大学物理刚体转动

l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
2r
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
2r
球壳转轴沿直径
J 2mr 2 3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形
1. 确定研究对象。
2. 受力分析，并求外力的力矩。
3. 列方程求解(平动物体列牛顿定律方程， 转动刚体列转动定律方程和角量与线
量关系)。
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学
的联系---- ，从而求出 M或 F。
例1：长为 l、质量
为 m 的细杆，初始
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 讨论
第四章 刚体的转动
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
Mzk
r
F
M z rF sin
z
k
Fz
F
O r F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
转动定律
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
4 –三2 力转矩动转惯动量定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
J mjrj2 , J r2dm j
➢ 物理意义：转动惯性的量度 .
转动惯性的计算方法
➢ 质量离散分布刚体的转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r 2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
0
2
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
典型的几种刚体的转动惯量
r2 r1
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例1：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m
和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的
转动惯量J。
2m
m
解：由转动惯量的定义
J
2
m iri2
o
b
3b
i 1
m
r2
11
m
r2
M
离相等，
o R dm
M
J R 2dm
0
R 2 0M dm MR 2
绕圆环质心轴的转动惯量为 J MR 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
J 1 mr 2 2
圆筒转轴沿几何轴
J
1 2
m (r12
r22 )
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
r l
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
r
l 圆柱体转轴通过中 心与几何轴垂直
J mr 2 ml 2 4 12
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
d
rj
ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩
擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力
j
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm dS
J 2 l /2 r 2dr 1 l3
0
12
1 ml2
Leabharlann Baidu
12
如转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例3：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于 圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
解：分割质量元 dm
圆环上各质量元到轴的距
状及转轴的位置 .
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为 JC ，则
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
P
圆盘对P 轴 的转动惯量
JP
1 mR2 2
mR2
R Om
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
四、定轴转动定律解题方法及应用举例
22
2mb 2 m (3b)2
11mb 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例2 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
F
O
r m
Fn
z
O rj
Fej
m j
Fij
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
Mej Mij mjrj2α
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量 J mjrj2
j
z
O rj
Fej
m j
Fij
2
J r dm
1 gl 2
2
M阻
1 2
mgl
4 二– 2 力转矩动转定动律定律 转动惯量
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sin
M rFt mr 2 M mr2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第四章 刚体的转动
z
M
Ft
的力矩M阻。
解：杆上各质元均 受摩擦力作用，但 各质元受的摩擦阻 力矩不同，靠近轴 的质元受阻力矩小， 远离轴的质元受阻 力矩大，
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
细杆的质量密度
m
l
质元质量 dm dx
质元受阻力矩
o
l m
x
dm
dx
x
dM 阻 dmgx
M阻
dM 阻
0l gxdx