大学物理刚体转动
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
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02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
大学物理第3章刚体的转动
T2
( 2 m1 m / 2 ) m 2 g m 2 M f / R m1 m 2 m / 2
例4.如图所示长度不等的A ,B两个匀质细棒(材料粗细均相 同), 从竖直位置由静止开始自由倒向地面,问:A B棒哪根先倒地?
M rF
M mg l 2 sin( )
三. 转动惯量
I
m
i 1
n
r i i
2
是刚体转动惯性大小的量度 (质量是物体惯性大小的量度) 1. 刚体的质量 由三个因素决定: 2. 质量的分布 3. 转轴的位置
物理意义:
M I
2 如果刚体是连续分布的质点系 I r d m 单位：kg m2
质量为体分布: d m d V 质量为面分布: d m d s
dm m l d x
1 2
1
l
I I
r
2
dm
O
dm
x
l
2
x dm
I
1 l
2
2 1 l 2
m l
l
m l
x dx
2
0
1 3
ml
2
x d x
l 2
2
z l
ml
2
3 mx l 3
l 2
1 12
o
dx
x
例2: 计算质量为m, 半径为R的均匀细圆环的转动惯量. 轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解: 如图各质元到轴的垂直距离相等 m
质点角动量 L r p r m v
刚体的角动量(定轴转动)
L I
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
大学物理 刚体的定轴转动
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
刚体的转动惯量(大学物理--刚体部分)解析ppt课件
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
大学物理实验报告-刚体转动定律
大学物理实验报告-刚体转动定律
实验目的：探究刚体转动的基本定律。
实验仪器：转动台、刚体转轴、刚体、刻度盘、秤、细线、阻尼器。
实验原理：刚体转动的基本定律包括：1）转动定律：刚体受
外力矩的作用产生角加速度，且角加速度与作用力矩成正比，与物体的转动惯量成反比；2）动量定理：刚体的角动量在无
外力矩作用下保持守恒。
实验步骤：
1. 将转动台放在水平桌面上，并调整水平度。
2. 将刚体转轴安装在转动台上，保证转轴能够自由转动。
3. 在转轴上放置刚体，并固定好。
4. 将刻度盘压在转轴上，确保盘面与刚体转动面平行，并零位对准。
5. 在刚体上绑上细线，另一端挂上适量的重物。
6. 调整阻尼器，使刚体转动不受外界干扰。
7. 按下计时器，同时放开刚体。
8. 记录刚体的转动时间，并测量刚体转过的角度。
9. 重复实验多次，取平均值。
实验数据处理：
1. 根据实验数据计算刚体的转动惯量，转动惯量的计算公式为：
I = m * g * R * T^2 / (2 * π^2 * θ)，其中m为挂在细线末端的
重物质量，g为重力加速度，R为细线长度，T为转动时间，θ
为刚体转过的角度。
2. 将实验得到的转动惯量与刚体的几何结构进行比较，检验是
否符合刚体转动定律。
3. 计算实验误差，评估实验结果的可靠性。
实验注意事项：
1. 安全操作，避免伤害自己和他人。
2. 实验时要保持转动台的稳定，阻尼器的正确调整。
3. 实验时要注意量具的准确读数和记录。
4. 实验结束后，保持实验环境整洁，归还实验器材。
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
21
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z
ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
大学物理刚体的转动
$Delta E_{k} = int_{t_{1}}^{t_{2}} vec{M} cdot mathrm{d}vec{θ}$，其中$vec{M}$为合外力矩， $mathrm{d}vec{θ}$为刚体的角位移。
动能与转动惯量的关系
动能与转动惯量的关系
刚体的转动动能等于转动惯量与角速度平方的乘积的一半，即$E_{k} = frac{1}{2} I omega^{2}$，其中$I$为转动惯量，$omega$为角速度。
THANKS.
实验步骤与操作
准备实验设备和材料，检查刚体 转动装置是否稳固。
将刚体用细线悬挂于转动轴上， 调整砝码的位置，使刚体平衡。
使用测角仪测量刚体的初始角度， 记录数据。
实验步骤与操作
01
释放刚体，开始计时， 同时观察刚体的转动情 况，记录数据。
02
使用天平测量砝码的质 量，计算刚体的转动惯 量。
03
根据实验数据，计算刚 体的角速度、角加速度 等物理量。
物理意义
根据刚体的质量和形状，通过计算其 相对于某固定轴的惯性矩来确定。
反映了刚体绕固定轴转动的惯性大小。
影响因素
刚体的质量分布和形状，以及转动轴 的位置。
