复数的加减运算PPT课件
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3.2.1 复数代数形式的加减运算
及其几何意义
刘淑娟
知识回顾
(1)复数的代数形式？ z=a+bi (a，b ∈R)
(2)复数相等的充要条件？ a+bi(a,b∈R)与c+di(c,d∈R) 相等的充要条件是a=c且b=d
(3)复数的几何意义是什么？
z=a+bi(a,b∈R)
复平面上的点Z(a,b)
探究一：
1.复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) i
说明:
（1）两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分 别相加。
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法 可以推广到多个复数相加的情形.
=(-3,1)，
uuur ｜AB｜
11
uuur 2｜, AC｜
(2)2 22
8
,
uuur ｜BC｜
(3)2 1
uuur uuur 10,Q｜AB｜2 ｜AC｜2
探究一：
复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 a复意3，：数z1b设∈的1，zC加1b=，2a，法1z+b2b满3∈1∈i足，CR)，交z2=z换a32∈+律bC2、i，结z3合=a律3+b，3i 即(a对1，任a2，
则z1+z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
合探：
例1及迁移应用
例2及迁移应用
例3
合探要求： （1）组长认真组织，确保人人参与，积极发表自己的观点； （2）展示组应声音洪亮，吐字清晰，将本组的最高智慧展示 给同学们； （3）点评组应着重点评优缺点，指出扣分原因，发表不同观点。
展示：
题目
例1
例2
合探要求： （1）组长认真组织，确保人人参与，积极发表自己的观点； （2）展示组应声音洪亮，吐字清晰，将本组的最高智慧展示 给同学们； （3）点评组应着重点评优缺点，指出扣分原因，发表不同观点。
显然
z1+z2=z2+z1
z1+z2=z2+z1
同理可(得z1+z2)+z3=z(1+z1(+z2z+2)z3+)z3=z1+(z2+z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立.
探究二：
复数与复平面内的向量有一一
的对应关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此
出发讨论复数加法的几何意义吗？
应的点位于（ ）B
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
D 3 设复数z满足z+︱z︱=2+i，那么z等于（ ）
A 3 i
4
C 3 i
4
B 3i
4
D 3 i
4
4 在复数平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量 OA
B 和 OB ，其中O为坐标原点，则︱AB︱ =（ ）
A2
向量OZ
想一想：类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
自探：
探究一：复数的加法法则是什么？复数的
加法满足交换律，结合律吗？
探究二： 我们讨论过向量加法的几何意义，
你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
探究三：复数是否有减法？如何理解复数
的减法？
探究四：类比复数加法的几何意义，请指
出复数减法的几何意义？
说明：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法 法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数.
探究四：
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
uuur uuuur
设
OZ1
及
OZ2
分别与复数 uuur
a+
bi
及复数 c + di对应，则uuOuuZr 1 = (a,b) ,
OZ2 = (c, d )
uuuur uuuur uuuur
y Z1
Z2Z1 OZ1 OZ2 (a,b)-(c,d)
(a-c,b-d)
∴向量 Z2Z1 就是与复数
O
(a c) (b d)i 对应的向量.
复数减法 符合向量减法 的三角形法则.
Z2 x
说明： z2 z1 的几何意义就是复数 z1, z2 对应复平面上两点间的距离
利用向量加减运算的几何意义想一想：
(1) 若|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是 菱形
(2) 若| z1+ z2|= | z1- z2|
则平行四边形OABC是矩形o
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
(3)若 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是 正方形
Z1 (a, b)
O
x
= (a + c,b + d )
∴向量
uuur OZ
就是与复数
(a
+
c)
+
(b
+
d )i
对应的向量.
探究三：
复数是否有减法？如何理解复数的减法？
复数的减法是加ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的逆运算
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减， 即
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d )i
复数加法符合向量加
uuur uuuur
及复数设cO+Zd1 i及对O应Z，2 分则u别uOuuu与uZrur1复= 数(a,ab+)
bi ,
OZ2 = (c, d )
法的平行四边形法则.
y Z
Z2 (c, d )
uuur uuur uuuur OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c, d )
B2
C 10
D4
5 A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的 点，O是原点，若︱z1+z2︱=︱z1-z2︱，则
△AOB一定是（ B ）
A等腰三角形
B直角三角形
C等边三角形
D等腰直角三角形
6 已知z∈C，︱z-2︱=1，则︱z+2+5i︱的最大值和最小
值分别是（
A）
A 41 1和 41 1
B 3和1
C 5 2和 34
D 39和3
11 在复平面内，A、B、C三点对应的复数分别为1、2+i、
-1+2i，判断三角形ABC的形状.
