八年级数学暑假培优提高作业3 直线型几何综合题 人教新课标版

P D C
B
A
八年级数学暑假培优提高作业3 直线型几何综合题人教新
课标版
一、学习指引
1.知识要点：
三角形及四边形的基本性质，特殊三角形、特殊四边形、全等三角形的判定和性质，轴对称、平移、旋转、相似等变换的性质，一次函数图象和性质。

2.方法指导：
（1）解决动态几何型问题的策略：化“动”为“静”——利用运动中特殊点的位置将图形分类；“静”中求“动”——针对各类图形，分别解决动态问题。

（2）解决图形分割问题的思维方式是：从具体问题出发→观察猜想→实验操作→形成方案→严密计算与论证；图形分割问题的解题策略：比较原图形与分割后图形在边、角、面积等方面的变化是解决图形分割问题的着手点；
（3）新概念性几何题解题策略：正确理解问题中的“新概念”，然后抓住“新概念”的特征，结合相关的数学知识综合解决问题。

二、典型例题
例1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，
沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路
程x之间的函数图象大致是（）
例2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=x cm(0
x )，则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
例3．三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求
A
B
D
C
P
Q M
N
的几何图形．要求如下：
（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；
（3
）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
例
4
．如图，两个边长分别为
4和3的正方形，请用线段将它们进行适当分割，剪拼成一个大正方形，请在下图中分别画出两种不同的拼法，并将剪拼前、后的相同区域用相同数字序号标出．
例5．如图，在梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
图1 矩形（非正方形）
图2 正方形
图3 有一个角是135°的三角形
（例3图）
拼法二
备用图二
备用图一
拼法一
P
D C
M B
（N）A
P
D C
（1）设从出发起运动了x秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC 上或CB上时的坐标(用含x的代数式表示，不要求写出x的取值范围)；
（2）设从出发起运动了x秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半．
①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；
②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如果有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标，如不可能，请说明理由．
例6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。

（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为___________形；
（2）设当等腰直角△PMN移动x（s）时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2）。

①当x=6时，求y的值；
②当6＜x≤10时，求y与x的函数关系。

例7．边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点． (1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点． (2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)． (3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P 是四边形AB CD的准等距点． (4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．
直线型几何综合题同步练习
班级 姓名
【基础巩固】
1．如图,一艘旅游船从A 点驶向C 点. 旅游船先从A
点沿以D 为圆心的弧AB 行驶到B 点,然后从B 点沿直径行驶到圆D 上的C 点.假如旅游船在整个行驶过程中保持匀速,则下面各图中,能反映旅游船与D 点的距离随时间变化的图象大致是（ ）
2．如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将
线段AB 平移至11A B ，则—2（a b +）的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 3．如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，
当线段AB 最短时，点B 的坐标为 （ ） （A ）（0，0） （B ）（22，2
2
-） （C ）（－
21，－2
1
） （D ）（－22，－22）
4．如图，一个42⨯的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个53⨯的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是
5．如图，在直角坐标系中，
已知点)0,3(-A ，)4,0(B ，对△时距O (A) 时距O (B A B
D (第1题) C 时间 距离 O (C)
时间 距离 O (D) y x
O
A
B
① ②
③ ④ 4
8
12
16
4 y O
(01)B ，
(20)A ，1(3)A b ， 1(2)B a ，
x (第2题) y
x
O
B A （第3题）
或
或
?
OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，
则三角形⑩的直角顶点的坐标为．
6．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向
连续翻转2008次，点P依次落在点1232008
P P P P
，，，，
的位置，则点
2008
P的横坐标为．
7．矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD
放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它
翻滚至类似开始的位置
1111
A B C D时（如图所示），
则顶点A所经过的路线长是_________
8．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按
逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当
点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______（用含自然数n的式子表
示）．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，画出面积不相等的三个菱形，
使菱形的顶点都在矩形的边上，并分别求出所画菱形的面积。

（下列图形供画图用）
10．我们知道：过平行四边形纸片的一个顶点，作一条垂线段，沿这条垂线段剪下这个三角形纸片，将它平移到右边的位置，平移距离等于平行四边形的底边长a，可得到一个矩形（如图1）。

