北航理论力学王琪

z' z
y2 θ y ψ 1 y
z2
θ
& ϕ
y' y2 θ y1 ψ y
x
ψ
y'
ϕ
x1 x2 y2
& θ
x
ψ
ϕ x'
x1 x2
x'
ϕ
x2
⎡ x2 ⎤ ⎡cosϕ − sinϕ 0⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢sinϕ cosϕ 0⎥ ⎢ y'⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 1⎥ ⎢ ⎣ z2 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎦⎢ ⎣ z' ⎥ ⎦ c A(ϕ)
18
2010-4-19
理论力学
z' z
z2
§6－1 刚体定点运动的运动学
⎡ x⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ y ⎥ = A(ψ ) A(θ ) A(ϕ ) ⎢ y '⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ z'⎥ ⎣z⎥ ⎣ ⎦ ⎦
A(ψ ,θ ,ϕ ) = A(ψ ) A(θ ) A(ϕ )
θ
& ϕ
y' y2 θ y1 ψ y
z
z'
P
P
O
y'
y
x'
y'
O
y
x
x'
r = Li '+ Lj '+ Lk ' r = Li + Lj + Lk
当刚体绕 z 轴转-900后：
x
r = Li '+ Lj '+ Lk ' r = Li − Lj + Lk
14
2010-4-19
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
z' z
θ
& ϕ
问题：如何用欧拉角确定定点运动刚体上某一点在空间的位置
Δ θ = Δ θ1 + Δ θ 2
Δr = Δθ1 × r + Δθ2 × r
28
结论：无限小角位移满足矢量加法规则
2010-4-19
理论力学
A : [θ j + ϕ k ]
§6－1 刚体定点运动的运动学
⎡ sinθ ⎤ ⎡ cosθ 0 sinθ ⎤ ⎡0⎤ ⎢ 1 ⎥=⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢1⎥ ⎢cosθ ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎣− sinθ 0 cosθ ⎥ ⎦ ⎢
问题：什么是刚体的定点运动?
2010-4-19
4
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
•刚体定点运动( fixed-point motion of rigid body)： 若刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。 则称刚体作定点运动 问题：用什么方法分析和研究刚体的定点运动？
2010-4-19 5
2010-4-19 21
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
l 1800
2、刚体定点运动的位移定理（达---欧 定理）
z
z
180 0
x
O
y
90
0
x
y
z
x
2010-4-19
y
问题：定点运动刚体的两次转动 能否通过一次转动来实现？
A : [ − i (90 0 )] + [ j (180 0 )] ⇐ B : [ l (180 0 )]
理论力学
作业：思考题6-1、6-3，习题6-1
第六章-刚体动力学(二)
刚体的定点运动与一般运动
2010-4-19
1
理论力学
刚体一般运动的实例 身边的力学问题
问题的引出
2010-4-19
2
理论力学
刚体一般运动的实例 工程中的力学问题
问题的引出
2010-4-19
3
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
一、刚体定点运动的运动学方程
问题：1：定点运动刚体有几个自由度？ 2：如何描述刚体的定点运动？ Oxyz为固定参考系 Ox’y’z’为固连在刚体上的随体参考系
z
z'
x'
用随体参考系相对固定参考系位 置的变化来描述刚体的定点运动。
2010-4-19
x
o
y
y'
6
理论力学
y
ψ
x
x'
z
z' θ
x 章动角 (angle nutation) y'
ψ
x'
z' z
θ
& ϕ
N
ψ y
N = k × k'
节线
x
θ
自旋角 (spin angle) y'
θ ψ
y
x
ψ
x'
θ&
ψ
N
ϕ x'
8
2010-4-19
欧拉角：绕z轴、z’轴和节线N 的三个转角
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
A = A2 A1
A2
q 2 = Aq 0
q1
x
O
900
2010-4-19
24
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
q 2 = Aq 0
A
z
x x
y z y
⎡ x0 ⎤ ⎡0 1 0⎤ ⎡ x0 ⎤ ⎡ x2 ⎤ ⎢ y ⎥ = A⎢ y ⎥ = ⎢0 0 1⎥ ⎢ y ⎥ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎢ 2⎥ ⎢ z2 ⎥ ⎢ ⎦⎢ ⎦ ⎣1 0 0⎥ ⎣ z0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ z0 ⎥ ⎦ ⎢
Δθ × r = (Δθ1 + Δθ 2) × r
[Δθ − (Δθ1 + Δθ2 )]× r = 0
Δr = Δθ × r
Δr = Δθ1 × r + Δθ2 × r1
Δr = Δθ1 × r + Δθ2 × (r + Δθ1 × r)
结论： Δθ = Δθ 2 + Δθ1 同理
Δr = Δθ1 × r + Δθ2 × r + Δθ2 × (Δθ1 × r)
节线
12
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
思考题：试用欧拉角确定汽车的姿态。
