高三第二次月考数学试卷(附答案)

合集下载

高三第二次月考数学试题(附答案)

高三第二次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=－2, 则a 25= ( ) A －22 B －24 C 60 D 643．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在等比数列{a n }中，a 3=3，S 3=9，则a 1=（）A ．12B ．3C ．－6或12D ．3或125．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==6．已知c b a ,,为非零的平面向量．甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅甲是乙的（） A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件7．已知O 是△ABC 内一点，且满足→OA·→OB ＝→OB·→OC ＝→OC·→OA ，则O 点一定是△ABC 的 A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A ． ]3,0[πB ． ]127,12[ππC ． ]65,3[ππD ． ],65[ππ9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度 10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215．112．19．111．914．911．98．912．1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（）A ．t y 6sin312π+=B ．)6sin(312ππ++=t yC ．t y 12sin312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y11．在四边形ABCD 中，，，，b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=其中b a 、不共线，则四边形ABCD 是 A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形12．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分．把答案填在横线上． 13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α ＝_____________．14．已知00000000(sin 53cos 23,cos 23cos53),(cos53sin 23,sin 23sin 53)a b ==-，(1,)c t =，c ∥()a b +，则t= .15．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A,B,C 三点共线，则k= . 16．若数列)}({+∈N n a n 为等差数列，则数列)(321+∈+⋯+++=N n na a a ab nn也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列且)(0+∈>N n c n ，则有数列d n ＝ (n ∈N ＋)也是等比数列．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）化简f (x )＝cos(6k +13π＋2x )＋cos(6k －13π－2x )＋23sin(π3+2x )(x ∈R ，k ∈Z)，并求函数f (x )的值域和最小正周期．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2005的值．19．(本题满分12分）A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ．若m ＝(－cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且m ·n ＝12．（1）求A ；（2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值．20．（本题满分12分）已知)0)(sin ,(cos ),sin ,(cos πβαββαα<<<==b a．⑴求证：b a b a-+与互相垂直；⑵若b k a b a k-+与大小相等，求αβ-（其中k 为非零实数）．21．（本小题满分12分）正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1． (1) 试求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．22．(本题满分14分)设关于x的函数2=--+的最小值为()y x a x a2cos2cos(21)f a．f a的表达式；⑴写出()⑵试确定能使1f a=的a值，并求出此时函数y的最大值．()2高三第二次月考数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）：二、填空题（每小题4分，共16分）(13) 34- (14) 3 (15) 23- (16) 1234n n C C C C C三、解答题（共74分，按步骤得分）17．解：)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f (x )的值域为[]4,4-，最小正周期πωπ==2T 。

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。

2024届琼海市嘉积中学高三数学上学期第二次月考试卷附答案解析

2024届琼海市嘉积中学高三数学上学期第二次月考试卷2023-11（时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．满足{}{}a M a b c d ⊆⊆，，，的集合M 共有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个2．若2i z =-，则2i z z +=（）A ．2B ．4C ．3D ．53．某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角α的大小为（）A ．π2B ．3π4C ．5π6D ．2π34．三角函数的发展过程中，托勒密做出了杰出的贡献，托勒密的《天文学大成》中有一张弦表，被认为是最早的正弦表．据书中记载，为了度量圆弧与弦长，托勒密采用了巴比伦人的60进位法，把圆周360等分，把圆的半径60等分，即用半径的160作为单位来度量弦长，其中圆心角α所对应的弦长表示为crd α．建立了半径与圆周的度量单位以后，托勒密先着手计算一些特殊角所对应的弦长，比如60︒角所对的弦长正好是正六边形外接圆的半径，则60︒角所对应的弦长为60个单位，即crd6060︒=，由此可知，crd45︒的值为（）A ．B ．CD 5．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，2531,8a S S =--=，则9S =（）A ．36B ．45C ．54D ．636．已知x ，R y ∈且0x ≠，则“x y >”是“21yx x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知1cos cos 2αβ-=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ+的值为（）A ．1372-B ．1372C ．5972-D ．59728．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上的一个动点，若椭圆C 上有且仅有4个点P 满足12PF F △是直角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．22⎛ ⎝⎭C．0,2⎛ ⎝⎦D ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如下图，则下列说法错误的是（）A ．在睡眠指数[)60,80的人群中，早睡人数多于晚睡人数B ．早睡人群睡眠指数主要集中在[)60,80C ．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D ．晚睡人群睡眠指数主要集中在[)60,8010．已知函数1()e 2x f x x=-，则（）A ．()f x 在(0,)+∞是增函数B ．()f x 有极大值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C ．()f x 的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．()f x 没有零点11．若ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，曲线C 的方程为22cos sin 1x y αα+=，则（）A ．当π4α=时，曲线C 表示圆B ．当0α=时，曲线C 表示两条直线C ．当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆D ．当π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线12．如图，在正方体中1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是棱1BB ，1DD 上的动点，且1DN B M =，则下列结论中正确的是（）A ．A ，M ，1C ，N 四点共面B ．AC MN ⊥C ．三棱锥1M CC N -的体积与点M 的位置有关D ．直线AD 与直线MN 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．曲线2x y x =-在点(1,1)-处的切线方程为.14．()62x y -的展开式中33x y 项的系数为．（用数字作答）15．从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A ，“第二次摸球时摸到蓝球”为B ，则()P B A =．16．已知()11,M x y ，()22,N x y 是圆C ：()()22344x y -+-=上的两个不同的点，若MN =，则1122x y x y +++的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{}n a 满足314a =，9426a a =+，11b =且数列{}n b 是公比为2的等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n n c a b =⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0b c A a C ++=.(1)求A ；(2)若内角A 的角平分线交BC 于D 点，且AD =，求ABC 的面积的最小值.19．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，将CBD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PA =(1)求证：平面PBD ⊥平面ABD ；(2)求直线AB 与平面PAD 所成角的正弦值．20．2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32支球队参加，欧洲球队有13支：其中有5支欧洲球队闯入8强.比赛进入淘汰赛阶段后，必须要分出胜负.淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负；比赛结束，若比分相同.则进入30分钟的加时赛.在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负.点球大战分为2个阶段，第一阶段：共5轮，双方每轮各派1名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准，5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利.如果第一阶段的5轮还是平局，则进入第二阶段：在该阶段双方每轮各派1名球员，依次踢点球，如果在一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利.(1)根据题意填写下面的22⨯列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，判断32支决赛圈球队“闯入8强”与“是欧洲球队”是否有关.欧洲球队其他球队合计闯入8强未闯入8强合计(2)甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战.已知甲队球员每轮踢进点球的概率为13，乙队球员每轮踢进点球的概率为23，每轮每队是否进球相互独立，在点球大战中，两队前3轮比分为3:3，试求出甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利的概率.参考公式：()()()()22(),n ad bc n a b c da b c d a c b d χ-==+++++++.()2P χα≥0.10.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.82821．已知函数()2ln f x x=，()()23g x x ax a =-+-∈R ．(1)证明：对于(],4a ∀∈-∞，[)1,x ∞∈+，都有()()f xg x ≥．(2)当4a =时，直线l ：y kx b =+与曲线()y f x =和()y g x =均相切，求直线l 的方程．22．已知直线l ：y kx t =+与双曲线C ：22145x y -=相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线分别与x ，y 轴相交于A ，B 两点．(1)若1t =，且点M ，N 都在双曲线的右支上，求k 的取值范围；(2)若AOB （O 为坐标原点）的面积为812，且0k ≠，求k 的取值范围．1．C【分析】根据子集的关系，一一列举即可.【详解】由题可知集合M 中必含元素a ，且为{},,,a b c d 的子集，可按元素个数分类依次写出集合M 为{}a ，{},a b ，{},a c ，{,}a d ，{,,}a b c ，{,,}a b d ，{,,}a c d ，{},,,a b c d 共8个.故选：C.2．C【分析】由复数的四则运算化简，公式法求复数的模.【详解】由2i z =-，则2i z =+，所以()()2i 22i i 2i 3z z +=-++=，所以2i 3z z +=．故选：C 3．D【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求求解.【详解】由该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，可得221121π22αα⨯-⨯=，解得2π3α=，即扇环的圆心角α的大小为2π3.故选：D.4．B【分析】根据题意，得到45︒角所对应的弦长为正八边形的边长，结合余弦定理，即可求解.【详解】由题意，可得45︒角所对应的弦长为正八边形的边长，设正八边形的外接圆半径为R ，由余弦定理，(2222crd 452cos452R R R R R ︒=+-⋅︒=-，所以crd45︒==．故选：B ．5．B【分析】根据题意求出首项及公差，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】设公差为d ，由2531,8a S S =--=，得15411278a d a a a d +=-⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，所以25n a n =-，所以()199********a a S a +===⨯=.故选：B.6．C【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】因为0x ≠，所以20x >，则“x y >”两边同除以2x 即可得到“21y x x >”，反过来同乘以2x 即可，故“x y >”是“21yx x >”的充要条件．故选：C.7．D【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ-=-+=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=，两式相加得()()1113cos cos sin sin 22cos 249326αβαβαβ-=-+=+=-，()59cos 72αβ∴+=.故选：D.8．B【分析】由数形结合可知，点P 不是直角顶点，则由b c >，确定离心率的取值范围.【详解】当1PF 和2PF 垂直于12F F 时，恰有4个点P 满足12PF F △是直角三角形，由条件可知，点P 不是直角顶点，则以12F F 为直径的圆与椭圆无交点，则b c >，得22222b c a c c >⇔->，解得：2c a <，所以椭圆离心率e的取值范围是⎛ ⎝⎭.故选：B9．BCD【分析】根据统计图表一一判断即可.【详解】由图知，通过比较折线图中[)60,80中两条折线的高低可知，早睡人数多于晚睡人数，故选项A正确；早睡人群睡眠指数主要集中在[)80,90，晚睡人群睡眠指数主要集中在[)50,60，选项B 错误，选项D 错误；由图可看出，早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C 错误．故选：BCD.10．ACD【分析】求导，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，进而判断选项得出答案.【详解】1()e 2x f x =-'，当0x >时，()0f x '>，故A 正确；令()0f x '=，解得ln 2x =-，当ln 2x <-时，()0f x '<；当ln 2x >-时，()0f x '>，故()f x 无极大值点，()f x 有极小值点0ln 2x =-，又12e 2e <<，所以11ln 22-<-<-，故B 错误，C 正确；当ln 2x <-时，()f x 单调递减，当ln 2x >-时，()f x 单调递增，故min 11()(ln 2)ln 2022f x f =-=+>，则()f x 没有零点，故D 正确．故选：ACD.11．AB【分析】根据直线、圆、椭圆、双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，π4α=，22ππcos sin 144x y +=，即22x y +=A 选项正确.B 选项，0α=，22cos 0sin 01x y +=，即21x =，所以1x =±，表示两条直线，B 选项正确.C 选项，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos sin 2αα>>>，111cos sin αα<<<22cos sin 1x y αα+=即22111cos sin x y αα+=，表示焦点在y 轴上的椭圆，C 选项错误.D 选项，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0cos 1,1sin 0αα<<-<<，方程22cos sin 1x y αα+=即22111cos sin x y αα-=-，表示焦点在x 轴上的双曲线，D 选项错误.故选：AB 12．ABD【分析】A 选项，根据正方体的性质得到1AN C M ∥，然后根据基本事实判断即可；B 选项，根据正方体的性质得到AC ⊥平面11BDD B ，然后根据线面垂直的性质得到AC MN ⊥；C 选项，根据三棱锥的体积公式判断；D 选项，根据异面直线所成角的定义得到MNF ∠为直线AD 与直线MN 所成角，然后判断正切值的最大值即可.【详解】在1AA 上取点E ，使11A E B M DN ==，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1111A B C D ∥，1111A B C D =，11A E B M ∥，四边形11A EMB 为平行四边形，所以11A B EM ∥，11A B EM =，则11EM C D ∥，11EM C D =，所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11C M D E ∥，因为1111ABCD A B C D -为正方体，1A E DN =，所以四边形1D NAE 为平行四边形，所以11AN D E C M ∥∥，所以A ，M ，1C ，N 四点共面，故A 正确；连接BD ，AC ，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以AC BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，因为1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，因为MN ⊂平面11BDD B ，所以AC MN ⊥，故B 正确；因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1CC NS V 为定值，点M 到平面1CC N的距离为正方体的棱长，也为定值，所以三棱锥1M CC N -的体积为定值，与点M 的位置无关，故C 错；在1AA 取点F ，使得11D N A F =，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以NF AD ∥，所以MNF ∠或其补角为直线AD 与直线MN 所成角，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以DA ⊥平面11ABB A ，NF ⊥平面11ABB A ，因为FM ⊂平面11ABB A ，所以NF FM ⊥，tan FM MNF NF ∠=，因为FM=，所以tan MNF ∠D 正确.故选：ABD.13．21y x =-+【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；【详解】解：因为2x y x =-，所以()()()22222(2)2x x x x y x x ''----'==--，所以()122|212x y =-'==--，即2x y x =-在点(1,1)-处的切线斜率为2-，故2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故答案为：21y x =-+．14．160-【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出指定项的系数作答.【详解】因为()62x y -的展开式的通项为()66666(1)2,6,NC 2()C rrr r r r r rx r r x y y ---⋅-=-≤∈，所以33x y 项的系数为()333612C 160-⋅=-．故答案为：160-15．23【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.【详解】由题意可得：()()3342,7767P P AB A ==⨯=，所以()()()227337P AB P B A P A ===.故答案为：23.16．[]10,18【分析】1122x y x y +++为()11,M x y 和()22,N x y 到直线0x y +=MN 的中点P 到直线0x y +=距离的倍，利用P 点轨迹，求取值范围.【详解】由题知，圆C 的圆心坐标()3,4C ，半径为2，因为MN =CM CN ⊥．设P 为MN的中点，所以CP =P 的轨迹方程为()()22342x y -+-=．点P 的轨迹是以()3,4C的圆.设点M ，N ，P 到直线0x y +=的距离分别为1d ，2d ，d，所以1d =，2d =122d d d +=，所以)112212x y x y d d +++=+=．因为点C 到直线0x y +=722=，所以22d ≤≤即d ≤≤，所以1018≤≤．所以1122x y x y +++的取值范围为[]10,18．故答案为：[]10,18【点睛】思路点睛：利用1122x y x y +++的几何意义，问题转化为为()11,M x y 和()22,N x y 到直线0x y +=距离之和，再转化为MN 的中点P 到直线0x y +=距离，由P 点轨迹是圆，可求取值范围.17．(1)51n a n =-(2)()6562nn T n =+-⋅【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解得145a d =⎧⎨=⎩，然后写通项即可；（2）根据题意得到()1512n n c n -=-⋅，然后利用错位相减的方法求和即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则()1112148236a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，解得145a d =⎧⎨=⎩，所以()45151n a n n =+-=-.（2）因为数列{}n b 是公比为2的等比数列，所以12n n b -=，()1512n n c n -=-⋅，()0114292512n n T n -=⨯+⨯++-⋅L ，()1224292512nn T n =⨯+⨯++-⋅L ，两式相减得：()()0121425222512n nn T n --=⨯++++--⋅L ()()12214551221n nn --=+⋅--⋅-()45210512n n n =+⋅---⋅()6562nn =---⋅，所以()6562n n T n =+-⋅.18．(1)2π3(2)【分析】（1）根据正弦定理进行边角之间互化，再根据三角恒等变化化简求值；（2）利用三角形面积公式得到)bc b c =+，从而利用基本不等式求得12bc ≥，由此可得ABC 面积的最小值.【详解】（1）由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=,所以()2sin cos sin 0B A A C ++=，即2sin cos sin B A B =-，因为B 是ABC 的内角，所以sin 0B ≠，得2cos 1A =-，所以1cos 2A =-，所以2π3A =.（2）因为2π3BAC ∠=，AD 平分BAC ∠，所以π3BAD CAD ∠=∠=，又AD =则由ABC ABDACD S S S =+ ，得12π1π1πsin sin sin 232323bc =+，所以)bc b c =+，又)bc b c =+≥≥12bc ≥，当且仅当b c ==时，等号成立，所以12πsin 122344ABC S bc bc ==⨯= ，故ABC S 最小值为.19．(1)证明见解析(2)5【分析】（1）取BD 中点O ，根据二面角的定义或通过证明OP ⊥平面ABD 来证得平面PBD ⊥平面ABD ．（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AB 与平面PAD 所成角的正弦值．【详解】（1）如图，取BD 中点O ，连接OA ，OP ．因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，所以ABD △、PBD △是边长为2的正三角形，因为O 是BD 中点，所以OA BD OP BD ⊥⊥，，因为12,12PD OD BD ===，所以OP ==OA =PA =所以222+=OP OA PA ，则OP OA ⊥，由二面角定义可得平面PBD ⊥平面ABD ．或：又因为OP BD ⊥，,OA BD ⊂平面ABD ，,,OA BD O OA BD ⋂=⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，因为OP PBD ⊂，所以平面PBD ⊥平面ABD ．（2）以{,,}OA OB OP为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),O A B D P -，((AB AP DP === ，设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由n AP n DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得(,,)(0(,,)0n AP x y z n DP x y z y ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅==⎪⎩ ，令1x =得1y z ==，则(1,n =r ，设直线AB 与平面PAD 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=〈〉=== ．所以直线AB 与平面PAD所成角的正弦值为5．20．(1)列联表见解析，认为“闯入8强”与“是欧洲球队”无关(2)8243【分析】（1）根据题意填写列联表，然后计算2χ根据临界值表判断即可；（2）分别求出双方进入第二阶段和第二阶段第一轮甲队进球乙队未进球的概率，然后求甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利的概率即可.【详解】（1）下面为22⨯列联表：欧洲球队其他球队合计进入8强538未进入8强81624合计131932零假设0:32H 支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关，()()()()222()32(51638)56284 6.63582413193919n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯⨯===<<++++⨯⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为“闯入8强”与“是欧洲球队”无关.（2）记“双方进入第二阶段比赛”为事件A ，“第二阶段第一轮甲队进球乙队未进球”为事件B ，则“甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利”为事件AB ，有()()()P AB P A P B =⋅，要进入第二阶段比赛，即第一阶段五轮为平局，比分可能为3:3,4:4,5:5，则()222211222112211283333333327P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C ，()111339P B =⨯=，故()()()8243P AB P A P B =⋅=.21．(1)证明见解析(2)22y x =-【分析】（1）由()()f x g x ≥得22ln 30x x ax +-+≥，根据(],4a ∈-∞转化为证明22ln 430x x x +-+≥，构造函数()()22ln 431F x x x x x =+-+≥后利用导函数证不等式.（2）先设()y f x =的切线方程为1122ln 2y x x x =+-，结合其和()y g x =也相切，联立后根据二次方程有唯一解可得21111142ln 30x x x +-+=，利用()F x 的性质，求出1x 即可.【详解】（1）因为()()f x g x ≥，所以22ln 3x x ax ≥-+-，即22ln 30x x ax +-+≥．当(],4a ∞∈-时,222ln 32ln 43x x ax x x x +-+≥+-+，欲证(],4a ∀∈-∞，()()f x g x ≥，只需证22ln 430x x x +-+≥在[)1,x ∞∈+上恒成立．令()()22ln 431F x x x x x =+-+≥，()224F x x x '=+-，当1x ≥时22440x x +-≥-=，当且仅当22x x =即1x =时等号成立，故()2240F x x x '=+-≥，所以函数()F x 在区间()1,+∞上单调递增，所以()()10F x F ≥=，所以()()f x g x ≥．综上所述，对于(],4a ∀∈-∞，[)1,x ∞∈+，都有()()f x g x ≥．（2）当4a =时，()243g x x x =-+-，设直线l 与曲线()y f x =的切点为()11,2ln x x ，因为()2f x x '=，所以曲线()y f x =在点()11,2ln x x 的切线方程为1122ln 2y x x x =+-，联立方程11222ln 243y x x x y x x ⎧=+-⎪⎨⎪=-+-⎩，得211242ln 10x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，由Δ0=，得()2112442ln 10x x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即21111142ln 30x x x +-+=．由（1）知，函数()F x 在()0,∞+上单调递增，且()212ln114130F =+-⨯+=，所以方程21111142ln30x x x +-+=有且只有一个实根，所以111x =，即11x =，代入1122ln 2y x x x =+-得22y x =-，所以直线l 的方程为22y x =-．22．(1)⎛ ⎝⎭(2)55,,44⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）通过联立方程组，利用判别式结合双曲线渐近线的位置，求k 的取值范围；（2）设点设直线方程，利用韦达定理表示出线段MN 的垂直平分线方程，得到A ，B 两点坐标，由AOB 的面积结合判别式求k 的取值范围.【详解】（1）双曲线C ：22145x y -=渐近线方程为y x =，当1t =时，直线l 的方程为1y kx =+，由221145y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2255482402k x kx k ⎛⎫---=≠± ⎪ ⎪⎝⎭，由()22Δ6496540k k =+->，解得22k -<<，因为点M ，N 都在右支上，所以6522k <<．所以k的取值范围为22⎛ ⎝⎭．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，把y kx t =+代入22145x y -=并整理得()22254842002k x ktx t k ⎛⎫----=≠± ⎪ ⎪⎝⎭，由()()()222Δ84544200kt k t =-+-+>，得22540t k +->，设线段MN 的中点为()00,x y ，则12024254x x kt x k +==-，002554t y kx t k =+=-，所以线段MN 的垂直平分线的方程为225145454t kt y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，所以A 点的坐标为29,054kt k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B 点的坐标为290,54t k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，因为AOB 的面积为812，所以2219981254542kt t kk ⋅=--，整理得()22254k t k-=，所以()22254540k k k -+->，所以()()2245450k k k --->，解得02k <<或54k >，所以k的取值范围为55,,44⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