转动定律的应用
陀螺仪
利用角动量守恒原理制作 的陀螺仪，可以用来测量 角度和方向。
自行车轮
自行车轮在行驶过程中， 由于角动量守恒，可以通 过调整车轮的转动惯量来 改变行驶稳定性。
03
题的能力。
刚体的基本概念
02
刚体的定义
刚体：在任何力的作用下，大 小和形状保持不变，只发生刚 性变形的物体。
刚体是一个理想化的物理模型， 用于简化对实际物体运动的研 究。
刚体在现实世界中并不存在， 但可以近似地描述一些物体在 一定条件下的运动特性。
大学物理教程第五章刚体的转动
⼤学物理教程第五章刚体的转动第五章刚体的转动§5－1 刚体的平动、转动和定轴转动⼀、刚体在外⼒作⽤下形状和⼤⼩都不变化的物体称为刚体．和这定义等价的另⼀定义是：如果物体在外⼒作⽤下它的任意两点之间的距离保持不变，则这物体称为刚体．刚体是⼀种理想模型，在⾃然界中是找不到的．实际上任何物体在外⼒作⽤下，它的形状和⼤⼩都或多或少要发⽣变化．但有许多物体，如果外⼒不甚⼤的话，它的形状和⼤⼩的改变不显著，这样的物体和刚体很接近，刚体⼒学中的结论对于这样的物体⼤致与经验符合．因此在实际问题中这样的物体可以当刚体来处理．⼆、平动和转动刚体的最简单的运动是平动和转动．在§1－3中关于参考系的平动的定义对刚体也适⽤．即如果刚体运动时，它⾥⾯任⼀直线的⽅位始终保持不变，则其运动称为平动．平动的特点是，任⼀时刻刚体中各点的速度和加速度都相等，任⼀点的运动都可以代表整个刚体的运动．刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着⼀条直线作圆周运动(如图5－1)，则这刚体的运动称为转动，这条直线称为转轴．座钟的指针、CD 光碟、涡轮发电机的叶⽚和车辆的轮⼦的运动都是转动．转动刚体的转轴可以是固定的(例如涡轮叶⽚的转轴)，也可以是运动的(例如车轮的转轴)．转轴固定的转动称为定轴转动．可以证明，刚体的⼀般运动可以当作是由⼀平动和⼀绕瞬时轴的转动组合⽽成．例如车轮在地⾯上滚动(图5－2a)，可以看成是由车轮随轮轴的平动以及车轮绕轮轴的转动组合⽽成．车轮上任⼀点P 的瞬时速度v ，等于轮轴的瞬时速度v 0与由于该点随车轮绕轮轴转动所具有的速度v r 的⽮量和，如图5－2(b)所⽰．三、定轴转动如图5－1，P 为刚体中⼀质点，当刚体绕定轴转动时，P 作圆周运动，圆⼼O 为转轴与圆平⾯的交点．由于刚体中任意两点之间的距离是固定不变的，刚体中各质点在同⼀时间Δt 内具有相同的⾓位移Δθ，因此在任⼀时刻各质点具有相同的⾓速度ω和⾓加速度α．所以我们可以⽤Δθ、ω和α作为描写刚体绕定轴转动的物理量，称为刚体的⾓位移、⾓速度和⾓加速度．我们在§1－4中讲过的⾓位移、⾓速度和⾓加速度等概念都适⽤于刚体的定轴转动．如果将⾓位移Δθ图5－1图5－2改为θ，则§1－4中公式θ = ωt ，ω = ω0 + αt 及θ = ω0t +21αt 2对刚体的定轴转动亦适⽤．⾄于刚体内各质点的速度和加速度则由于各质点到转轴的距离不同⽽各不相同，但这些线量与⾓量之间的关系仍然由(1－49)式、(1－51)式及(1－52)式表⽰．例题5－1 ⼀转速为1.80×103 r/min 的飞轮，因受制动⽽均匀地减速，经20.0s 停⽌转动．(1) 求⾓加速度和从制动开始到停⽌转动飞轮转过的转数；(2) 求制动开始后t = 10.0s 时飞轮的⾓速度；(3) 设飞轮半径为0.500m ，求在t = 10.0s 时飞轮边缘上⼀点的线速度和切向与法向加速度．解 (1) 设ω0为初⾓速度，由题意得rad/s π60rad/s 60101.80π2π230=??==n ω s 0.20 ,0==t ω因飞轮均匀减速，其转动为匀变速转动，由§1－4公式，⾓加速度为220rad/s π3rad/s 20.0π60-=-=-=t ωωα从开始制动到停⽌转动飞轮的⾓位移θ及转过的转数N 依次为rad π600rad 20.03π2120.0π6021220=??-=+=t t αωθ 300 2ππ600π2===θN (2) t = 10.0s 时飞轮的⾓速度为()rad/s π30rad/s 10.03ππ600=?-=+=t αωω(3) t = 10.0s 时，飞轮边缘上⼀点的线速度为m/s 1.47m/s 30π.5000=?==ωr v相应的切向加速度及法向加速度为22t m/s 71.4m/s 3π.5000-=?-==αr a()23222n m/s 1044.4m/s 30π.5000?=?==ωr a §5－2 ⼒矩转动定律转动惯量⼀、⼒对转轴的⼒矩根据经验，⼒可以使物体转动．但使物体转动的作⽤，不仅与⼒的⼤⼩有关，⽽且与⼒的⽅向以及⼒的作⽤线和转轴的距离有关．例如当我们⽤⼿关门时，⼒的作⽤线和门的转轴的距离越⼤，越容易把门关上．如果⼒的作⽤线通过门的转轴，或⼒的⽅向与转轴平⾏，则不论⽤多⼤的⼒也不能把门关上．⾸先讨论⼒在垂直于转轴的平⾯内的情形．图5－3为与转轴垂直的刚体的截⾯图，⼒F 在此平⾯内，⼒的作⽤线与转轴的距离为d ，d 称为⼒臂，⼒的⼤⼩F 与⼒臂d 的乘积称为⼒F 对转轴的⼒矩，⽤M 表⽰，则M = Fd （5－1）设r 为从转轴到⼒的作⽤点P 的径⽮，φ为r 与F 之间的夹⾓，由图5－3看出，d = r sin φ，故(5－1)式可写为r F Fr M ⊥==?sin （5—2）其中⊥F 为⼒F 在垂直于r ⽅向的分量．