集合的概念和表示法PPT课件
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高中数学集合ppt课件
描述法
总结词
通过描述集合中元素的共同特征来展 示集合的方法。
详细描述
描述法适用于集合元素数量较多，无 法一一列举的情况。例如，集合 B={x|x>2}，可以通过描述法表示为 {x|x>2}。
韦恩图法
总结词
通过图形表示集合及其关系的方法。
详细描述
韦恩图法是一种直观的表示方法，通过圆圈、椭圆等图形来 表示不同的集合，以及它们之间的关系。这种方法有助于理 解集合的并、交、差等运算。
总结词
表示两个或多个集合中共有的元 素
详细描述
交集是指两个或多个集合中共有 的元素组成的集合。可以用符号 "∩"表示交集，例如A∩B表示集合 A和集合B的交集。
并集
总结词
表示两个或多个集合中所有的元素， 不考虑重复
详细描述
并集是指两个或多个集合中所有的元 素组成的集合，不考虑重复。可以用 符号"∪"表示并集，例如A∪B表示集 合A和集合B的并集。
互异性
• 互异性是指集合中的元素互不相同，即集合中不会有重复的元素。例如，集合 {1,2,3}中没有重复的元素，而集合{1,2,2,3,3}中有重复的元素2和3。
05
集合的应用
在数学中的应用
1 2
3
集合论
集合论是数学的基础理论之一，它为数学概念提供了一种抽 象的描述方式。通过集合，数学中的许多概念，如函数、数 列、平面几何等都可以被统一地表达和描述。
在经济学中，集合的概念也经常被使 用。例如，可以将一组商品看作一个 集合，然后对这组商品进行分析和比 较。
计算机科学
在计算机科学中，集合的概念被广泛 应用于数据结构和算法的设计。例如 ，数组、链表、栈、队列等数据结构 都是基于集合的。
集合的含义与表示 课件
利用描述法表示集合应该注意以下五点： (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式 就不符合要求，需将 k∈Z 也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如， 方程 x2－2x＋1＝0 的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成 {x|x2－2x＋1＝0}． (5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．
2．设不等式 3－2x<0 的解集为 M，下列正确的是( )
A．0∈M,2∈M
B．0∉M,2∈M
C．0∈M,2∉M 答案：B
D．0∉M,2∉M
探究三 用列举法表示集合 [典例 3] 用列举法表示下列集合． (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合； (2)方程 x2＝x 的所有实数解组成的集合； (3)直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合； (4)方程组xx＋ －yy＝ ＝1－，1 的解．
3．用列举法表示下列集合： (1)小于 10 的所有自然数组成的集合； (2)由 1～20 以内的所有质数组成的集合．
解析：(1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A，那么 A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． (2)设由 1～20 以内的所有质数组成的集合为 C，那么 C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
1．下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数
B．等于 2 的数
C．接近于 0 的数
D．不等于 0 的偶数
高一数学集合ppt课件
3. 如果A⊆B且B和C是两个互不相交的集 合（即B与C没有交集），那么A与C也是 互不相交的。
2. 如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C。
子集的性质
1. 任何一个集合都是其本身的子集，即 A⊆A。
真子集的定义与性质
真子集的定义：如果 一个集合A是集合B的 一个子集，并且A和B 中至少有一个元素不 相同，那么我们称A 是B的真子集，记为 A⊈B。
集合通常用大写字母 表示，如A、B、C等 。
集合的元素
元素是集合中的个体，可以用小 写字母表示，如a、b、c等。
一个元素可以属于一个或多个集 合，不同元素可以属于同一个集
合。
空集是指不含有任何元素的集合 。
集合的表示方法
列举法
图示法
把集合中的元素一一列举出来，用大 括号{}括起来。
用一条封闭的曲线表示集合，内部可 以填充颜色或点上小点表示元素。
如果一个集合不是另一个集合 的真子集，那么称它为该集合 的真超集。
04
集合的交集、并集、补集的图形 表示
交集的图形表示
总结词
交集是指两个或两个以上集合的公共 部分，可以用符号 "∩" 表示。
详细描述
在图形表示中，交集通常用两个或多 个集合的公共部分来表示。例如，在 两个圆的重叠部分中，重叠部分的元 素就是两个圆的交集。
集合的运算性质
01
02
03
交换律
若A、B是两个集合，则A 并B等于B并A，A交B等于 B交A。
结合律
三个集合的交集和并集， 等于这三个集合分别交、 并后再合并得到的交集和 并集。
分配律
两个集合的并集与另一个 集合的交集相等，等于这 两个集合分别与另一个集 合的交集的并集。
集合课件PPt
集合的传递性、吸收性、反对称性
传递性
如果A包含B，B包含C，则A包含C。
吸收性
如果A包含B，则A并B等于A。
反对称性
如果A包含B，B包含A，则A等于B。
集合运算的应用
用于解决数学问题中 的分类和合并问题。
用于逻辑推理和证明 中的概念和定理的表 述和证明。
用于处理集合之间的 关系和运算，如交、 并、补等。
集合的表示方法
列举法
将集合的元素一一列举出来，用 大括号{}括起来。例如：{1,2,3}表 示一个包含三个元素的集合。
描述法
通过描述集合中元素的共同特征 来表示集合。例如：{x|x是正方形 }表示所有正方形的集合。
集合的分类
01
02
03
有限集
包含有限个元素的集合。 例如：{1,2,3}是一个有限 集。
无限集
包含无限个元素的集合。 例如：自然数的集合N是 一个无限集。
空集
不包含任何元素的集合。 例如：{}是一个空集。
02 集合运算
交集、并集、补集
交集
由两个集合中共有的元素 组成的集合称为这两个集 合的交集。
并集
由两个或两个以上集合的 所有元素组成的集合称为 这些集合的并集。
补集
在集合A中，不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集。
应用
关系在数据库、人工智能和自然语言处理等领域都有广泛的应用。
等价关系与划分
定义
等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。自反性指任何元素都 与自己有这种关系，对称性指如果a与b有这种关系，则b与a也有这种关系，传递性指如 果a与b有这种关系，b与c也有这种关系，则a与c也有这种关系。