山西省吕梁市孝义市2024年高三第二次(4月)月考数学试题试卷

山西省吕梁市孝义市2024年高三第二次（4月）月考数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-2．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 3．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（） A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i -4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．845．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．727．已知复数552iz i i=+-，则||z =（） A ．5B ．52C ．32D ．258．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A ．B ．C ．D ．9．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（） A ．12B ．45C ．38D ．3410．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（） A ．4B ．8C ．16D ．211．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（） A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,112．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2023-2024学年高三下学期数学2月调研考试试卷(含答案)

湖北省武汉市2023-2024学年高三下学期数学2月调研考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024高三下·武月考）已知集合A ={x|2x 2+x −1<0}，B ={y|y =lg(x 2+1)}，则A ∩B =（） A ．(−1，0]B ．[0，12)C ．(−12，0]D ．[0，1)2．（2024高三下·武汉月考）复数z 满足2z +3z̅=5−2i ，则|z|=（）A ．√3B ．2C ．√5D ．√63．（2024高三下·武汉月考）已知ab ≠1，log a m =2，log b m =3，则log ab m =（）A ．16B ．15C ．56D ．654．（2024高三下·武汉月考）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（） A ．7B ．8C ．9D ．105．（2024高三下·武汉月考）设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则|PQ|=（） A ．23B ．√33C ．34D ．√326．（2024高三下·武汉月考）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为P 0，记P k 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率T k =P k P k−1=12k ，其中k =1，2，3…n ，为使得P n P 0≥2−2024，则n 的最大值为（）A ．31B ．32C ．63D ．647．（2024高三下·武汉月考）如图，在函数f(x)=sin(ωx +φ)的部分图象中，若TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的纵坐标为（）A ．2−√22B ．√3−12C ．√3−√2D ．2−√38．（2024高三下·武汉月考）在三棱锥P −ABC 中，AB =2√2，PC =1，PA +PB =4，CA −CB =2，且PC ⊥AB ，则二面角P −AB −C 的余弦值的最小值为（） A ．√23B ．34C ．12D ．√105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9．（2024高三下·武汉月考）已知向量a⃗=(cosθ，sinθ)，b⃗=(−3，4)，则（）A．若a⃗//b⃗，则tanθ=−43B．若a⃗⊥b⃗，则sinθ=35C．|a−b⃗|的最大值为6D．若a⃗⋅(a⃗−b⃗)=0，则|a−b⃗|=2√610．（2024高三下·武汉月考）将两个各棱长均为1的正三棱锥D−ABC和E−ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A．该几何体的表面积为3√32B．该几何体的体积为√36C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D．直线AD//平面BCE11．（2024高三下·武汉月考）已知函数f(x)=a(e x+1)ln(1+x1−x)−e x+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x1，x2，x3，则（）A．实数a的取值范围是(0，1e)B．x1+x2+x3=0C．函数g(x)=f(x)+kf(−x)可能有四个零点D．f′(x3)f′(x1)=e x3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024高三下·武汉月考）在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=3π4，b=6，a2+c2=2√2ac，则△ABC的面积为．13．（2024高三下·武汉月考）设椭圆x29+y25=1的左右焦点为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|=．14．（2024高三下·武汉月考）“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．各项均不为0的数列{a n}对任意正整数n满足：1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1=1−12a n+1．（1）若{a n}为等差数列，求a1；（2）若a1=−27，求{a n}的前n项和S n．16．（2024高三下·武汉月考）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=PB，DA= DB=√2，AB=2，PD=1，点E，F分别为AB和PB的中点．（1）证明：CF⊥PE；（2）若PE=1，求直线CF与平面PBD所成角的正弦值．17．（2024高三下·武汉月考）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：附：经验回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b̂=∑(x i −x ̅)n i=1(y i−y ̅)∑(x i −x̅)2n i=1=∑x i ni=1y i −nx̅y ̅∑x i 2n i=1−nx ̅2，a ̂=y̅−b ̂x ̅，样本相关系数r =i ̅ni=1i ̅√∑(x i −x̅)2i=1√∑(y i −y̅)2i=1=i ni=1i ̅̅√∑x i 2i=1−nx̅2√∑y i 2i=1−ny̅2；参考数据：∑x i 6i=1y i =2463.4，√∑(y i −y ̅)26i=1=20√70．（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．18．（2024高三下·武汉月考）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的左右焦点为F 1，F 2，其右准线为l ，点F 2到直线l 的距离为32，过点F 2的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=6．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线AF 1与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．19．（2024高三下·武汉月考）已知函数f(x)=e x −1x．（1）求曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）证明：f(x)是其定义域上的增函数；（3）若f(x)>a x ，其中a >0且a ≠1，求实数a 的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由2x 2+x −1<0，解得−1<x <12，则集合A ={x|−1<x <12}，因为x 2+1≥1，所以lg(x 2+1)≥0，则集合B ={y|y =lg(x 2+1)}={y|y ≥0}，所以A ∩B =[0,12).故答案为：B.【分析】解一元二次不等式求得集合A ；求对数函数的值域得集合B ，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：设复数z =x +yi,x,y ∈R ，则2z +3z̅=2(x +yi)+3(x −yi)=5x −yi =5−2i ，所以5x =5,−y =−2，解得x =1,y =2，所以|z|=√12+22=√5. 故答案为：C.【分析】设复数z ，根据已知条件结合复数相等求得x,y ，再根据复数模长公式计算即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：由换底公式可得：log m a =1log a m =12，log m b =1log b m =13，所以log ab m =1log m ab =1log m a+log mb =65.故答案为：D.【分析】根据对数的换底公式以及对数的运算性质求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：先将3个红球分成3组，则有0，1，2和1，1，1两种分组形式；当红球分组形式为0，1，2时，将红球放入三个不同的袋中有A 33=3×2×1=6放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可；当红球分组形式为1，1，1时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可，综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为6+1=7种. 故答案为：A.【分析】先将红球分组，再分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示：M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且|PF|=|PQ|，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM//PQ ，所以∠QFM =30∘，因为tan30∘=|QM||MF|=|QM|1=|QM|=√33，所以|QF|=2√33，所以|PF|=|PQ|=|QF|21cos30∘=√33√32=23. 故答案为：A.【分析】由题意得∠QFM =30∘，结合正切定义以及|FM|=1可得|QF|，求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意P n P n−1=12n ,P n−1P n−2=12n−1,⋯,P 1P 0=12，所以P n P 0=12n ×12n−1×⋯×12=12n(n+1)2≥2−2024，所以n(n+1)2≤2024，即n(n +1)≤4048，易知f(n)=n(n +1)关于n 单调递增，其中n ∈N ∗，又因为f(63)=4032<4048<f(64)=4160，所以n 的最大值为63. 故答案为：C.【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得P n P 0=12n(n+1)2≥2−2024，进一步得 n(n +1)≤4048，再结合数列单调性求解即可. 7．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知ωx T +φ=3π2，则x T =3π2ω−φω，则T(3π2ω−φω,0)，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，因为TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x 2+3π2ω−φω2=x 1y 22=y 1，解得{x 2=2x 1−3π2ω+φωy 2=2y 1，所以2y 1=y 2=f(x 2)=f(2x 1−3π2ω+φω)=sin(2ωx 1−3π2+2φ) =cos(2ωx 1+2φ)=1−2sin 2(ωx 1+φ)=1−2y 12，所以2y 12+2y 1−1=0，又因为y 1>0，所以y 1=√3−12.故答案为：B.【分析】由题意求得得T(3π2ω−φω,0)，进一步得由TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{x 2=2x 1−3π2ω+φωy 2=2y 1，代入函数表达式结合诱导公式、余弦的二倍角公式求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：因为PA +PB =4=2a ，所以a =2，点P 的轨迹方程为x 24+y 22=1（椭球），又因为CA −CB =2，所以点C 的轨迹方程为x 2−y 2=1，（双曲线的一支）过点P 作PH ⊥AB,AB ⊥PC ，而PH ∩PC =P,PF,PC ⊂面PHC ，所以AB ⊥面PHC ，设O 为AB 中点，则二面角P −AB −C 为∠PHC ，所以设OH =2cosθ，θ∈(0,π2]，PH =√2sinθ，CH =√4cos 2θ−1，所以cos∠PHC =2sin 2θ+4cos 2θ−1−12√2sinθ√4cos θ−1=2cos 2θ2√2sinθ√4cos θ−1=√22⋅1−sin 2θsinθ√3−4sin θ，所以cos 2∠PHC =12⋅(1−sin 2θ)2sin 2θ(3−4sin 2θ)，令1−sin 2θ=t,0<t <1，所以cos 2∠PHC =12⋅(1−sin 2θ)2sin 2θ(3−4sin 2θ)=12⋅t 2(1−t)(4t−1)≥12⋅t 2(1−t+4t−12)2=29，当且仅当t =25=1−sin 2θ等号成立，所以当且仅当sinθ=√155,cosθ=√105时，(cos∠PHC)min =√23. 故答案为：A.【分析】根据已知条件求得点P,C 的轨迹方程，进一步作二面角P −AB −C 的平面角∠PHC ，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式求解即可.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A 、若a ⃗ //b ⃗ ，则4cosθ=−3sinθ，解得tanθ=−43，故A 正确； B 、若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则−3cosθ+4sinθ=0，解得tanθ=34，所以sinθ=±35，故B 错误； C 、因为|a |=√cos 2θ+sin 2θ=1，|b ⃗ |=√(−3)2+42=5，而|a −b ⃗ |≤|a |+|b⃗ |=6，当且仅当a ⃗，b ⃗ 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量a ⃗ ，b ⃗ 的起点为坐标原点，向量a⃗ 的终点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上，向量b ⃗ =(−3,4)终点在第二象限，当a⃗ ，b ⃗ 反向，则向量a ⃗ =(cosθ,sinθ)的终点应在第四象限，此时cosθ=35，sinθ=−45，故C 正确； D 、若a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=0，则cosθ(cosθ+3)+sinθ(sinθ−4)=0，即cos 2θ+3cosθ+sin 2θ−4sinθ=0，所以4sinθ−3cosθ=1，|a −b ⃗ |=√(cosθ+3)2+(sinθ−4)2=√6cosθ−8sinθ+26，所以|a −b ⃗ |=√24=2√6，故D 正确. 故答案为：ACD.【分析】根据a ⃗ //b ⃗ ，有4cosθ=−3sinθ，即可判断A ；根据a ⃗ ⊥b ⃗ ，得−3cosθ+4sinθ=0，即可判断B ；根据向量减法三角形法则有|a −b ⃗ |≤|a |+|b ⃗ |=6，分别求出|a |，|b ⃗ |，有a ⃗ ，b ⃗ 反向时|a −b ⃗ |取得最大值，根据向量的几何意义即可判断C ；根据a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=0，得4sinθ−3cosθ=1，又|a −b ⃗ |=√6cosθ−8sinθ+26，可计算|a −b⃗ |，即可判断D. 10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A 、S △ABD =12×1×1×√32=√34，所以表面积为6×√34=3√32，故A 正确；B 、如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以AO =23AM =23×1×√32=√33，又因为AD =1，所以正三棱锥D −ABC 的高为DO =√AD 2−AO 2=√1−13=√63，所以几何体的体积为V =2V D−ABC =2×13×√63×√34=√26，故B 错误；C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知D,O,E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ABC ，故C 正确；D 、建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC ，因为AO =√33,OM =√32−√33=√36，所以B(12,√36,0),C(−12,√36,0),E(0,0,−√63),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√36,−√63)，设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，所以{−x =0−12x −√36y −√63z =0，不妨取z =1，解得y =−2√2,x =0，所以取n ⃗ =(0,−2√2,1)，又A(0,−√33,0),D(0,0,√63),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√33,√63)，而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2√63+√63=−√63≠0，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错误.故答案为：AC.【分析】求其中一个正三角形的面积，即可求得几何体的表面积，判断A ；先求得V D−ABC ，进一步即可验算即可判断B ；证明面ADE ⊥面ABC 即可判断C ；建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可判断D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A 、aln(1+x 1−x)=−1−e x e x +1，设p(x)=aln(1+x 1−x ),m(x)=−1−e x e x +1，则p ′(x)=2a 1−x 2,m ′(x)=2e x (e x +1)2，所以p ′(0)=2a,m ′(0)=12，从而0<2a <12,0<a <14，故A 错误； B 、f(x)=0⇔aln(1+x 1−x)+1−e x e x +1=0，设ℎ(x)=aln(1+x 1−x)+1−e xe x +1，则它的定义域为(−1,1)，它关于原点对称，且ℎ(−x)=aln(1−x 1+x )+1−e −x e −x +1=−(aln(1+x 1−x )+1−e xe x +1)=−ℎ(x)，所以ℎ(x)是奇函数，由题意ℎ(x)=0有三个根x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3=0，故B 正确；C 、由f(x)+kf(−x)=0⇒a(e x +1)ln(1+x 1−x )−e x +1+[a(e −x +1)ln(1−x 1+x)−e −x +1]=0，所以aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1+k[a ln(1+x1−x )e x −1−e x e x (1+e x )]=0，所以aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1=k e x [aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1]，即[aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1](1−k e x)=0已经有3个实根x 1,x 2,x 3，当k >0时，令1−ke x =0，则x =lnk ，只需保证lnk ≠x 1,x 2,x 3可使得方程有4个实根，故C 正确；D 、由B 可知，x 1=−x 3，而f ′(x 3)f ′(x 1)=e x 3⇔f ′(x 3)=e x 3f ′(−x 3)，又f ′(x)=ae x ln 1+x 1−x +a(e x +1)21−x 2−e x ,e x 3f ′(−x 3)=aln 1−x 31+x 3+a(e x 3+1)21−x 32−1，所以f ′(x 3)=ae x 3ln 1+x 31−x 3+a(e x 3+1)21−x 32−e x 3 =aln1−x 31+x 3+a(e x 3+1)21−x 32−1+ae x 3ln 1+x 31−x 3−aln 1−x 31+x 3−e x 3+1=e x 3f ′(−x 3)+a(e x 3+1)ln 1+x31−x 3−e x 3+1=e x 3f ′(−x 3)，故D 正确；故答案为：BCD.【分析】通过构造函数可得0<p ′(0)=2a <m ′(0)=12，由此即可判断A ；f(x)=0⇔ℎ(x)=0，证明函数ℎ(x)=aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1是奇函数即可判断B ；将方程等价变形为[aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1](1−k e x)=0，由此即可判断C ；由x 1=−x 3，而f ′(x 3)f ′(x 1)=e x 3⇔f ′(x 3)=e x 3f ′(−x 3)，进一步求导运算即可判断D.12．【答案】3【解析】【解答】解：在△ABC 中，B =3π4，b =6，a 2+c 2=2√2ac ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB =2√2ac −2accos 3π4=3√2ac ，解得ac =6√2，所以S △ABC =12acsinB =12×6√2×√22=3. 故答案为：3.【分析】根据B =3π4，b =6，a 2+c 2=2√2ac ，利用余弦定理求得ac =6√2，再由三角形面积公式求解即可.13．【答案】107【解析】【解答】解：设线段AF 2的中垂线与AF 2相交于点M ，易知a =3，b =√5，c =2；由已知可得|AF 1|=|F 1F 2|=2c =4，点A 在椭圆上，由椭圆定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a =6，所以|AF 2|=2，|AM|=|MF 2|=1，在Rt △F 1F 2M 中，cos∠F 1F 2M =|F 2M||F 1F 2|=14，∠F 1F 2M +∠F 1F 2B =π， cos∠F 1F 2B =−14，点B 在椭圆上，根据椭圆定义有：|BF 1|+|BF 2|=2a =6，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=6−m ，|F 1F 2|=4，在△F 1F 2B 中由余弦定理有：cos∠F 1F 2B =|F 1F 2|2+|BF 2|2−|BF 1|22|F 1F 2|⋅|BF 2|=16+m 2−(6−m)28m =−14，解得m =107，即|BF 2|=107. 故答案为：107. 【分析】由椭圆方程确定a ，b ，c 的值，结合已知条件及椭圆定义求出|AF 2|=2，在Rt △F 1F 2M 中，求出cos∠F 1F 2M =|F 2M||F 1F 2|=14，再由诱导公式求出cos∠F 1F 2B =−14，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=6−m ，在△F 1F 2B 中由余弦定理构造方程16+m 2−(6−m)28m =−14，解出m 值即可. 14．【答案】1013【解析】【解答】解：设从i 出发最终从1号口出的概率为P i ，所以{P 1=23+13P 2P 2=13P 1+0+13P 3=13P 1+16P 2P 3=12P 2，解得P 1=1013. 故答案为：1013. 【分析】定义从i 出发最终从1号口出的概率为P i ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.15．【答案】（1）解：由题意1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1=1−12a n+1，当n ≥2，n ∈N ∗时，1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n−1a n=1−12a n ，两式相减得1a n a n+1=12a n −12a n+1⇒a n+1−a n =2，n ≥2，因为{a n }为等差数列，在式子：1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n−1a n=1−12a n 中令n =1，得1a 1a 2=1−12a 2，所以a 2=1a 1+12，所以a 2−a 1=1a 1+12−a 1=2⇒a 1=−2或a 1=12，若a 1=−2，则a 2=0，但这与a n ≠0矛盾，舍去，所以a 1=12. （2）解：因为a 1=−27，所以a 2=−72+12=−3，而当n ≥2，n ∈N ∗时，a n+1−a n =2，所以此时a n =−3+2(n −2)=2n −7，所以此时S n =−27+(n−1)(−3+2n−7)2=n 2−6n +337，而n =1也满足上式，综上所述，{a n }的前n 项和S n =n 2−6n +337. 【解析】【分析】（1）由递推关系求得1a n a n+1=12a n −12a n+1⇒a n+1−a n =2,n ≥2，结合已知数列{a n }为等差数列，再令n =1，求解即可；（2）先求a 2，由n ≥2，n ∈N ∗时，a n+1−a n =2，推出{a n }的通项，再根据等差数列的求和公式计算即可.16．【答案】（1）证明：取PE 的中点G ，连接DG ，FG ，由DA =DB =√2，AB =2，易知△DAB 为等腰直角三角形，此时DE =1，又PD =1，所以PE ⊥DG .因为PA =PB ，所以PE ⊥AB ，由FG//EB ，即FG//AB ，所以PE ⊥FG ，此时，CD//AB//FG ，有C ，D ，G ，F 四点共面，FG ∩DG =G ，所以PE ⊥平面CDGF ，又CF ⊂平面CDGF ，所以CF ⊥PE .（2）解：由AB ⊥PE ，AB ⊥DE ，且PE ∩DE =E ，所以AB ⊥平面PDE .由PE =DE =PD =1，得△PDE 为等边三角形，以E 为原点，EB ，ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0，12，√32)，D(0，1，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，F(12，14，√34)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−12，√32)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−1，0)，设平面PBD 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z) 由{n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12y +√32z =0x −y =0，取z =1，n ⃗ =(√3，√3，1)，又FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32，34，−√34)，设直线CF 与平面PBD 所成角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃗ ，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n ⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |⋅|FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√37⋅3=2√77，所以直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值为2√77. 【解析】【分析】（1）取PE 的中点G ，连接DG ，FG ，通过证明PE ⊥平面CDGF ，再由线面垂直的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式求解即可.17．【答案】（1）解：x ̅=1+2+3+4+5+66=72，y ̅=15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.46=85.4， ∑x i 26i=1−6x ̅2=1+4+9+16+25+36−6×494=17.5，所以r =∑x 6i=1y −6x ̅y ̅√∑x i 2i=1−6x ̅2√∑y i 2i=1−6y ̅2=2463.4−6×72×85.417.5×2070=67020×35≈0.96. （2）解：由题意b ̂=∑x i 6i=1y i−6x ̅y ̅∑x i 26i=1−6x ̅2=2463.4−6×72×85.417.5≈38.3，所以a ̂=85.4−72×38.3=−48.7，所以y 关于x 的经验回归方程为y =38.3x −48.7，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为y =38.3×7−48.7=219.4万元.【解析】【分析】（1）由题意根据参考公式先分别算得x ̅,y ̅以及∑x i 26i=1−6x̅2，再代入相关系数公式求解即可；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得b ̂,a ̂，由此即可得经验回归方程并预测.18．【答案】（1）解：由题意{ c −a 2c =b 2c =322b 2a =6a 2+b 2=c 2⇒{a =1b =√3，所以双曲线E 的标准方程为x 2−y 23=1. （2）证明：由题意l ：x =12，设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 1(−2，0)，{x =my +23x 2−y 2=3,⇒(3m 2−1)y 2+12my +9=0，所以Δ=144m 2−36(3m 2−1)=36(m 2+1)>0，y 1y 2=93m 2−1，y 1+y 2=−12m 3m 2−1，直线AF 1的方程为：y =y 1x 1+2(x +2)，∴P(12，5y 12(x 1+2))，所以PB 的方程为y =y 2−5y 12(x 2+2)x 2−12(x −x 2)+y 2，由对称性可知PB 过的定点一定在x 轴上，令y =0⇒x =−y 2(x 2−12)y 2−5y 12(x 1+2)+x 2=−2y 2(x 1+2)(x 2−12)2x 1y 2+4y 2−5y 1+my 2+2 =−2y 2(my 1+4)(my 2+32)2(my 1+2)y 2+4y 2−5y 1+my 2+2 =−2y 2(m 2y 1y 2+32my 1+4my 2+6)+2m 2y 1y 22+8my 22−5my 1y 22my 1y 2+8y 2−5y 1+2 =−8my 1y 2−12y 22my 1y 2+8y 2−5y 1+2，又{y 1y 2=93m 2−1y 1+y 2=−12m 3m 2−1⇒my 1y 2=−34(y 1+y 2)，所以x =6(y 1+y 2)−12y 2−32(y 1+y 2)+8y 2−5y 1+2=6y 1−6y 2132y 2−132y 1+2=1413，所以直线PB 过定点(1413，0). 【解析】【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合a,b,c 之间的平方关系求解即可；（2）设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F 1(−2,0)，联立双曲线方程消元整理由韦达定理得my 1y 2=−34(y 1+y 2)，用m 以及A,B 的坐标表示出点P 以及PB 的方程，根据对称性可知，只需在PB 的直线方程中，令y =0，证明相应的x 为定值即可.19．【答案】（1）解：由题意f(1)=e −1，即切点为(1，e −1)，f ′(x)=xe x −e x +1x 2，k =f ′(1)=1，所以曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y =x −1+e −1，即y =x +e −2；（2）证明：由f ′(x)=(x−1)e x +1x 2，设g(x)=(x −1)e x +1，则g ′(x)=xe x ，所以当x <0时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，当x >0时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，又g(0)=0，所以对于任意的x ≠0有g(x)>0，即f ′(x)>0，因此f(x)在(−∞，0)单调递增，在(0，+∞)单调递增，即ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −1，所以x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x −1>x ，即e x −1x<1， x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x −1>x ，即e x −1x>1，所以f(x)是其定义域上的增函数.（3）解：由（2）可知，x <0时，f(x)<1，所以a x <1，故a >1，令a =e k ，k >0，F(x)=e (1−k)x −e −kx −x ，由题意x <0时，F(x)<0，x >0时，F(x)>0，若k ≥1，则当x >1时，F(x)=e (1−k)x −e −kx −x ≤1−e −kx −x <0，不满足条件，所以0<k <1，而F ′(x)=(1−k)e (1−k)x +ke −kx −1，令G(x)=F ′(x)，则G ′(x)=(1−k)2e (1−k)x −k 2e −kx =e −kx [(1−k)2e x −k 2]，令G ′(x)=0，得x =2ln k 1−k， F ′(x)在(−∞，2ln k 1−k )单调递减，在(2ln k 1−k ，+∞)单调递增，若2ln k 1−k <0，则当2ln k 1−k<x <0时，F ′(x)<F ′(0)=0，F(x)单调递减，此时F(x)>F(0)=0，不满足题意；若2ln k1−k >0，则当0<x<2lnk1−k时，F′(x)<F′(0)=0，F(x)单调递减，此时F(x)<F(0)=0，不满足题意；若2ln k1−k=0，则当x<0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)<F(0)=0，且当x>0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)>F(0)=0，满足题意，所以2ln k1−k =0，解得k=12，综上所述，a=√e.【解析】【分析】（1）由题意f(1)=e−1求得切点坐标，再求出切点处的导数值得切线斜率，即可求得切线方程；（2）对f(x)求导后，令g(x)=(x−1)e x+1，对g(x)继续求导发现，对于任意的x≠0有f′(x)>0，故只需要证明x<0时，e x−1x<1，x>0时，ex−1x>1即可；（3）由（2）得a>1，进一步令a=e k,k>0，F(x)=e(1−k)x−e−kx−x，结合题意知x<0时，F(x)<0，x>0时，F(x)>0，对k分类讨论即可求解.。

