关于正项级数敛散性的判别法

关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号： 单位： 指导老师摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言设数项级数121...++...nn n aa a a ∞+==+∑的n 项部分和为：121......nn n ii S a a a a ==++++=∑.若n 项部分和数列为{nS }收敛，即存在一个实数S ，使lim n x S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]:数项级数1nn a∞=∑收敛⇔0,,,N N n N p N ε++∀>∃∈∀>∀∈对，有+1+2++...+<n n n p a a a ε.当p=1时，可得推论：若级数∑∞=1n nu收敛，则u lim n n =∞→.其逆否命题为：若lim n ≠∞→，则级数∑∞=1n nu发散.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a∞=∑为正项级数()0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞=∑收敛⇔它部分和数列{}n S 有上界.证明：由于,...),2,1(0u i=>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑，且,n ,N N N ≥∀∈∃+有n n cv u ≤，c 是正常数，则1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，则级数n 1u n ∞=∑也收敛;2）若级数n 1u n ∞=∑发散，则级数n 1n v ∞=∑也发散.证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1u n ∞=∑的有限项，，则不改变级数n1u n ∞=∑的敛散性.因此，不妨设,+∈∀N n 有nn cv u ≤，c 是正常.设级数n 1n v ∞=∑与n 1u n ∞=∑的n项部分和分部是nB A 和n ，有上述不等式有，nn n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n .1)若级数n 1n v ∞=∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，再根据定理1，级数n 1u n ∞=∑收敛;2)若级数n 1u n ∞=∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，在根据定理1，级数n 1u n ∞=∑发散.其极限形式：定理2.2.1(比较判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑（n v 0≠）是两个正项级数且有lim =n x nuv λ→∞，+∞≤≤λ0，1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，则级数n1u n ∞=∑也收敛；2）若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，则级数n 1u n ∞=∑也发散.证明:1）若级数n1n v ∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，，由已知条件，,,,00N n N N ≥∀∈∃>∃+ε,有u ελ<-nnv ，即nn v N )(u ,n 0ελ+<≥∀有，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，由已知条件，,u ,,,00nn v N n N N <-≥∀∈∃+∞<<∃+ελλε有：根据柯西收敛准则推论的逆否命题知，则级数n 1u n ∞=∑也发散.若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞=λ，有已知条件，,u ,,0M v N n N N M nn >≥∀∈∃>∃+有，即,u ,,0M v N n N N M nn >≥∀∈∃>∃+有，根据’柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑也发散.例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201nnn =,原级数也接近于级数∑∞=121n n,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n,至多差一个系数.解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛.例2 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性.分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n nn 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数.解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n nn n（分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的.由比较判别法可推得：定理2.3（比值判别法——达朗贝尔判别法）：设n 1u n ∞=∑(>n u )为正项级数，且存在正常数q,则有1) 若,1u ,,1<≤≥∀∈∃++q u N n N N nn 有则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若Nn N N ≥∀∈∃+,，有1n nu v ≥，则级数n1u n ∞=∑发散.证明：1）不妨设qN n n u u ,1n ≤∈∀+有, n=1， qu u 12≤;n=2,;u 2123q u q u ≤≤ n=3,;u 3134q u q u ≤≤...... n=k,kk k qu u 11u ≤≤+......已知几何级数)10(11<<∑∞=q qu kk 收敛，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑收敛.2)已知,1,n ,1≥≥∀∈∃++nn u u N N N 有即正项级数{nu }从N 项以后单调增加，不去近乎0()∞→0，则级数n 1u n ∞=∑发散.