2010-4-19
13
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
问题：当定点运动刚体运动时，如何研究其上 P点的随体坐标x’、 y’、z’ 与定坐标x、y、z间的关系。 设正方体棱长为L
z
z'
r = x ' i '+ y ' j '+ z ' k ' r = xi + yj + zk
y1
0 ⎤⎡ x2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1 0 ⎢ y ⎥ = ⎢0 cosθ − sinθ ⎥⎢ y ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎣ z1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 sinθ cosθ ⎥ ⎦⎢ ⎣ z2 ⎥ ⎦ c A(θ )
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2010-4-19
理论力学
z z1 z2 θ
§6－1 刚体定点运动的运动学
z
A
x
z
θ
y
ϕ
A
⎡ x2 ⎤ ⎡cosϕ − sinϕ 0⎤ ⎡sinθ ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢sinϕ cosϕ 0⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 2⎥ ⎢ 0 1⎥ ⎢ z2 ⎥ ⎣ ⎣cosθ ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎦⎢ ⎦ ⎢
22
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
问题：一次转动轴的方位与转角如何确定
例题：将定点运动的板从位置(A)转动到位置(B), (1):通过两次转动实现; (2)通过一次转动实现
z
900
(A)
z
(B)
x z x
正方体
y
x x
y z y
90
0
y
Baidu Nhomakorabea
2010-4-19
1 : [ k ( − 90 0 ) + i ( − 90 0 )] 2 : [ j ( − 90 0 ) + k ( − 90 0 )] 23
x = x1 cosψ − y1 sin ψ + z1 × 0 ⎫ ⎪ y = x1 sin ψ + y1 cosψ + z1 × 0 ⎬ z = x1 × 0 − y1 × 0 + z1 × 1⎪ ⎭
进动角
y1 y
x
x1
z z1
& ψ
y1
y
y1 ψ y
ψ
⎡ x⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ y ⎥ = A(ψ ) ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢z⎥ ⎢ z1 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣
2010-4-19
y
B : [ j (90 0 )] + [ − i (90 0 )]
20
理论力学
z
§6－1 刚体定点运动的运动学
A : [− i (900 )] + [ j (900 )]
z y
z y
x
z
x
z
x
z
y
B : [ j (900 )] + [− i (900 )]
x
y
x
y
x
y
结论：定点运动刚体有限位移的顺序不可交换
§6－1 刚体定点运动的运动学
用欧拉角描述定点运动刚体的位置
ψ
θ
ϕ
ψ = f1 (t ) θ = f 2 (t ) ϕ = f3 (t )
2010-4-19 7
理论力学
z z'
§6－1 刚体定点运动的运动学
z z'
欧拉角 (Euler angle)
y' y
进动角 (angle of precession) & ψ y'
A(Δψ , Δθ , Δϕ) = A(Δψ ) A(Δθ ) A(Δϕ) 可交换
y' θ
ψ
y
x
ψ
N
ϕ x'
结论：定点运动刚体无限小位移的顺序可交换
2010-4-19 26
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
问题：如何确定定点运动刚 体绕某轴的无限小转角与刚 体上点的位移的关系？
z
z'
Δβ
Δ S = lΔ β
运动方程：
2010-4-19
ψ = f1 (t )
θ = f 2 (t )
ϕ = f3 (t )
9
理论力学
z'
§6－1 刚体定点运动的运动学
例题：试用欧拉角确定陀螺的位置
ϕ
z
θ
z' z
θ
& ϕ
欧拉角
ψ y
N = k × k'
y' θ
y
x ψ
节线
2010-4-19
x
ψ
N
ϕ x'
节线
确定欧拉角的三个转轴
z y
z
•有限位移：定点运动刚体从某 o x 一位置到另一位置的变化 Δr1 点位移的性质： Δr2 Δr2 Δr1
x
o
y
A : Δ r1 + Δ r2 B : Δ r2 + Δ r1
问题：定点运动刚体的有限位移的顺序是否可交换？
z
A : [ − i (90 0 )] + [ j (90 0 )]
x
x
x1
ψ
ψ
x1
x
⎡cosψ − sinψ 0⎤ A(ψ ) = ⎢sinψ cosψ 0⎥ ⎢ ⎥ 0 1⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎣
正交矩阵 16
2010-4-19
理论力学
z z1
§6－1 刚体定点运动的运动学
z z2 θ z1
& ψ
y1
ψ
y
y2 θ y ψ y1
x
ψ
x
x1
z1
y2
θ
ψ
x1
& θ x2
z2 θ
x
ψ
ϕ x'
x1 x2
⎡ x⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ y ⎥ = A(ψ ,θ , ϕ ) ⎢ y '⎥ (1) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣z⎥ ⎣ z'⎥ ⎦ ⎦
式(1)给出了定点运动刚体上某一点在空间的位置与欧拉角的关系.