数学丨天津市实验中学205届高三10月第二次月考数学试卷及答案

2025届⾼三年级第⼆次质量调查数学学科试卷命题⼈：⾼三数学备课组审核⼈：⾼三数学备课组⼀、单选题：本题共9⼩题，每⼩题5分，共45分。

在每⼩题给出的选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1.设集合，，则()A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.设点不共线，则“与的夹⻆是锐⻆”是“”的()A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数的部分图象⼤致是()A. B. C. D.5.若，则的⼤⼩关系是()A.B.C.D.6.已知，，则()A. B. C. D.7.设等差数列满⾜，且，为其前n项和，则数列的最⼤项为()A. B. C. D.8.已知数列的前项和为，⾸项，且满⾜，则的值为）A. B. C. D.9．已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．⼆、填空题：本题共6⼩题，每⼩题5分，共30分。

10.复数满⾜，则________.11.在的展开式中，的系数是______．12.函数（其中，，）的图象如图所示，则在点处的切线⽅程为．13.设⽀枪中有⽀未经试射校正，⽀已校正．⼀射⼿⽤校正过的枪射击，中靶率为，⽤未校正过的枪射击，中靶率为.该射⼿任取⼀⽀枪射击，中靶的概率是__________，若任取⼀⽀枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率__________.14.已知函数在上的值域为，则的取值范围为__________.15.在中，，，若为其重⼼，试⽤，表示为__________；若为其外⼼，满⾜，且，则的最⼤值为__________.三、解答题：本题共5⼩题，共75分。

解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本⼩题满分14分）在中，内⻆所对的边分别为，且.（1）求⻆的⼤⼩；（2）若，.（i）求的值；（ii）求的值.17.（本⼩题满分15分）已知数列的前n项和为，且对任意的有（1）证明：数列为等⽐数列;（2）求数列的前n项和18.（本⼩题满分15分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）求在闭区间上的最⼤值和最⼩值；（3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和.19.（本⼩题满分15分）设是等差数列，其前项和为（），为等⽐数列，公⽐⼤于1．已知，，，．（1）求和的通项公式；（2）设，求的前项和；（3）设，求证：．20.（本⼩题满分16分）已知函数，．（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在，上存在⼀点，使得成⽴，求的取值范围．2025届高三年级第二次质量调查数学学科试卷命题人：高三数学备课组审核人：高三数学备课组参考答案一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)

长郡中学2025届高三月考试卷（二）数学得分__________．本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}(){}2,128tAxx B t t ==∈Z ∣∣ ，则A B = （）A. []1,3−B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,A B ，再利用交集的定义求解即可.【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤−≤≤∣，由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3tB t t =≤≤∈=Z ∣，所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ∩−≤≤∩∣. 故选：D.2. 已知复数z 满足i 1z −=，则z 的取值范围是（） A. []0,1 B. [)0,1C. [)0,2D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内，i 1z −=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是[0,2]. 故选：D3. 已知()2:ln (11)1p f x a x x=+−<< −是奇函数，:1q a =−，则p 是q 成立的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件.【详解】由()f x 奇函数，则()00f =，即()ln 20a +=，解得1a =−，所以p q ⇒，当1a =−时，()21ln 1ln 11x f x x x +=−=−−，11x −<<， ()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x −−++∴−===−=− +−−，所以()f x 是奇函数，所以p q ⇐，所以p 是q 的充要条件. 故选：A.4. 若锐角α满足sin cos αα−sin 22πα+=（） A.35B. 35C. 35 或35D. 45−或45【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin 4α−，再利用角的变换ππsin 2sin 2π24αα+=−+，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得πsin cos 4ααα−=−=πsin 4α−.是因为α是锐角，所以πππ,444α −∈−，πcos 4α −所以πππππsin 2sin 2πsin 22sin cos 24444ααααα+=−+=−−=−−−325=−=−. 故选：B.5. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（）A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人，文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知1212x x y y +>+，2211x y x y +<+，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +−+>+−+，即有12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C.6. 如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且,AP BP O =为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC所成的角的正切值为（）为A. 2B.12C.D.【答案】A 【解析】【分析】作出直线OP 与平面ABC 所成的角，通过解直角三角形来求得直线OP 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】设O ′为下底面圆的圆心，连接,OO CO ′′和CO ，因为AP BP =，所以AB OP ⊥，又因为,,AB OO OP OO O OP OO ′′⊥=⊂′ 、平面OO P ′，所以AB ⊥平面OO P ′，因为PC 是该圆台的一条母线，所以,,,O O C P ′四点共面，且//O C OP ′，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面POC ，又因为平面ABC 平面POC OC =，所以点P 在平面ABC 的射影在直线OC 上，则OP 与平面ABC 所成的角即为POC OCO ∠=∠′，过点C 作CD OP ⊥于点D ，因为4cm,2cm OP O C ′==，所以tan tan 2OO POC OCO O C∠=′′∠==′. 故选：A7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y kx =+与圆22:1C x y +=交于,A B 两点，则AOB 的面积的最大值为（）A. 1B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出AOB 的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2l y kx =+恒过点10,2E，该点在已知园内，圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，作CD l ⊥于点D ，如下图所示：易知圆心C 到直线l 的距离为12CD CE ≤=，所以1cos 2CD DCB CB ∠=≤，又π0,2DCB∠∈，可得ππ,32DCB∠∈；因此可得2π2,π3ACB DCB∠=∠∈，所以AOB 的面积为112πsin 11sin 223AOB S CA CB ACB =∠≤×××= 故选：D 8. 设函数()()2ln f x xax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（）A. 2−B. 1−C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>，要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >，所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =−−，则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+−+=−++，且开口向上，所以，只需(1)0101a a a −+≤⇒+≥⇒≥−，故a 的最小值为1−.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（） A. 若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B. 若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C. 若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布【答案】BC 【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB ；利用二项分布的概率公式计算判断C ；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确；对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误；对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC10. 已知函数()sin cos (,0)f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则（）A. 0a >B. 函数π6f x−为偶函数 C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. ()f x 是周期函数，且最小正周期为π 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得函数π()2sin(2)3f x x =+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++，且tan a ϕ=，因为函数()f x 的最大值为22=，解得a =，又因为(0)0f a =>，所以a =A 正确； ()πsin 2sin 3f x x x x ωωω ==+因为πππ2sin 1443f ω=+= ，且函数()f x 在π4的附近单调递减，所以ππ5π2π,Z 436k k ω++∈，所以28,Z k k ω=+∈，又因为π24T >，可得π2T >π2>，解得04ω<<，所以2ω=，此时π()2sin(2)3f x x =+，其最小正周期为πT =，所以C 、D 正确；设()πππ2sin 22sin 2663F x f x x x=−=−+=，()()2sin[2()]2sin 2F x x x F x −=−=−=−，所以FF (xx )为奇函数，即函数π()6f x −为奇函数，所以B 不正确. 故选：ACD.11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，直线l 经过F 且与C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限，线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN NF =，则（）A. lB. ABD △是锐角三角形C. 四边形MNDF2 D. 2||BF FA FD ⋅> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知MNF 为等边三角形，即可得直线l 的倾斜角和斜率，进而判断A ；可知直线l 的方程，联立方程求点,A B 的坐标，求相应长度，结合长度判断BD ；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F，准线为2px =−，即,02p D −，设()()112212,,,,0,0A x y B x y y y ><，则111,,0,2422x y y p M N+，可得，因为MN NF =，即MN NF MF ==，可知MNF 为等边三角形，即60NMF ∠=°，且MN ∥x 轴，可知直线l 的倾斜角为60°，斜率为tan 60k =°=，故A 正确；则直线:2p l y x =− ，联立方程222p yx y px=− =，解得32p x y ==或6p x y p= =，即32p A，,6p B p，则,M p p N p，可得28,,,2,,33DFp AD p BDp FA p FB p AB p ======，在ABD △中，BD AD AB <<，且2220BD AD AB +−<，可知ADB ∠为最大角，且为锐角，所以ABD △是锐角三角形，故B 正确；四边形MNDF 的面积为21122MNDF BDF MNF S S S p p p p p =+=×+×=△△，故C 错误；因为224,3FB FA p FD p ⋅==，所以2||BF FA FD ⋅>，故D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用12S =× 底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在ABC 中，AD 是边BC 上的高，若()()1,3,6,3AB BC==，则AD =______．【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m == ，表达出()61,33AD m m =++ ，根据垂直关系得到方程，求出13m =−，进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m == ，则()()()1,36,361,33AD AB BD m m m m =+=+=++，由0AD BC = 得6(61)3(33)366990AD BC m m m m =+++=+++=，解得13m =−，故()()12,311,2AD =−−=− ，所以||AD ..13. 已知定义在RR 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =−+，则曲线yy =ff (xx )在点()()0,0f 处的切线方程为_____________. 【答案】3y x =+ 【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为()()23e xf x f x =−+，所以()()23e x f x f x −−=+，联立可解得()=e 2e xx f x −+，所以()03f =，所以()()e2e ,01xx f x f −=′−+=′. 所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3y x −=，故所求的切线方程为3y x . 故答案为：3y x .14. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________．【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖时，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ，归纳找出递推关系，利用方程得出0a ，再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = . 显然0113a a =，()65112112,153333k k k a a a a a k +−=+=+≤≤，可得()112k k k k a a a a +−−=−，则()566510022a a a a a −=−=，()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=− ，同理()256510002221a a a a a =+++=− ，()()760021212133a a ∴−=−+，解得011385255a ==× ()430112115.25517a a ∴=−=×=故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a ，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列{}n a 中，11a =，且0,n n a S ≠为数列{}n a 的前nn a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n n n c a a +−=，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21na n =− （2）421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数【解析】【分析】(1)1={aa nn }的通项公式； (2) 求出(1)1142121n n c n n − =+ −+，再讨论n 为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列{}n c 的前n 项和. 【小问1详解】根据题意知1,2n n n a S S n −=−≥0n a +≠=②，1,2n =≥，所以可得1=为首项，1为公差的等差数列，11n n =+−=，所以2n S n =，121,2n n n a n S S n −−==−≥，当1n =时11a =也满足该式，所以21na n =−. 【小问2详解】由(1)结论可知21n a n =−，所以()()1(1)(1)(1)11212142121n n n n n n n n c a a n n n n +−−− ===+ −+−+，设{}n c 的前n 项和为n T ，则当n 为偶数时，111111111111433557212142142n n T n n n n =−+++−++++=−+=− −+++则当n 为奇数时，1111111111111433557212142142n n T n n n n + =−+++−++−+=−−=− −+++所以421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数.16. 如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 1=，求二面角A EM B −−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出OE ⊥平面ABCD ，由OE ⊂平面CDEF 进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,,,OE CD OA CD O OA CD ⊥∩=⊂平面ABCD ，，所以OE ⊥平面ABCD ，又OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF【小问2详解】由（1）知，,,OE OC OA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =−=−= ，设平面AEM 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n EM ⋅= ⋅=，即220220x z x y −= −+= ，取1z =，则()1,1,1n = ，设平面BEM 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m MB m EM ⋅= ⋅=，即11120220z x y = −+= ，取11y =，则()1,1,0m = ，所以cos,m nm nm n⋅==⋅由图可以看出二面角A EM B−−为锐角，故二面角A EM B−−.17. 已知函数2()e2,Rxf x ax a=−∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(],1−∞【解析】【分析】（1）对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对a进行分类讨论，根据导数正负求得()f x的最小值，判断是否满足()1f x≥，即可求解．【小问1详解】对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，令()0f x′=，即22e20x a−=，即2e x a=，当0a≤时，ff′(xx)>0恒成立，()f x在R上单调递增；当0a>时，21e,2ln,ln2x a x a x a===，当1ln2x a<时，()()0,f x f x′<在1,ln2a∞−上单调递减；当1ln2x a>时，ff′(xx)>0，()f x在1ln,2a∞+上单调递增；综上，当0a≤时，()f x单调递增区间为R；当0a>时，()f x的单调递减区间为1,ln2a∞−，单调递增区间为1ln,2a∞+．【小问2详解】因为对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，的的对2()e 2x f x ax =−求导，可得2()2e 2x f x a ′=−，令()0f x ′=，即22e 20x a −=，即2e x a =，①当0a ≤时，ff ′(xx )>0，则()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ②当01a <≤时，2e x a =，则1ln 02x a ≤，则()0f x ′>，()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ③当1a >时，2e x a =，则1ln 02xa >，当10,ln 2x a∈ 时，()0f x ′<，则()f x 在10,ln 2a单调递减，当1ln ,2x a ∞ ∈+ 时，()0f x ′>，则()f x 在1ln ,2a ∞ +单调递增，所以()ln 11ln e 2ln ln 22a f x f a a a a a a ≥=−⋅=−，令()ln ,1g a a a a a =−>，则()ln 0g a a ′=−<，所以()g a 在(1,+∞)上单调递减，所以()()11g a g <=，不合题意；综上所述，(],1a ∞∈−．18. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的一条渐近线方程为y =，过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于P ，Q 两点，且2PQF 的周长为16.（1）求E 的方程；（2）,A B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求ACB ∠的取值范围.【答案】（1）22:13y E x −=；（2）2π0,3. 【解析】【分析】（1）将x c =−代入曲线E 得2b y a =±，故得211b PF QF a==，从而结合双曲线定义以及题意得24416b a b a a = +=，解出,a b 即可得解. （2）设:AB y kx m =+，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得ACM ∠的正切值，进而得ACM ∠范围，从而由2ACB ACM ∠=∠即可得解.【小问1详解】将x c =−代入2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>，得2b y a=±，所以211b PF QF a==，所以2222b PF QF a a ==+，所以由题得24416b a b a a= +=，1a b = ⇒ = 所以双曲线E 的方程为22:13y E x −=. 【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且k ≠，设:AB y kx m =+，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2),设AB 的中点为M . 由2233y kx m x y =+ −=消去y 并整理得222(3)230k x kmx m −−−−=，230k −≠，则22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+−+=+−>，即223m k >−， 12223km x x k+=−，212233m x x k +=−−，12122226()2233km m y y k x x m k m k k +=++=⋅+=−−，于是M 点为2(3km k −，23)3m k −，2223431243M C MC M m y y m k k k km x kmx k −−−+−===−. 由中垂线知1A MC B k k ⋅=−，所以231241m k km k−+=−，解得：23m k =−. 所以由,A B 在双曲线的右支上可得：22221220333033m m x x m k k k m+−<+=−=>⇒⇒=−>−，且12222003km x x k k k+>⇒>−，且()()()()()22222222Δ43390333403m k k k k k k =−+>⇒−+−=−−>⇒<或24k >，综上24k >即2k >，又CM =，所以tan AM ACM CM ∠===因为24k >，所以213m k =−<−，故2333k 0−−<<(，所以π0,3ACM∠∈. 所以2π20,3ACB ACM∠=∠∈ . 19. 对于集合,A B ，定义运算符“Δ”:Δ{,A B x x A x B =∈∈∣两式恰有一式成立}，A 表示集合A 中元素的个数．（1）设][1,1,0,2A B =−= ，求ΔA B ；（2）对于有限集,,A B C ，证明ΔΔΔA B B C A C +≥，并求出固定,A C 后使该式取等号的B 的数量；（用含,A C 的式子表示）（3）若有限集,,A B C 满足ΔΔΔA B B C A C +=，则称有序三元组(),,A B C 为“联合对”，定义{}*1,2,,,I n n ∈N ，(){},,,,u A B C A B C I ⊆∣． ①设m I ∈，求满足ΔA C m =的“联合对”(),,A B C u ⊆的数量；（用含m 的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求u 中“联合对”的数量．【答案】（1）[1,0)(1,2]−∪（2）||2A C ∆（3）①C 2m n m n +⋅②6n【解析】【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数；（3）①分别求出(),A C ,B 取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0x x A x B −∈∈∉，故x A B ∈∆；对于,,[0,1]x x A x B ∈∈∈，故x A B ∉∆；对于,,(1,2]x x A x B ∉∈∈，故x A B ∈∆；对于,,[1],2x x A x B ∉−∉∉，故x A B ∉∆，即[10)(12],,A B −∆ .【小问2详解】画出Venn 图，如图，将A B C 划分成7个集合17,,S S ，则14562547||||||||||,||||||||||A B S S S S B C S S S S ∆=+++∆=+++，1267||||||||||A C S S S S ∆=+++，故45||||||2||2||0A B B C A C S S ∆+∆−∆=+≥不等式成立，当且仅当45S S ==∅时取等号， 4S =∅等价于()A C B ∩⊆，5S =∅等价于()B A C ⊆∪，故当且仅当()()A C B A C ∩⊆⊆∪取等号. 设()B A C D =∩∪，其中集合D 与A C 无交集，由于()\()A C A C A C ∆= ，故有()()\ΔD A C A C A C ∅⊆⊆∪∩=，即D 为A C ∆的某一子集，有||2A C ∆种，从而使上式取等的B 有||2A C ∆个.【小问3详解】①设X A C u =∆⊆，有||X m =，故X 有C m n 种取法，对于每一个x ，知X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，且/I X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，故,x I x ∀∈共有两种选择，也就是这样的(),A C 有||22I n =种，对于每一个(),A C ，由（2）知B 有||22A C m ∆=种取法.故由乘法原理，这样的“联合对(),,A B C 有C 2m n m n +⋅个.②由①知，u 中“联合对”的数量为()00C 22C 212216n n n m n m n m m n m n n nnm m +−===⋅=+=∑∑(二项式定理)，故u 中“联合对”(),,A B C 的数量为6n .【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.。