上式表⽰，只有⼒F 在垂直于r ⽅向的分量才对⼒矩有贡献．当φ = 0或φ =180°时M = 0，此时⼒的作⽤线通过转轴，0=⊥F ，d = 0．如果⼒F 不在垂直于转轴的平⾯内，则将F 分解为⼆分⼒F l 、F 2．F l 在垂直于转轴的平⾯内，F 2与转轴平⾏(图5－4)．由于平⾏分⼒F 2对物体转动不起作⽤，可以不考虑，因此在⼒矩定义式(5－1)或式(5－2)中，F 应理解为外⼒在垂直于转轴的平⾯内的分⼒．⼒对定轴的⼒矩不但有⼤⼩，⽽且有转向．⼀般规定，如果⼒矩使刚体沿反时针⽅向转动，⼒矩为正；如果⼒矩使刚体沿顺时针⽅向转动，⼒矩为负．如果同时有⼏个⼒作⽤于刚体，则刚体所受的合⼒矩等于各个⼒对转轴的⼒矩的代数和．⼒对转轴的⼒矩与⼒对⼀点的⼒矩之间的关系如上所述，如果⼒F 与转轴不垂直，可将它分解为垂直于转轴的分⼒F l 和平⾏于转轴的分⼒F 2．设O 为通过⼒F 的作⽤点P ⽽垂直于转轴的平⾯与转轴的交点．r 为从O 点到P 点的径⽮(图5－4)．则由(4－37)式得⼒F 对O 点的⼒矩为M = r × F = r × (F l + F 2) = r × F l + r × F 2将上式两边投影在转轴上．现在来看左右两边投影的意义．左边为⼒F 对O 点的⼒矩在转轴上的投影，右边r × F 2与转轴垂直，它在转轴上的投影为零．r × F l 与转轴平⾏，它在转轴上的投影等于F l r sin φ(图5－4)．⽽后者等于⼒F 对转轴的⼒矩．故得结论：⼒F 对转轴的⼒矩等于⼒F 对O 点的⼒矩M 在转轴上的投影，其中O 为通过⼒F 的作⽤点P ⽽垂直于转轴的平⾯与转轴的交点．应当注意，⼒对⼀点的⼒矩是⽮量，⼒对转轴的⼒矩是标量．这是因为后者是前者的投影之故．⼆、转动定律刚体可看成是由⽆数质点组成，当刚体绕定轴转动时，各个质点都绕定轴作圆周运动，取质点P i 来考虑，设其质量为Δm i ，与转轴的距离为r i ，图5－5为经过P i ⽽垂直于转轴的刚体的截⾯图，作⽤于P i 的⼒有外⼒F i 及内⼒F ’i ，令F i t 及F ’i t 分别表⽰F i 及F ’i 沿切线⽅向的分量，则由切向运动⽅程得F i t + F ’i t = Δm i · r i α两边乘以r i ：F i t r i + F ’i t r i = (Δm i r i 2)α将此式对刚体中⼀切质点求和得图5－3 图5－4∑∑∑='+ii i i ii i i i r m r F r F α)Δ(2t t （5－3） ∑'i ii r F t 为所有内⼒对转轴的⼒矩的代数和，即合内⼒矩．下⾯证明此合内⼒矩等于零．取刚体中两质点P i 及P j 来考虑．根据⽜顿第三定律，这两质点相互作⽤的⼒⼤⼩相等⽅向相反，且在同⼀直线上(图5－6)，此⼆⼒有相同的⼒臂d ，但因⼆⼒⽅向相反，故其对转轴的合⼒矩为零．⼜因内⼒总是成对的，每⼀对内⼒的合⼒矩既然等于零，所以所有内⼒的合⼒矩亦必等于零，即0t ='∑iii r F 因此，(5－3)式化为∑∑=ii i i i i r m r F α)Δ(2t （5－4）∑iii r F t 为所有外⼒对转轴的⼒矩的代数和，即合外⼒矩，⽤M 表⽰，则上式化为∑=ii i r m M α)Δ(2 （5－5）对于⼀定刚体及⼀定转轴来说，上式中∑ii i r m 2Δ为⼀恒量，称为刚体对该转轴的转动惯量，⽤J 表⽰，即∑=ii i r m J 2Δ （5－6）这样(5－5)式便化为αJ M = （5－7）此式表⽰，刚体的⾓加速度与它所受的合外⼒矩成正⽐，与刚体的转动惯量成反⽐，这⼀关系称为转动定律．这是刚体绕定轴转动的基本定律．刚体绕定轴转动的其他定律都可以由这条定律导出．值得注意，这条定律是从⽜顿第⼆、第三定律推出的．三、转动惯量把转动定律αJ M =与⽜顿第⼆定律F = ma ⽐较，可以看出，这两个式⼦⼗分相似，M 对应于F ，α对应于a ，J 对应于m ．我们知道，物体的质量m 是物体的平动惯性⼤⼩的量度，与此类似，物体的转动惯量J 是物体的转动惯性⼤⼩的量度．这可以从转动定律αJ M =看出．转动惯量不同的两个刚体，在相同的图5－5 图5－6外⼒矩作⽤下，转动惯量⼤的刚体⾓加速度⼩，就是它的⾓速度难于改变，也就是转动惯性⼤；反之，转动惯量⼩的刚体，它的转动惯性⼩．根据转动惯量定义：∑=ii i r m J 2Δ如果刚体是由若⼲个质量为m 1，m 2，m 3，…的质点组成，在(5－6)式中Δm i 应代以m i ，得+++=233222211r m r m r m J （5－8）如果刚体的质量连续分布在⼀体积内，(5－6)式中总和式应代以积分式，Δm 应代以d m (刚体中的质量元)，得==VV V r m r J d d 22ρ（5－9）其中d V 为刚体的体积元，ρ为体积元d V 处的质量体密度，此积分遍及于刚体的整个体积V ．(5－9)式可推求如下：将刚体划分为许许多多⼩部分，每⼀部分的线度极⼩，使它可以看成⼀质点．设各⼩部分的质量为Δm 1，Δm 2，…，Δm i ，…，与转轴的距离依次为r 1，r 2，…，r i ，…，按照(5－6)式，刚体的转动惯量J 近似地等于∑i i m r Δ2，即∑≈ii i m r J Δ2设λ为各⼩部分的线度的最⼤值，λ越⼩，每⼀⼩部分越接近于⼀质点，因此和数∑i i m r Δ2越接近于J ，所以当0→λ时，和数∑i i m r Δ2的极限值便完全等于J 了，即∑→=ii i m r J Δlim 20λ按照⾼等数学，上式中右式就是定积分?Vm r d 2，于是得 ??