2003年江苏高考数学试题及答案
2003年高等考试.江苏卷.数学试题及答案解析
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）（A ）81（B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1）（B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的a (A)(B) (C) (D)（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心（6）函数1ln ,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） （A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tgθ的取值范围是（ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()ny x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑（Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .05.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()C ()B ()(C B A P B A P C A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
2003年高考数学试题(江苏)及答案-精编解析版
a (A)(B) (C)(D) 2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81 B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[||||(+∞∈+=λλAC AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[a C ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题 ①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）D EKBC 1A 1B 1 A F CG 18．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k ka a a121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分解：由),()(,)(x f x f x f =-得是偶函数.0cos ,0,sin cos sin cos ),sin()sin(=>=-+=+-ϕωωϕωϕϕωϕω所以得且都成立对任意所以即x xx x x.232,;]2,0[)2sin()(,310,0;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0.,2,1,0),12(32,,3,2,1,243,0,043cos ,43cos )243sin()43(,43cos )243sin()43(,0),43()43(,)(.2,0==+==≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=∴=+==+-=-=≤≤ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππωππωπππππϕπϕ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设x x f k x x f k x x f k k k k k f f x x f x f M x f 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AED A V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED⋅=⋅∆∆1.2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AE A 又 .362.36226221的距离为到平面即AED A h =⨯=∴解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平ABD 所成的角.则A(2a ,0,0),B(0,2a ,0),D(0,0,1).37arccos .372131323/14||||cos ).31,34,32(),2,2,2(.1.03232).1,2,0(),32,3,3().31,32,32(),1,,(),2,0,2(1111121所成角是与平面解得ABD B A BG BA BG A BG BA a a BD GE a BD a a CE a a G a a E a A =⋅=∠∴-=-=∴==+-=⋅∴-==∴（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).,,0)0,1,1()2,0,0(,0)0,1,1()1,1,1(11AED ED E AA ED ED AA ED AE 平面又平面⊂⊥∴=--⋅=⋅=--⋅-=⋅（Ⅰ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （Ⅱ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121()2,2121(22a a F a a E ---和 （Ⅲ）当,22时>a 方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0())21(21,0(22---+a a F a a E 和为合乎题意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k k n x a --)(， 所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数n n n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>-即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a aa a Q a a a P a a Q ⋅⋅++- ∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a a a a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n aa a a a a a ， ∴.)(121-=n a a a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k n k k k ka a a a a a a1111121.321)(161)(161)( （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k ka a a a a a a a an k kk 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a。
F-2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区 域（不包含边界）为 （ ）A ．B ．C ．D ． 2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[||||(+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范 围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[a 1,0] B ．]21,0[a C ．|]2|,0[a b D ．|]21|,0[ab -9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆.15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 18．（本小题满分12分） 已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 20．（本小题满分12分）已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分） 已知n a ,0>为正整数.（Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(；（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
2003高考试卷江苏卷
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2003年高考数学试题_江苏卷_的分析与思考
要创造性地将 知 识、能 力 和思 维 方法 在 更多
的新 情境、更 高 的 层次 中 不 断 地、反 复地 渗 透, 才能达到螺旋式 的再认 识、再 深化 乃至升 华的效果. 高三 复 习最 容 易使 学 生变 成 解题 机器和知识存 储 器, 因 此 要注 重 激发 学 生的 学习兴趣和求知欲, 注重意 识、思 想和 认识方 法的渗透及能 力 的 培养, 只有 这 样的 复 习才 能达到事半功 倍 的 效果, 这也 是 数学 教 育的 长远之计, 也符合数学素质教育的要求.