广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含答案)

深圳外国语学校2024-2025学年度高三第一学期第二次月考数学试题试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.3.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（）A.1B.2C.3D.46.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为{{},21x A xy B y y ====+∣∣A B ⋂=(]1,2(]0,1[]1,2[]0,2:1,1p x x ∀>>p 1,1x x ∀><1,1x x ∀≤>1,1x x ∃>≤1,1x x ∃≤≤()()3x x a f x -=30,2⎛⎫⎪⎝⎭a (),1∞--[)3,0-(]0,1[)3,∞+()1cos ex x xf x -=a b c ､､2240a ab b c -+-=c ab 236a b c+-()f x (),e xy f x =+R ()3e xy f x =-()ln3f（）A.B.3C.D.7.已知三倍角公式，则的值所在的区间是（）A. B. C. D.8.已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若函数定义域为，则函数的定义域为B.若定义域为的函数值域为，则函数的值域为C.函数与的图象关于直线对称D.成立的一个必要条件是10.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A.的图象关于点对称B.是以8为周期的周期函数C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.731031133sin33sin 4sin ααα=-sin10 11,43⎛⎫⎪⎝⎭11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭11,65⎛⎫ ⎪⎝⎭11,76⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=(),x f x ()g x m ()0,2()0,8[)2,8(),0∞-()f x []1,3()21f x +[]0,1R ()f x []1,5()21f x +[]0,215xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5log y x =-y x =a b >1a b ->log 1a b >a b <1ab a b+>+11a b a b ->-11a b a b+<+R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f x ()()8g x g x +=20241(42)2025k f k =-=∑12.已知函数，则__________.13.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是__________.14.若，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围.16.（本小题满分15分）记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.（1）若，求证：平面；（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；()cos2f x x =066lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆()223,2(06log ,2a x x x f x a x x ⎧-++≤=>⎨+>⎩1)a ≠()f x (],4∞-a ()e 1xa xb ≥++()1a b +()32.f x x ax bx c =+++().y f x =()()0,0f 4a b ==()f x ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin sin A B Cb c a b-=++A D BC ,2AB AD CD BD ⊥=sin ADB ∠P ABCD -ABCD π3ABC ∠=E AD P H EC M PC 2CM MP =PE ∥MBD ,PB EM PC EC ⊥=M B EM C --()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x（2）在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：，.19.（本小题满分17分）设集合，其中.若集合的任意两个不同的非空子集，都满足集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.（1）试分别判断在集合与是否具有性质P ，不必说明理由；（2）已知集合具有性质P .①记，求证：对于任意正整数，都有；②令，，求证：；（3）在（2）的条件下，求的最大值.()1f x ax -≤2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*n ∈N {}()12,,,3n S a a a n =≥ *,1,2,,i a i n ∈=N S A B ､A B S P {}11,2,3,4S ={}21,2,4,8S ={}12,,,n S a a a = 121kik i aa a a ==+++∑L k n ≤121kk i i a =≥-∑12i i i d a -=-1kk ii D d==∑0k D ≥12111na a a +++深圳外国语学校2025届高三第二次月考数学答案一､选择题：题号1234567891011答案ACDADDCBACBDABC二､填空题12. 13.14.三､解答题15.解：（1）由，得.因为，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，所以.令，得，解得或.与在区间上的情况如下：所以，当且时，⎫⎪⎪⎭e2()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b =++'()0f c =()0f b '=()y f x =()()0,0f y bx c =+4a b ==()3244f x x x x c =+++()2384f x x x =++'()0f x '=23840x x ++=2x =-23x =-()f x ()f x '(),-∞+∞x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x Zc]3227c -Z0c >32027c -<存在，，，使得.由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点.16.（1）由及正弦定理得，整理得，所以由余弦定理得：因为，所以.（2），记，则.在中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，解得.由，解得.17.（1）设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD 平分，又为棱的中点，所以，在中，根据角平分线性质定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()1230f x f x f x ===()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++sin sin sin A B C b c a b -=++a b cb c a b-=++222a b c bc =++2221cos ,22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =π6DAC BAC BAD ∠=∠-∠=ADB α∠=π6C DAC αα∠=-∠=-Rt ABD V cos AD BD α=ADC V ππsinsin 66AD CDα=⎛⎫- ⎪⎝⎭2CD BD =cos 2ππsin sin 66αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭4=tan α=22πtan cos 1,0,2αααα⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭sin α=sin ADB ∠=BD CE N ⋂=ABCD CD AB =ADC ∠E AD 2CD AB DE ==ADC V 2CN CDNE DE==2CM MP =2CM MP =2CN CMNE MP==MN ∴∥PE PE ⊄MBD MN ⊂,MBD PE ∴∥MBD（2）平面，且平面，，因为，所以，在中，，，所以是等边三角形，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD ，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因为P 在底面的投影H 为线段的中点，所以，又所以为等边三角形，故为中点，所以在底面上的投影为的中点.在中，，，以为原点，分别以为轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，设是平面的一个法向量，则，令，则，即，平面，是平面的一个法向量，PH ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PHBC ∴⊥π3ABC∠=2π3BCD ∠=ACD V CD AB =π3ABC ∠=ACD V E AD BC CE ⊥PH ⊥ ABCD PH⊂PCE PCE ⊥ABCD PCE ⋂ABCD =CE BC ⊂BC ∴⊥PEC EM ⊂PEC BC EM ∴⊥PB EM ⊥ ,,PB BC B PB BC ⋂=⊂PBC EM ∴⊥PBC PC ⊂PBC EM PC ∴⊥EC PC PE =PC CE =PCE V MPC M ABCD CH CDE V CE ===3,2CEAD PH ⊥== C ,CB CE ,x y C ABCD z ()()()30,0,0,2,0,0,,4C B E M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()32,,4EB ME ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z = EBM 0203004n EB x n ME y z ⎧⋅=⇒=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 2y =x z ==2,n =BC ⊥ PEC ()2,0,0CB ∴=PEC因为二面角是一个锐角，所以二面角18.（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，则，则，故，；（2）令，，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，cos ,n CB n CB n CB⋅∴===⋅B EMC --B EM C --()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x 000()(2)y f x g x ==--0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++0(1)x >-()()2ln 1cos f x x x =++()1x >-()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--()1x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()00h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111x x x x ϕ'=-=-++()1,0x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ()1,0-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ()0,∞+()()00x ϕϕ≤=()ln 1x x ≤+(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ()ln 1x x ≤+()1,-+∞ln 1x x ≤-()0,∞+1x =(0,1)1nx n =∈+*N n ∈1ln1111n n n n n -<-=+++即，则，综上，，即证19.（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质.对于，其共有15个非空子集：，，各集合的和分别为：，，它们彼此相异，故具有性质.（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.②因为，故，由①可得，故.（3）不妨设，设，则，由（2）可得，且.而11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑{}11,2,3,4S =1423+=+{}{}1,4,2,31S P {}21,2,4,8S ={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}8,,,,,,1,2481,21,41,82,42,,,84,{}{}{}{}{}1,2,41,2,81,4,82,4,81,2,4,8,,,,59610121,2,4,8,3,,,,,7,11,13,14,152S P {}12,,,n a a a P k {}12,,,k a a a P {}12,,,k a a a ,A B ,A B {}12,,,n a a a {}12,,,n a a a P {}12,,,k a a a 21k -12k a a a +++ 1a 1221kk a a a +++≥- 12i i i d a -=-()112122k k k D a a a -=+++-+++ ()1221k k a aa =+++-- ()12210kk a a a +++--> 0k D ≥12n a a a <<< 1121112122111112112222n n n n n n a a a a a a a a a ---⎛⎫+++-+++=+++ ⎪--⎝⎭- 112i i ic a -=10i i c c +->12i i i d a -=-10kk ii D d==≥∑112112211222122n n n n n n a a a c d c d c d a a a ---+++=+++-- ()()()112213321n n n c D c D D c D D c D D -=+-+-++-，故，当且仅当时等号成立，即此时任意的正整数，即故此时时等号成立，故的最大值为.()()()121232110n n n n n c c D c c D c c D c D --=-+-++-+≥ 111211*********n n n a a a --+++≤+++=- 120n D D D ==== k 1221kk a a a ++=-1111,222kk k k a a --==-=12k k a -=12111n a a a +++ 1122n --。

长沙市一中2025届高三月考试卷(二)数学

长沙市一中2025届高三月考试卷（二）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}|2ln 2A x x =-<≤，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,2,3}2．已知i 为虚数单位，12ii z-=-，则z 的共轭复数z =（）A ．2i-B ．2i +C ．2i--D ．2i-+3．已知曲线()2ln f x ax x =+在点()()1,1f 处的切线与x 轴相交于点1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数a =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．24．已知向量(1,)OA k =- ，(1,2)OB =，(2,0)OC k =+ 且实数0k ≥，若A ，B ，C 三点共线．则k =（）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知过坐标原点O 的直线PO 与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>在第一象限交于点P ，与C 的准线l 交于点Q ，若4PO OQ =，则直线PF 的斜率为（）A ．43B ．23C ．1D ．136．已知函数()sin f x x x =-与直线(02)y a a =<<在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为12,,,,n x x x ，则()12323f x x x --=（）A ．1-B ．0C ．1D7．定义：min{,}x y 为实数x ，y 中较小的数，已知22min ,9b h a a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是（）A ．16B ．13C D8．若不等式ln 0a x x -≥有且仅有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．25,ln 2ln5⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．25,ln 2ln5⎛⎤⎝⎦C ．35,ln 3ln5⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．35,ln 3ln 5⎛⎤⎥⎝⎦二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若109a =，20200S =，则（）A ．2=d B ．n S 的最小值为5S C ．19a =D ．使0n S >的n 的最小值为1110．若随机变量()2~0,X N σ，()()f x P X x =≤，则（）A ．()()1f x f x -=-B ．()()22f x f x =C ．()()()210P X x f x x <=->D ．若()121x f f x +⎛⎫> ⎪-⎝⎭，则113x <<11．如图，在锐二面角AB αβ--的半平面β内有一个四边形MENF ，点M 在AB 上，EF =2MN =，MEF 和NEF 的面积均为12，点N 到平面α的距离为2，点E 到平面α）A ．EF AB∥B ．直线MN 与AB 所成的角为45︒C ．直线MN 与平面α所成的角为30︒D ．二面角AB αβ--的大小为60︒三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线的倾斜角分别为,αβ，若5αβ=，则C 的离心率为．13．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AC CC =，动点P 在侧面11ACC A 内，且10PC PB ⋅=．若点P ，则该正三棱柱的体积为．14．记不超过x 的最大整数为[]x ．若函数()|2[2]|f x x x t =-+既有最大值也有最小值，则实数t 的取值范围是．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．现有一种不断分裂的细胞X ，每个时间周期内分裂一次，一个X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的X 细胞，每次分裂后原X 细胞消失．设每次分裂成一个新X 细胞的概率为p ，分裂成两个新X 细胞的概率为1p -；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的X 细胞，从第一个周期开始分裂．(1)当34p =时，求3个周期结束后X 细胞数量为2个的概率；(2)设2个周期结束后，X 细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望．16．如图，AB 是半球O 的直径，4,,AB M N =是底面半圆弧 AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且60PON ∠=︒．(1)证明：PB ⊥平面PAM ：(2)若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面PAB 所成角的正弦值．17．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，离心率为122,,F F 分别为C 的左､右焦点，两点()()1122,,,A x y B x y 都在C 上.(1)求C 的方程；(2)若222AF F B =，求直线AB 的方程；(3)若1AF ∥2BF 且12120,0x x y y <>，求四个点12,,,A B F F 所构成的四边形的面积的取值范围.19．已知数列{}n a 满足：13a =，m ∀，*n ∈N ，当n m >时，2n m n m a a a -+=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当6n ≥时，求证：11112nn a ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭；(3)求解方程：1231n n n n nn n a a a a a +++++= ．。

2024年沪教版高三数学下册月考试卷含答案

2024年沪教版高三数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2+c2，则角A的取值范围为（）A. （，）B. （，）C. （0，）D. （，π）2、已知空间向量=（2，-6，c），=（1，-3，2），若∥，则c=（）A. 4B. 0C.D.3、下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（）A. y=xB. y=2|x|C. y=D. y=2-x-2x4、不等式|x-1|≤2的解集为（）A. {x|-1≤x≤0}B. {x|-1≤x≤0或2≤x≤3}C. {x|2≤x≤3}D. {x|-1≤x≤3}5、等比数列{a n}中，其公比q＜0，且a2=1-a1，a4=4-a3，则a4+a5等于（）A. 8B. -8C. 16D. -166、执行右面的程序框图；若p=0.8，则输出的n=（）A. 2B. 3C. 4D. 57、将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于（）A.B.C.D.8、（1-x）4（1-）3的展开式中x2的系数是（）A. -3B. -6C. 0D. 3评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、若x＞1，则函数y=的最小值为____．10、与函数y=2x2-2x+1关于y=-1对称的函数解析式为：____．11、某宾馆安排A、B、C、D、E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则共有____种不同的安排方法（用数字作答）．12、若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．13、已知函数则此函数的定义域为．14、【题文】圆上的动点到直线距离的最小值是____.15、【题文】对于函数若有六个不同的单调区间；则的取值范围为▲ .16、若方程x2-mx-1=0有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是 ______ ．评卷人得分三、判断题(共5题，共10分)17、已知函数f（x）=4+a x-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（ 1，5 ）____．（判断对错）18、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．19、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、简答题(共1题，共5分)20、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且 AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。

