关于实数完备性的基本定理

无穷多个点，记其为[a3 , b3 ], 则
[a2 , b2 ] [a3 , b3 ], 且 b3 - a3 = 1 M (b2 - a2 ) = . 2 2
无限进行，则得区间列{[an , bn ]}, 满足
[an , bn ] [an+1, bn+1 ], n = 1, 2,
M b a = , n n 2n -1 0, (n ),
k
下证 lim an = a,
n
0, N1 0,当n，m N1时, 有 an - am
由lim ank = a, 0, N 2 0, 当k N 2时, 有 ank - a
k
0, N = max{N1, N2} 0,当n, k N时,
[an , bn ] [an+1 , bn+1 ], n = 1,2,L, 1 bn - an = n (b - a) 0 (n ). 2 即{[ an , bn ]}是区间套， 且其中每一个闭区间都不能用H中有限个
有限个开区间来覆盖， 由区间套定理
x [an , bn ], n = 1,2,L,由于H是[a, b]的一个开覆盖
•定理的证明:
单调有界定理 区间套定理
n
由区间套定义知a 为递增有界数列，
an 依单调有界定理， 有极限x，且有 a x，n = 1,2, L.
n
b 同理，递减有界数列 也有极限，并按区间套的条件(ii )有
n
lim b = lim a = x , 且 b x，n = 1,2, L. n n
n
xn S
,则其极限
显然 显然 定义2 定义2 定义2 定义2
定义2’ 对于点集 S , 若点 x 的任何 邻域都含有 S中异于 x 的点,即 U 。(x ; ) , 则称 x 为 S 的聚点. 定义2” 若存在各项互异的收敛数列 xn S ,则其极限 lim xn = x 称为 S 的聚点.
令m = nk k N , an - ank ,
则
ank - a
an - a = an - ank + ank - a an - ank + ank - a = 2
故
lim an = a
n
三 有限覆盖定理
•定义
设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合,(即 H 的每一个
n
的常数列子列；而这个常数列必是收敛的。
证明：（利用致密性定理证明） 0, N 0, 当n, m N时, 有 an - am {an }收敛
1 证{an }有界：
取 = 1, 则N 0, 当n N , m = N +1时, 有 an - aN +1 1
1 2n
2n-1
1
照以上方法得一闭区间列[an , bn ] , 其中每个区间 都含有an 中几乎所有的项，且满足
[n , n ] [n-1 , n-1 ], n = 1, 2,
n - n 21 0(n )
n-1
即[an , bn ]是区间套.
由区间套定理，存在唯一的数x [an , bn（ ] n = 1, 2, ）
1 且满足[1 , 1 ] [ 2 , 2 ]及 2 - 2 2
1 1 取 n = , N n 0, 在区间[aNn - n , aNn + n ]内含有{an } 2 2 中除有限项之外的所有的项 1 1 记[ n , n ] = [ n -1 , n -1 ] [ aNn - n , aNn + n ]且 n - n 2 n = 2 2
证毕.
•推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列.
设{xn }为一有界数列，
1
2
若{xn }中有无限项相等，将这些项放在一起构成{xn }
若{xn }中没有无限项相等，则{xn }对应实轴上的点集是 有界无限点集， 则由聚点定理得，点集{xn }有一个聚点x，
由定义2在{xn }中各项互异的数列{xnk }且 lim xnk = x
元素都是形如 ( , )的开区间).若 S 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 H为 S 的一个开覆盖,或简称H 覆盖 S .
若 H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 H 为 S 的一个
无限(有限)开覆盖.
•定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理) 设 H 为闭区间 [a, b] 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中可
即[an , bn ] [x - , x + ]从而[an , bn ] (x , )
注意： 1、定理7.1中需闭区间才能确保结论成 1 )} 0 ( 0 , 立,如 {(0, 1 , 若有 , 应为 0, 但 n n) 2、若{( an , bn )} 为严格开区间套，即
说明:
定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即 闭区间的端点满足不等式:
a1 a2 L an L bn L b2 b1.
{[an ,bn ]}为一区间 定理7.1(区间套定理) 若 套, 则 唯一一点 ξ[an ,bn ](n = 1,2L), 即 a n ξ bn
即 {[an , bn ]}是区间套，且其中每个闭区间都含有S中无穷多点
由区间套定理及推论，
x [an , bn ], n = 1, 2, , 0, N 0, n N有[an , bn ] U (x ; )
即U (x ; )内含有S中无穷多个点，
从而x为S 的一个聚点.
lim an = lim bn = x , 对于 0 n n
N1 0,当n N1时x - an x +
N2 0,当n N2时有x - bn x +
N = max{N1, N2}当n N时有x - an bn x + 同时成立
•定义2 设 S 为数轴上的点集, x 为定点,(它可以属于 S ,也可以不属于 S
若 x 的任何邻域内都含有S 中无穷多个点,则称x 为 S 的聚点.
