xe
y x += （6）x x y -+=11ln
2、曲线x e
y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。

3、已知函数2()(2)2x f x ln x a
=--，a 为常数。

(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线()
y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。

【巩固提高】
1、求下列函数的导数
（1）y =
2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x
（3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y +=
2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f '
3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限
（1）求点0P 的坐标
（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。

【课堂小结】。