==VV V r m r J d d 22ρ这就是(5－9)式如果刚体的质量连续分布在⼀⾯上或⼀细线上，则需引⽤质量⾯密度或线密度概念，计算转动惯量公式与上式相同，只需将体密度换为⾯密度或线密度，将体积元换为⾯积元或线元即可．参看例题5－2及5－3．在国际单位制中转动惯量单位为千克平⽅⽶，符号为kg·m 2，转动惯量的量纲为ML 2．⼏何形状简单的刚体，其转动惯量可⽤积分法算出，见表5－1．表5－1 质量分布均匀的⼏种刚体的转动惯量a) 细棒(转轴通过中⼼与棒垂直) b) 细棒(转轴过棒的⼀端与棒垂直) 2121ml J = 231ml J =c) 圆柱体(转轴沿⼏何轴) d) 球体(转轴沿球的任⼀直径)221mR J = 252mR J =e) 薄圆筒(转轴沿⼏何轴) f ) 圆筒(转轴沿⼏何轴)2mR J = )(212221R R m J +=例题5－2 求质量为m 、板长为l 的均匀细棒对于通过棒的中点⽽与棒垂直的轴的转动惯量．解在棒上取与轴OO ’距离为x 、长为d x 的⼀⼩段来考虑(图5－7)，这⼀⼩段的质量为d m = λd x ．其中λ为棒的质量线密度．根据转动惯量定义，棒对轴OO ’的转动惯量为32222121d d l x x m x J l l -λλ===?? 棒的质量线密度lm =λ，代⼊上式得 2121ml J = 例题5－3 求质量为m 、半径为r 的匀质圆盘对于通过圆⼼⽽垂直于圆平⾯的轴的转动惯量．解在圆盘上取⼀半径为x ，宽为d x 的圆环来考虑(图5－8)，这圆环的⾯积为2πx d x ，质量为d m = 2πσx d x ，其中σ为圆盘的质量⾯密度．根据转动惯量定义，圆盘对通过圆⼼O ⽽垂直圆平⾯的轴的转动惯量为4032π21d π2d r x x m x J r σσ===?? 圆盘的质量⾯密度2πrm =σ，代⼊上式得 221mr J = 上式对匀质圆柱体对于它的⼏何轴的转动惯量亦适⽤．决定刚体的转动惯量J 的⼤⼩因素有三：①刚体的质量；②刚体质量分布情况；③刚体的转轴的位置．例如质量均匀、⼤⼩相同的铅球和铜球，由于铅球质量较⼤，所以对于位置相同的轴来说，铅球的J 较⼤．⼜如有两个圆柱体，外径相等，质量也相等，但其中⼀个为实⼼，另⼀个为空⼼(质量分布不同)，则对于它们的⼏何轴来说空⼼的圆柱体的J 较⼤．⼜如同⼀根棒对于通过棒的中⼼与棒垂直的轴与对于通过棒的⼀端与棒垂直的轴的J 不相同．例题 5－4 在半径分别为R 1、R 2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各悬挂质量为m 1、m 2的物体，如图5－9所⽰．若滑轮与轴间的摩擦忽略不计，滑轮的转动惯量为J ，求滑轮的⾓加速度α及各绳中张⼒F T1、F T2．解分析各物体的受⼒情况，如图5－9右图，对于滑轮，重⼒和轴的⽀承⼒通过轴⼼，其⼒矩为零．由于是轻绳，应有F T1 = F’T1，F T2 = F ’T2．先假设物体运动⽅向为：m 1的加速度a 1向下，m 2的加速度a 2向上，滑轮沿顺时针⽅向转动．选取物体运动⽅向为坐标轴正向，根据⽜顿第⼆定律和转动定律可得111T 1a m F g m =- 2222T a m g m F =- αJ R F R F =-22T 11T 滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度：αα2211 ,R a R a == 解以上各式得 g R m R m J R m R m 2222112211++-=α g m R m R m J R R m R m J R g m F 1222211212222111T )(???? ?++++=-=α图5－7 图5－8图5－9gm R m R m J R R m R m J R g m F 2222211211211222T )(???? ?++++=+=α讨论：1) 当m 1gR 1 > m 2gR 2 时，物体运动⽅向与原假定⽅向相同．2) 当m 1gR 1 = m 2gR 2 时，α = 0，滑轮作匀速转动或静⽌，运动状态或⽅向由初时刻条件决定．3) 当m 1gR 1 < m 2gR 2时，物体运动⽅向与原假定⽅向相反，即m 1向上，m 2向下，滑轮沿反时针⽅向转动．§5－3 转动动能⼒矩的功⼀、转动动能如图5－10，设刚体绕通过O 点⽽垂直于图平⾯的定轴转动，⾓速度为ω．当刚体转动时，刚体中各质点都绕定轴作圆周运动，因⽽都有动能．刚体的转动动能等于刚体中所有质点的动能之和．设各质点的质量为Δm 1，Δm 2，Δm 3，…，与转轴的距离为r 1，r 2，r 3，…，线速度为v 1 = r 1ω，v 2 = r 2ω，v 3 = r 3ω，…，则刚体的转动动能为22223322222211k Δ21 Δ21Δ21Δ21ωωωω??=+++=∑i i i r m r m r m r m E 但J r m ii i =∑2Δ为刚体的转动惯量，故E k ⼜可写为2k 21ωJ E =（5－10）即刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与⾓速度的平⽅的乘积的⼀半，(5－10)式与平动动能公式2k 21v m E =形式相似，⽽且量纲也相同．