说明: 聚点概念和下面两个定义等价: 定义2’ 对于点集 S , 若点 x 的任何 邻域都含有 S中异于 x 的点,即 U 。(x ; ) , 则称 x 为 S 的聚点. 定义2” 若存在各项互异的收敛数列 lim xn = x 称为 S 的聚点.
将[a1 , b1 ]等分为两个子区间， 同样其中至少有一个子区间不能用
H中有限个开区间来覆盖. 记其为[a2 , b2 ], 则 1 [a2 , b2 ] [a1 , b1 ], 且b2 - a2 = 2 (b - a). 2 不断进行下去， 则得到一个闭区间列{[ an , bn ]}, 它满足
n
证明： 0, x U (x , ) S ,
取1 = 1, x1 U (x , 1 ) S
取 2 = min{1 x - x1 }， 则x2 U (x , 2 ) S， 且有x1 x2 2，
依次下去 取 n = min{1 x - xn-1 }， 则xn U (x , n ) S， 且有xn xn-1 n，
a1 a2 L an bn L b2 b1
则 唯一一点 x (an , bn ), n = 1,2,L 3、利用区间套定理证明：先构造区间 套，使 x 为所求点。
区间套定理 柯西收敛准则
数列的柯西收敛准则
数列{an }收敛 0, N 0,当m, n N时 an - am
an = an - aN +1 + aN +1 an - aN +1 + aN +1 1+ aN +1
令M = max{ a1 , a2 ,
aN ,1 + aN +1 },
对于an中所有项, 都有 an M ,即 {an}有界
2 有致密定理知， {an }有收敛子列{ank }，令 lim ank = a
n n n
故有 x = x ' . 证毕.
说明:
区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.
[an , bn ] 所确定的点， 则 •推论 若x [an , bn ](n = 1, 2, )是闭区间套
0, N N + , n N , 有[an , bn ] U (x ; ).
现将[a1, b1 ]等分为两个区间，因S为无限点集，故两个区间中至少
有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为[a2 , b2 ], 则
1 [a1 , b1 ] [a2 , b2 ], 且 b2 - a2 = (b1 - a1 ) = M . 2 将[a2 , b2 ]等分成两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中
下证 lim an = x
n
由区间套定理推论 0, N 0,当n N时[n , n ] U (x , )
而[n , n ]中含有{an }的除有限项外的所有项
即U (x , )中含有{an }中的除了有限项外的所有项
即有 lim an = x
n
二 聚点定理
第七章 实数的完备性

关于实数完备性的基本定理
一 区间套定理
•定义
: 设闭区间列 [an , bn ] 具有如下性质 (i) [a , b ] [a , b ], n = 1,2,L;
n n n +1 n +1
(ii) lim(பைடு நூலகம் - a ) = 0,
n n n
[an , bn ] . 为闭区间套, 简称区间套 则称
无限下去得一数列 {xn }满足各项互异，且{xn } S
0 xn - x n 1 n
•定理 (Weierstrass聚点定理)
实轴上任一有界无限点集 S 至少有一个聚点.
•定理的证明
因S为有界点集，故M 0, 使得S [-M , M ], 记[a1, b1 ] = [-M , M ]
选出有限个开区间来覆盖 [a, b] .
•定理的证明(区间套定理证明)
用反证法 假设定理的结论不成立， 即不能用H中有限个
开区间来覆盖[a, b]. 将[a, b]等分为两个子区间， 则其中至少有一个子区间不能用H
中有限个开区间来覆盖. 记其为[a1 , b1 ], 则 1 [a1 , b1 ] [a, b], 且b1 - a1 = (b - a). 2
即对 0, N 0, 在区间[aN - , aN + ]内含有{an }中 除有限项外的所有项
1 1 1 取1 = , N1 0, 在区间[aN1 - , aN1 + ]内含有{an } 2 2 2 1 1 除有限项外的所有的项，记[1 , 1 ] = [ aN1 - , aN1 + ] 2 2 1 1 1 取 2 = 2 , N 2 N1 0, 在区间[aN2 - 2 , aN2 + 2 ]内含有{an } 2 2 2 1 1 除有限项外的所有的项，记[ 2 , 2 ] = [aN1 - , aN1 + ] [1 , 1 ] 2 2
n n n
从而有 a x b ，n = 1,2, L.
n n
下面证明满足题设条件的x是唯一的.
设x '也满足a x ' b , n = 1,2, L ,
n n
则 x - x ' b - a , n = 1,2,L.
n n
由区间套定义(ii )得 则 x - x ' lim (b - a ) = 0,
证明" " 由于 lim an = A,
n
0, N 0,当m, n N时总有 an - A , a A m 2 2
an - am = an - A + A - am an - A + am - A
""
0, N 0,当n N时总有 an - aN