类比探究专题训练

（2012一测）21、如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在直线交于点E和F，易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；

（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立说明理由；

（2）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若AB=m,BC=n，

PE的值。

直接写出

PF

（2013一测）22.（本题10分）

（1）问题背景

如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C 作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．

（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）结论：线段BD与CE的数量关系是______________________（请直接写出结论）；

（2）类比探索

在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）中，如果AB ≠AC ，且AB =nAC （0＜n ＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD 与CE 的数量关系．

结论：BD =_____CE （用含n 的代数式表示）．

D

E C

B

A

F

A

B C

E

D

F B

E

C

A

D

图1 图2 图3

（2015一测）22.（本题10分）如图①，正方形AEFG 的边长为1，正方形ABCD 的边长为3，且点F 在AD 上． (1)求

；

(2)把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的；

(3)把正方形AEFG 绕点A 旋

过程中，转一周，在旋转的存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小

值.

G F

E

D C B

A B

C

D

E

F

G

H E

（2017二测）22.（10分）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠C =90°，分别以AC ，BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ．

（1）△ABC 和△DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”）

（2）拓展探究：若∠C ≠90°，（1）中的结论还成立吗若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC 与BD 的和为10，分别以四边形ABCD 的四条边为边向外侧作正方形ABFE 、正方形BCHG 、正方形CDJI ，正方形DALK ，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．

图1 图2 图3

3．（2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）

4．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

10.（2015浙江嘉兴，24，14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

⑴概念理解

如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.

⑵问题探究

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形. 她的猜想正确吗请说明理由.

②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB方向平移得到A B C，连接AA，BC.小红要使平移后的四边形ABC A是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB的长）

⑶应用拓展

如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，2

AC AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.

11.（2015山东临沂，25，11分）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形

ADE和DCF，连接AF，BE

（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变成“两个等腰三角形ADE和

DCF，且EA=ED=FD=FC”,第（1）问中的结论是否仍然成立请作出判断并给予证明；（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗请直接写出你的判断。

20.（2015山东潍坊，23，12分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.

（1）求证：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°<α<360°）得到正方形'''

OE F G，如图2.

①在旋转过程中，当∠'

OAG是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求'

AF长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由.