⼆、⼒矩的功如图5－11，设绕定轴转动的刚体在外⼒F 作⽤下有⼀⾓位移d θ，⼒F 在垂直于转轴的平⾯上，从转轴到⼒的作⽤点的径⽮为r ，则⼒的作⽤点的位移d r 的⼤⼩为d s = r d θ．根据定义，⼒F 在位移d r 中的功为d W = F · d r = F cos α d s因α与φ互为余⾓，cos α = sin φ，故上式可写为d W = Fr sin φd θ⼜由(5－2)式Fr sin φ = M 为⼒F 对转轴的⼒矩，故⼜可写为图5－10 图5－11d W = M d θ（5－11）这就是⼒矩M 在微⼩⾓位移d θ中的功的公式．当刚体在⼒矩M 作⽤下产⽣⼀有限⾓位移θ时，⼒矩的功等于(5－11)式的积分：=θθ0d M W （5－12）如果⼒矩M 为常量，则θθθθθM M M W ===??00d d （5－13）如果刚体同时受到⼏个⼒作⽤，则(5－11)及(5－12)式中M 应理解为这⼏个⼒的合⼒矩．当外⼒矩对刚体作功时，刚体的转动动能就要变化，下⾯我们来求⼒矩的功与刚体转动动能的变化之间的关系．由转动定律tJ J M d d ωα== 其中M 为作⽤于刚体的合外⼒矩，在d t 时间内刚体的⾓位移为d θ = ωd t ，合外⼒矩的功为ωωωωθd d d d d d J t t J M W =??== 当刚体的⾓速度由ω1变为ω2时，合外⼒矩对刚体所作的功等于上式的积分，即21222121d 21ωωωωωωJ J J W -==? （5－14）上式指出，合外⼒矩对刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量．例题5－5 ⼀长为l 质量为m 的均匀细长杆OA ，绕通过其⼀端点O 的⽔平轴在铅垂⾯内⾃由摆动．已知另⼀端点A 过最低点时的速率为v 0，杆对通过端点O ⽽垂直于杆长的轴的转动惯量231ml J =，若空⽓阻⼒及轴上的摩擦⼒都可以忽略不计，求杆摆动时A 点升⾼的最⼤⾼度h ．解作⽤于杆的⼒有重⼒m g 及轴对杆的⽀承⼒F N ，⽀承⼒F N 通过O 点，其⼒矩为零．重⼒m g 作⽤于杆的质⼼C ，⼒矩为θsin 2l mg ，当杆沿升⾼⽅向有⾓位移d θ时，由于重⼒矩与⾓位移转向相反．其元功为θθd sin 2d l mg W -= 设θm 为杆的最⼤⾓位移，当杆从平衡位置转到最⼤⾓位移θm 位置时，重⼒矩所作的总功为)cos 1(2d sin 2d m 0m θθθθ--=-==??l mg l mg W W 由图5－12看出，h = l (1-cos θm )，代⼊上式得图5－12mgh W 21-= 杆在平衡位置时的⾓速度l00v =ω，在⾓位移最⼤时的⾓速度0m =ω．由于合外⼒矩的功等于转动动能的增量，故得 20220220613121 21021v v m l m l J m gh W -=??-=-=-=ω由此得 gh 320v = §5－4 绕定轴转动的刚体的⾓动量和⾓动量守恒定律当刚体以⾓速度ω绕定轴转动时，刚体中各质点都绕定轴作圆周运动．设质点P i 的质量为Δm i ，与轴的距离为r i ，线速度的⼤⼩为v i ，则质点P i 的动量的⼤⼩为Δm i v i (图5－13)，P i 对转轴的⾓动量为Δm i v i r i ．刚体中所有质点的⾓动量之和称为刚体对转轴的⾓动量，⽤L 表⽰，则ωωωJ r m r m r m L i i i i i i i i i i =??===∑∑∑22ΔΔΔv这样，刚体的转动定律可写为tL t J t JM d d d )d(d d ===ωω即 tJ t L M d )d(d d ω== （5－15）可以证明：(5－15)式不但适⽤于绕定轴转动的刚体，⽽且适⽤于绕定轴转动的任意物体或物体系．所不同的是，对于绕定轴转动的刚体来说，转动惯量J 是不变的，但对于绕定轴转动的任意物体或物体系来说，J 是可以变化的．在特殊情形下，如果作⽤于转动物体的合外⼒矩M = 0，则由(5－15)式，我们有L = J ω = 常量（5－16）即当物体所受的合外⼒矩等于零时，物体的⾓动量J ω保持不变，这⼀结论称为⾓动量守恒定律．⾓动量守恒有两种情形：① J 不变的情形，由(5－16)式得知ω亦不变，地球的⾃转差不多是这种情形；② J 是变化的情形，由(5－16)式得知，当J 减⼩时，ω增⼤；当J 增⼤时，ω减⼩．例如⼀⼈坐在可以绕铅直轴⾃由转动的凳⼦上，⼿中握着两个很重的哑铃．当他两臂伸开时，使凳⼦和⼈⼀起转动起来，假设轴承处的摩擦很⼩可以忽略不计，则凳⼦和⼈没有受到外⼒矩作⽤，其⾓动量J ω保持不变(图5－14a)．当⼈把两臂收缩时，转动惯量J 减⼩，⾓速度ω就增⼤，即是说⽐两臂伸开时要转得快些(图5－14b)．⼜如跳⽔运动员在空中翻筋⽃图5－13时，先把两臂伸直，当他从跳板跳起时使他⾃⼰以某⼀⾓速度绕通过腰部的⼀⽔平轴线转动，在空中时使臂和腿尽量蜷缩起来，以减⼩转动惯量，因⽽⾓速度增⼤，在空中迅速翻转，当他快要接近⽔⾯时，再伸直两臂和腿以增⼤转动惯量，减⼩⾓速度，以便竖直地进⼊⽔中．⾓动量守恒定律，与前⾯介绍过的动量守恒定律和能量守恒定律⼀样，是⾃然界中的普遍规律之⼀，不但适⽤于宏观物体的机械运动，也适⽤于原⼦、原⼦核和基本粒⼦等微观粒⼦的运动．例题5－6 ⼀⽔平放置的圆盘形转台．质量为m ’，半径为R ，可绕通过中⼼的竖直轴转动，摩擦阻⼒可以忽略不计．有⼀质量为m 的⼈站在台上距转轴为2R 处．