2024学年宁夏省重点中学高三下学期第二次月考(5月)数学试题试卷

2024学年宁夏省重点中学高三下学期第二次月考（5月）数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设ln3a =，则lg3b =，则（）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+2．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．743．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是324．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．835．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（） A ．22B ．32C ．42D ．3228．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（） A ．2B ．3C ．5D ．69．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉10．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（） A ．3)B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)12．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学试题及答案

银川一中2025届高三年级第二次月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,52. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A b a c a-<+ B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <4. 已知函数()f x 及其导函数(f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())ln sin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（）A. 3 B. 4C. 5D. 67. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2>−5成立，则实数a 的取值范围是（）A [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为210. 已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增的.的B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知函数()cos ex xf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．的银川一中2025届高三年级第二次月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,5【答案】B 【解析】【分析】根据交集结果知1B ∈，将x =1代入方程求出m ，再求集合B 即可.【详解】由{}1A B ⋂=可知：21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：x =1或3x =，即{}1,3B =．故选：B2. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质求解．【详解】01a = ，1()3x f x a-∴=-恒过定点()1,2-，1m ∴=，2n =-，11(1)1g x x x-=++=∴，其图象如图所示，因此不经过第四象限，故选：D ．3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A. b a c a -<+B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴ 不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴ 不成立.对于C ， 3231-<---，∴ 不成立.对于D ，(3)1(3)2-<´--´- ，因此成立. 故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='【答案】C 【解析】【分析】取()1f x x '+=，()212f x x x c =-+，逐项判断.【详解】解：因为函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，所以不妨设()1f x x '+=，则()1f x x '=-，()()21,01f f '='=-，故BD 错误；取()212f x x x c =-+，则()()()11,022f c f f c =-==，故A 错误，C 正确，故选：C5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())lnsin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．【详解】对于B.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=--)sin )sin ()x x x x f x =--==，故()f x 为偶函数；对于D.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=+-)sin )sin ()x x x x f x =-+=-=，故()f x 为偶函数；由图象，可知()y f x =奇函数，故排除B 、D ；对于C.当π02x <<时，由22221(1)21x x x x =+<+=++，可知01x <<，则)0x <，而cos 0x >，此时()0f x <，故排除D ；故选：A.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（）A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】为【分析】分别画出cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.7. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-【答案】A 【解析】tan α，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.【详解】因为3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1tan 11tan 1tan 21tan αααα+-=⨯-+，tan 1α<-，解得tan 3α=--或tan 3α=-+（舍)，则()222221sin 2sin cos 2sin cos 1tan 2tan 14cos 4cos 4ααααααααα-+-==-+()()2211tan 131644α----=+==故选：A.8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A. [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()g x 的解析式，再根据题意得到()232h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得()()22f x g x ax x -+-=-+，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()22f x g x ax x -+=-+，联立()()()()2222f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()22g x ax =+，又因为对于任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，所以()()121255g x g x x x -<-+，即()()112255g x x g x x +<+成立，构造()()2552h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得()252h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，若0a <，则对称轴0522x a =-≥，解得5<04a -≤；若0a =，则()52h x x =+在()1,2x ∈单调递增，满足题意；若a >0，则对称轴0512x a=-≤恒成立；综上，5,4a ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭．故选：B二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为2【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，两函数定义域不同；B 选项，令033x ≤≤，求出01x ≤≤，得到函数定义域；C 选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D 选项，根据函数为偶函数得到f (−x )=f (x )，故()(2)f x f x -=-，得到函数周期.【详解】A 选项，()2f x x =+的定义域为R ，令20x +≥，解得2x ≥-，故()2g x =的定义域为2x ≥-，定义域不同，A 错误；B 选项，令033x ≤≤，解得01x ≤≤，故函数(3)f x 的定义域为[]0,1，B 正确；C 选项，命题p 的否定为0x ∃>，20x <，C 正确；D 选项，()f x 偶函数，故f (−x )=f (x )，又()(2)f x f x =-，故()(2)f x f x -=-，则函数()f x 的周期为2，D 正确.故选：BCD10. 已知函数()sin 2f x x ⎛= ⎝）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 的对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可.【详解】因为()πππsin 2πsin 2244f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2是函数()f x 的周期，故A 为的正确；∵π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ7π2,4412u x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又sin sin y u u ==在π7π,412⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；∵函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到ππsin 2sin 284x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；令2π4π2k x +=，得()ππZ 48k x k =-∈，故D 正确，故选：ACD ．11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线【答案】BCD 【解析】【分析】选项A 根据导函数及0a 可判断单调性；选项B 根据极大值极小值可得；选项C 由三次函数对称中心可得；选项D ，先求过点P 的切线方程，将切线个数转化为()322912g x ax ax ax a =-++与y b=图象交点个数，进而可得.【详解】选项A ：由题意可得()()236=32f x ax ax ax x ='--，令()0f x '=解得0x =或2x =，因为0a >，所以令f ′(x )>0解得0x <或2x >，令f ′(x )<0解得02x <<，故()f x 在区间(),0∞-或()2,∞+上单调递增，在(0,2)上单调递减，故A 错误，选项B ：要使()f x 有且仅有3个零点时，只需()()0020f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩即08120b a a b >⎧⎨-+<⎩，解得04b a <<，故B正确；选项C ：若直线l 与曲线y =f (x )有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则点A 是三次函数()f x 的对称中心，设()()236h x f x ax ax ==-'，则()66h x ax a '=-，令()0h x '=，得1x =，故()f x 的对称中心为(1,f (1))，123133x x x x ++==，故C 正确；选项D ：()236f x ax ax '=-，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在点C 处的切线方程为：()()()3220000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,P a ，所以()()()32200003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=，过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的切线条数可转化为y =g (x )与y b =图象交点个数，()()()261812612g x ax ax a a x x =-+=--'，因为0a >，所以()0g x '>得1x <或2x >，()0g x '<得12x <<，则()g x 在(),1∞-，()2,∞+上单调递增，在()1,2上单调递减，且()16g a =，()25g a =，()g x 图象如图所示，所以当56a b a <<时，y =g (x )与y b =图象有3个交点，即过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的3条切线，故D 正确，故选：BCD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．【答案】1-【解析】【分析】通过对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处有极小值，可知()0f x '=，解得a 的值，再验证即可求出a 的值．【详解】因为2()()f x x x a =+，所以22322()(2)2f x x x ax a x ax a x =++=++，所以22()34f x x ax a '=++，而函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，所以()10f '=，故2340a a ++=，解得11a =-或23a =-，当23a =-时，()23129f x x x =-+'，令f ′(x )<0，()1,3x ∈，令f ′(x )>0，()(),13,x ∞∞∈-⋃+，故此时()f x 在()(),1,3,∞∞-+上单调递增，在()1,3上单调递减，此时()f x 在1x =处有极大值，不符合题意，排除，当11a =-时，()2341f x x x '=-+，令f ′(x )<0，1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令f ′(x )>0，()1,1,3x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭，故此时()f x 在()1,,1,3∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()f x 在1x =处有极小值，符合题意，故答案为：1-.13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数()f x 最大值和最小值之和为0，则函数()21y f x =+的最大值和最小值之和为2.故答案为：2.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】利用32A A A =+，再根据整体思想将()cos3cos 2A A A =+转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得2B A =，根据锐角三角形性质可得A 取值范围，从而得tan A 的取值范围，代入()14tan tan A B A +-化简即可得出结论.【详解】三倍角公式：()cos3cos 2cos 2cos sin 2sin A A A A A A A =+=-()()222cos 1cos 21cos cos A A A A =---34cos 3cos A A =-，因为3cos 4cos 3cos C A A +-=，所以cos cos30C A +=.故()cos cos30cos cos3cos π3π32C A C A A C A B A +=⇒=-=-⇒=-⇒=，△ABC 为锐角三角形，故π0,2π02,2π0π3,2A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64A <<，tan 1A <<，()114tan 4tan tan tan A A B A A ⎫+=+∈⎪⎪-⎭．故答案为：⎫⎪⎪⎭四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15 已知函数()cos e xxf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；（2）[)0,∞+【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，（2）将问题转化为存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，000cos 0e x x x λ-≤成立，构造函数()cos π0e 2x x g x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，求导得函数的最值即可求解．【小问1详解】()sin cos π0e 4x x x f x x +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭'，解得ππ4x k k =-+∈Z ，，因为x ∈(0,π)，所以3π4x =，当()3π0,04x f x ⎛⎫∈< '⎪⎝⎭，，当x ∈π，f ′(x )>0，所以()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】()()00000cos 00ex x f x x f x x λλ-≤⇒=-≤，当00x =时，由0cos 0ex x x λ-≤可得10≤不成立，当0π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，000cos e x x x λ≥，令()()2cos πsin cos cos 00e 2ex xx x x x x xg x x g x x x ---⎛⎫=<≤=< ⎪⎝⎭'，恒成立，.故()g x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，所以()min π02g x g λ⎛⎫≥==⎪⎝⎭，所以λ的取值范围为[)0,∞+.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．【答案】（1）12π1cos 2L l l θθ=+=-+在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减（2）S 的值域为ππ62⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由题意得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据扇形弧长公式求得1l ，再得PF 长度为2l ，从而得12L l l =+，利用导数判断其单调性；（2）根据扇形面积公式得1S ，再得四边形PEBF 面积为2S ，从而得12S S S =+，求导确定单调性极值与最值即可12S S S =+的函数.【小问1详解】因POB θ∠=，则由题意知π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由题意可得，π2COP θ∠=-，圆半径为1，所以1π2l θ=-，又21cos l PF OB OE θ==-=-，所以12ππ1cos ,022L l l θθθ=+=-+-<<，则1sin 0L θ=-'+<恒成立，所以12π1cos 2L l l θθ=+=-+-在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.【小问2详解】由题意可得211ππ21222S θθ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，因为,PF BD PE AB ⊥⊥，所以四边形PEBF 为矩形，于是()2sin 1cos S PE BE θθ=⋅=-，所以()12πsin 1cos 2S S S θθθ=+=-+-，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导得()()1cos 1cos sin sin 1cos cos 2cos 12cos S θθθθθθθθ=-+-+⋅=-+-=-'，令0S '=得1cos 2θ=，即π3θ=，则可得如下表格：θ0π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭π2S '-0+Sπ2极小值1由表可知当π3θ=时，min π6S S ==+极小值，max π2S =，所以S 的值域为ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．【答案】（1）所选条件见解析，()2sin2f x x =；（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合三角函数图象性质即可求解；（2）利用三角恒等变换和配凑角即可求解．【小问1详解】选择条件①②：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()2sin2f x x =；选择条件①③：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=．由条件③，得ππ(π+,Z 42k k ω⨯-=∈，解得42,Z k k ω=--∈，所以()f x 的解析式不唯一，不合题意；选择条件②③：由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =-，所以ππ2()π+,Z 42k k ϕ⨯-+=∈，解得()1πk ϕ=+，又π2ϕ<，所以0ϕ=，所以()2sin2f x x =；【小问2详解】解：由题意得()π2sin22sin(23g x x x =++ππ2sin22sin 2cos2cos 2sin 33x x x =++3sin22x x=+π)6x =+，因为()2g α=，所以π6α+=，即π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π(,663α+∈，若ππ2π[,623α+∈，则πsin()6α+∈，又π3sin 65α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以πππ(,)662α+∈，因为22ππsin (cos (166αα+++=，所以π4cos()65α+=±，又πππ(,662α+∈，所以π4cos(65α+=，所以ππ()2sin 2()224224f αα-=-π2sin()12α=-ππ2sin[(]64α=+-ππππ2sin()cos 2cos()sin6464αα=+-+=18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．【答案】（1）0y =；（2）(],2∞-；（3）2a ≤时，()f x 有1个零点，2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）由导数法求切线即可；（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01af x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，由均值不等式求1122x x ++最小值即可；（3）当2a ≤，由（2）中()f x 在区间(0,)+∞上单调递增可得()f x 有1个零点，当2a >，由导数法讨论()f x 的单调性，再结合零点存在定理判断即可.【小问1详解】()ln f x x a =-，()()()22222112()11x a x a f x x x x x --+'=-=++，(1)0f =，当2a =时，()214(1)01f x x '=-=+，故函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01a f x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，∵111222x x ++≥=，当且仅当122x x =即1x =时成立，故实数a 的取值范围为(],2-∞；【小问3详解】由（2）得，当2a ≤，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)0f =，故()f x 有1个零点；当2a >，令()2()221g x x a x =--+，由()0g x =得，11x a =--，21x a =-，()10,1x ==，()21,x =++∞，由二次函数性质，在()10,x 上，()0g x >，()0f x '>；在()12,x x 上，()0g x <，()0f x '<；在()2,x +∞，()0g x >，()0f x '>，∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞单调递增，在()12,x x 单调递减，又(1)0f =，∴()10f x >，()20f x <，又(e )0e 12aa a f =>+，e (e )210e 1a a a f a -⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的()()()3141252e ,,,,,e a a x x x x x x x -∈∈∈，使得()()()3450f x f x f x ===，即()f x 有3个零点．【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法.（2）含参函数零点个数问题，i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x =--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，理由见解析；（2）不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -，理由见解析；（3）102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数k 的值，这样的值存在即可判断.（2）反证法，假设存在这样的a ，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.（3）由（2）得到参数a 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.【小问1详解】当52a =时，()15ln (0)2f x x x x x =-->，所以()()()2221215122x x f x x x x-='-=+-，当()10,2,2x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，f ′(x )>0；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,∞+上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 极大值为153ln2222f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极小值为()352ln222f =-，所以()110122ln22232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()f x 是极值可差比函数．【小问2详解】()f x 的定义域为()()210,,1a f x x x ∞+=+-'，即()221x ax f x x -+'=，假设存在a ，使得()f x 的极值差比系数为2a -，则12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等正实根，21212Δ401a x x ax x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，解得2a >，不妨设12x x <，则21x >，由于()()1211221211ln ln f x f x x a x x a x x x ⎛⎫-=----- ⎪⎝⎭的()11212211ln x x x a x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()11121221222ln 2ln ,x x a x x a x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪-⎝⎭所以112222ln x a a x x x -=--，从而11221ln 1x x x x =-，得()22212ln 0,*x x x --=令()()2222121(1)2ln (1),0x x x g x x x x g x x x x-+-=-->==>'，所以()g x 在(1,+∞)上单调递增，有()()10g x g >=，因此()*式无解，即不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -．【小问3详解】由（2）知极值差比系数为11222ln x a x x x --，即1211222ln x x x x x x +--，不妨设120x x <<，令()12,0,1x t t x =∈，极值差比系数可化为12ln 1t t t +--，()2122121221122x x x x a t x x x x t+==++=++，52a ≤≤，解得1142t ≤≤，令()()212ln 1112ln ,142(1)t t t t p t t t p t t t +-+⎛⎫=-≤≤= '⎪--⎝⎭，设()()2221121212ln 1,14t t h t t t t h t t t t t --⎛⎫=+-≤≤=--= ⎪'⎝⎭22(1)0t t-=-≤所以()h t 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1102h t h h ⎛⎫≥>= ⎪⎝⎭，从而()0p t '>，所以()p t 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()1142p p t p ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()102ln223ln23p t -≤≤-．故()f x 的极值差比系数的取值范围为102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。

天津南开中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷(含答案)

