随机过程习题与答案

D Y (t ) = 25DN1(t ) + 100 D N 2 (t ) + 225 D N 3 (t ) = 25 ⋅ 3t + 100 ⋅ 2t + 225t = 500t
法二 设店主从第 n 个订阅者处获利 X(n) 则
X(n)
5
10
15
pk
1/2
1/3
1/6
X(n)相互独立且 EX(n)=50/6, DX(n)=500/6
π 2ω
2π ω 图2
三 一书亭用邮寄订阅销售杂志 订阅的顾客数是强度为 6 的一个泊松过程 每
位顾客订阅 1 年 2 年 3 年的概率分别为 0.2 0.3 0.5 彼此如何订阅是 相互独立的 每订阅一年 店主即获利 5 元 设 Y(t)是[0, t)时段内 店主 从订阅中所获得总收入 试求
1 E[Y (t)] 即[0, t)时段内总收入的平均收入
= E(500 N (t)) = 500t 6
四 在电报信号传输中 信号是由不同的电流符号 C,−C 给出 且对于任意的 t
电路中电流 X(t)具有概率分布
X (t) C − C 11
pi 2 2 因电流的发送有一个任意的持续时间 电流变换符号的时间是随机的
设 X(t)在[0, t)内变量的次数 N(t)为强度λ的泊松过程 试讨论
{X (t),t ≥ 0}为宽平稳过程
五 若每隔一分钟观察噪声电压 以 X(n)表示第 n 分钟观察噪声电压所得结 果 则 X(n)为一随机变量 {X (n),n ≥ 1}为一随机过程 此过程是马氏过程吗 为什么
解答: 由于第 n 分钟观察噪声电压所得结果 与其它各次观察噪声电压所得结果 互 不 影 响 , 显 然 {X (n),n ≥ 1} 为 独 立 随 机 序 列 因 此 对 于 任 意 的 正 整 数
2 D[Y (t)]
解答 (1) 法一 设 N(t)为订阅杂志的顾客数, Nj (t) 为订阅 j 年的顾客数 ⇒ N(t) = N1(t)+ N2(t)+ N3(t) 且 N(t) π (6t ) 故由已知
N1 (t)服 从 π 3t ), N 2 (t)服 从 π (2t ), N 3 (t )服 从 π (t ) 均为泊松过程
n1 < n2 < L < nm < n , X (n1), X (n2 ),L, X (nm ), X (n) 的条件联合分布函数为
F (x, n | x1, x2,L, xn , n1, n2,L, nm ) = P{X (n) ≤ x | X (n1) ≤ x1,L X (nm ) ≤ xm} = P{X (n1) ≤ x1,L X (nm ) ≤ xm, X (n) ≤ x}
X2(t)
X (t)
x1 (t )
=
1 2
sin(ωt
+
Θ)
x2
(t
)
=
−
1 2
sin(ωt
+
Θ)
图1
(2)若 Θ 服 从 U (0, 2π ), A,ω 为常
数
解答
取 Θ=π, π 2
X1(t)
=
Asin(ωt
+
π 2
)
=
A cos(ωt )
X 2 (t ) = Asin(ωt + π ) = − Asin(ωt)
记 Y (t )为[0, t )内 店 主 的 总 收 入 则 Y( t ) =5N1(t ) + 10 N 2 (t ) + 15 N 3 (t )
∴ EY (t ) = 5EN1(t ) + 10 E N 2 (t ) + 15 E N 3 (t ) = 5 × 3t + 10 × 2t + 15t = 50t
三 一书亭用邮寄订阅销售杂志 订阅的顾客数是强度为 6 的一个泊松过程 每 位顾客订阅 1 年 2 年 3 年的概率分别为 0.2 0.3 0.5 彼此如何订阅是 相互独立的 每订阅一年 店主即获利 5 元 设 Y(t)是[0, t)时段内 店主 从订阅中所获得总收入 试求 1 E[Y (t)] 即[0, t)时段内总收入的平均收入
P{X (n1) ≤ x1,L X (nm ) ≤ xm}
= P{X (n1) ≤ x1}LP{X (nm ) ≤ xm}P{X (n) ≤ x} = P{X (nm ) ≤ xm}P{X (n) ≤ x}
P{X (n1) ≤ x1}LP{X (nm ) ≤ xm}
P{X (nm ) ≤ xm}
=
{X (t),t ≥ 0}的平稳性
解答 1 对于任意的 t EX(t)=0
2 EX 2 (t) = c2 < +∞
3 对于 t1 < t2 时
RX (t1,t2 ) = EX (t1) X (t2 ) = c2P{X (t1) X (t2 ) = c2} − c2P{X (t1) X (t2 ) = −c2}
P{X (nm ) ≤ xm, X (n) P{X (nm ) ≤ xm}
≤
x}
=
P{X (n)
≤
x|
X (nm )
≤
xm} =
F{x,n |
xm , nm}
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满足马尔科夫性,因此此过程是马氏过程
六 一质点在圆周上作随机游动 圆周上共有 N 格 质点以概率 p 顺时针游动一
格 以概率 q = 1 − p 逆时针移动一格 试用马氏链描述游动过程 并确定状
∑ =
+∞
c2
k=0
(−λ (t2 − t1))k e−λ(t2 −t1 ) k!