证明数学定理
集合的概念和表示法-PPT课件
2019/3/28
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7
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 b、部分列举法：
列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素 归纳出来 ， 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 隔开， 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
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3
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
1、符号表示法
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 b、部分列举法：
列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素 归纳出来 ， 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 隔开， 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
1、符号表示法
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12
集合的含义及表示ppt课件.ppt
思考3:我们用符号“ A B”表示集合A与B的 并集，并读作“A并B”，那么如何用描述法 表示集合A B？ A B { x |x A ,或 x B }
思考4:如何用venn图表示 A B ？
A
B
思考5:集合A、B与集合A B的关系如何？ A B与B A的关系如何？
AA B BA B ABBA
理论迁移
例1 写出满足 { 1 ,2 } A { 1 ,2 ,3 ,4 }的所有集 合A.
{1，2},{1，2，3},{1,2,4},{1，2，3，4}
例2 已知集合 A{y|y(x1 )2,x0 }， B {y|yx2x 1 ,x R },试确定集合A与 B的关系.
A B
例3 设集合 A {2, a2} ，B{1,2,a},若 A B ， 求实数 a 的值. -1或0
1.1.1 集合的含义与表示
第二课时 集合的表示
问题提出
1.集合中的元素有哪些特征？
确定性、无序性、互异性
2.元素与集合有哪几种关系？ 属于、不属于
3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的， 如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2 为半 径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以 用什么方式表示集合呢？
称集合A是集合B的真子集.
思考4:如果集合A是集合B的真子集，我们怎 样用符号表示？
AB或 B A
思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？
知识探究（二）
考察下列集合： （1）{x|x是边长相等的直角三角形}； （2）{xR|x210} ； （3）{xR||x|20}.
思考1:上述三个集合有何共同特点？ 集合中没有元素
集合的概念ppt课件
04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
集合的概念与表示方法ppt课件
③互异性，即同一集合中的元素是互不相同的．
能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合（简称集）。
练习1
1、下列说法中，正确的有______．（填序号）
2
①单词 book 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个；
②集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是△ABC 的三
边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
5
∉
A
集合与元素的关系
集合与元素的关系：
①属于，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作a∈A
；
②不属于，如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记
作 a∉A．
0
∉
Ф
集合的三大特性
集合三要素：
①确定性，即同一集合中的元素必须是确定的；
②无序性，即同一集合中的元素之间不考虑顺序；
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
习题：
1、被 3 除余 2 的正整数集合；
解：（1）
{x|x＝3n＋2，n∈N}
2、平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
（2）
{(x，y)|xy＝0}
三、韦恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称
为韦恩图，一般画成椭圆或矩形．
问题3 使用韦恩图表示中0-10之间的偶数集合。
0
10
2
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合
集合的概念与表示方法
你眼中的
集合
你眼中的
集合
1.1集合的概念第2课时集合的表示方法课件(人教版)
核心素养
1.会用列举法表示有限集．
1.数学抽象：列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况， 集合．
并会用描述法表示相关集合．
2.数学运算、直观想象：用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选 表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换．
集合．
【解】 若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
解：当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0，即 2x＋1＝0， 解得 x＝－12 .此时 A＝－12 ； 当 a≠0 时，若集合 A 中有且只有一个元素，则方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个相等的实数根， 所以Δa≠＝04，－4a＝0， 解得 a＝1，此时 A＝{－1}． 综上，当 a＝0 或 a＝1 时，集合 A 中有且只有一个元素， 所以 a 的值组成的集合 B＝{0，1}．
(2)方程组
2x＋y＝8， x－y＝1
的解组成的集合 B.