高三数学学科第二次月考本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．第I 卷1至3页，第II 卷3至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题纸交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷(共45分)一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，集合，则（）．A ．B ．C ．D ．（2）已知，“”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（3）函数的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．{}|30A x x =+>()(){}|230B x x x =∈+-N ≤A B = {}0,1,2,3{}2,1,0,1,2,3--{}0,1,2,3,4{}1,2,3,a b ∈R 0ab =a b =+()()42()22x x f x x x -=--考试时间：120分钟（4）对变量记录观测数据，并绘制散点图如图1所示；对变量记录观测数据，并绘制散点图如图2所示．用分别表示变量之间与变量之间的样本相关系数，则下列说法正确的是（）．A ．变量与呈现正相关，且B ．变量与呈现负相关，且C ．变量与呈现正相关，且D ．变量与呈现负相关，且（5）已知，，则（）．A．B ．C ．D ．（6）已知，，，则的大小关系是（）．A ．B ．C ．D ．（7）已知数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，则的值为（）．,x y ()()*,i i x y i ∈N ,u v ()()*,i i u v i ∈N 12,r r ,x y ,u v x y 12||||r r <x y 12||||r r >x y 12||||r r >x y 12||||r r <23a =8log 5b =34a b -=2592592535e 14ea =+3log 2b =5log 2c =,,a b c a b c >>a c b >>b c a >>c b a>>{}n a 137,,a a a {}n b 2334b b b b ++A ．B ．4C ．2D （8）定义在上的函数满足，对任意的，，恒有，则关于的不等式的解集为（）．A ．B ．C ．D ．（9）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（）．A.B ．C ．D ．第II 卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题５分，共30分．（10）是虚数单位，复数满足，则 _________．（11）在的展开式中，常数项为．（12）口袋里有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一球，记下它的号码后放回袋中，这样连续操作三次．若每次取到各个小球的可能性相等，记事件“三次抽到的号码不全相同”，则；记事件“三次12()1,1-()f x ()()()3f x g x gx =--+()12,1,1x x ∈-12x x ≠[]()1212()()0f x f x x x -->x (31)()6f x f x ++>1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()2π()cos π0)24f x x x ωωω⎛⎫=+-->⎪⎝⎭()f x 2π3π,54⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,πω15,66⎛⎤⎥⎝⎦17,66⎛⎫ ⎪⎝⎭17,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦i z ()12i 24i z +⋅=-||z =8-A =()P A =B =抽到的号码之和为7”，则．（用数字作答）（13）如图，已知，，若，点分别为边中点，则的最大值为．（14）已知数列满足，且，，，则；记的前项和为，则．（15）已知，，若函数有两个零点分别为，且，则的取值范围是．三、解答题：本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分14分）在中，角的所对的边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且.（i）求的值；(|)P B A=ABC△π3BAC∠=12BD DC=,E F ,AB AC DF CE⋅{}na31n na a+=+11a=22a=33a=789a a a++={}n a n n S120S=a≠0b>222()||||2f x b ax b a x b b=+-+-12,x x12x x+<abABC△,,A B C,,a b c22cos sin2sin2C a B b A=+CABC△32b=sin A（ii ）求的值．（17）（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，．（Ⅰ）设点为棱中点，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值．（18）（本小题满分15分）已知椭圆过点，其长轴长为，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．cos(2)A C +111ABC A B C -AC BC ⊥2AC BC ==13CC =,D E 1AA 1CC 1AD =2CE =F 11B C 1A F BDE 11A B BDE BDE DEF 2222:1(0)x y E a b a b +=>>⎛ ⎝4B y l E ,P Q ,BP BQ x ,M N E ,M N 43l（19）（本小题满分15分）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）对任意的正整数，设记数列的前项和为，求.（Ⅲ）设，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．（20）（本小题满分16分）已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间内无零点，求的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的在上总存在两个不同的,使得成立，求的取值范围．{}n a n n S {}n b 13a =11b =2210b S +=5232a b a -={}n a {}n b n 232,,nnn n n c S n b -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数,为偶数,{}n c n n T 2n T 138n n n n d b S ++=*n ∈N 1(1)2ni i d n n λ=++∑≥（）λ()()()()()1212ln ,e ,e 2.71828.xf x a x xg x x a -=---=∈=R 1a =()y f x =()1,(1)f ()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭a (]00,e ,x ∈(]0,e (1,2)i x i =0()()i f x g x =a高三数学学科第二次月考答案：ABDCC AABD10. ; 11. 12.; 13. 14. 15.(ii),.17.（1）取的中点为，连接，因为为中点，所以，228081,943212,258010,3⎛⎫⎪222cos 2b c a A bc +-===211cos 22cos 113A A =-=-sin 22sin cos A A A ==()11123cos 2cos 2cos sin 2sin 13226A C A C A C +=-=-⨯=-BE G ,FG DG F 11B C 11FG CC AA ∥∥而，，则，，故，所以，则四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面；（2）在直三棱柱中，，故两两垂直，以所在直线为轴建立空间直坐标系，，则，设平面的法向量为n =(x ,y ,z )，则，令，则，设直线与平面所成角为，则即直线与平面.(3) 设平面的法向量为,则，令，则，,1AD =2CE =12A D =11C E =1113222C E BB FG ++===11//,FG A D FG A D =1A DGF 1//A F DG DG ⊂BDE 1A F ⊄BDE 1//A F BDE 111ABC A B C -AC BC ⊥1,,CA CB CC 1,,CA CB CC ,,x y z ()0,0,0,(0,2,0),(0,0,2),(2,0,1),(2,0,0)C B E D A ()()110,2,2,2,2,1,(2,2,0)BE BD A B AB =-=-==-BDE 220220n BE y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2y =()1,2,2n =11A B BDE π,[0,]2θθ∈11sin cos ,A B θ=〈 11A B BDE ()()2,1,2,2,0,1DF DE =-=-DEF ()111,,m x y z = 1111122020m DF x y z m DE x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1x =()1,2,2m =-9cos ,1n n m nm m ⋅〈〉===所以平面与平面夹角的余弦值为.19. （1）由得方程组，解得BDE DEF 1922523102b S a b a +=-=及61034232q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩2q d ==121,2n n n a n b -∴=+=（2）,设，（3）设()212n n a n S n n =+∴=+ ()12112,232,2n n n n c n n n n n --⎧⎪⎪=⎨⎪⎪++⎩=-为奇数为偶数n A =13521n c c c c -++++ 2462n nB c c c c =++++ 02422242222422217136522221176116542222311165 1642222n n n n nn n nn A n n A n A ----=++++--=++++-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭两式相减，得222222113656322 16314221463432n n n nn n n n A n A ---+=+⋅-=--+∴=-⨯11111111244622222222n n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2226343222n n n n n nT A B n -+∴=+=-+⨯+()()2381112222n n n nn d n n n n -+==-+⋅⋅+⋅()()()()()102321111111111123222423252222111535 =2212222122ni n n i n n nd n n n n n n n --=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦++--=-+⨯+⨯++⨯∑ ()()()()()53521221(2)5351222nn n n n n n n n n λλ+-++⨯+++∴++- ≥恒成立≤恒成立()()5351222n n n p n n +=++-()()()(){}{}1111538535322312510022222=1111n n n n n n n n n n p p n n n n n p p p λ++++++-=++--+++=++>∴∴ 是单调递增数列，故的最小值为≤20解：（Ⅰ）当所以，所以切线方程为.（Ⅱ）∵函数上无零点，∴对任意的恒成立，或者恒成立，因为上恒成立不可能，所以恒成立.令则综上，若函数（III ）21,()12ln ,()1,a f x x x f x x'==--=-时则(1)1,(1)0f f '=-=又1y x =-+1()(0,)2f x 在1(0,()02x f x ∈>()0f x <1()0(0,2f x <在区间12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∀∈>- ⎪-⎝⎭2ln 1()2,(0,12x l x x x =-∈-()()()22111ln ln 1()22,11x x x x x l x x x --+-'=-=--2211111()ln 1,(0,()0,2x m x x x m x x x x x-'=+-∈=-=<再令则111e()(0,,()(ln 1ln ln10,22221()0,()(0,)2m x m x m l x l x >=+=>='>故在上为减函数于是所以故在上为增函数,1()()24ln 2,22ln 2,24ln 2,1l x l xa a x <=->-≥--所以故要使恒成立只要1()(0,,2f x 在上无零点24ln 2.a -则的最小值为111()ee (1)e ,xx x g x x x ---'=-=-(]2e (0,1),()0,();1,,()0,()(0)0,(1)1,(e)e 0,x g x g x x e g x g x g g g -'∈>'∈<===>当时函数单调递增当时函数单调递减.又因为所以，函数故 ①此时，当的变化情况如下：—0+最小值由①可知，即对任意，②恒成立.由③式解得： ④(](]()0,e 0,1.g x 在上的值域为()2,2ln ,0,2ln ,;a f x x x x ==-→-→+∞当时当时不合题意()()(](]2222222,()2,0,e 2,()0.,()0,e ,2a x a x a a f x a x x xxx f x f x a⎛⎫--⎪---⎝⎭'≠=--==∈'==-当时当时由题意得在上不单调220e,22ea a <<<--即,(),()x f x f x '变化时x 20,2a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭22a-2,2e a ⎛⎤⎥-⎝⎦()f x '()f x ↓↑()()()0,(),222ln ,e 2e 12,:22x f x f a f a a a a →→+∞⎛⎫=-=--- ⎪--⎝⎭又因为当时所以需满足下列条件()()222ln 00,222e 121(e)1,a f a a a f ⎧⎧⎛⎫-≤≤⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎨⎨⎪⎪---≥≥⎩⎩即k l220e a ->>()222ln2ln 22ln 22ln 22ln 202ea a a a a a -=-+->-+=-<-2,2e a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭32.e 1a ≤--综合①④可知，当在上总存在两个不同的使成立.(]03,2,0,e ,e 1a x ⎛⎤∈-∞-∈ ⎥-⎝⎦时对任意给定的(]0,e (1,2),i x i =0()()i f x g x =。

2025届晋中市榆次区高三数学上学期11月考试卷及答案解析

山西现代双语学校南校高三年级第二次月考高中数学一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合{}220A x x x =--≤∣，集合{B xy ==∣，则A B = （）A. []1,2-B. []1,3-C. (]1,2 D. []2,3【答案】C 【解析】【分析】根据二次不等式的解集求得集合A ，结合对数与根式有意义，求得集合B ，利用集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式220x x --≤，即()()210x x -+≤，解得12x -≤≤，即{}12A x x =-≤≤；又()21log 10x --≥，故()22log 11log 2x -≤=，解得13x <≤，即{}|13B x x =<≤.所以(]1,2A B = .故选：C2. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，则“π2ϕ=是函数()f x 为偶函数”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.【详解】当π2ϕ=时，()()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 为偶函数，即充分性成立；当()()sin f x x ωϕ=+为偶函数时，ππ,Z 2k k ϕ∈=+，此时π2ϕ=不一定成立，即必要性不成立；所以“π2ϕ=是函数()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A.3. 已知()()30.43333,log ,log log a b a c a ===，则（）A. a b c >> B. a c b >>C. b c a>> D. c a b>>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】因为0.40331a =>=，()()330.43033log log 30.40.41b a ===<=，又30.40>，所以10>>>a b ，又()()0.4333333log log log log 3log 0.4log 10c a ===<=，所以a b c >>.故选：A4. 若函数()()()2121,02,0m x m x f x x m x x ⎧-+-<⎪=⎨-+-≥⎪⎩满足对任意12,R x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数m 的取值范围为（）A 1,12⎛⎤⎥⎝⎦B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】依题意可知，分段函数()f x 在定义域上单调递减，分别限定各函数的单调性以及端点处的取值即可求出实数m 的取值范围.【详解】根据题意可知，函数()f x 在R 上单调递减，所以需满足()12020212010m m m m -<⎧⎪-⎪≤⎨⎪-⨯+-≥⎪⎩，解得112m <≤.即实数m 的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A5. 已知0a >，0b >，()91216log log log a b a b ==+，则ab=（）A.B.C.12D.【答案】D 【解析】.【分析】设()91216log log log a b a b k ==+=，把,a b 和a b +用k 表示出来，根据等量关系求出34k⎛⎫⎪⎝⎭的值，而34ka b =⎛⎫⎪⎝⎭，可得结果.【详解】设()91216log log log a b a b k ==+=，则有293k k a ==，1234k k k b ==⨯，2164k k a b +==，可得223344k k k k +⨯=，即2331044k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得34k⎛⎫= ⎪⎝⎭所以234334k kk ka b ==⨯⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：D.6. 已知定义域为R 的函数()f x 在[)1,+∞单调递减，且()()20f x f x -+=，则使得不等式()()220f x x f x -+<成立的实数x 的取值范围是（）A. ()1,2-B. ()(),12,-∞-+∞C. ()2,1-D. ()(),21,-∞-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】利用函数关于点对称公式可得()f x 关于()1,0对称，从而判断得()f x 在R 上单调递减，再将不等式变形为()2(22)f x x f x -<-，由此利用()f x 的单调性及解二次不等式即可得解.【详解】因为()()20f x f x -+=，所以()f x 关于()1,0对称，因为()f x 在[)1,+∞单调递减，所以()f x 在R 上单调递减，又()()=2f x f x --，则()()222f x f x =--，所以由()()220f x x f x -+<可得()()2220f x x f x ---<，即()2(22)f x x f x -<-，所以222x x x ->-，即220x x +->，解得2x <-或1x >，所以x 的取值范围为()(),21,-∞-+∞ ，故选：D .【点睛】结论点睛：若()f x 满足()()2f a x f b x c ++-=，则()f x 关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称.7. 在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos a B c a =-，则3c ab+的最小值为（）A. 2B. C. 4D. 【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理化角为边，再通过换元转化为分式函数244()t t g t t++=，变形后利用基本不等式求最值求解可得.【详解】由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，代入2cos a B c a =-得，22222222a c b a c b a c a ac c+-+-⋅==-，则2222a c b c ac +-=-，即22b a ac =+，2222222269369691c c c a c ac a c ac a a a c b b a ac a⎛⎫+⋅+ ⎪+++++⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭+，令1ct a+=，1t >，则22(1)6(1)9444()448t t t t g t t t t t -+-+++===++≥=，当且仅当4t t=时， 2t =，即a c =时等号成立，此时，,cos 0a c B ==，即π2B =，ABC V 为等腰直角三角形时，3c ab+取到最小值.故选：B.8. 已知()f x 的定义域为()()()(),3f x y f x y f x f y ++-=R ，且()113f =，则20251()k f k ==∑（）A. 13-B. 23-C.13D.23【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用赋值法，求得()()6f x f x +=，得到()f x 的一个周期是6，再根据函数的周期性和奇偶性，求得()()()()()()1,2,3,4,5,6f f f f f f 的值，进而得到答案.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为()()()(),3f x y f x y f x f y ++-=R ，且()113f =，令1,0x y ==，得()()()()1010310f f f f ++-=，所以()203f =；令0x =，得()()()()0030f y f y f f y ++-=，所以()()f y f y -=，所以()f x 偶函数，令1y =，得()()()()()1131f x f x f x f f x ++-==①，所以()()()21f x f x f x ++=+②，由①②知()()210f x f x ++-=，所以()()()()30,3f x f x f x f x ++=+=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 的一个周期是6，由②得()()()201f f f +=，所以()123f =-，同理()()()312f f f +=，所以()233f =-，又由周期性和偶函数可得：()()()()()()()()112422,511,60,333f f f f f f f f =-==-=-====所以()()()()12360f f f f ++++= ，所以20256112()337()(1)(2)(3)3k k f k f k f f f ===+++=-∑∑.故选：B.二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）9. 下列结论中，所有正确的结论是（）A. 若0,0a b c d >><<，则ac bd <B. 命题[)000:1,,e1x p x x ∞∃∈+≥+的否定是：[)1,,e 1x x x ∀∈+∞<+C. 若0a b <<且0c >，则b c ba c a+>+D. 若()20,,1x ax x ∀∈+∞<+，则实数(],2a ∈-∞【答案】AB 【解析】【分析】对A ，根据不等式的性质推导即可；对B ，根据特称命题的否定为全称命题判断即可；对C ，利用作差法判断即可；对D ，举反例判断即可.是【详解】对A ，0c d <<，则0c d ->->，又0a b >>，则0ac bc ->->，ac bd <，故A 正确；对B ，命题[)000:1,,e1x p x x ∞∃∈+≥+的否定是：[)1,,e 1x x x ∀∈+∞<+，故B 正确；对C ，()()()()()a b c b a c a b c b c b a c a a a c a a c +-+-+-==+++，因为0a b <<且0c >，故()()0a b c a a c -<+，即b c ba c a+<+，故C 错误；对D ，当2a =，1x =时，21ax x <+不成立，故D 错误；故选：AB10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()f x 关于()0,0中心对称，()f x 关于1x =对称，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.则下列选项中说法正确的有（）A. ()f x 为奇函数 B. ()f x 周期为2C. 912f ⎛⎫=⎪⎝⎭D. ()2f x -是奇函数【答案】AD 【解析】【分析】由于()f x 的定义域为R ，且关于()0,0中心对称，可知()f x 是奇函数，又()f x 关于1x =对称，由此即可求出函数的周期，根据函数的奇偶性及周期性判断各项的正误.【详解】由于()f x 的定义域为R ，且关于()0,0中心对称，可得()f x 是奇函数，故A 项正确；因为()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-，所以()()(2)4f x f x f x =--=-，所以函数()f x 的周期4T =，故B 项错误；119133*********f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 项错误；()()()()22242f x f x f x f x -=--+=--+-=---，所以(2)f x -是奇函数，故D 项正确.故选：AD.11. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()()35f x f x -=-，当[]0,1x ∈时，()2f x x =.设函数()5log 1g x x =-，则下列结论正确的是（）A. ()f x 的图象关于直线1x =对称B. ()f x 的图象在72x =处的切线方程为174y x =-+C. ()()()()20212022202320242f f f f +++=D. ()f x 的图象与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为10【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据奇偶性和对称性可得图象关于x =1对称；对于B ，根据周期性和对称性可求函数在给定范围范围上的解析式，故可求切线方程；对于C ，根据周期性可求目标代数式的值；对于D ，数形结合后可求交点的横坐标的和.【详解】对于A ，因为()f x 为偶函数，故()()()355f x f x f x -=-=-，故()()2f x f x =+，所以()()2f x f x -=+，故()f x 的图象关于直线1x =对称，故A 正确.对于B ，由A 中分析可得()f x 是周期函数且周期为2，故当[]3,4x ∈时，[]40,1x -∈，故()()()()2444f x f x f x x =-=-=-，故当()3,4x ∈时，()()24f x x '=-，故712f ⎛⎫=-⎪⎭'⎝，故切线方程为：7715224y x f x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.对于C ，由()f x 是周期函数且周期为2可得：()()()()()()202120222023202420212f f f f f f +++=+=，故C 正确.对于D ，因为()()52log 1g x x g x -=-=，故()g x 的图象关于1x =对称，而()61g =，()41g -=且1x >时()()5log 1g x x =-，此时()g x 在(1,+∞)上为增函数，故f (x ),g (x )图象如图所示：由图可得()f x 的图象与()g x 的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10.故选：ACD .【点睛】关键点点睛：分段函数的性质讨论，一般需利用变换的思想探究该函数的周期性、对称性，如果已知确定范围上的解析式，那么可利用周期性和对称性求出其他范围上的解析式；对于不同函数的交点情况的讨论，可结合它们的图象来分析.三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知幂函数()()257mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是______．【答案】2【解析】【分析】根据函数()f x 为幂函数求出m 的值，再通过()f x 的图象关于y 轴对称来确定m 的值.【详解】由()f x 为幂函数，则2571m m -+=，解得2m =，或3m =，当2m =时，()2f x x =，其图象关于y 轴对称，当3m =时，()3f x x =，其图象关于()0,0对称，因此2m =，故答案为：2.13. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x 且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立.若()()22326f x x a f x a a -+>--对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题设可得()f x 为R 上的增函数，故可得关于x 的不等式，利用判别式可求实数a 的取值范围.【详解】不妨设12x x <，又()()()1212120,0f x f x x x x x ⎡⎤-->-<⎣⎦ ，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，∴f (x )在R 上单调递增，()()22326f x x a f x a a ∴-+>--对任意x ∈R 恒成立，又()f x 在R 上单调递增，22326x x a x a a ∴-+>--，即224270x x a a -++>对任意x ∈R 恒成立，()22Δ(4)4270a a ∴=--+<，解得4a <-或12a >，∴实数a 的取值范围是()1,4,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,4,2∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭.14. 已知ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，延长BE 交AC 于点F，若2,4sin sin b A C B ==，则AEF △的面积为______.【解析】【分析】由正弦定理以及三角形面积公式求得ABC V的面积S =，设所求面积为1S ，利用向量共线定理、平面向量基本定理得出1112S S =即可求解.【详解】ABC V 的面积为()211sin 2sin sin sin 22S ac B R A C B ==⋅⋅，注意到2sin b R B ===，所以()211sin 2sin sin sin 22S ac B R A C B ==⋅⋅21sin sin sin 2A C B =⋅⋅27sin 278sin sin 8B A C =⋅==因为,,B E F 三点共线，所以设()1AE AB AF λλ=+-，而点D 是BC 中点，点E 是AD 中点，所以()11222122AD AE AB AF AB AC λλ==+-=+ ，设AF AC μ= ，所以()1122122AB AC AB AC λλμ+-=+ ，因为,AB AC 不共线，所以()112,2122λλμ=-=，解得11,43λμ==，因为111,,223CD AE AF BC AD AC ===，设AEF △的面积为1S ，则1111112231212S S S =⋅⋅⋅===.【点睛】关键点点睛：关键在于得到ABC V 的面积S =，1112S S =，由此即可顺利得解.四､解答题：（本题共5小题，共77分）15. 二次函数()f x 满足()()121f x f x x +-=-，且()02f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若[]1,2x ∈-时，()y f x =的图象恒在y x a =-+图象的上方，试确定实数a 的取值范围.【答案】（1）()222f x x x =-+（2）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设()2(0)f x ax bx c a =++≠，利用(0)2f =求得c ，由(1)()21f x f x x +-=-可求得,a b ，即得答案；（2）依题意可得当[]1,2x ∈-时，222x a x x +>--+恒成立，参变分离可得22a x x <-+恒成立，再令()22g x x x =-+，[]1,2x ∈-，求出()min g x ，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】由题意设()2(0)f x ax bx c a =++≠，由()02f =得2c =；由()()121f x f x x +-=-得22(1)(1)21a x b x c ax bx c x ++++---=-，即221ax a b x ++=-恒成立，故221a a b =⎧⎨+=-⎩，则12a b =⎧⎨=-⎩，故()222f x x x =-+；【小问2详解】因为当[]1,2x ∈-时，()y f x =的图象恒在y x a =-+图象的上方，所以当[]1,2x ∈-时，222x a x x +>--+恒成立，即当[]1,2x ∈-时，22a x x <-+恒成立，令()22g x x x =-+，[]1,2x ∈-，则()27412g x x ⎛⎫=- ⎪⎝+⎭在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 1724g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以74a <，即实数a 的取值范围为7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.16. 已知函数()242()log log 2f x x m x =-+.（1）若函数y =f (x )在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为8，求实数m 的值；（2）若函数y =f (x )在(1，2)上有唯一的零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1或-1；（2）(3,)+∞.【解析】【分析】（1）令2log t x =，则22y t mt =-+，由x 的取值范围求出t 的取值范围，对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的值；（2）依题意函数22y t mt =-+在()0,1上有唯一的零点，令()22g t t mt =-+，又()02g =，()13g m =-，对()1g 分三种情况讨论，最后取并集；【详解】解：因为()242()log log 2f x x m x =-+()22log log 2x m x =-+222log log 2x m x =-+，令2log t x =，则22y t mt =-+，（1）因为1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[2,2]t ∈-，所以2222224m m y t mt t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，[2,2]t ∈-当02m …，即m ≥0时，此时当t =-2，即14x =时，y 取最大值，即4+2m +2=8，解得m =1，满足；当02m <，即0m <时，此时当t =2时，即x =4时，y 取最大值，即4-2m +2=8，解得m =-1，满足.所以实数m 的值为1或-1.（2）因为x ∈(1，2)，所以(0,1)t ∈，因为函数y =f (x )在(1，2)上有唯一的零点，且2log t x =在(1，2)是增函数，所以函数22y t mt =-+在(0，1)上有唯一的零点，令g (t )=t 2-mt +2，因为g (0)=2，g （1）=3-m ，①当g （1）=3-m <0，即m >3时，满足题意②当g （1）=3-m =0，则m =3时，此时g (t )=t 2-3t +2，令g (t )=t 2-3t +2=0，解得t =1或t =2，不满足；③当g （1）=3-m >0时，且201,280,m m ⎧<<⎪⎨⎪-=⎩此时无解；综上，实数m 的取值范围为(3，+∞).【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．17. 函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求0x <时，()f x 的解析式；（2）问是否存在这样的正数,a b ：当[],x a b ∈时，()f x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出所有的,a b 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()220f x x x x =+<（2）存在正实数1,a b ==，理由见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性()()f x f x =--，求解解析式即可；（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为()0a b a b <<，是方程212x x x-+=的两个根的问题，进而解方程即可得答案.【小问1详解】当0x <时，0x ->，于是()()()2222f x x x x x -=---=--，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()()2222f x f x x xx x =--=---=+，即()()220f x x x x =+<；【小问2详解】假设存在正实数a b 、，当[],x a b ∈时， ()f x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据题意，()()220f x x x x =-+>，因为()2211)1(2f x x x x -=--++=≤ ，则101a<≤，得1a ≥，又函数()f x 在[)1,+∞上是减函数，所以1()1()f a a f b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此得到：(),1a b a b ≤<是方程212x x x-+=两个根，即()()2110x x x ---=，解方程求得1,x x ==所以，存在正实数1,a b ==，当[],x a b ∈时，()f x 值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.的的18. 已知2sin ,2cos 22x x a ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos 22x x b ωω⎫=⎪⎭（0ω>），函数()f x a b =⋅ 的周期为π，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x m =-有两个不同的零点1x ，2x ．（1）求函数()f x 的对称中心的坐标；（2）（i ）实数m 的取值范围；（ii ）求()12f x x +的值．【答案】（1）,1212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Z k ∈）（2）（i ）[)2,3；（ii ）2.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算以及降幂公式、辅助角公式可将()f x 化为三角函数的一般形式，根据周期性求出ω的值，由三角函数的对称性即可得结果；（2）题意转化为2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与1y m =-交点的情形，进而得m 的范围以及12x x +的值，进而可得结果.【小问1详解】由题意()2cos 2cos 222xxxf x ωωω=+cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的周期为π，所以2ω=．所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由26x k ππ+=，得212k x ππ=-，所以()f x 的对称中心为,1212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭（Z k ∈）．【小问2详解】由()0g x =，得2sin 261x m π⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，作出函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像，如图所示．（i ）由图可知，112m ≤-<，所以m 的取值范围为[)2,3（ii ）由图可知，123x x π+=，所以()122sin 21236f x x ππ⎛⎫+=⨯++= ⎪⎝⎭19. “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.（1）利用恒等式22sin cos 1θθ+=和221tan 1cos θθ+=，求函数1y x =和22cos y θ=+的最小值.（2）在ABC V 中，角A B C ､､对应的边为a b c ､､.（i ）求证：222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=.（ii ）已知实数,x y 满足2212x y ++=，求二元函数(),f x y x =的最大值.【答案】（1）1y 的最小值为：1-，2y（2）（i ）证明见解析；（ii +【解析】【分析】（1）利用三角换元结合余弦函数的性质可求1y 的最小值，利用三角换元结合距离公式可求2y 的最小值；（2）（i ）利用两角差的余弦公式、同角的三角函数基本关系化简可证；（ii ）利用（i ）中的结论可设cos ,cos x A y B ==，再化简(),f x y ，结合几何意义可求最大值.【小问1详解】设[]cos ,0,πx θθ=∈，则1πcos sin 4y θθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,πθ∈，所以ππ5π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πcos 4θ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，所以11y ≥-，即1y x =-1-，当cos 0θ>时，22cos y θ=+===，表示点()2tan ,0P θ到点()0,2A和(1,B 的距离之和，所以2y ≥=当cos 0<θ时，22cos y θ=+===，表示点()2tan ,0P θ到点()0,2A和(C 的距离之差，所以2y ≥=综上，2y..【小问2详解】.（i ）因为()()cos cos πcos sin sin cos cos C A B A B A B A B ⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以222cos cos cos 2cos cos cos A B C A B C+++222222cos cos sin sin cos cos 2sin sin cos cos 2cos cos cos A B A B A B A B A B A B C=+++-+()()222222cos cos 1cos 1cos cos cos A B A B A B =++--+2sin sin cos cos 2cos cos cos A B A B A B C -+()2212cos cos cos cos sin sin 2cos cos cos A B A B A B A B C =+-+()12cos cos cos cos sin sin 2cos cos cos A B A B A B A B C=+-+()12cos cos cos 2cos cos cos A B A B A B C=+++12cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C =-+=，证毕.（ii ）因为2212x y +=，故221Δ2402y y ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，故11y -≤≤，同理11x -≤≤.若[]π,,,0,πA B C A B C ++=∈，当,,A B C 为三角形内角时，由（i ）可得：222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，若,,A B C 有一个为零或π，不妨设0A =或πA =，若0A =，则()2222cos cos cos 2cos cos cos 1cos cos 1A B C A B C B C +++=++=，若πA =，则()2222cos cos cos 2cos cos cos 1cos cos 1A B C A B C B C +++=+-=，若（i ）中可以推广为：若[]π,,,0,πA B C A B C ++=∈，则222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=.在（i ）中，令π4C =，则221cos cos cos 2A B A B ++=且3π4A B +=，故设cos ,cos x A y B ==，所以(),f x y x =+.可得()3πcos 0,4f A A A ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()cos f A A=+cos A=+)cos A =-+=+==其表示点),sin A A 到点()2,2-和(1,0)，所以()f A ≤+==，即cos A A ==3π0,4A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：对于“即学即用”型的问题，应根据题设给出的方法指引结合函数解析式的特征展开讨论，对于带根号的形式的解析式，注意利用其几何意义来出最值.。