【解析】∵
uuur AB
uuur OB
uuur OA
,又A、B对应的复数分别为1、2+i,
∴
uuur AB
=(1,1),同理
uuur AC
=(-2,2),
uuur BC
SUCCESS
THANK YOU
2020/3/17
例3变式训练:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|= 2, 求|z2-z1|
2
当堂检测：
1 若复数（3-2i）-（-1+ai)对应的点在直
线x+y=5上，则实数a的值是（ A）
A -3
B -2
C1
D2
2 已知z1=2+i，z2=1+2i，则复数z=z2-z1对
及其几何意义
刘淑娟
知识回顾
(1)复数的代数形式？ z=a+bi (a，b ∈R)
(2)复数相等的充要条件？ a+bi(a,b∈R)与c+di(c,d∈R) 相等的充要条件是a=c且b=d
(3)复数的几何意义是什么？
z=a+bi(a,b∈R)
复平面上的点Z(a,b)
探究一：
1.复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) i
说明:
（1）两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分 别相加。
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法 可以推广到多个复数相加的情形.
=(-3,1)，
uuur ｜AB｜
11
uuur 2｜, AC｜
(2)2 22
8
,
uuur ｜BC｜
(3)2 1
uuur uuur 10,Q｜AB｜2 ｜AC｜2
探究一：
复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 a复意3，：数z1b设∈的1，zC加1b=，2a，法1z+b2b满3∈1∈i足，CR)，交z2=z换a32∈+律bC2、i，结z3合=a律3+b，3i 即(a对1，任a2，
则z1+z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
合探：
例1及迁移应用
例2及迁移应用
例3
合探要求： （1）组长认真组织，确保人人参与，积极发表自己的观点； （2）展示组应声音洪亮，吐字清晰，将本组的最高智慧展示 给同学们； （3）点评组应着重点评优缺点，指出扣分原因，发表不同观点。
展示：
题目
例1
例2
合探要求： （1）组长认真组织，确保人人参与，积极发表自己的观点； （2）展示组应声音洪亮，吐字清晰，将本组的最高智慧展示 给同学们； （3）点评组应着重点评优缺点，指出扣分原因，发表不同观点。
显然
z1+z2=z2+z1
z1+z2=z2+z1
同理可(得z1+z2)+z3=z(1+z1(+z2z+2)z3+)z3=z1+(z2+z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立.
探究二：
复数与复平面内的向量有一一
的对应关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此
出发讨论复数加法的几何意义吗？
应的点位于（ ）B
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
D 3 设复数z满足z+︱z︱=2+i，那么z等于（ ）
A 3 i
4
C 3 i
4
B 3i
4
D 3 i
4
4 在复数平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量 OA
B 和 OB ，其中O为坐标原点，则︱AB︱ =（ ）
A2
向量OZ
想一想：类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
自探：
探究一：复数的加法法则是什么？复数的
加法满足交换律，结合律吗？
探究二： 我们讨论过向量加法的几何意义，
你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
探究三：复数是否有减法？如何理解复数
的减法？
探究四：类比复数加法的几何意义，请指
出复数减法的几何意义？
说明：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法 法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数.
探究四：
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
uuur uuuur
设
OZ1
及
OZ2
分别与复数 uuur
a+
bi
及复数 c + di对应，则uuOuuZr 1 = (a,b) ,
OZ2 = (c, d )
uuuur uuuur uuuur
y Z1
Z2Z1 OZ1 OZ2 (a,b)-(c,d)
(a-c,b-d)
∴向量 Z2Z1 就是与复数
O
(a c) (b d)i 对应的向量.
复数减法 符合向量减法 的三角形法则.
Z2 x
说明： z2 z1 的几何意义就是复数 z1, z2 对应复平面上两点间的距离
利用向量加减运算的几何意义想一想：
(1) 若|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是 菱形
(2) 若| z1+ z2|= | z1- z2|
则平行四边形OABC是矩形o
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
(3)若 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是 正方形
Z1 (a, b)
O
x
= (a + c,b + d )
∴向量
uuur OZ
就是与复数
(a
+
c)
+
(b
+
d )i
对应的向量.
探究三：
复数是否有减法？如何理解复数的减法？
复数的减法是加ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的逆运算
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减， 即
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d )i
复数加法符合向量加
uuur uuuur
及复数设cO+Zd1 i及对O应Z，2 分则u别uOuuu与uZrur1复= 数(a,ab+)
bi ,
OZ2 = (c, d )
法的平行四边形法则.
y Z
Z2 (c, d )
uuur uuur uuuur OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c, d )
B2
C 10
D4
5 A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的 点，O是原点，若︱z1+z2︱=︱z1-z2︱，则
△AOB一定是（ B ）
A等腰三角形
B直角三角形
C等边三角形
D等腰直角三角形
6 已知z∈C，︱z-2︱=1，则︱z+2+5i︱的最大值和最小
值分别是（
A）
A 41 1和 41 1
B 3和1
C 5 2和 34
D 39和3
11 在复平面内，A、B、C三点对应的复数分别为1、2+i、
-1+2i，判断三角形ABC的形状.
【解析】∵
uuur AB
uuur OB
uuur OA
,又A、B对应的复数分别为1、2+i,
∴
uuur AB
=(1,1),同理
uuur AC
=(-2,2),
uuur BC
SUCCESS
THANK YOU
2020/3/17
例3变式训练:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|= 2, 求|z2-z1|
2
当堂检测：
1 若复数（3-2i）-（-1+ai)对应的点在直
线x+y=5上，则实数a的值是（ A）
A -3
B -2
C1
D2
2 已知z1=2+i，z2=1+2i，则复数z=z2-z1对