《离散数学》第二章一阶逻辑

解：定义特性谓词M(x)：x是在美国留学的学生。
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
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例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
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个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
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所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
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命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。

例：将下列命题符号化，并讨论真值.
(1) 所有的人都长着黑头发.
解：定义特性谓词M(x)：x是人。 定义谓词F(x)：x长着黑头发。
x(M ( x) F ( x))
真值： F
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(2) 有的人登上过月球.
解：定义特性谓词M(x)：x是人。
定义谓词F(x)：x登上过月球。
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（2）存在x，使得 x+5=3.
解: 令 G( x) : x 5 3 (a) 个体域 D1=N (N为自然数集合)
命题符号化为：xG(x)
(b) 个体域 D2=R (R为实数集合)
真值：F
真值： T
命题符号化为：xG(x)
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一阶逻辑命题符号化题例
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全称量词和存在量词
将下面的命题符号化: (1) 所有的人都是要死的。 (2) 有的人活百岁以上。

量词：

表示个体常项或变项之间数量关系的词 全称量词

用∀表示，形成的命题形式为∀xF(x)，即“对所有的x， F(x)为真”。 用∃表示，形成的命题形式为∃xF(x)，即“存在x 值，使 F(x)为真”。
x( M ( x) F ( x))
真值： T
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(3) 没有人登上过木星.
解：定义特性谓词M(x)：x是人。 定义谓词F(x)：x登上过木星。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值：
T
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(4) 在美国留学的学生未必都是亚洲人.
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例：分析下列语句中的个体词和谓词。 （1）离散数学是计算机专业的专业基础课。
个体词：离散数学
谓词：是计算机专业的专业基础课

（2）网络原理是计算机专业的专业基础课。
个体词：网络原理 谓词：是计算机专业的专业基础课

（3）小红和小青是同学。
个体词：小红，小青 谓词：是同学
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(4) 不存在跑得同样快的两只兔子. 解：定义特性谓词F(x)：x是兔子 定义谓词L(x,y)：x和y跑得一样快。
xy( F ( x) F ( y) L( x, y))
xy( F ( x) F ( y) L( x, y))
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谓词和量词

个体词

个体常项

表示具体的、特指的个体的词 用a,b,c…表示

个体变项


表示抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体的词 用x,y,z…表示

个体域

个体变项的取值范围 全总个体域
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谓词和量词

谓词

谓词常项：表示具体性质或关系的谓词 谓词变项：表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词 用F,G,H…表示
谓词公式 指导变元、辖域 自由出现、约束出现 谓词公式的解释 谓词公式的分类
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定义2.1.4
谓词演算的合式公式定义如下:
(1) 原子公式是合式公式.
(2) 若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式.
(3) 若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，
(A→B)，(A↔B) 也是合式公式.
其中y是约束出现的，x, z 均为自由出现的.
在整个公式中，x 约束出现一次，自由出现2次，y 自由出现一次，约束出现一次，z 只自由 出现一次.
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例：0元谓词符号化下列命题。 (1)如果地球重于月亮，太阳就重于地球。
F(x,y): x重于y。a: 地球；b：月亮；c：太阳
F(a,b) → F(c,a)
Note:n元谓词中的个体变项的顺序不能随便换。
(2)只有2是素数，5才是素数。
F(x): x是素数。a: 2；b：5 F(b) → F(a)

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(1) 对于任意的x，均有 x2-3x+2=(x-1)(x-2) 解：令 F ( x) : x 2 3x 2 ( x 1)( x 2) (a) 个体域 D1=N (N为自然数集合) 真值： 命题符集合) T 真值： 命题符号化为： xF (x)
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(2) 有的人用左手写字. 解: G( x) : x用左手写字。 (a)个体域 D1为人类集合；
xG(x)
(b)个体域 D2为全总个体域.
M ( x) : x是人。 x( M ( x) G( x))
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特性谓词的使用
例：对下面的命题进行符号化。 有些狮子不喝咖啡。 解：令F(x): x喝咖啡。M(x):x是狮子。
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几点说明：

一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换. 例：个体域取整数集合 x y（x=y-1） 真值：T yx （x=y-1） 真值：F

有些命题的符号化形式可不止一种（如前面的例子）.
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作业
P59(1,2)
谓词公式知识点

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(1) x ( F ( x , y ) G ( x , z ))
解：(1) x是指导变元. 量词 的辖域 A=( F(x,y) → G(x,z))， 在A中，x是约束出现的. 而且约束出现两次， y 和 z 均为自由出现的，而且各自由出现一次.
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例 指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖
域，自由出现以及约束出现的个体变项:
(1) x ( F ( x , y ) G ( x , z )) (2) x ( F ( x ) G ( y )) y ( H ( x ) L( x , y , z ))
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(2) x( F ( x ) G( y )) y( H ( x ) L( x, y, z )) 解：(2)公式中含有两个量词，前件上的量词 的
指导变元为x， 的辖域 A=(F(x)→G(y))， 其中x是约束出现的，y是自由出现的.
后件中的量词 的指导变元为 y，的辖域为 (H(x)∧L(x,y,z))，
定义谓词H(x,y)：x比y跑得快。
x, y( F ( x) G( y) H ( x, y))
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(2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。 G(y): y是乌龟。 定义谓词H(x,y)：x比y跑得快。
x( F ( x) y(G( y) H ( x, y)))
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本章概要

一阶逻辑，又称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。对 一阶逻辑的研究能够克服命题逻辑的局限性， 对简单命题进行进一步的分解，以表达出个体 和总体间的内在联系和数量关系。
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一阶逻辑知识结构

2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑等值演算 2.3 一阶逻辑的推理理论
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存在量词

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量词的取值
为真
xF ( x) 存在着x使得F ( x)为真