2023-2024学年福建省泉州市晋江市高三上学期第二次月考数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年福建省泉州市晋江市高三上学期第二次月考数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则以下结论正确的是（）A ．A B =B ．{}0A B ⋂=C ．A B A⋃=D ．A B⊆【正确答案】B【分析】由题得{0,2}B =,再判断得解.【详解】由题得{0,2}B =,所以A B ≠，{}0A B ⋂=，A B A ≠U ，A 不是B 的子集，故选：B2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若25a =，645S =，则5a =（）A ．8B ．10C ．16D ．20【正确答案】B【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组，求得1,a d 的值，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由25a =，645S =，可得11561545a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1105,33a d ==，所以51105441033a a d =+=+⨯=.故选：B.3．若(21)n x ＋的展开式中3x 项的系数为160，则正整数n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】C【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】由二项式定理知：含3x 项为()()()333312C 218321n n n n n x x ---=⨯⨯⨯ ，由题意()()4121603n n n ⨯--=，()()12120n n n --=，解得6n =；故选：C.4．设sin32k = ，则1tan16tan16+=（）A ．2kB ．1kC ．2kD ．k【正确答案】A【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒2k=.故选：A.5．国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为3613P =，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为8010Q =，则下列数中最接近数值PQ的是（）（参考数据：lg 30.477≈）A ．8910B ．9010C ．9110D ．2109【正确答案】D【分析】利用对数的运算法则计算361lg 3后可得．【详解】361lg 3361lg 33610.477172.197=≈⨯=，lg lg lg 172.1978092.197PP Q Q=-≈-=，因此PQ最接近于9210．故选：D ．6．已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（）A ．116-B ．72C ．4D ．6【正确答案】C【分析】由,,D P C 三点共线求出λ，再由11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ 得出AP BC ⋅的值.【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C7．已知双曲线E 的左､右焦点分别为1F ，2F ，M ，N 是以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 的两交点.若2212MF NF F F =+，则E 的离心率是（）A BC ．2D【正确答案】C【分析】根据题意及双曲线的定义建立关于a ，c 的方程，进而可得双曲线的离心率.【详解】∵2212MF NF F F =+，∴2121MF F F MF >=，∴点M 在双曲线的左支上，又由22122MF NF F F NF =+≠，根据对称性可得点N 在双曲线的右支上，不妨设点M 在第二象限，点N 在第四象限，如图所示，根据双曲线的定义可得122MF MF a -=，122NF NF a -=，又∵M ，N 在以1F 为圆心，12F F 为半径的圆上，∴112MF NF c ==，∴222MF a c =+，222NF c a =-，又∵2212MF NF F F =+，∴22222a c c a c +=-+，∴2c a =，即E 的离心率是2ca=.故选：C.双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).8．已知函数()2x f x =，()3g x x ax =+.若不等式()()()()22f x g x f x g x x ++-≥在[)0,+∞上恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[)6,-+∞B ．[)2,-+∞C ．[)0,+∞D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】先根据绝对值将原不等式转化为()(){}2max ,f x g x x ≥，进而分别讨论每个函数与2x 的大小关系，通过导函数的单调性讨论得到当()2,4x ∈时，22xx <，所以必须有()2,4x ∈时，2x a x +≥，分离参数求得a 的取值范围.【详解】∵()()()()22f x g x f x g x x ++-≥，∴()(){}22max ,2f x g x x ≥，即()(){}2max ,f x g x x ≥，∴对任意的[)0,x ∈+∞，22x x ≥或32x ax x +≥，当0x =时，两式均成立；当0x >时，有22xx ≥或2x a x +≥，令()22x m x x =-，0x >，()()240m m ==，()2n 21122l x m x '=-，()2202log ln 2m x x >>⇒'，()22002log ln 2x m x ⇒<<'<，∴()m x 在220,2log ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在222log ,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而()222log 2,4ln 2∈，且()()240m m ==，∴当(]0,2x ∈时，()m x 单调递减，()()20m x m ≥=，即22xx ≥，当222log l 2,n 2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()m x 单调递减，()()20m x m <=，即22x x <，当222log ,4ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()m x 单调递增，()()40m x m <=，即22x x <，当[)4,x ∈+∞时，()m x 单调递增，()()40m x m ≥=，即22xx ≥故只有当()2,4x ∈时，22xx <，所以此时必须有2x a x +≥，即221124a x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭，()2,4x ∈，∴2222a ≥-=-.故选：B.函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题9．四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，AA 1⊥平面ABCD ，则（）A ．直线AD 与直线B 1D 1所成角为45°B ．直线AA 1与直线CC 1异面C ．平面ABB 1A 1⊥平面ADD 1A 1D ．CA 1⊥AD【正确答案】AC【分析】根据异面直线所成的角，,AD BD 所成的角即为直线AD 与直线B 1D 1所成角，由此可判断A;根据棱台的几何特征可判断B;利用面面垂直的判定定理可判断C;利用线面垂直可判断1BD CA ⊥，由此判断D.【详解】如图，连接BD ,则11BD B D ∥,则,AD BD 所成的角即为直线AD 与直线B 1D 1所成角，在正方形ABCD 中，45ADB ∠= ,故直线AD 与直线B 1D 1所成角为45°，故A 正确；由于棱台的每条侧棱延长后会交于同一点，故直线AA 1与直线CC 1是相交直线，故B 错误；由AA 1⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥,又11,=AB AD AA AD A AA AD ⊥⊂，，平面11ADD A ,故AB ⊥平面11ADD A ,而AB ⊂平面11ABB A ，故平面ABB 1A 1⊥平面11ADD A ，故C 正确；连接AC,BD ,由题意知AC BD ⊥,而1AA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ,故11,BD AA AA AC A ⊥= ,BD ⊥平面11,C A CA A ⊂平面1AAC ，故1BD CA ⊥而,,AD BD D AD BD =⊂ 平面ABCD ,故AD 不可能垂直于1CA ，即D 错误，故选：AC10．设函数()sin()(0)f x A x A πϕ=+>，若106f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为1B ．16f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在[0，6]上恰有6个零点D ．()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【正确答案】BCD【分析】A.()f x 的最小正周期为2，所以该选项错误；B.分析得到1=sin 6f x A x π⎛⎫+± ⎪⎝⎭是奇函数，所以该选项正确；C.令()0f x =，所以11,,,6x k k k k Z ππππ+-=∈得到116x k k =+-,求出()f x 在[0，6]上恰有6个零点所以该选项正确；D.当x ∈12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，[],.622x k k k k Z πππππππ+-∈-+∈因为0A >,所以()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以该选项正确.【详解】A.()f x 的最小正周期为2=2ππ，所以该选项错误；B.10sin()0,,,6666f A k k Z k πππϕϕπϕπ⎛⎫=∴+=∴+=∈∴=- ⎪⎝⎭，,11=sin[(k sin()sin 666f x A x A x k A x ππππππ⎛⎫∴+++-=+=± ⎪⎝⎭是奇函数，所以该选项正确；C.令()0f x =，所以1111,,,66x k k k k Z x k k ππππ+-=∈∴=+-,当1=0k k -时，16x =；当1=1k k -时，76x =；当1=2k k -时，136x =；当1=3k k -时，196x =；当1=4k k -时，256x =；当1=5k k -时，316x =；当1=6k k -时，3766x =>.所以()f x 在[0，6]上恰有6个零点，所以该选项正确；D.当x ∈12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，[],.622x k k k k Z πππππππ+-∈-+∈因为0A >,所以()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以该选项正确.故选：BCD方法点睛：解答本题的难点是判断选项C 的真假，对于零点问题的处理，常用的方法有：（1）方程法；（2）图象法；（3）方程+图象法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11．设点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过点F 斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于,M N 两点（点M 在第一象限），直线l 交抛物线C 的准线于点P ，若34MF FN ==，则下列说法正确的是（）A ．4p =B ．0FP FM +=C ．k =D ．MON △的面积为O 为坐标原点）【正确答案】BC【分析】设()()1122,,,M x y N x y ，利用焦半径公式求出1244,232p px x =-=-，进而求出22221288,3py p p y p =-=-，并结合113MF MM NF NN ==，求出p ，即可判断A ；求出,,F P M 三点的坐标，从而求出向量FP ，FM的坐标，即可判断B ；已知,F M 两点坐标，且MF k k =，利用斜率公式可得k ，即可判断C ；由OMN OFM OFN S S S =+ ，求出MON △的面积，即可判断D.【详解】如图，设()()1122,,,M x y N x y ，1244,223p p MF x NF x =+==+= ，1244,232p p x x ∴=-=-，22221288,3py p p y p ∴=-=-，又113MF MM NF NN ==，21229y y∴=，即228983p p p p -=-，解得：2p =；故选项A 不正确；由上述分析可知(1,,3M N ⎛ ⎝⎭，又容易知()(1,0,1,F P --，则(2,FP =--uu r，(2,FM =uuu r，故0FP FM +=成立；故选项B正确；MF k k ===故选项C正确；114112233OMN OFM OFN S S S △△△+=⨯=⨯⨯，故选项D 不正确；故选：BC ．12．已知函数()e x f x x m =--（x ∈R ），()sin cos g x x x =-（0x ≥），则下列说法正确的是（）A ．若()f x 有两个零点，则1m >B ．若12x x ≠且()()12f x f x =，则120x x +<C ．函数()y g x =在区间5π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个极值点D ．过原点的动直线l 与曲线()y g x =相切，切点的横坐标从小到大依次为：1x ，2x ，…，n x .则πtan 4n n x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】A 项：方法1：分离参数画图即可求得m 的范围；方法2：研究原图的图象与x 轴交点即可；B 项：由极值点偏移的证明步骤即可证得结果；C 项：应用辅助角公式化简()g x ，求()g x 的极值点可得；D 项：由'()(0)()0n n n g x g k g x x -==-化简可得.【详解】A 项：方法1：∵()e x f x x m =--有两个零点，即：方程e x x m -=有两个根.令()e x h x x=-∴()e x h x x y m ⎧=-⎨=⎩有两个交点.∵'()e 1x h x =-∴令'()0h x =，解得0x =，当0x <，'()0h x <，()h x 在(,0)-∞单调递减，当0x >，'()0h x >，()h x 在(0,)+∞单调递增.当x →+∞，()h x →+∞，当x →-∞，()h x →+∞.()h x如图所示，又∵0e ()010h =-=∴1m >，A 正确.方法2：()e x f x x m =--，则'()e 1x f x =-，令'()0f x =，解得0x =，当0x <，'()0f x <，()f x 在(,0)-∞单调递减，当0x >，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞单调递增，所以0x =是()f x 的极小值点同时也是最小值点，即min ()(0)1f x f m ==-，当1m >时，(0)10f m =-<，()e 0m f m --=>，所以()f x 在(,0)-∞只有一个零点，又因为()e 2m f m m =-，只需证明()e 20m f m m =->恒成立，即可得到()f x 在(0,)+∞内只有一个零点.令()e 2m t m m =-，∵'()e 20,(1)m t m m =->>∴()t m 在(1,)+∞上单调递增.∴()()1e 20t m f >=->∴()e 20m t m m =->恒成立得证.∴()f x 在R 上有两个零点，A 正确；B 项：方法1：由A 项知∵()()12f x f x =∴()()12m h x h x ==且m >1且()h x 在(,0)-∞单调递减，()h x 在(0,)+∞单调递增.不妨设：10x <，20x >要证：120x x +<只需证：12x x <-又∵10x <，20x >∴120x x <-<又∵()h x 在(,0)-∞单调递减.∴只需证：()()12h x h x >-又∵()()12h x h x =∴只需证：()()22h x h x >-，20x >令()()()H x h x h x =--∴只需证：()0H x >，0x >∵()()'''()H x h x h x =+-=e 1e 1e e 2x x x x ---+-=+-当0x >，e e 20x x -+->恒成立，所以'()0H x >，∴()H x 在(0,)+∞上单增∴()(0)0H x H >=∴原命题得证.B 正确.C 项：∵()sin cos )4g x x x x π=-=-∴42x k πππ-=+，Z k ∈解得：34x k ππ=+，Z k ∈即为()g x 的极值点.∴()g x 在区间5[0,4π有1个极值点为34π.C 项错误.D.∵()sin cos g x x x =-，[0,)x ∈+∞，则'()cos sin g x x x =+，设切点坐标为()(),n n x g x ，则切线斜率为()'cos sin n n n k g x x x ==+，则sin cos 0cos sin 0n n n n n x x x x x --=+-，即sin cos tan 1πtan cos sin 1tan 4n n n n n n n n x x x x x x x x --⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，D 正确.故选：ABD.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．极值点偏移问题的解法：(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论120()2x x x +><型，构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；对结论2120()x x x ><型，构造函数20()()x F x f x f x⎛⎫=-⎪⎝⎭，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换12x t x =化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．三、填空题13．写出一个存在极值的奇函数______________.【正确答案】()sin f x x =（答案不唯一，满足条件即可）【分析】根据基本初等函数的奇偶性及极值的定义即可求解.【详解】根据题意，函数可以为()sin f x x =，当=+2,2x k k Z ππ∈时，()sin f x x =取得极大值,当=+2,2x k k Z ππ-∈时，()sin f x x =取得极小值.又()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-，所以函数是奇函数，故()sin f x x =（答案不唯一，满足条件即可．14．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________【正确答案】2【分析】将复数带入1z -，再利用模长公式化简即可得出答案.【详解】由题意知;1cos 1isin z θθ-=-+当cos 1θ=-时，max 12z -=.故2.15．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,PBA QAB AQ QP PB ∠=∠=== ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时AOB ∠=_______________________．【正确答案】2π【分析】作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，求出AB 、OC ，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，可得出10sin x θ=，10cos 53OM OC CM θθ=+=+，由勾股定理可得()()2222210cos 53sin 5sin OP OM MP θθθ=+=++然后求最值可得答案.【详解】作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，则20sin θ=AB ，10cos OC θ=，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，因为60PBA QAB ∠=∠= ，所以12AE BF x ==，32CM PF x ==，EF QP x ==，所以2AB x =，所以20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=，310cos 10cos 532OM OC CM θθθ=+==+，所以()()2222210cos 53sin 5sin OP OM MP θθθ=+=++222100cos 75sin 1003cos 25sin 10032θθθθθθ=+++=+，因为[]sin 21,1θ∈-，所以当sin 21θ=即4πθ=时2OP 最大，也就是OP 最长时2AOB π∠=.故答案为.2π本题考查了用三角函数解决几何问题，关键点是作出辅助线利用勾股定理求出2OP ，考查了学生分析问题、解决问题的能力.16．三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ==，底面ABC 是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，且CE EF ⊥，若M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为___________.【正确答案】3【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解；【详解】,PA PB PC ABC == △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又,E F 分别为PA AB ､中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又,,EF CE CE AC C ⊥⋂=EF ∴⊥平面,PAC PB ⊥平面,90,PAC APB PA PB PC ∴∠=∴=== P ABC ∴-为正方体一部分，故2R =R =，∵M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，∴当M 位于正方体的如图所示的顶点处，点M 到平面ABC 距离最大，设为h ，∴可求得三棱锥M ABC -11432-⨯=∴212343h ⨯⋅=，解得：h263求解立体几何外接球问题，根据题目特征作出辅助线，找到球心，求出半径，或补形为长方体或正方体，进而求出表面积或体积.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在①2218n n n n b a a +=，②2nn n b a =，③()1n n n b S =- 这三个条件中任选一个．补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)21n a n =-；(2)若选①，()21121n T n =-+；若选②，()16232n n T n +=+- ；若选③，()()112n n n n T +=-.【分析】(1)运用递推公式1=n n n a S S --即可求出{}n a 的通项公式；(2)若选①，则用裂项求和，若选②，则用错位相减法求和，若选③，则对n 分奇数和偶数讨论，再分组求和.【详解】（1）∵()221=,=1n n S n S n -∴-()2n ≥，∴当2n ≥时，1==21n n n a S S n ---，当=1n 时，111a S ==也满足上式，∴=21n a n -；（2）若选①：∵()2+18=n n n nb a a =()()()()2222811=212+1212+1nn n n n ---∴()()()22222221111111=+++=11335212+12+1n T n n n ----- ；若选②：∵()=2=212n nn n b a n - ，∴()()231=12+32+52++232+212n nn T n n ---⨯⨯⨯ 则()()234+12=12+32+52++232+212n n n T n n --⨯⨯⨯ ∴两式相减可得：23=2+22+22n T -⨯⨯+()+1+22212n n n -- =()+2+1822+21212n n n ---- =()+16232n n --- ，∴()+1=6+232n n T n - ；若选③：∵()()2=1=1n nn n b S n -- ，∴当n 为偶数时，()222222=1+23+41+n T n n ----- ，()222222=21+43++1n n ---- ()()()32112372122nn n n n +-+=+++-==，当n 为奇数时，21=n n T T n --=()212n n n --=()+12n n -，∴()()+1=12nn n n T -；综上，=21n a n -，选①()21=12+1n T n -，选②()+1=6+232n n T n - ，选③()()+1=12n n n n T -.18．近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性2535男性525(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.()2P k αχ=≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【正确答案】(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；(2)分布列见解析，()1E X =，2()3D X =.【分析】（1）求出2χ，比较临界值可得；（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率的分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．【详解】（1）2290(2525355) 5.625 3.84160303060χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，1~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭328(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131241C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()2231222C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，311(3)327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，∴X 的分布列如下：X0123P8274929127()1313E X ⨯==，112()31333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.19．ABC 的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b ．(1)若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积;(2)试问111a c+=能否成立?若能成立，求此时ABC 的周长;若不能成立，请说明理由．【正确答案】(1)3；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据条件先算出sin sin A C ，再运用正弦定理和三角形面积公式即可算出ABC 的面积；(2)运用反证法，先假设111a c+=能成立，再运用余弦定理和基本不等式推出悖论即可.【详解】（1）1（）由23B π=，可得3A C π+=，所以cos cos cos sin sin A C A C A C +=-（），即1cos cos sin sin 2A C A C =-，又因为2cos cos 3AC =，所以1sinsin 6A C =，因为sin sina c A C ==，所以a A c C ==，，所以11sin 4sin sin sin 426ABC S A C B A B C =⋅==⨯=；（2）假设111a c+=能成立，所以a c ac +=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，所以226a c ac =++，所以26a c ac +-=（），故260ac ac --=（），解得3ac =或2ac=-（舍），此时3a c ac +==，不满足a c+≥所以假设不成立，故111a c+=不成立；综上，3ABC S =△，111a c +=不成立.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，且22PA PB AB AD BC =====，设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ．(1)作出交线l （写出作图步骤），并证明l ⊥平面PAD ；(2)记l 与平面ABCD 的交点为Q ，点S 在交线l 上，且(01)PS PQ λλ=<<，当二面角S AC B --的λ的值．【正确答案】(1)直线PQ 即为所求作的直线l ，证明见解析(2)13λ=【分析】（1）延长AB 、DC 交于Q 点，即可得到交线，通过证明PQ PD ⊥，AD PQ ⊥即可证明线面垂直；（24=，解方程即可.【详解】（1）延长AB ，DC 交于点Q ，连结PQ ，则直线PQ 即为所求作的直线l ：因为90ABC BAD ∠=∠=︒，所以AD BC∥又因为22PA PB AB AD BC =====，所以B ，C 分别为AQ ，DQ 中点，且PAB 为正三角形，所以PQ PA ⊥，又AD AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD 且交线为AB ，且AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB ，且PQ ⊂面PAB ，所以AD PQ ⊥，又AD PA A ⋂=，且AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ,所以PQ ⊥平面PAD ，即l ⊥平面PAD ：（2）取AB 的中点O ，连结PO ，则PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD 且交线为AB ，且PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OB ，OP 所在直线为x ，z轴建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,2,0)D -，P ，(3,0,0)A ，由PS PQ λ=，得(3)S λ，所以(3)AS λ=+，(2,1,0)AC = ，显然平面SAC 的一个法向量为(0,0,1)k =，设平面SAC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AS n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即())20310x y x z λ+=⎧⎪⎨++=⎪⎩取31z λ=+，则1)x λ=-，)y λ=-，所以平面SAC的一个法向量为1),),31)n λλλ=--+，所以|||cos ,|4||||n k n k n k ⋅〈〉=== ，解得13λ=所以当二面角S AC B --13λ=21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.②理学社设置了第n (N n +∈)个月中签的名额为216n +，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第n (N n +∈)个月中签的概率为19(1)180nn p +-=，活动进行了2()k k N +∈个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于9.5个月.【正确答案】（1）①2041015②697455（2）证明见解析；【分析】（1）①设甲乙丙中签为事件,,A B C ，则()181716302928P ABC =⨯⨯，计算得到答案.②甲参加活动的时间X 的可能取值为1,2,3,4，计算概率得到数学期望.（2）设甲中签为事件A ，则4()15kP A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，114(21)(2)105m P X m P X m -⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到42195()2415kk k E X ⎛⎫⎪⎝⎭=-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得到证明.【详解】（1）①设甲乙丙中签为事件,,A B C ，则()()181716204()()3029281015P ABC P A P B A P C AB ==⨯⨯=.②()2163021n n +=--，故4n =，则甲参加活动的时间X 的可能取值为1,2,3,4，则183(1)305P X ===；18202(2)(1)30287P X ==-⨯=；18202244(3)(1)(1302826455P X ==-⨯-⨯=；1820228(4)(1)(1(1)1302826455P X ==-⨯-⨯-⨯=.则甲参加活动的时间的期望为32448697()123457455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设甲中签为事件A ，则9898984()111091091095kP A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ，设,m k m N +≤∈，甲在第21,2m m -个月中中签的概率为114(21)(2)105m P X m P X m -⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，则甲在事件A 发生的条件下，第21,2m m -个月中中签的概率为114105()m P A -⎛⎫⎪⎝⎭，则甲在事件A 发生的条件下，甲参加活动时间的均值为()()211444()1234(56)(212)10()555k E X k k P A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，设214443711(41)555k S k -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，则214444437(45)(41)55555k kS k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以211444434(41)55555k kS k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，4451912055k kS k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以444191425519195()224421155k kkk k k k E X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭==-<⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.本题考查了概率的计算，数学期望，错位相减法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在平面直角坐标系中，12,A A 两点的坐标分别为(2,0),(2,0)-，直线12,A M A M 相交于点M 且它们的斜率之积是34-，记动点M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过点(1,0)F 作直线l 交曲线E 于,P Q 两点，且点P 位于x 轴上方，记直线12,AQ A P 的斜率分别为12,k k ．①证明：12k k 为定值；②设点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，求1PFQ △面积的最大值．【正确答案】（1）221(2)43x y x +=≠±；（2【分析】（1）根据条件列出方程化简即可求出曲线方程；（2）设直线l 的方程为1122121,(,),(,)(0,0)x my P x y Q x y y y =+><，直接表示出斜率12,k k ，消元为关于12,y y 的式子，再联立直线与椭圆利用韦达定理可得12,y y 的和、积，代入化简即可求证12k k 为定值；由题意1Q 坐标为22(,)x y -，可得直线1PQ 恒过点D (4,0),11||PFQ PFD Q FD S S S =- ，化简后利用均值不等式求最值.【详解】（1）设点M 坐标为(,)x y ，则直线12,A M A M 的斜率分别为,,222y yx x x ≠±+-，依题意知3224y y x x ⋅=-+-，化简得221(2)43x y x +=≠±；（2）①设直线l 的方程为1122121,(,),(,)(0,0,0)x my P x y Q x y y y m =+><≠，则21212122121211222112121111212(2)(1)(),(2)(3)233y k x x y my y my y y my y y y y y k x y my y my y y my y y x +----++=====++++-，又221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)690m y my ++-=，得1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩因此112221211229631343434993333434m m my y k m m m m k y y m m -++-++++==-+-+++，故12k k 为定值13；②1Q 坐标为22(,)x y -，则直线1PQ 方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =解得:2112112211212112121212()(1)(1)21x x y x y x y my y my y my y x x y y y y y y y y -++++=+===+++++2292()3414634m m m m -+=+=-+，即直线1PQ 恒过(4,0)D 点，故111212121133|||3||3|||||||||||2222PFQ PFD Q FD S S S y y y y y y =-=⨯-⨯=-=+ 236||234m m =⨯+943||||m m =+4≤，当243m =，即3m =±时，等号成立，此时1PFQ △关键点点睛：求1PFQ △面积的最大值，首先要表示出三角形面积，根据本题条件，转化为11||PFQ PFD Q FD S S S =- 是解题的关键，表示出三角形面积236||234m S m =⨯+后，选择合适的方法求最大值，是解题的一个难点，本题可采用分子分母同除以||m 后，利用均值不等式求解.。