解：解方程组2xx－＋y＝y＝18，
x＝3， 得y＝2，
所以 B＝{(3，2)}．
新知探究：集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合； 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x ＝12n，n∈N*}．
高一数学集合ppt课件
03
集合的性质
集合的无序性
总结词
集合中的元素无顺序要求，即集合中元素的排列顺序不影响集合本身。
详细描述
在集合中，元素的顺序并不重要，无论元素以何种顺序排列，它们都属于同一个集合。例如，集合 {1,2,3}和集合{3,2,1}表示的是同一个集合。
集合的确定性
总结词
集合中的元素具有明确性，每个元素都属于或者不属于某个集合。
集合的并集
总结词
表示两个集合中所有的元素（不考虑重复）
详细描述
并集是指两个集合中所有的元素组成的集合，记作A∪集
总结词
表示属于某个集合但不属于另一个集 合的元素组成的集合
详细描述
补集是指属于某个集合但不属于另一 个集合的元素组成的集合，记作A-B 。补集的概念对于理解集合之间的关 系非常重要。
是小于5的偶数}。
基础习题2
判断以下两个命题的真假：P1：5 不属于集合A，P2：集合A和集合 B的交集为空集。
基础习题3
已知集合M = {x | x = 3k, k ∈ Z}， N = {x | x = 2k, k ∈ Z}，求M和N 的交集。
进阶习题
进阶习题1
已知集合U = {x | x 是小于10的正整数} ，A ⊆ U，B ⊆ U，且A和B的并集等于U ，求A和B的交集。
集合的表示方法
总结词
集合可以用大括号{}、圆括号()、尖 括号<>或方括号[]来表示。
详细描述
在数学中，我们通常用大括号{}、圆括 号()、尖括号<>或方括号[]来表示集 合。例如，集合A可以表示为{a, b, c} 。
集合的分类
总结词
根据元素的特点和性质，集合可以分为有限集、无限集和空 集。
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目的而连接起来的计算机系统的集合。 如今流行的 Wide Web)环球网。 计算机内存的全体单元构成一集合。
27.09.2020
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2 2
铃
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
2、集合的元素
集合里含有的对象或客体 称为集合的元素。
注：1、集合的元素表示的事物可以是具体的，也可 以是抽象的。
27.09.2020
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10 10
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
三、元素和集合之间的关系
元素和集合之间的关系, 是隶属关系，即属于
或不属于，属于记作∈，不属于记作。
例如：A={1，{1，2}，3，{{3}}}
A
1∈A，{1，2}∈A， 3∈A，{{3}}∈A，
2 A，2∈{1，2}，{3} A。
注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
27.09.2020
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8 8
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
2) 描述法 (谓词表示法) 把集合元素的共同属性描述出来。即用谓词概括 集合中元素的属性。P(x)表示任何谓词，则
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A,
读做“a属于A”或, “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A,
读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。 注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合,
2、集合的元素是任意的，但必须是确定的 和可 以区分的。
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3 3
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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4 4
集合的元 素
A={ x | P(x) }
集合的元素 必须满足的
条件
表示所有使谓词P(x)成立的元素x所组成的集合。
如果P(a)为真，则a∈A，否则 a∈A,
例：{x | x2-3x+2=0}、{x | x=2n-1∧n∈N}
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9 9
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
A⊆B (x) ( x∈A→ x∈B )
如果A不是B的子集，则在A中至少有一个元素
不属于B时，称B不包含A，记作A⊆B 或 B⊇A。
注： 1) A⊆A， 2) A⊆B， B⊆C， 则A⊆C。
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12 12
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
四、集合间的包含关系
定理 若A和B相等 当且仅当 A⊆B 且 B⊆A。
即 A与B互为子集。
证明：A=B
(x) ( x∈A x∈B )
(x) (( x∈A→ x∈B ) ∧ ( x∈B →x∈A))
(x) (x∈A→ x∈B )∧ (x)(x∈B →x∈A)
A⊆B ∧ B⊆A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证毕。
27.09.2020
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1 {1,2} 3 {{3}}
可以用一种树形图表示 集合与元素的隶属关系。
12
{3}
27.09.2020
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3
11 11
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
四、集合间的包含关系
1、子集
如果集合A中每个元素 都是集合B中的元素，
则称A是B的 子集，或A包含于B，或者B包含A，
记作A⊆B 或 B⊇A。
著名理发师问题就属于模糊论的研究范畴。
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 隔开，并将其放在花括号内。 例如“所有小于5的正整数”这，个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
2、集合相等
1)定义 (外延性原理)
两个集合相等当且仅当 它们有相同的元素。 若A和B相等，记作 A=B。
A=B (x) ( x∈A x∈B )
两个集合不相等，记作A B。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
四、集合间的包含关系
2、集合相等
2)判断
注：1、有些集合可以用两种方法表示，但是有些 集合不可以用列元素法表示，如实数集合。