定理2.3.1（比值判别法的极限形式）：设n 1u n ∞=∑(>n u )为正项级数，且lu u nn n =+∞→1lim，有，1) 若1<l ，则级数n1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1),1:q <<∃q l 由数列极限定义，lq l N N N l nn -<->∀∈∃>=∃++u u ,n ,,0-q 10有ε即1u u 1<<+q nn ，根据达朗贝尔判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2）已知1>l ，根据数列极限的保号性，1u u ,,n1n >≥∀∈∃++有N n N N ，达朗贝尔判别法，级数n 1u n ∞=∑发散.例3 判别级数∑∞=1!n nnn 的敛散性.解: 由于11])11(1[lim )1(lim ]!)1()!1([lim lim11<=+=+=++=∞→∞→+∞→+∞→enn n nn n n u u nn nn nn n nn n ,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=1!n nnn 收敛.例4 判别级数∑∞=155n n n的敛散性.解: 由于15)1(5lim ]5)1(5[lim lim55511>=+=+=∞→+∞→+∞→n n nn u u n n n n nn n ,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=155n n n发散.当正项级数的一般项n u 具有积、商、幂的形式,且n u 中含有!n 、!!n 、n a 以及形如)()2)((nb a b a b a +++ 的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.定理2.4（根式判别法——柯西判别法）：设n1u n ∞=∑)0(un>为正项级数，存在常数q ，则有1) 若,n ,N N N ≥∀∈∃+有1n<≤q u n ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若存在自然数列的子列{}i n ，使得1u ≥nn ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1）已知,n ,N N N ≥∀∈∃+有qu n ≤n，有已知几何级数∑∞=<≤0n )10(q qn收敛，于是级数∑∞=0n nu收敛;2)已知存在无限个n,有1n≥n u ，即nu 趋近于0（∞→n ），于是级数n 1u n ∞=∑发散.定理2.4.1(根式判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑为正项级数，若lu nn n =∞→lim1) 若1<l 时，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)若1>l 时，则级数n1u n ∞=∑发散.证明：1)：q ∃1<<q l ,由数列极限定义，11,n ,,01q n0<<--≥∀∈∃>-=∃+q u q l u N N N n n n 即有ε，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)已知1>l ，根据数列极限的保号性，1,n ,n >≥∀≥∃+n u N N N 有，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对=1r 的形式都为论及.实际上，当+1lim=1n x nu u →∞或+1lim=1n x nu u →∞时，无法使用这两个法判别来判断敛散性，如级数=11n n∞∑和2=11n n∞∑，都有1+1lim =lim=11+1x x n n n n→∞→∞，()2221+1lim=lim =11+1x x n n n n→∞→∞⎛⎫⎪⎝⎭，1lim n=1x n→∞，21lim n=1x n→∞但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中，关于收敛条件+1q<1n n u u ≤和n <1n u q ≤也不能放宽到+1<1n nu u ，n <1n u .例如对调和级数=11n n∞∑，有+1=<1+1n nu n u n ，1n =n <1n u n，但级数却是发散的.例1 判别级数nn n n )12(1∑∞=+的敛散性.分析: 该级数的通项nn n )12(+是一个n 次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n 次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于12112lim)12(limlim<=+=+=∞→∞→∞→n n n n u n nnn nn n ,根据柯西判别法的推论,可得级数nn n n )12(1∑∞=+收敛.例2 判别级数∑∞=1ln 32n nn的敛散性.解: 由于123232lim32limlimln ln >====∞→∞→∞→nnn nnnn nn n u ,所以根据柯西判别法的推论知,级数∑∞=1ln 32n nn发散.我们知道，广义调和级数（P-级数）11npn n=∑当1q >时收敛，而当1q ≤时发散，因此，取P-级数作为比较的标准，可得到比比式判别法更为精细而又应用方便的判别法.即定理2.5（拉阿贝判别法）：设1nn n u =∑是正项级数且有)0(u >n ，则存在常数q ，1)若11n ,n ,1>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++q u u N N N nn 有，则级数1nnn u =∑收敛；2）若11n ,,1≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++nn u u N n N N 有，则级数1nnn u =∑发散.证明：1）由q u u nn ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n 可得nq u nn -<+1u 1，选p 使1<p<q.由()()()11lim11lim111lim1<=-=--=---→→∞→qp qx p qxx nq np x px pn ，因此，存在正数N ，是对任意n>N,pn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-->111q,这样pp p n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+1111111u u n1n ，于是，当n>N 时就有()N pPN Pp p NNN n n u n N u N N n n n n u u u u u .1.1...121.......u u u 11n1n 1n -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=++++,当p>1时，级数∑∞=1n n1p收敛，故级数 则级数1nn n u =∑收敛；2）由,1111111n n n u u u u n n n nn -=-≥≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++可得于是222231-n n n1n 1n .1u .21...12.1.u u .....u u .u u u u nn n n n u =--->=++，因为∑∞=1n 1n发散，故级数1nnn u =∑发散.