2010-4-19 19
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
二、刚体定点运动的有限位移和无限小位移 1、刚体定点运动的有限位移
z
z'
x'
r
x
ψ y
ϕ x'
N
y' θ
o
y y'
x
ψ
r = x ' i '+ y ' j '+ z ' k ' r = xi + yj + zk
2010-4-19
给定： x ' , y ' , z ' ψ , θ , ϕ 如何确定：
x, y , x
15
理论力学
z z1
P
§6－1 刚体定点运动的运动学
z
q1
A1
0 cos( − 90 0 ) sin( − 90 0 )
q0
0 ⎤⎡ 1 ⎤ − sin( − 90 0 ) ⎥ ⎢ − 1⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 cos( − 90 ) ⎥ ⎢1 ⎥ ⎦ ⎦⎣
x z
P
y
y
⎡1⎤ ⎡ 1 ⎢1⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣1⎥ ⎣0 ⎦ ⎢
q2
q 2 = A2 A1q 0
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
0 ⎡ 1 cos( 90 ) − ⎡ ⎤ ⎢ − 1⎥ = ⎢ sin( − 90 0 ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣1⎥ ⎦ ⎣
z
P
− sin( − 90 0 ) cos( − 90 0 ) 0
x
O
y
90 0
0 ⎤ ⎡1⎤ ⎥⎢ ⎥ 0⎥ 1 ⎢ ⎥ 1⎥ ⎣1⎥ ⎦ ⎦⎢
10
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
例题：试用欧拉角确定碾盘的位置
θ
z'
z
ϕ
z'
θ
& ϕ
z
欧拉角
y' θ
y
x
x
ψ y
ϕ x'
N
ψ
ψ
节线
2010-4-19
11
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动 学 z 例：试用欧拉角确定飞船的姿态
ψ
2010-4-19
绕三个轴的转角为欧拉角
ϕ
z'
神州飞船
θ
θ
⎡1⎤ ⎡0 1 0⎤ ⎡1⎤ ⎢1⎥ = ⎢0 0 1⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢1⎥ ⎦ ⎢ ⎦⎣ ⎦ ⎣1⎥ ⎣1 0 0⎥
λ q = Aq
λ =1
q T = [1 ,1 ,1 ]
1 θ = arccos[ ( trA − 1)] 2 θ = 120 0
定理：定点运动刚体的任意有限位移，可以绕 通过固定点O 的某一轴经过一次转动来实现。
x'
r
x
l
y y'
Δr
o
k
o
r
ΔS ≈| Δr | Δβ = Δβ k
Δr = Δβ × r
27
2010-4-19
理论力学
Δθ 1 Δr1
§6－1 刚体定点运动的运动学
讨论: 无限小角位移的合成
在定点运动刚体上任意找一点，其矢径为 r
r Δr Δr2 r1 r2
Δθ 2
Δ r1 = Δ θ 1 × r r1 = r + Δr1 = r + Δθ1 × r Δ r2 = Δ θ 2 × r1 Δ r = Δ r1 + Δ r2
2010-4-19 25
理论力学
§6－1 刚体定点运动的运动学
3、刚体定点运动的无限小位移 问题：在什么条件下，转动位移的顺序可交换
A(ψ ,θ ,ϕ ) = A(ψ ) A(θ ) A(ϕ )
z' z
θ
& ϕ
δ << 1
sin δ ≈ δ , cosδ ≈ 1
− Δϕ −Δψ 0 ⎤ ⎡ 1 − Δθ⎥ A(Δψ, Δθ, Δϕ) = ⎢Δψ + Δϕ 1 ⎢ ⎥ Δθ 1 ⎥ ⎢ ⎣ 0 ⎦