=
c e2 −2λ (t2 −t1 )
=
c 2 RX
(t2
− t1)
类似地, 对于 t2 < t1 时, 有 RX (t1,t2 ) = c2RX (t1 − t2 )
因此,合并两式即得, RX (t1,t2 ) = c2e−2λ t2 −t1 = c2RX ( t2 − t1 ) 与 t 无关,可见,
来到的顾客就要排队等待服务 顾客的到达是随机的 每个顾客所需服务时
间也是随机的 若令 X (t) 为 t 时刻的队长 即正在被服务的顾客和等待服
务的顾客的总数目 Y(t)为 t 时刻来到的顾客所需等待时间 {X (t),t ∈T},{Y (t),t ∈T} 是随机过程吗 为什么
解答 若令 X(t)为 t 时刻的队长,则固定 t 时, X(t)为一随机变量,其可能取值为
故状态空间为 E = {s | s ≥ 0},因此{Y (t),t ≥ 0} 亦为一随机过程
二 试写出 X (t) = Asin(ωt + Θ) (t ∈ R)的任意两个样本函数 .
(1) 若 A 是(-1, 1)上均匀分布, ω, Θ 为常数,
解答 本函数
取 A=±1 2
图形如图 1
得随机过程的两个样
= P{X (1) = 2}P{X (3) = 3 | X (1) = 2}P{X (5) = 2 | X (3) = 3}
∑3
=[
i =1
pi
(0)
pi
2
]
p(2 23
)
p(2) 31
=
1[1 32
+
1 2
+
0] ×
1 4
×
1 2
=
1 24
西南交通大学
本科生考试试卷 A
课程名称 随 机 过 程
二零零二年 二零零三年第一学期
N (t)
总获利 Y (t) = ∑ X (n) n =1
1 EY (t) = E[E(Y (t) / N (t))]
∞
= ∑ E(Y (t) / N (t) = k)P(N (t) = k)
k =0
∑ = ∞ 50 kP(N (t) = k ) = 50 E(N (t)) = 50t
k=0 6
6
(2) DY (t) = E(Y (t) − EY (t))2 = E[E[(Y (t) − EY (t))2 / N (t)]]
2 D[Y (t)]
四 在电报信号传输中 信号是由不同的电流符号 C,−C 给出 且对于任意的 t
电路中电流 X(t)具有概率分布
X (t) C − C
pi
1 2
1 2
因电流的发送有一个任意的持续时间 电流变换符号的时间是随机的 设 X(t) 在[0, t)内变量的次数 N(t)为强度λ的泊松过程 试讨论{X (t),t ≥ 0}的平稳 性
⎧p
=
⎪ ⎨
q
⎪⎩ o
j =1 j = N −1 其它
七 设一齐次马氏链{X (n),n ≥ 0}的概率转移图如下图 且已知其初始分布为
P{X (0) = i} = 1 i = 1,2,3 3
试求
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
3
2
1 二步转移概率矩阵 2 P{X (1) = 2, X (3) = 3, X (5) = 2} 解答
⎡0 1/ 2 1/ 2⎤ 1 P = ⎢⎢0 1/ 2 1/ 2⎥⎥
⎢⎣1 0 0 ⎥⎦ ⎡0 1/ 2 1/ 2⎤⎡0 1/ 2 1/ 2⎤ ⎡1/ 2 1/ 4 1/ 4⎤ P2 = ⎢⎢0 1/ 2 1/ 2⎥⎥⎢⎢0 1/ 2 1/ 2⎥⎥ = ⎢⎢1/ 2 1/ 4 1/ 4⎥⎥ ⎢⎣1 0 0 ⎥⎦⎢⎣1 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1/ 2 1/ 2⎥⎦ 2 P{X (1) = 2, X (3) = 3, X (5) = 2}
链 其一步转移概率为