三、一些想法
客观地 评价 今 年高 考的 每 一个 试 题, 可 以说试题个个都不错, 命题 者独 具匠心, 使得 每个题都有自己的特 色, 不 落俗 套, 令 人赏心 悦目, 不无经典之作. 由于 今年高 考内 容改革 的步伐加大, 一些比 较综合 和新 颖的试 题, 考 生显 然不 能 适 应, 因此, 显 得 较 难 的 试题 多 些, 试题的区分度不 够好. 我们认 为在 锐意改 革与推 陈出 新时, 既 要积 极, 又要 稳妥, 充分 考虑教学的实 际 水 平. 试 题难 度 的设 计 应该 符合国 家 考试 中心 的任 子 朝先 生 的要 求 试 题要有良好的 区 分 度, 试 题设 计 应坚 持 贴近 基础, 入口 宽的 原则, 起 点不 宜过 高, 应 让多 数考生有门可入, 入 门之后 设置 若干关 卡、屏 障, 让不 同 成绩 层 次的 考 生能 分 别攀 登 至各 个不同的相应 高 度, 并 使 最优 秀 的考 生 得以 脱颖而出. !
试题有利 于 引导 中 学数 学 教学 克 服 题 海战术! 和 大运动量! 重复训练的倾向. 向扎 扎实实打好基础、切实 提高能 力, 努 力培 养创 新意识和实 践 能力, 全 面提 高 学生 的 数学 素 养的方向发展.
数学2003江苏卷(附解答)
a(A)(B)(C)(D)2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区 域（不包含边界）为（ ）2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[),(+∞∈++=λλOA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xxB ．),0(,11+∞∈-+=x e e y x xC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范 围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[aC ．|]2|,0[abD ．|]21|,0[ab -9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43C ．21D ．8310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ）A ．14322=-yxB ．13422=-yxC ．12522=-yxD ．15222=-yx11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx展开式中x 9的系数是 .14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆.15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G . （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.D E KBC 1A 1B 1FC G已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.已知n a ,0>为正整数.（Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221-14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P 因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P 答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
2003年江苏高考数学试题
= 0.90, P ( B ) = P (C ) = 0.95 ，
P ( A) = 0.10, P ( B ) = P (C ) = 0.50.
因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为
P( A ⋅ B ⋅ C ) + P( A ⋅ B ⋅ C ) + P( A ⋅ B ⋅ C ) = P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) + P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) + P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) = 2 × 0.90 × 0.95 × 0.05 + 0.10 × 0.95 × 0.95 = 0.176
x +1 , x ∈ (1, +∞) 的反函数为（ x −1
）
B． y =
ex −1 , x ∈ (0, +∞) ex + 1
ex + 1 , x ∈ (0, +∞) ex −1
ex −1 C． y = x , x ∈ (−∞, 0) e +1
ex + 1 D． y = x , x ∈ (−∞, 0) e −1
依题设0 ≤ ϕ ≤ π , 所以解得ϕ =
π
2
.
3π 3π − x) = − f ( + x), 4 4 3π 3ωπ π 3ωπ + ) = cos 取x = 0, 得f ( ) = sin( , 4 4 2 4 3π 3ωπ π 3ωπ ∴ f ( ) = sin( + ) = cos , 4 4 2 4 3ωπ 3ωπ π ∴ cos = 0, 又ω > 0, 得 = + kπ , k = 1,2,3, , 4 4 2 2 ∴ ω = (2k + 1), k = 0,1,2, . 3 2 2 π π 当k = 0时, ω = , f ( x) = sin( x + )在[0, ]上是减函数; 3 3 2 2 由f ( x)的图象关于点M对称, 得f ( 当k = 1时, ω = 2, f ( x) = sin( 2 x + 当k ≥ 0时, ω =
(完整word版)2003年江苏省高考数学试题
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类） 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.（1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）（A ）81（B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1）（B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB ACλλ=++∈+∞u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 则的轨迹一定通过ABC V 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心a(A)(B) (C) (D)（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）（A ）1,(0,)1x xe y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞-（C ）1,(,0)1x xe y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（A ）33a（B ）34a（C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为（ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ （9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3 （B ）4π （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则 ③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则 ④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数求ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1已知常数0,(0,),a c a i >==r r向量经过原点O 以c i λ+r r 为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-r r以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯=解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
普通高等学校招生全国一致考试数学试题江苏卷附解答
范
）
围为[0, ] ，则 P 到曲线 y
1 A．[ 0, ]
a
4
1 B．[0, ]
2a
C．重心
B．
D．
a3
C．
6
f (x) 对称轴距离的取值范围为
9．已知方程 (x 2 2x m)(x 2 2x n) 0 的四个根组成一个首项为 1 的等差数列，则 4
）
|m－n|=
A．1
3
）
A．3π
B．4π
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，把答案填在题中横线上.
