第五章 统计与概率 5.3.4频率与概率 (课件)

【习练·破】 某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（ ） A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件 C.合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产 品中没有不合格产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
抽取球数 50 优等品数 45
优等品出 现的频率
100 200 500 1000 2000 92 194 470 954 1902
（1）在上表中填上优等品出现的频率。 （2）估计该批乒乓球优等品的概率是多少？
【思维·引】1.正确认识频率与概率的关系。 2.由表中数据→计算事件频率→观察频率的稳定值→估 计概率。
【解析】选D。合格率是99.99%，是指该工厂生产的每 件产品合格的可能性大小，即合格的概率。
类型二 概率与频率的关系及求法
【典例】1.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出
现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的
（）
A.概率为 4
5
C.频率为8
B.频率为
4 5
D.概率接近于8
2.下面是某批乒乓球质量检查结果表：
【类题·通】 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利 用此公式可求出它们的频率。频率本身是随机变量， 当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这 个稳定值就是概率。
2.解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计 算频率，然后用频率估计概率。
【习练·破】 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示）， 并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机 会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应 的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据。
【解析】设“出现正面朝上”为事件A，则n=30000，
m=14984，m＝14 984 ≈0.4995，P（A）=0.5。
n 30 000
答案：0.4995 0.5
类型一 概率概念的理解 【典例】1.下列说法正确的是 （ ） A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先 后生两小孩，则一定为一男一女 B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定 有一张中奖
C.任意取定10000个标准班，其中大约9700个班A发生 D.随着抽取的标准班数n不断增大，A发生的频率逐渐 稳定在0.97，在它附近摆动。
【思维·引】 抓住事件的概率是在大量试验基础上得到，它只反映 事件发生的可能性大小来判断。
【解析】1.选D。一对夫妇生两小孩可能是（男，男）， （男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确； 中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时， 可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或 者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10 人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸， 摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确。
频率与概率
1.频率与概率：在大量重复的试验过程中，一个事件发 生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试 验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越 大。
【思考】 同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的 概率都一样吗？
提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发 生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观 存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条 件下，每一次试验中发生的概率都是一样的。
转动转盘的
次数n
100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔” 区域的次数 68 m
111 136 345 564 701
落在“铅Biblioteka Baidu”m 区域的频率 n
（1）计算并完成表格。 （2）请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率 将会接近多少？ （3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约 是多少？
【解析】（1）√。不可能事件发生的概率为0，必然事 件发生的概率为1。所以（1）正确。 （2）×。小概率事件也是随机事件，也是可能发生的 事件。所以（2）错误。 （3）×。事件发生的概率是固定值，是不随试验次数 的变化而变化的。所以（3）错误。
2.某医院治疗一种疾病的治愈率为
1 5
，前4个病人都没有治
2.实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计 某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品 中不合格产品的数量等。
【习练·破】某中学为了了解高中部学生的某项行为规 范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟 随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的名字。结 果，150名学生中有60名佩戴胸卡。第二次检查，调查 了高中部的所有学生，有500名学生佩戴胸卡。据此估 计该中学高中部一共有多少名学生。
C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖 票的可能性大 D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到 奖票的概率都是0.1
2.任取一个由50名同学组成的班级（称为一个标准班）， 至少有两位同学的生日在同一天（记为事件A）的概率 是0.97。据此我们知道（ ） A.取定一个标准班，A发生的可能性是97% B.取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97
000。所以估计水库中的鱼有
25000条。
【内化·悟】 水库中鱼的数量一定是25000条吗？ 提示：该题是一个估算问题，我们根据题目提供的数 据，大约估计水库中鱼的数量。概率型问题，一定要 注意它的实际意义。
【类题·通】 1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率 是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频 率近似地估计总体中该结果出现的概率。
【解析】（1）
转动转盘的
次数n
100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔” 区域的次数m
68
111 136 345 564 701
落在“铅笔”m 区域的频率 n
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705 0.701
（2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近 0.7。 （3）获得铅笔的概率约是0.7。
好，第5个病人的治愈率为（ ）
1
4
A.1
B. 5 C. 5 D.0
【解析】选B。每个病人能不能治愈，与其他病人能不能
1
治愈没有关系，每个人被治愈的概率均为 5 。
3.在一次掷硬币试验中，掷30000次，其中有14984次正 面朝上，则出现正面朝上的频率是________，这样， 掷一枚硬币，正面朝上的概率是________。
【解析】设水库中鱼的条数是n，现在要估计n的值，假
定每条鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一条鱼，
设事件A={带记号的鱼}，则P（A）=
2
000 n
。
第二次从水库中捕出500条鱼，其中带记号的有40条，即
事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P（A）≈ 40 ，
500
即2
000 n
54000，解得n≈25
2.选D。对于给定的一个标准班来说，A发生的可能性 不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10000个 标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C 也不对，请注意，本题中A，B，C选项中错误的关键 原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果 是确定的”。
【内化·悟】 怎样正确理解概率？ 提示：概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的 大小，概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客 观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同 的。
【解析】设高中部有n名学生，依题意得
60 150
＝500 n
，解得
n=1250。所以该中学高中部共有学生大约1250名。
0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
（2）从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的频率 稳定在0.95附近，所以该批乒乓球优等品的概率是0.95。
【内化·悟】 怎样根据事件发生的频率求该事件发生的概率？提示： 根据题目给出的条件，求出事件发生的频率，根据频 率的“稳定值”求事件发生的概率。
【类题·通】 1.概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事 件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试 验中事件A发生的频率的近似值。
2.由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中 发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就 是其规律性在数量上的反映。
3.正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联 系。对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是 局限于某一次试验或某一个具体的事件。
2.概率和频率之间的联系 在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数 值附近摆动，事件的频率是概率的一个近似值，随着 试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
【思考】 怎样根据频率求事件发生的概率？ 提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采 用频率估计概率。
【素养小测】 1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”） （1）不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。 （） （2）小概率事件就是不可能发生的事件。（ ） （3）某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化。 （）
【解析】1.选B。做n次随机试验，事件A发生了m次，则事
件A发生的频率为 m。如果多次进行试验，事件A发生的频
n
率总在某个常数附近摆动，那么这个常数是事件A的概率。
故
8 ＝4 10 5
为事件A的频率。
2.（1）如表所示：
抽取球数 50
优等品数 45
优等品出 现的频率
0.9
100 200 500 1000 2000 92 194 470 954 1902
类型三 概率的应用 【典例】为了估计水库中鱼的条数，可以使用以下的 方法：先从水库中捕出2000条鱼，给每条鱼做上记号， 不影响其存活，然后放回水库。经过适当的时间，让 其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500条， 查看其中有记号的鱼，有40条，试根据上述数据，估 计水库中鱼的条数。
【思维·引】 按有记号的鱼所占的比例进行求解。