pij = P( X (k + 1) = j / X (k ) = i)
⎧p = ⎪⎨q
⎪⎩o
j = i +1 j = i −1 其它
1<i < N
p1 j = P ( X (k + 1) = j / X (k ) = 1)
⎧p
=
⎪ ⎨
q
⎪⎩ o
j=2 j= N 其它
p Nj = P ( X (k + 1) = j / X (k ) = N )
五 若每隔一分钟观察噪声电压 以 X(n)表示第 n 分钟观察噪声电压所得结果 则 X(n)为一随机变量 {X (n),n ≥ 1}为一随机过程 此过程是马氏过程吗 为 什么
六 一质点在圆周上作随机游动 圆周上共有 N 格 质点以概率 p 顺时针游动一 格 以概率 q = 1 − p 逆时针移动一格 试用马氏链描述游动过程 并确定状 态空间及转移概率矩阵
西南交通大学
本科生考试试卷 B
课程名称 随 机 过 程
二零零三年 二零零四年第一学期 考试日期
班级
学号
姓名
成绩
一 顾客来到服务台要求服务 当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时 来到的顾客就要排队等待服务 顾客的到达是随机的 每个顾客所需服务时
态空间及转移概率矩阵
解答 将 N 个格点 分别记为 1,2,…..,N
如图排列 用 X(n)表示 n 时质点的位
置 显然它只与 X(n-1)时的位置有关
N
与 X(n-1)以前的位置无关 满足马尔科
1
夫性,因此{X (n), n ≥ 1}为马氏过程 其状
态空间为 E={ 1, 2, . . . . . .,N},参数空间 为T = {n ≥ 1} 故 {X (n), n ≥ 1}为一马氏
间也是随机的 若令 X (t) 为 t 时刻的队长 即正在被服务的顾客和等待服
务的顾客的总数目 Y(t)为 t 时刻来到的顾客所需等待时间 {X (t),t ∈T},{Y (t),t ∈T} 是随机过程吗 为什么
二 试写出随机过程
X (t) = Asin(ω t + Θ) t ∈ (−∞,+∞)
的任意两个样本函数 并画出其图形 1 若 A 是在 (−1, −1) 上均匀分布的随机变量 ω在(0, 2π)上服从均匀分布 而Θ为常数 2 若 A 服从 (−1, 1) 上均匀分布 Θ服从(0, 2π)上均匀分布 而ω为常数
= c2P{N (t2 − t1) = 偶数} − c2P{N (t2 − t1) = 奇数}
∑ ∑ = c2 +∞ (λ(t2 − t1))2k e−λ (t2 −t1 ) − c2 +∞ (λ(t2 − t1))2k +1e−λ (t2 −t1 )
k =0 (2k )!
k =0 (2k + 1)!
七 设一齐次马氏链{X (n),n ≥ 0}的概率转移图如下图 且已知其初始分布为
P{X (0) = i} = 1 i = 1,2,3 3
试求 1 二步转移概率矩阵
2 P{X (1) = 2, X (3) = 3, X (5) = 2}
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
3
2
参考解答 一 顾客来到服务台要求服务 当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时
0,1,2,…, 其参数空间为T = {t | t ≥ 0}, X (t) = n 表示 t 时刻的状态,故状态空间
为 E = {0,1,2,L} , 因此{X (t),t ≥ 0} 为一随机过程 若令 Y(t)为 t 时刻来到的顾客所需等待的时间, 则固定 t 时, Y(t) 为一随机
变量,其可能取值为 t ≥ 0 , 即其参数空间为T = {t | t ≥ 0}, X (t) = s 为 t 时刻的状态,