无穷级数的应用【开题报告】

毕业论文开题报告

数学与应用数学

无穷级数的应用

一、选题的背景、意义

无穷级数思想的起源可以延续到公元前,但是级数最早被发现并研究于中世纪(14至16世纪)的印度,之后由造访印度的传教士带到了欧洲,并和牛顿的微积分紧密的结合在一起,随着欧洲数学的不断发展,无穷级数的内容也不断增加,研究的方向也从级数本身的性质延伸到应用中来,从最简单的正数项级数和性质开始，渐渐囊括了一般项级数及其性质,再和函数结合在一起,发展出了函数项级数,幂级数和傅里叶级数,之后就是级数思想的发展,从函数项级数和幂级数延伸来的函数的幂级数展开,发展到定积分,不定积分的概念,再发展到无穷逼近等等领域。无穷级数的研究推进了微积分的建立，作为一种研究数学的工具和思想，级数的诞生更推进了世界数学的发展

由于级数的发展经过近百年的时间,并和牛顿的理论一起构成了微积分学的两大支柱,级数的重要性由此可见，由于级数的普遍性，所以在中学以及高等教育学校中便有提及，现今级数的研究方向大致都放在了级数求和,函数表达以及无穷分割求近似的应用方面,国内的学者在理论上趋向于研究幂级数,函数的幂级数展开以及泰勒展式上,在实际中很多需要求近似的地方也用到了级数,比如国防工业弹道,火箭飞行轨迹与回收等领域。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

基本内容是:

1，级数的背景和研究状况,包括数项级数,函数列级数,幂级数的敛散性等基础知识；

2，函数的幂级数展开以及积分和数列的转换。

拟解决的主要问题:

1、无穷级数在积分计算和级数求和方面的应用；

2、用无穷级数逼近连续函数；

3、用无穷级数构造处处连续且处处不可导的函数。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

1，研究方法与技术路线:

主要是通过搜集并阅读文献中有关无穷级数及其延伸的资料，包括它的背景意义、性质及应用的现状和发展方向等内容。然后对资料进行整理归纳构成级数知识的完整结合，形成论文的主要内容，并补充自己的想法，使之成为一个整体。

本文主要从级数的无穷逼近及其收敛要求和近似求和的性质上来研究函数的级数表示和构造。

2，研究难点是:

连续函数的级数逼近中需要满足的收敛性质以及在构造处处连续但不可导的函数时级数和连续以及可导的共存关系。

3，预期的目标是:

通过本文的研究得以对级数和级数有关的系统知识连接起来,并形成一个统一的整体,并参考解决的级数问题,加深级数的应用思想。

四、论文详细工作进度和安排

1、第七学期第9周至第11周：论文选题，查阅文献资料，收集信息；

2、第七学期第12周至第18周：在广泛查阅文献资料的基础上，完成文献综述及其论文开题

报告，完成外文翻译；

3、第八学期第1周至第3周：完成毕业论文初稿；

4、第八学期第4周至第13周:反复修改毕业论文，最后定稿，准备答辩。

五、主要参考文献：

[1] 华东师范大学数学系．数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003．

[2] 菲赫金哥尔茨．微积分学教程（第八版）[M].北京：高等教育出版社，2006．

[3] 朱永忠.高等数学[M].科学出版社，2009.

[4] 唐月红，曹荣美，王正盛.高等数学[M].科学出版社，2009.

[5] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993．

[6] 胡适耕，姚云飞．数学分析-定理.问题.方法[M].北京：科学出版社，2007．

[7] Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis（Third Edition）[M].

Beijing：China Machine Press，2007．

[8] 何琛，史济怀，徐森林．数学分析[M].北京：高等教育出版社，1985．

[9] 朱家生.数学史.(第一版)[M].北京：高等教育出版社，2002.