（1）在图2的纸片中，AD＞AB，按上述方法，你能使所得的四边形是菱形吗？如果能，画出这条线段及平移后的三角形（用阴影部分表示）；如果不能，请说明理由。

（2）什么样的平行四边形纸片按上述方法能得到正方形？画出这个平行四边形，并说明理由。

11．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD CD，
我们称这样的四边形为“半菱形”。

小明说“‘半菱形’
的面积等于两条对角线乘积的一半”。

他的说法正确吗？
请你判断并证明你的结论。

12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10㎝，BC=8㎝。

点P从点A 出发，以每秒2㎝的速度沿线段AB方向向点B运动，点Q从点D出发，以每秒3㎝的速度A
B
C
D
A
B C
D
第8题图
B
D
A(P)
C
1
P
A O
y
x
（第5题）
P
A C
D
B
沿线段DC方向向点C运动。

已知动点P、Q同时发，当点P运动到点B时，P、Q运动停止，设运动时间为t。

（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20㎝2，若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由。

【能力拓展】
13．把两个全等的等腰直角三角形ABC
和EFG（其直角边长均为4）叠放在一
起（如图①），且使三角板EFG的直
角顶点G与三角板ABC的斜边中点O
重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋
转（旋转角α满足条件：0°＜α＜
90°)，四边形CHGK是旋转过程中两
三角板的重叠部分（如图②）。

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
5 16？
若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由。

14．我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)除了正方形外,写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称: ;
(2)如图1,已知格点(小正方形的顶点)O(0,0),A(3,0),B(0,4),请你画出以格点为顶点,OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB,并写出点M的坐标;
(3)如图2,以ΔABC 的边AB,AC 为边,向三角形外作正方形ABDE 及ACFG,连结CE,BG 相交于O 点,P 是线段DE 上任意一点.求证:四边形OBPE 是勾股四边形
.
15．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m 和n ，将菱形的“接近度”定义为m n -，于是，m n -越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70，则该菱形的“接近度”等于 ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．
（
2）设矩形相邻两条边长分别是a 和b （a b ≤），将矩形的“接近度”定义为a b -，于是a b -越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
直线型几何综合题（典型例题）
例1.B 例2.（1） （2）x=2或x=4 （3）不存在，理由略.
例3.
（1）（2）
a
b
n
m
（3）
例4.
例5. (1)当Q 在OC 上时， Q (
x x 56
,58)；当点Q 在CB 上时， Q (2x-1，3)． (2)①点Q 所经过的路程为16-x ，速度为x
x
-16．②PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等
的两部分．
例6.等腰直角三角形；等腰梯形；（2）①9；②y=3x-9。

例7.解：(1)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以在直线AC 上除线段AC 中点外的任意一
点都符合条件。

2)线段BD 的垂直平分线与直线AC 的交点。

(3)连结DB ，证 △DCF≌△BCE(AAS)， ∴CD=CB， ∴∠CDB=∠CBD. ∴∠PDB=∠PBD， ∴PD=PB， ∵PA≠PC ∴点P 是四边形ABCD 的准等距点．
(4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．
直线型几何综合题（同步练习）
【基础巩固】
1．B ； 2．D ；3．C ； 4．4或7或9或12或15个小正方形； 5．(360)，；6． 2008； 7．12π；8．点B ；4n ＋3； 9．
10．
（1） （2）
11．
CO BD 21
AO BD 21S S S BCD ABD ABCD ⋅+⋅=
+=∴∆∆四边形AC
BD 21)CO AO (BD 21⋅=+=
12．(1)CD=16(cm) (2)当四边形PBQD 为平行四边形时，
点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图，由题知：BP=10-2t ,DQ=3t 。

10-2t=3t,解得t=2此时，BP=DQ=6,CQ=10。

BQ=22108+=412。

∴四边形PBQD 的周长=2（BP+BQ ） =12+414(cm) (3)假设存在某一时刻，使得△BPQ 的
面积为20cm
2
∵BP=10-2t 。

S △BPQ=208)210(2121=⨯-=•t BC BP ∴t=25
∴存在t, 当t=2
5秒时△BPQ 的面积为20cm 2
′
【能力拓展】 13．（1）S
四边形CHGK
的面积为4，是一个定值；（2）
y x x =
-+12242
（0＜x
＜4）；
（3）当x =1或x
=3时，△GHK 的面积均等于△ABC 的面积的5
16。

14．（1）矩形．正方形等；（2）（3，4）．（4，3）；（3）略
15．（1）①40． ②0．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但a b -却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为b a ．b
a
越小，矩形越接近于正方形；b a 越大，矩形与正方形的形状差异越大；当1b
a
=时，矩形就变成了正方形．。