因式分解讲义

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当 的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法 因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解
题型展示：
对于二次三项 ax2 bx c （ a、b、 c 都是整数，且 a
0 ）来说，如果存在四个整数
a1， c1， a 2， c2
满 足 a1a 2 a， c1c2 c ， 并 且 a1c2 a2c1 b ， 那 么 二 次 三 项 式 ax 2 bx c 即
a1 a2 x 2 a1c2 a 2 c1 x c1c2 可以分解为 a1 x c1 a 2 x c2 。这里要确定四个常数 a1， c1 ， a2 ， c2 ，
ac bd 0 原式 0
说明：首先要充分利用已知条件 a2 b 2 1， c 2 d 2 1 中的 1（任何数乘以 1，其值不变） ，其次利用 分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。
例 3. 分解因式： x 3 2x 3 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当
说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
提高练习
1. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算 123 987 268 987
1368
1368
456 987 1368
521 987 1368
2. 分解因式：
（ 1） 4m2 n3 12m3n2 2mn
（ 2） a 2 xn 2
abxn 1
acxn
adxn
方法一·提公因式法
1 、提公因式法分解因式的一般形式，如 : ma+mb+mc=m （ a+b+c ）.
这里的字母 a 、 b 、 c、 m 可以是一个系数不为 1 的、多字母的、幂指数大于 1 的整式 .
2 、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式
.
3 、找公因式的一般步骤
（1 ）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2 ）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3 ）取相同的多项式，多项式的指数取较低的 . （4 ）所有这些因式的乘积即为公因式 . 4 、注意事项：
yx y
mx 5y 6
-6 可分解成 2 3 或 3 2 ，因此，存在两种情况：
例 1：因式分解： x 3 4 xy 2 ________。 解： x 3 4xy 2 x( x 2 4y 2 ) x( x 2y)( x 2 y)
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例 2：分解因式： 2x 3 y 8x 2 y 2 8 xy 3 _________。 解： 2x 3 y 8x2 y 2 8xy 3 2xy( x2 4xy 4 y2 ) 2 xy( x 2 y)2
说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？
常见题型 例 1.分解因式： 1 m 2 n 2 解： 1 m 2 n 2 2 mn
1 (m 2 2mn n 2 )
2 mn
_____________。
1 (m n)2
(1 m n)(1 m n)
说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解 到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
(2) 8a(x y)2 4b( y x)
6. 计算与求值 29× 20.03+72 ×20.03+13 × 20.03 － 14× 20.03.
7、 . 先化简，再求值
11 a(8 － a)+ b( a－ 8) － c(8 － a) ，其中 a=1，b= ， c= .
2
2
8、已知 2x
y
1 ， xy
分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
题型展示
例 1. 若 x 2 y 2 mx 5 y 6 能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（
）
A. 1
B. -1
C. 1
解： x 2 y 2 mx 5y 6 x
D. 2
1
（n
为正整数）
（ 3） a(a b) 3 2a 2 (b a) 2 2ab(b a) 2
3. 计算： ( 2)11 ( 2)10 的结果是（
A. 2100
B. 210
）
C. 2
D. 1
方法三·分组分解法
【知识精读】
把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：
2 ，求 2 x 4 y 3
x 3 y 4 的值 .
8
方法二·公式法
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式
a 2 b 2 ( a b)( a b)
完全平方公式
a 2 2ab b2 (a b )2
立方和、立方差公式
a 3 b 3 (a b) ( a 2 ab b 2 )
括号前是“ +”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“
-”号，括到括号里的各项都改变符号
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分 组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察” 多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元
，分析
二次方程，函数等学习中也有重要作用。
题型展示： 例 1. 分解因式： m 2 (n 2 1) 4mn n 2 1
解： m 2 (n 2 1) 4mn n 2 1
m 2 n 2 m 2 4 mn n 2 1 ( m 2 n 2 2 mn 1) ( m 2 2mn n2 ) ( mn 1) 2 ( m n) 2 ( mn m n 1)( mn m n 1)
例 2．分解因式： x 2 y 2 x y ____________
解： x 2 y 2 x y (x 2 y 2 ) ( x y)
(x y)( x y) ( x y) (x y)( x y 1) 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例 3. 分解因式： x 3 3x 2 4x 12 ____________ 解： x 3 3x 2 4x 12 x 3 4x 3x 2 12
题型展示： 1 、将下列各式分解因式：
（ 1 ） 3a(x y) - 2b(x y) ;
（ 2 ） 12(m n) 2 18(m n ) 3 ; （3 ） 3(2 x y) 6( y 2 x ) 3 ;
（ 4 ） 1 a 2b( p 2 q ) 3 ab2 (q p 2 ) 2 ;
4
8
2 、下列分解因式结果正确的是 ( )
2
2
1
1
1
( m 1) ( m 2) ( m 3)
2
2
2
1 m2 4
说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求算过程。
例 2. 已知 a b c 0， a 3 b 3 c3 0 ， 求证： a5 b5 c5 0 证明： a 3 b3 c3 3abc (a b c)( a2 b 2 c2 ab bc ca) 把 a b c 0， a 3 b3 c3 0 代入上式，
可得 abc 0 ，即 a 0 或 b 0 或 c 0 若 a 0 ，则 b c ， a5 b5 c5 0 若 b 0 或 c 0 ，同理也有 a5 b5 c5 0 说明：利用补充公式确定 a， b， c 的值，命题得证。
例 3. 若 x 3 y 3 27， x 2 xy y 2 9 ，求 x 2 y 2 的值。
x 1是 x 3 2x 3的一个因式，因此变形的目的是凑 x 1 这个因式。
x=1 时，它的值为
0 ，这就意味着
解一（拆项） ：
3
3
3
x 2x 3 3x 3 2x 2x
3( x 1)( x 2 x 1) 2 x( x 2 1)
(x 1)( x 2 x 3)
解二（添项） ： x 3 2x 3 x 3 x 2 x 2 2x 3 x 2 (x 1) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 2 x 3)
解： x 3 y 3 (x y)( x2 xy y 2 ) 27
且 x 2 xy y 2 9
x y 3， x2 2xy y2 9 (1)
又 x 2 xy y2 9
(2)
两式相减得 xy 0
2
2
所以 x y 9
说明：按常规需求出 x， y 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
常见题型：
C.13
D.－ 13
2、若 4x3－ 6x2=2x2(2 x+k) ，则 k=________.
3、 .2( a－ b) 3－ 4( b－ a) 2=2( a－ b) 2(________). 4、 .36 × 29－ 12× 33=________.
5、分解因式
(1) ( x y)( x y) ( x y)2
说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把 方和平方差公式。
4mn 分成 2mn 和 2mn，配成完全平
例 2. 已知： a2 b 2 1， c 2 d 2 1，且 ac bd 0 ，求 ab+cd 的值。