起初⼈和转台⼀起以⾓速度ω1转动，当这⼈⾛到台边后，求⼈和转台⼀起转动的⾓速度ω2．解以⼈和转台为⼀系统，该系统没有受到外⼒矩作⽤，因此⾓动量守恒：J 1ω1 = J 2ω2 =常量即 22212221421ωω??? ??+'=???? ?+'mR R m R m R m 由此得 12422ωωmm m m +'+'= 思考题5－1 对于定轴转动刚体上的不同点来说，下⾯的物理量中哪些具有相同的值，哪些具有不同的值？线速度、法向加速度、切向加速度、⾓位移、⾓速度、⾓加速度．5－2 飞轮转动时，在任意选取的⾓位移间隔Δθ内，⾓速度的增量Δω相等，此飞轮是在作匀加速转动吗?5－3 作⽤在刚体上的合外⼒为F ，合外⼒矩为M ，举例说明在什么情况下(1) F ≠ 0⽽M = 0；(2) F = 0⽽M ≠ 0；(3) F = 0且M = 0．5－4 当刚体受到若⼲外⼒作⽤时，能否⽤平⾏四边形法先求它们的合⼒，再求合⼒的⼒矩？其结果是否等于各外⼒的⼒矩之和？5－5 在磁带录⾳机中，驱动装置将磁带匀速拉过读写磁头，于是磁带被拉出的⼀端卷带轴上剩余的磁带半径逐渐减⼩，作⽤在该卷带轴上的⼒矩随时间如何变化？该卷带轴的⾓速度随时间如何变化？5－6 如果要设计⼀个存储能量的飞盘，在质量和半径相同的情况下，应该选取质量均匀分布的圆盘形的还是质量集中在边缘的圆环形的呢？当⾓速度相同时，⼆者的转动动能之⽐为多少？图5－145－7 ⼏何形状完全相同的铁圆盘与铝圆盘，哪⼀个绕中⼼对称轴的转动惯量⼤？要使它们由静⽌开始绕轴转动并获得相同的⾓速度，对哪⼀个圆盘外⼒矩要作更多的功？5－8 恒星起源于缓慢旋转的⽓团，在重⼒作⽤下，这些⽓团的体积逐渐减⼩，在恒星尺度收缩的过程中，它的⾓速度如何变化？习题5－1 ⼀个螺丝每厘⽶长度上有20条螺纹，⽤电动螺丝起⼦驱动，在12.8s 内推进了1.37cm ，求螺丝的平均⾓速度．5－2 转盘半径为10.0cm ，以⾓加速度10.0 rad/s 2由静⽌开始转动，当t = 5.00s 时，求(1) 转盘的⾓速度；(2) 转盘边缘的切向加速度和法向加速度．5－3 ⼀个匀质圆盘由静⽌开始以恒定⾓加速度绕过中⼼⽽垂直于盘⾯的定轴转动．在某⼀时刻，转速为10.0 r/s ，再转60转后，转速变为15.0 r/s ，试计算：(1)⾓加速度；(2)由静⽌达到10.0 r/s 所需时间；(3)由静⽌到10.0 r/s 时圆盘所转的圈数．5－4 如图所⽰，半径r 1 = 30.0 cm 的A 轮通过⽪带被半径为r 2 = 75.0 cm 的B 轮带动，B 轮以π rad/s 的匀⾓加速度由静⽌起动，轮与⽪带间⽆滑动发⽣，试求A 轮⾓速度达到3.00×103 r/min 所需要的时间．5－5 在边长为b 的正⽅形的顶点上，分别有质量为m 的四个质点，求此系统绕下列转轴的转动惯量：(1)通过其中⼀质点A ，平⾏于对⾓线BD 的转轴，如图所⽰．(2)通过A 垂直于质点所在平⾯的转轴．5－6 求半径为R ，质量为m 的均匀半圆环相对于图中所⽰轴线的转动惯量．5－7 代换汽车引擎盖密封垫时要求对螺栓的扭矩达到90.0N·m(扭矩过⼤会使密封垫失效)，如果使⽤长度为45.0 cm 的扳⼿，如图所⽰，在垂直于扳⼿⼿柄⽅向⽤多⼤的作⽤⼒可以完成这⼀⼯作？5－8 ⽔井上提⽔的辘轳为圆柱形，半径为0.200m ，质量为5.00kg ，辘轳缠绕的轻绳上悬挂的⽔桶质量为3.00kg ，如图所⽰．辘轳失去控制使⽔桶⽆初速地下落，在2.00s 后达到井下⽔⾯，忽略辘轳轴上的摩擦阻⼒，求(1) ⽔桶下落的加速度；(2) 井⼝到⽔⾯的深度；(3) 辘轳的⾓加速度．题5－4图题5－5图题5－6图题5－7图5－9 圆盘形飞轮直径为1.25m ，质量为80.0kg ，飞轮上附着的滑轮半径为0.230m ，质量可以忽略，电动机通过环绕滑轮的⽪带驱动飞轮顺时针旋转，如图所⽰．当飞轮的⾓加速度为1.67rad/s 2时，上段⽪带中的张⼒为135N ，忽略轴上的摩擦阻⼒，求下段⽪带中的张⼒．5－10 制陶旋盘半径为0.500m ，转动惯量为12.0kg·m 2，以转速50.0r/min 旋转．陶⼯⽤湿抹布沿径向施加70.0N 的⼒按住旋盘的边缘，使之在6.00s 内制动，求旋盘的边缘和湿抹布之间的有效滑动摩擦系数．5－11 ⼀轻绳跨过滑轮悬有质量不等的⼆物体A 、B ，如图所⽰，滑轮半径为20.0 cm ，转动惯量等于50.0 kg·m 2，滑轮与轴间的摩擦⼒矩为98.1N·m ，绳与滑轮间⽆相对滑动，若滑轮的⾓加速度为2.36 rad/s 2，求滑轮两边绳中张⼒之差．5－12 如图所⽰的系统中，m 1 = 50.0 kg ，m 2 = 40.0 kg ，圆盘形滑轮质量m = 16.0 kg ，半径R = 0.100 m ，若斜⾯是光滑的，倾⾓为30°，绳与滑轮间⽆相对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，(1)求绳中张⼒；(2)运动开始时，m 1距地⾯⾼度为1.00 m ，需多少时间m 1到达地⾯？5－13 飞轮质量为60.0 kg ，半径为0.250 m ，当转速为1.00×103 r/min 时，要在5.00 s 内令其制动，求制动⼒F ，设闸⽡与飞轮间摩擦系数µ = 0.400，飞轮的转动惯量可按匀质圆题5－8图题5－9图题5－11图题5－12图题5－13图题5－15图盘计算，闸杆尺⼨如图所⽰．