运筹学 第三节 分支定界法

xj
1, E j选择 A j
0,
E
选择
j
A
j
( x1,... xn )T
(1,1,...,
1)
T
,
选择（ :
A1,...
An）T
(1,1,..., 0)T , 选择（ A1,... A精n品）T课件
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一、0—1规划数学模型
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第四节 0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用
某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为0或1，
1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案
x
1,当决策选取方案 0,当决策不选取方案
问题含有较多的要素， 每项要素有 2种选择，用 0 1变量描述。
有限要素 E1, E 2,... En , 每项 E j有两种选择 A j , A j
Z = X1 + 14X1 + 9 - 6X1 + X1
X1 ， Z = X1 +
14X1 + 9 - 6X1 +
X1
X1 ，
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B12
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
B2：解 （1，7/3 ） Z21 = 10/3
B122：解 （2，2 ） Z122 = 4
B1：解 （2，23/9 ）
B2：解 （1，7/3 ） Z21 = 10/3
B1：解 （2，23/9 ）
Z11 = 41/9
1
2
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松弛问题 Max
B1
Max
B2
Max
Z = X1 + 14X1 + 9 - 6X1 + X1 ，
Z = X1 + X 14X1 + 9 - 6X1 + X1 X1 ，
Z = X1 + X 14X1 + 9 - 6X1 + X1 X1 ，
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B1
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
B2：解 （1，7/3 ） Z21 = 17/3
B1：解 （2，23/9 ） B11
Z11 = 41/9
B12：解
（33/14，2 ） Z12 = 61/14
B12
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Max Max Max
Z = X1 + X 14X1 + 9 - 6X1 + X1 X1 ，
如果某一个子问题的最优解是整数解，就作为整数规 划最优目标函数值的下界。多个时取最大值。最后的下 界为整数规划的最优解。
如果某一个子问题的解还不是整数解，但这个非整数 解的目标函数值已经小于这个下界，那么这个子问题就 不必再进行分支。不然需重复进行分支。
确定整数解目标函数值上下界并不断更新 ，“剪除” 目标函数值小于下界的分支的过程，称为定界（Bound）。
的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原
线性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问
题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，
继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过
程称为“分支（Branch）”。
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每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于 或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的 最大值作为新的上界。
Z11 = 41/9
B12：解 （33/14，2 ）
Z12 = 61/14
B121：解 （3，1 ）
Z121 = 4
B121 B122
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Max Max Max
Z = X1 + 14X1 + 9 - 6X1 + X1
X1 ， Z = X1 + 14X1 + 9 - 6X1 +
X1
X1 ， Z = X1 + 14X1 + 9 - 6X1 + 2≤ X1
意图），并设最优解位于C。如
果这个最优解中所有的变量都
是整数，则已经得到整数规划
的最优解。如果其中某一个变 量Xr不是整数，则在可行域中 X2
除去一块包含这个最优解但不 E
包含任何整数解的区域
DC
Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr
的整数部分），线性规划的可
行域被划分成不相交的两部分，
分别以这两部分区域作为可行
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A X1=3/2,X2=10/3
Z=29/6
x1 ≤1
x1 ≥ 2
C X1=1,X2=7/3
Z=10/3
x2 ≤2
D X1=33/14,X2=2
Z=61/14
B X1=2,X2=23/9
Z=41/9
x2 ≥ 3
无可行解
x1 ≤2
x1 ≥ 3
E X1=3,X2=1
Z=4
F X1=2,X2=2
X1 ，
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说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标函 数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。
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第三节 分支定界法
（Branch and Bound， 简称B&B）
基本思想如下：
首先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性 规划问题，得到线性规划的最优解。
设线性规划问题：max Z CX
AX b
st .
X
0
最优解为Z。则Z为IP问题解Z*的上界，Z*≤Z。 精品课件
它的可行域为图中OABCDE（示
域，用原来的目标函数，构造
Sub1
两个子问题Sub1和Sub2：
O
A
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分枝
B Sub2 X1
Ir Xr Ir+1
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Sub1
max Z CX
Sub2
max Z CX
AX b st . x r I r
X 0
AX b st . x r I r 1
X 0
由于这两个子问题的可行域都是原线性规划问题可行域
Z=4
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不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
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整数规划问题的求解方法 分支定界法图解ຫໍສະໝຸດ Baidu数规划
松弛问题 Max
Z = X1 + X 14X1 + 9X2 ≤ - 6X1 + 3X2
X1 ， X
该整数规划松弛问题的解为：
（X1 ，X2 ）= （3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
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（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6