2、集合的元素是彼此不同的，如果同一个元 素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。
3、集合的元素是无序的。 如:{3,4,4,4,5}、{3,4,5}、{5,4,3} 是同一个集合。
4、集合的元素可以是一个集合，但不允许以 集合自身为其元素。 如:S={a,{b}}, a∈S，b∈S, S={a,b,S},
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法
b、部分列举法： 列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元 素归纳出来 ，用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一 集合的概念 二 集合的表示法 三 元素和集合之间的关系 四 集合间的包含关系 五 特殊集合 六 小结
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
1、集合的定义
具有某种共同属性的事物的全体 称为集合。 例如：计算机网络是计算机之间以信息传输为主要
或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
1、符号表示法
注：绝不容许界限不分明或含糊不清的情况存在。 离散数学中，只讨论界限清楚、无二义性的描述， 不清晰的对象构成的集合 属于模糊论的研究范畴。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
2、集合的元素
集合里含有的对象或客体 称为集合的元素。
注：1、集合的元素表示的事物可以是具体的，也可 以是抽象的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
三、元素和集合之间的关系
元素和集合之间的关系, 是隶属关系，即属于
或不属于，属于记作∈，不属于记作。
例如：A={1，{1，2}，3，{{3}}}
A
1∈A，{1，2}∈A， 3∈A，{{3}}∈A，
2 A，2∈{1，2}，{3} A。
注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
2) 描述法 (谓词表示法) 把集合元素的共同属性描述出来。即用谓词概括 集合中元素的属性。P(x)表示任何谓词，则
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A,
读做“a属于A”或, “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A,
读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。 注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合,
2、集合的元素是任意的，但必须是确定的 和可 以区分的。
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3 3
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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集合的元 素
A={ x | P(x) }
集合的元素 必须满足的
条件
表示所有使谓词P(x)成立的元素x所组成的集合。
如果P(a)为真，则a∈A，否则 a∈A,
例：{x | x2-3x+2=0}、{x | x=2n-1∧n∈N}
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
A⊆B (x) ( x∈A→ x∈B )
如果A不是B的子集，则在A中至少有一个元素
不属于B时，称B不包含A，记作A⊆B 或 B⊇A。
注： 1) A⊆A， 2) A⊆B， B⊆C， 则A⊆C。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
四、集合间的包含关系
定理 若A和B相等 当且仅当 A⊆B 且 B⊆A。
即 A与B互为子集。
证明：A=B
(x) ( x∈A x∈B )
(x) (( x∈A→ x∈B ) ∧ ( x∈B →x∈A))
(x) (x∈A→ x∈B )∧ (x)(x∈B →x∈A)
A⊆B ∧ B⊆A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证毕。
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1 {1,2} 3 {{3}}
可以用一种树形图表示 集合与元素的隶属关系。
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{3}
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3
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四、集合间的包含关系
1、子集
如果集合A中每个元素 都是集合B中的元素，
则称A是B的 子集，或A包含于B，或者B包含A，
记作A⊆B 或 B⊇A。
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2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 隔开，并将其放在花括号内。 例如“所有小于5的正整数”这，个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
2、集合相等
1)定义 (外延性原理)
两个集合相等当且仅当 它们有相同的元素。 若A和B相等，记作 A=B。
A=B (x) ( x∈A x∈B )
两个集合不相等，记作A B。
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四、集合间的包含关系
2、集合相等
2)判断
注：1、有些集合可以用两种方法表示，但是有些 集合不可以用列元素法表示，如实数集合。
2、集合的元素是彼此不同的，如果同一个元 素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。
3、集合的元素是无序的。 如:{3,4,4,4,5}、{3,4,5}、{5,4,3} 是同一个集合。
4、集合的元素可以是一个集合，但不允许以 集合自身为其元素。 如:S={a,{b}}, a∈S，b∈S, S={a,b,S},
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法
b、部分列举法： 列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元 素归纳出来 ，用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一 集合的概念 二 集合的表示法 三 元素和集合之间的关系 四 集合间的包含关系 五 特殊集合 六 小结
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
1、集合的定义
具有某种共同属性的事物的全体 称为集合。 例如：计算机网络是计算机之间以信息传输为主要
或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
1、符号表示法
注：绝不容许界限不分明或含糊不清的情况存在。 离散数学中，只讨论界限清楚、无二义性的描述， 不清晰的对象构成的集合 属于模糊论的研究范畴。