5－14 ⼀个风扇转速为900 r/min ，当马达关闭后，风扇均匀减速，⽌动前它转过了75转，在此过程中制动⼒作的功为44.4 J ，求风扇的转动惯量和摩擦⼒矩．5－15 如图所⽰，质量为24.0 kg 的⿎形轮，可绕⽔平轴转动，⼀绳缠绕于轮上，另⼀端通过质量为5.00 kg 的圆盘形滑轮悬有10.0 kg 的物体，当重物由静⽌开始下降了0.500 m 时，求：(1)物体的速度；(2)绳中张⼒．设绳与滑轮间⽆相对滑动．5－16 蒸汽机的圆盘形飞轮质量为200 kg ，半径为1.00 m ，当飞轮转速为120 r/min 时关闭蒸汽阀门，若飞轮在5.00 min 内停下来，求在此期间飞轮轴上的平均摩擦⼒矩及此⼒矩所作的功．5－17 长为85.0 cm 的均匀细杆，放在倾⾓为45°的光滑斜⾯上，可以绕过上端点的轴在斜⾯上转动，如图所⽰，要使此杆实现绕轴转动⼀周，⾄少应给予它的下端多⼤的初速度？ 5－18 如图所⽰，滑轮转动惯量为0.0100 kg·m 2，半径为7.00 cm ，物体质量为5.00 kg ，由⼀绳与劲度系数k = 200 N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮间⽆相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：(1)当绳拉直弹簧⽆伸长时，使物体由静⽌⽽下落的最⼤距离；(2)物体速度达最⼤值的位置及最⼤速率． 5－19 圆盘形飞轮A 质量为m ，半径为r ，最初以⾓速度ω0转动，与A 共轴的圆盘形飞轮B 质量为4m ，半径为2r ，最初静⽌，如图所⽰，两飞轮啮合后，以同⼀⾓速度ω转动，求ω及啮合过程中机械能的损失． 5－20 ⼀⼈站在⼀匀质圆板状⽔平转台的边缘，转台的轴承处的摩擦可忽略不计，⼈的质量为m ’，转台的质量为10 m ’，半径为R ．最初整个系统是静⽌的，这⼈把⼀质量为m 的⽯⼦⽔平地沿转台的边缘的切线⽅向投出，⽯⼦的速率为v （相对于地⾯）．求⽯⼦投出后转台的⾓速度与⼈的线速度．5－21 ⼀⼈站⽴在转台上，两臂平举，两⼿各握⼀个m = 4.00 kg 的哑铃，哑铃距转台轴r 0 = 0.800 m ，起初，转台以ω0 = 2π rad/s 的⾓速度转动，然后此⼈放下两臂，使哑铃与轴相距r = 0.200 m ，设⼈与转台的转动惯量不变，且J = 5.00 kg·m 2，转台与轴间摩擦忽略不计，求转台⾓速度变为多⼤？整个系统的动能改变了多少？5－22 证明刚体中任意两质点相互作⽤⼒所作之功的和为零．如果绕定轴转动的刚体除受到轴的⽀承⼒外仅受重⼒作⽤，试证明它的机械能守恒．5－23 ⼀块长L = 0.500 m ，质量为m ＝3.00 kg 的均匀薄⽊板竖直悬挂，可绕通过其上端的⽔平轴⽆摩擦地⾃由转动，质量m = 0.100 kg 的球以⽔平速度v 0 = 50.0 m/s 击中⽊板中题5－17图题5－18图题5－19图⼼后⼜以速度v = 10.0 m/s 反弹回去，求⽊板摆动可达到的最⼤⾓度．⽊板对于通过其上端轴的转动惯量为231L m J '= ． 5－24 半径为R 质量为m '的匀质圆盘⽔平放置，可绕通过圆盘中⼼的竖直轴转动．圆盘边缘及R /2处设置了两条圆形轨道，质量都为m 的两个玩具⼩车分别沿⼆轨道反向运⾏，相对于圆盘的线速度值同为v ．若圆盘最初静⽌，求⼆⼩车开始转动后圆盘的⾓速度．5－25 花样滑冰运动员起初伸展⼿臂以转速1.50r/s 旋转，然后他收拢⼿臂紧靠⾝体，使他的转动惯量减少到原来的3/4，求该运动员此时的转速．5－26 旋转⽊马转盘半径为2.00m ，质量为25.0kg ，假设可视为圆盘形刚体，转速为0.200r/ s ，⼀个质量为80.0kg 的⼈站在转盘边缘．当此⼈⾛到距转轴1.00m 处时，求转盘的⾓速度和⼈和转盘组成的系统转动动能的改变量．。
大学物理-刚体定轴转动
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
18
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
第5 刚体的定轴转动 §1 刚体的运动 §2 刚体定轴转动的运动定律
1
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
2
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
24
转动定律 M J
讨论 （1）M 0， ω不变
（2） M
J （3） M J J d
dt
25
三 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
3
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
4
一般运动
= (平动)+(转动)
原则: 随某点(基点)的平动
+ 过该点的定轴转动 基点任选。
大学物理学-刚体的转动定律
ω
v ri
vi
∆mi
v
Ek =
∑
i =1
n
1 1 n 1 2 2 2 2 ∆ m i ri ω = ( ∑ ∆ m i ri )ω = J ω 2 2 2 i =1 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半. 与角速度平方乘积的一半.