高三第二次月考(数学)试题含答案

高三第二次月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1．如果复数21iz =-+，则 A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z =D ．z 的虚部为1-2.（5分）2．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}|2B x x =>，则A B ⋂= A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}|2x x >D ．∅3.（5分）3．不等式组220y x y ≤⎧⎨-+≥⎩，表示的平面区域是图中的（）A ．B ．C ．D ．4.（5分）4．已知集合{}3,M a =，{}22,3,2N a a =--，若M N ⊆，则实数a 的值是（） A ．±1B ．1或2C ．2D ．±1或25.（5分）5．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题p 是“第一次投中”，q 是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为 A ．()p q ⌝∧ B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝6.（5分）6．下列说法中正确的是（）A ．若0a b <<，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，则22ac bc > D ．若ac bc >，则a b >7.（5分）7．关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（） A ．()1,2?B ．()1,2-C ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭8.（5分）8．的一个必要不充分条件是A ．-1<<6B ．C ．D ．9.（5分）9．若不等式2(1)(1)20m x m x -+-+>的解集是R ，则m 的范围是A ．[1,9)B ．(1,9)C ．(,1](9,)-∞⋃+∞D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞10.（5分）10．在下列函数中，最小值是2的函数是（）A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ C ．()223f x x =+D ．()42x xf x e e =+- 11.（5分）11．已知命题p ：“[]x 0,1∀∈，x a e ≥”，命题q ：“x R ∀∈，2x 4x a 0++≠”，若命题p q ∧￢是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[]1,4B ．[]e,4C ．()4,∞+D ．(],1∞-12.（5分）12．以下有关命题的说法错误的是A ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件B ．命题“若2x ≠或3y ≠，则5x y +≠”的否命题为真命题C ．若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．若变量x 、y 满足约束条件12x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．14.（5分）14．已知0x >，0y >，且21x y +=，则112x y+的最小值是______．15.（5分）15．当x∈（1，3）时，不等式x 2+mx+4＜0恒成立，则m 的取值范围是．16.（5分）16．已知命题p ：24x -≤≤，命题q ：实数x 满足()20x m m -≤>，若p⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________.三、解答题（本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17．（10分）解下列关于x 的不等式：（1）(2)1(3)x x x x +-≥-；（2）2112x x +≤+ 18.（12分）18．（12分）已知集合{}2|514A x y x x ==--，集合，集合．（1）求∁R (A ∪B)；（2）若，求实数m 的取值范围．19.（12分）19．（12分）已知命题p ：2,10x R ax ax ∀∈++>，命题:213q a -<．(1)若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．20.（12分）20．（12分）当0x >时，解关于x 的不等式2(1)0()aax a a R x-++≥∈ 21.（12分）21. （12分）设函数()12f x x m x =+--.（1）若1m =，求函数()f x 的值域；（2）若1m =-，求不等式()3f x x >的解集.22.（12分）22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）Ｄ 2.（5分）Ｄ 3.（5分）Ｃ 4.（5分）Ｂ 5.（5分）Ｂ 6.（5分）Ａ 7.（5分）Ｃ 8.（5分）Ａ 9.（5分）Ａ 10.（5分）Ｄ 11.（5分）Ｂ 12.（5分）Ｃ二、填空题（本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13. 3【详解】画出可行域和目标函数，如图所示：2z x y =+，则2y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，根据图像知：当1x y ==时，函数有最大值为3. 故答案为：3.14.（5分）14．4【详解】由题意，知0x >，0y >，且21x y +=，则111122()()222422222y x y xx y x y x y x y x y+=+=++≥+⋅=+，当且仅当22y x x y =，即11,24x y ==时等号成立，所以112x y +的最小值是4.故答案为：4.15.（5分）15．（﹣∞，﹣5]．【详解】利用函数f （x ）=x 2+mx+4的图象，∈x∈（1，3）时，不等式x 2+mx+4＜0恒成立， ∈，即，解得m≤﹣5．∈m 的取值范围是（﹣∞，﹣5]．故答案为（﹣∞，﹣5]．16.（5分）故答案为：[4，)+∞．三、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（1）[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）{}|21x x -<≤【详解】（1）原不等式可化为2210x x --≥，即()()2110x x +-≥，解得12x ≤-或1≥x ，所以原不等式的解集为[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.（2）不等式2112x x +≤+可化为102x x -≤+，等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得212x x -≤≤⎧⎨≠-⎩，所以不等式的解集为{}|21x x -<≤.18.（12分）18．（1）(2,7)-；（2）2m <或6m ≥．（注意书写形式）试题解析：（1）25140x x --≥72x x ∴≥≤-或 ∈又()27120,43,4,3x x x B --->∴-<<-=--(][),27,A B ∴⋃=-∞-⋃+∞ ()()2,7R C A B ∴⋃=-（2） ∈ ∈． ∈,,∈．∈,则或．∈．综上，或19.（12分）19．(1) [)0,4 (2) ()[)1,02,4-【详解】根据复合命题真假，讨论p 真q 假，p 假q 真两种情况下a 的取值范围．（1）命题p 是真命题时，21>0ax ax ++在R 范围内恒成立， ∈∈当0a =时，有10≥恒成立；∈当0a ≠时，有2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04a <<； ∈a 的取值范围为：[)0,4.（2）∈p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，∈p ，q 中一个为真命题，一个为假命题，由q 为真时得由213a -<，解得1a 2-<<，故：∈p 真q 假时，有041a a ≤<⎧⎨≤-⎩或042a a ≤<⎧⎨≥⎩，解得：24a ≤<；∈p 假q 真时，有012a a <⎧⎨-<<⎩或412a a ≥⎧⎨-<<⎩，解得：10a -<<；∈a 的取值范围为：()[)1,02,4-.20.（12分）20．【详解】∈0x >故原不等式等价于()()()221010ax a x a ax x a -++≥⇔--≥当0a ≤时，10ax 恒成立此时不等式解集为 Φ ；当0a >时，由()()10ax x a --=，有1x x a a==或，则当01a <<时，解集为：(]10,,a a ⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭当1a =时，解集为R +;当1a >时，解集为：[)10,,a a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦21.（12分）21．（1）[3,3]-（2）(),1-∞详解：（1）当1m =时，()12f x x x =+--3,121,123,2x x x x -≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，当12x -<≤时，3213x -≤-<，∈函数值域为[3,3]-．（2）当1m =-时，不等式()f x 即123x x x +-->.∈当1x <-时，得123x x x ---->，解得15x <，所以1x <-；∈当12x -≤<时，得123x x x +-+>，解得1x <，所以11x -≤<； ∈当2x ≥时，得123x x x ++->，解得1x <-，所以无解；综上所述，原不等式的解集为(),1-∞.22.（12分）22．（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，∈直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∈sin cos 4ρθρθ-=，∈其直角坐标方程为40x y -+=；（2）直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的方程，得250t --=，则12t t +=125t t =-，∈121211||||t t PM PN t t -+==。