最新数学建模题目及答案

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09级数模试题
1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

15分）（解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

：因此对这个问题我们假设
）地面为连续曲面（1 ）长方形桌的四条腿长度相同（2 ）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（3 ）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

（4 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条
以长方桌的中件成立，那么答案是肯定的。

方桌心为坐标原点作直
角坐标系如图所示，D、A、B,C处，的四条腿分别在A、B、C、D再假设有一条在轴平行，的初始位置在与x旋转时，平行。

当方桌绕中心0B，C、DAab,x轴上的线则ab也与、。

ab与x轴的夹角记为对角线?腿到地面的距离是不确定容易看出，当四条腿尚未全部着地时，为、B的。

为消除这一不确定性，令离地距离之和，A为??))(f(g精
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C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。

由假设（1），,???)(f(g)均为的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地，故?g（若也为0，,=0必成立（）。

不妨设???)(0)f(f(0)?0gg(0)?(0)g?则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：
已知,均为的连续函数，,且对任意有????0)g(0)?ff((0))?g(0，求证存在某一，使。

?????0(?f()f(g)())?0g00000证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故，。

作??0(?)?0)gf(，显然，也是的连续函数，而
?????0?g(0))?g((0))?f(0)?h()?f(h)h(，，，由连续函数的取零值定理，存在???????0?0?))?g(h()?f(00使得，即。

又由于，故必有?????0)f()?g(g)(?)fh()?0(00000，证毕。

??0)?g(?f()002.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。

（15分）
解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。

设：A宿舍的委员数为x人，B宿舍的委员数为y人，C宿舍的委员数为z人。

计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。

则
x+y+z=10；
x/10=235/1000；
y/10=333/1000；
z/10=432/1000；
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精品文档100x，x,y,z为正整数；100y100z x=3
解得： y=3
z=4
元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头53.一饲养场每天投入
公斤。

目前生猪出售的市场价格为每公公斤重的生猪每天增加280
问该场应该什么时候出售这样但是预测每天会降低0.1元，斤8元，
15分）的生猪可以获得最大利润。

（公斤的猪）可以获得的80解：
设在第t天出售这样的生猪（初始重元。

利润为z 每头猪投入：5t
元（8-0.1t80+2t）元）（产出：=-0.2 t^2 + 13t +640 （80+2t）
8-0.1t利润：Z = 5t +（））（t^2-65t+4225/4 =-0.2+3405/4
)
t=32当或t=33时，Zmax=851.25(元 32因此，应该在第天过后卖出
这样的生猪，可以获得最大利润。

桶牛奶可以在一奶制品加工厂用牛奶生产4. A1两种奶制品，A2，1精
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精品文档小时加工3公斤A1，或者在设备乙上用8设备甲上用12小时加工成全部能售出，且每公斤。

根据市场需求，生产的A1，A2成4公斤A2桶5016元。

现在加工厂每天能得到24A1获利元，每公斤A2获利并且设备甲每天至小时，每天工人总的劳动时间为480牛奶的供应，）试为该厂（1A1多能加工100公斤，设备乙的加工能力没有限制。

桶牛奶，元可买到1制订一个生产计划，使每天获利最大。

（2）33）可聘用临时工人，付出的4?买吗？（3）若买，每天最多买多少（公斤，应否改变/工资最多是每小时几元? (5)A1的获利增加到30元分）生产计划？（15，所获A1，y桶牛奶加工成A2x解：设：每天生产将桶牛奶加工成得的收益为Z元。

:
加工每桶牛奶的信息表
A2 产品A1
8所需时间 12小时小时
4 公斤产量公斤31624元获利/公斤元
x+y<=50
(1)480yx812
100x030y Z=24*3x + 16*4y=72x+64y
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元 Zmax=3360 x=20解得，当，y=30时， A230A120则此时，生产生产计划为桶牛奶生产，桶牛奶生产。

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精品文档 W元。

（2）设：纯利润为)>0 元
W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710( /33元桶可以买。

则，牛奶 (3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：
480yx812
100x030y W=39x+31y
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Wmax=1860元y=60时，解得，当x=0，桶牛奶。

则最多购买60 n 若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为元。

(4)
n=Wmax/480=3.875（元）元，则其优化条件不变。

30A1(5)若的获利为Z1=90x+64y
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（元），x=0y=60时，Z1max=3840当解得，
因此，不必改变生产计划。

在冷却过程中，物体的温度在任何时刻变化的速率大致正比于它5.
该定律同的温度与周围介质温度之差，这一结论称为牛顿冷却定律，精品文档．
精品文档℃的水池18样用于加热过程。

一个煮硬了的鸡蛋有98℃，将它放在℃，假定没有感到水变热，问鸡蛋达38里，5分钟后，鸡蛋
的温度为分）?（15到20℃，还需多长时间解：题意没有感到水变热，即池水中水温不变。

为时间，水的温 dT/dt 其中t设:鸡蛋的温度为T，温度变化率就是 T-T1 度为T1，则鸡蛋与水温差为由题意有：) (1) k为比例常数 T- T1=kdT/dt (其中））T- T1 （2方程(1)化为： dt=kdT/（）两边同时积分之后并整理一下就得到：对（2+C
） t=k*ln（T- T1+ C=0
（98-18） k*ln则+c （38-18）5=k*ln
5k ln80ln20
t1=k*ln(20-18)+c-[k*ln(38-18)+c]=8.3（min）
所以，还需8.3（min）。

6. 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。

设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。

这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。

报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。

请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

（15分）
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解：设：
报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。

设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。

订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。

为了获得最大效益，
现在要确定最优订购量n。

n的意义。

n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期
以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。

所以，笔者认为n的意义是双重的。

本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。

基本假设
1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每
日的订购量n。

2、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的
菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的
进价b、售价a及退回价c。

3、假设每日的定购量是n。

4、报童的目的是尽可能的多赚钱。

建立模型
应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。

而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。

但是要得到n值，我们精品
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可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。

由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。

现在用简单的数学式表示这三种结果。

1、赚钱。

赚钱又可分为两种情况:
①r>n，则最终收益为(a-b)n(1)
②r<n，则最终收益为(a-b)r-(b-c)(n-r)>0
整理得：r/n>(b-c)/(a-c)(2)
2、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。

r/n=(b-c)/(a-c)(3)
3、赔钱。

r/n<(b-c)/(a-c)(4)
模型的求解
首先由(1)式可以看出n与最终的收益呈正相关。

收益越多，n的取
值越大。

但同时订购量n又由需求量r约束，不可能无限的增大。

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所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。

然后分析(3)、(4)两式。

因为(3)、(4)分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n值是为了获得最大收益，所以可以预见由(3)、(4)两式确立出的n值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，
不予以讨论。

最后重点分析(2)式。

显然式中r表需求量，n表订购量，(b-c)表示退回一份儿报纸赔的钱。

因为(a-c)无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。

由a>b>c,可得a-c>a-b，而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。

然后采用放缩法，把(2)式中的(a-c)换成(a-b)，得到
r/n<(b-c)/(a-b)(5)
不等式依然成立。

由(5)式再结合(1)式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱(a-b)的比值就应越小。

当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。

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7. 谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的。

（10分）
简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。

具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。

更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。

数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。

数学建模的几个过程
1 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。

用数学语言来描述问题。

2 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

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3 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

（尽量用简单的数学工具）
4 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。

5 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。

6 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。

如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。

如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。

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