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
支架S 支架S
外环 陀螺G 陀螺G 内环
2–6 刚体的定轴转动 6 直升机螺旋桨的设置
尾桨的设置： 尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋 产生一个向下的角动量。 转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向 旋转，在机身尾部安装一个尾桨， 旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。 对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨， 对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立 轴上安装了一对对转螺旋桨， 轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反， 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持 系统的总角动量仍然为零。 系统的总角动量仍然为零。
力矩的功
A=
∫θ
θ2
1
M dθ
力矩的功率 力矩的功率
dA dθ P= =M = Mω dt dt
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动 6
9
3、刚体定轴转动的动能定理 、
大学物理一复习第四章刚体的转动
[A]
期中考题
8、在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度VA =4m /s垂直于OA向右滑动，设在以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直。
O
A
受力分析：
物体从静止下落时满足
m：
h
M：
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度．
书例3 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非
m,l
二、转动定律
三、转动定律应用举例
1. 矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2. 具有瞬时性且M、J、 是对同一轴而言的。
解题方法及应用举例
1.确定研究对象。
2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线量关系)。
熟练掌握
角动量定理
03
角动量守恒定律
04
条件：M=0
05
熟练掌握
06
熟练掌握
07
二、基本定理、定律
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮的角加速度．
解
r
R
β
FT1
FT2
mg
mg
A
B
解得
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求:下滑的加速度 a 。 解：物体系中先以物体 m 研究对象，受力分析, 在斜面 x 方向上
大学物理第5章刚体转动
M r F
M＝Fr sin q
3、力对转轴的力矩
M o roi Fi roi ( Fiz Fi ) roi Fi z roi Fi roi Fi (riz ri ) Fi riz Fi ri Fi
2 2 0
0 t 2 1 q q 0 0t 2 t
v v 2a( x x0 ) 2 02 2 (q q 0 )
四
角量与线量的关系
v ret
d d q 2 dt dt
2
dq dt
a
an r
对刚体转动起作用的只有力对 点的力矩在z轴方向的分量
由力对轴上任一点的力矩：
Fiz
Fi
z
d
Oi
ri
O
q
riz
O
roi
Fi
Miz ri Fi
外力对转轴的力矩
外力对转轴的力矩
Fiz
Miz ri Fi
大小
Fi
z
d
M iz ri Fi sin θ
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π ) 2 q 75π rad 2 2 (π 6)
转过的圈数
75π N 37.5 r 2π 2π
q
6s 时，飞轮的角速度 π 0 t (5π 6)rad s 1 4π rad s 1 6
（质量）、几何形状（质量分布）及转轴的位置 . 转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
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转动定律
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
4 –三2 力转矩动转惯动量定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
J mjrj2 , J r2dm j
➢ 物理意义：转动惯性的量度 .
转动惯性的计算方法
➢ 质量离散分布刚体的转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例1：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m
和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的
转动惯量J。
2m
m
解：由转动惯量的定义
J
2
m iri2
o
b
3b
i 1
m
r2
11
m
r2
M
离相等，
o R dm
M
J R 2dm
0
R 2 0M dm MR 2
绕圆环质心轴的转动惯量为 J MR 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
1. 确定研究对象。
ห้องสมุดไป่ตู้2. 受力分析，并求外力的力矩。
3. 列方程求解(平动物体列牛顿定律方程， 转动刚体列转动定律方程和角量与线
量关系)。
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学
的联系---- ，从而求出 M或 F。
例1：长为 l、质量
为 m 的细杆，初始
F
O
r m
Fn
z
O rj
Fej
m j
Fij
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
Mej Mij mjrj2α
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量 J mjrj2
j
z
O rj
Fej
m j
Fij
2
J r dm
状及转轴的位置 .
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为 JC ，则
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
P
圆盘对P 轴 的转动惯量
JP
1 mR2 2
mR2
R Om
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
四、定轴转动定律解题方法及应用举例
j
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm dS
J 2 l /2 r 2dr 1 l3
0
12
1 ml2
12
如转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例3：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于 圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
解：分割质量元 dm
圆环上各质量元到轴的距
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
2r
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
2r
球壳转轴沿直径
J 2mr 2 3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形
1 gl 2
2
M阻
1 2
mgl
4 二– 2 力转矩动转定动律定律 转动惯量
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sin
M rFt mr 2 M mr2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第四章 刚体的转动
z
M
Ft
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 讨论
第四章 刚体的转动
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
Mzk
r
F
M z rF sin
z
k
Fz
F
O r F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
22
2mb 2 m (3b)2
11mb 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例2 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r 2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
0
2
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
典型的几种刚体的转动惯量
r2 r1
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
J 1 mr 2 2
圆筒转轴沿几何轴
J
1 2
m (r12
r22 )
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
r l
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
r
l 圆柱体转轴通过中 心与几何轴垂直
J mr 2 ml 2 4 12
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
d
rj
ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩
擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力
的力矩M阻。
解：杆上各质元均 受摩擦力作用，但 各质元受的摩擦阻 力矩不同，靠近轴 的质元受阻力矩小， 远离轴的质元受阻 力矩大，
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
细杆的质量密度
m
l
质元质量 dm dx
质元受阻力矩
o
l m
x
dm
dx
x
dM 阻 dmgx
M阻
dM 阻
0l gxdx