2016年高考天津卷理数试题解析(正式版)

数 学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项：
1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：
如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式V 柱体=Sh ， 圆锥的体积公式V =
3
1
Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中S 表示锥体的底面积，h 表示圆锥的高． h 表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A
B =（ ）
（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3}
（D ）{1,4}
【答案】D 【解析】
试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D . 考点：集合运算
（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）
（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17
【答案】
B
考点：线性规划
（3）在△ABC 中，若=
13AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
【答案】A 【解析】
试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 考点：余弦定理
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
（A ）2
（B ）4
（C ）6
（D ）8
【答案】B 【解析】
试题分析：依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B. 考点：循环结构流程图
（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 学科&网 考点：充要关系
（6）已知双曲线2
2
24=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）
（A ）22443=1y x -（B ）223
44=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2
224=11x y - 【答案】D
考点：双曲线渐近线
（7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使
得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）8
5- （B ）
8
1 （C ）
4
1 （D ）
811
【答案】B 【解析】
试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a =
=-，33
()24
DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴253531
44848
AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.
考点：向量数量积
（8）已知函数f （x ）=2(4,0,
log (1)13,03)a
x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程
|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）
（A ）（0，23] （B ）
[23，34
] （C ）[13，2
3]
{
34}（D ）[13，23）{3
4
}
【答案】C
考点：函数性质综合应用
第Ⅱ卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a
b
的值为_______. 【答案】2 【解析】
试题分析：(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩
，2a
b =，故答案为2．
考点：复数相等
（10）281
()x x
-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】56-
【解析】
试题分析：展开式通项为281631881
()()(1)r
r r r r r r T C x C x x
--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的
338(1)56C -=-．故答案为56-．
考点：二项式定理
（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积
为_______m 3.
（第11题图）
【答案】2
考点：三视图
（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.
【答案】
23
3
【解析】
试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅
=⋅，2DE x =
，又2
BD DE x ==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则223122BC =-=，2
4
9AD x =-
，在圆中BCE DAE ∆∆，
则
BC EC AD AE =，即2
2214
9x
x
=-，解得23x =
考点：相交弦定理
（13）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1
(2
)(2)a f f ->-，
则a 的取值范围是______. 【答案】13(,)22
考点：利用函数性质解不等式
(14) 设抛物线2
22x pt y pt
⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为
B .设
C （7
2
p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为32p 的值为_________. 6 【解析】
试题分析：抛物线的普通方程为2
2y px =，(
,0)2p F ，7322
p
CF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||2A y =，由//CF AB 得EF CF
EA AB
=
，即2EF CF EA AF ==，所以262CEF CEA S S ∆∆==92ACF AEC CFE S S S ∆∆∆=+=所以132922
p ⨯=6p =
考点：抛物线定义
三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）已知函数f(x)=4tanxsin(
2
x π
-)cos(3
x π
-
)-3.
(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,
44ππ
-]上的单调性.
【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z π
π⎧⎫≠
+∈⎨⎬⎩
⎭
，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，
上单调递减.
()II 解：令2,3z x π
=-
函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
由2222
32
k x k π
ππ
ππ-
+≤-
≤
+,得5,.12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤
=-
=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.
所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
，上单调递减.
考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 (16) （本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】
（Ⅰ）
1
3
（Ⅱ）详见解析 ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.
()222
334
2
100C C C P X C ++==415
=
， ()11113334
2
107115
C C C C P X C +===
， ()1134
2
10
4215
C C P X C ===
. 所以，随机变量X 分布列为
X 0 1 2
P
415 715 415
随机变量X 的数学期望()0121151515
E X =⨯+⨯+⨯=.学科.网
考点：概率，概率分布与数学期望
(17)（本小题满分13分）
如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.
（I）求证：EG∥平面ADF；
（II）求二面角O-EF-C的正弦值；
（III）设H为线段AF上的点，且AH=2
3
HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3
（Ⅲ）
7
()
1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0) A B C D E F G
-------
，.
（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110
n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即20
20
x x y z =⎧⎨
-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线
EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面
.
（III ）解：由23AH HF =
，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，进而
有334,,
555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，因此222
7cos ,BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅.所以，直线BH 和平面CEF 7
.学科.网
考点：利用空间向量解决立体几何问题
(18) 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等比中项.
(Ⅰ)设2
2
*
1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；
(Ⅱ)设
()
22
*
11
,1,n
n
n n k a d T b n N ===
-∈∑，求证：
2111.2n
k k
T d =<∑
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 （19）（本小题满分14分）
设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知|
|3||1||1FA e
OA OF =
+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交
于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
22
14
3x y +=（Ⅱ）),4
6[]46,(+∞--∞ 【解析】
（2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)2(134
2
2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2
222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而3
4122+-=k k y B
. 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(22
2++-=k k
k k .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H
，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为
k
k x k y 124912
-+-=.
设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202
2++=k k x M .在MAO ∆中，
||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222
)2(M
M
M
M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)
1(129
202
2≥++k k ，解得46-
≤k 或4
6≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),4
6
[]46,(+∞-
-∞ . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 （20）（本小题满分14分）
设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈, (I)求)(x f 的单调区间；
(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．4
1
. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】
（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2
≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.
（2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331a
x +
=，或3
31a x -=. 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：
x
)3
31,(a -
-∞ 331a - )331,331(a a +- 331a
+ ),331(+∞+
a )('x f
＋
0 － 0 ＋ )(x f
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-
，单调递增区间为)3
31,(a --∞，),331(+∞+a
.
（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当3≥a 时，3
3120331a a +≤<≤-
，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此
|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=
⎩⎨
⎧<++--≥+++-=0
),(10
),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M .
（2）当
34
3<≤a 时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
)3
31()3321()0(a f a f f +=-
≥，)331()3321()2(a
f a f f -=+≤，
所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]3
31(),331([a f a f -+
，因此 |}39
2||,392max {||})331(||,)331(max {|b a a a
b a a a a f a f M -----=-+
= |})(39
2||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 4
14334392||392=⨯⨯⨯≥++=
b a a a .
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。