定理2.5.1（拉阿贝判别法的极限形式）：设正项级数∑∞=1n n u )0(>n u ,且极限存在,若.)1(lim 1l u u n nn n =-+∞→1)当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛;2) 当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 当3,2,1=s 时的敛散性. 分析: 无论3,2,1=s 哪一值,对级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 的比式极限,都有1lim1=+∞→nn n u u .所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当1=s 时,由于)(12122)22121()1(1∞→<→+=++-=-+n n n n n n u u n nn ,所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当2=s 时,由于)(1)22()34()2212(1)1(221∞→<++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n u u n n n , 所以原级数是发散的.当3=s 时,∵)(23)22()71812()2212(1)1(3231∞→→+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n n u u n nn ,所以原级数收敛.考虑到级数与无穷积分的关系，可得 定理2.6（积分判别法）：设函数()f x 在区间(]1,∞上非负且递减，()n u f n =，n=1,2，……，则级数1nn n u =∑收敛的充分必要条件是极限()1lim xx f x dt →∞⎰存在.证明： ()0f x ≥，知()F x =1()xf t dt ⎰单调递增.1lim ()lim()xx x F x f t dt →∞→∞∴=⎰存在⇔()F x 在(]1,∞有界.（充分性）设1lim ()xx f t dt →∞⎰存在，则存在0M >,使得(]11,,()xx f t dt M ∀∈∞≤⎰级数1n n u ∞=∑的部分和12...n n S u u u =+++()()()12...f f f n =+++ ()()()()231211...n n f f t dt f t dt f t dt -≤+++⎰⎰⎰()()()111nf f t dt f M =+≤+⎰即部分和数列有上界.所以级数1n n u ∞=∑收敛.（必要性）设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则它的部分和有上界，即存在0,,M n N ≥∀∈有,n S M ≤从而对(]1,,x ∀∈∞令[]1n x =+ 则()()2311121()()...()xnn n f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -≤=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()112...1n f f f n S M -≤+++-=≤.故极限1()xf t dt ⎰存在.由此我们得到两个重要结论：(1)p 级数11pn n∞=∑收敛1p ⇔>；(2)级数11ln pn n n∞=∑收敛1p ⇔>.证明：1)在p 级数一般项中，把n 换位x ，得到函数1()(1)pf x x x=≥.我们知道，这个函数的广义积分收敛1p ⇔>，因此根据正项级数的广义积分判定法，结论成立.2）证法同（1）.例1 判别级数∑∞=131n n的敛散性.分析:因为将n 换成连续变量x ,即是31x，显然函数31x在),1[+∞是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数∑∞=131n n换成积分形式dx x⎰+∞131,由于21210)21()21(lim 21121213=+=---=-=+∞→+∞∞+⎰pxdx xp ,即dx x⎰+∞131收敛,根据积分判别法可知,级数∑∞=131n n也收敛.例2 证明调和级数∑∞=11n n发散.把n 换成连续变量x 得函数x1,显然这是一个在),1[+∞单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数∑∞=11n n换成积分形式dxx⎰+∞11,由于+∞=-+∞==∞++∞⎰0ln 111x dx x,即dxx⎰+∞11发散,根据积分判别法可知,调和级数∑∞=11n n发散.3 正项级数敛散性其他两种判别法定理2.7（阶的估计法）：设1n n u ∞=∑为正项级数1()()n pu O n n=→∞，即n u 与1pn当()n →∞是同阶无穷小，则1) 当1p >时，级数1n n u ∞=∑收敛；2) 当1p ≤是，级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合，又可得 定理2.8（比值比较判别法）：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是正项级数且存在自然数N ，使当n N ≥时有11n n nnu v u v ++≤，则1) 若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；2) 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证明：当n N ≥时，由已知得12121111.......n N N n N N n n NNN n NN n Nu u u u v v v v u u u u v v v v +++++-+-=≤=由此可得,N N n n n n NNu v u v u v v u ≤≤.再由比较判别法即知定理结论成立.主要参考文献：[1]刘玉琏、傅沛仁等，数学分析讲义（第三版）.高等教育出版社，2003 [2]罗仕乐，数学分析绪论.韶关学院数学系选修课程，2003.8 [3]李成章、黄玉民，数学分析（上册）.科学出版社，1999.5[4]邓东皋、尹晓玲，数学分析简明教程.高等教育出版社，2000.6[5]张筑生，数学分析新讲.北京大学出版社，2002.6[6]丁晓庆，工科数学分析（下册）.科学出版社，2002.9[7]R.柯朗、F.约翰，微积分与数学分析引论.科学出版社，2002.5。