13． (x 2 1 )9 展开式中 x9 的系数是
2x
14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司
52
21 C． ( , )
B．
4
y
y
b C．[0,| |]
2a
1
C．
2
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ，0）直线 y=x－1 与其相交于 M、N 两点，
MN 中点的横坐标为 2 ，则此双曲线的方程是
）
3
江苏高考试题 第 2 页 （共 8 页）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2003年江苏高考数学试题与答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数y ax2bx a的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）b b b bOa O a OaOaA．B．C．D．2．抛物线y ax2的准线方程是y 2，则a的值为（）1 1C．8 D．－8 A．B．－8 83．已知x (,0),cosx 4 ,则tg2x（）2 57 7 24D．－24A．B．－C．724 24 72x1,x0,4．设函数f(x) 1若f(x0) 1,则x0的取值范围是（）x2,x0A．（－1，1）B．(1,)C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足AB AC 的轨迹一定通过ABC的OPOA( ), 0,则,PAB ACA．外心B．内心C．重心D．垂心6．函数yln x1,x(1, )的反函数为（）x 1A．y e x1,x (0, ) B．e x 1C．y e x1,x ( ,0) D．e x 1 y e x1,x (0, )e x 1y e x1,x ( ,0)e x 17．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）a3a3a3a3 A．B．C．D．3 4 6 128．设a 0,f(x) ax2bx c，曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0, ,则P到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为（）4A．0,1B．0,1C．0,b D．0,b1a 2a 2a 2a9．已知方程(x22x m)(x22x n) 0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，4则|mn| （）A．1 B．3C．1D．34 2 810．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y x 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是（）3A．x 2y2B．x2y2C．x2y2x2y21 1 1 1D．3 4 4 3 5 2 2 511．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tg的取值范围是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）3 3 3 5 2 5 3 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3 B．4 C．33 D．62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．(x21)9的展开式中x9系数是2x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不56 1 432同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB AC,BD CD,则BC AD②若AB CD,AC BD,则BC AD③若AB AC,BD CD,则BC AD④若AB CD,AC BD,则BC AD其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）18．（本小题满分12分）已知函数f(x)sin( x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(3,0)对称，且在区间0,上是单调函数求和的值4 219．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90 ，侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求A1B与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点A1到平面AED 的距离C1A1 B1DEGCA B 20．（本小题满分12分）已知常数a 0,向量c (0,a),i(1,0) 经过原点O以c i 为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R 试问：是否存在两个定点E、F，使得PE PF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由21．（本小题满分12分）已知a 0,n为正整数（Ⅰ）设y(x a)n，证明y' n(xa)n1；（Ⅱ）设f n(x)x n(x a)n，对任意na，证明f n1'(n1)(n1)f n'(n) 22．（本小题满分14分）设a0，如图，已知直线l:y ax及曲线C:yx2,C上的点Q1的横坐标为作直线平行于x轴，交直线l于点P n1，再从点P n1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q n1.Q n(n1,2,3,⋯）的横坐标构成数列a n（Ⅰ）试求an1与a n的关系，并求a n的通项公式；（Ⅱ）当a1n1(ak1,a1时，证明ak1)ak22 k 132c n1y l（Ⅲ）当a 1时，证明(a k a k1)a k23k 1r2Q3r1Q2Q1Oa1a2a3 x2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分60分.1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分16分.13．2114．6,30,10 15．12016．①④2三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（Ⅰ）P(A) 0.90,P(B) P(C)0.95，P(A)0.10,P(B) P(C)0.50. 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95P(A)P(B)0.176P(C)答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.90 0.0522 0.10 0.05 0.95 0.10 0.0520.012解法二：三件产品都合格的概率为 P(ABC) P(A) P(B) P(C) 0.90 0.9520.812由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为1 [P(ABC)0.176] 1 (0.812 0.176) 0.012.答：至少有两件不合的概率为0.012.（ 18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .05.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()C ()B ()(C B A P B A P C A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
十年数学2003年高考试题答案解析
2003年高考数学试题（新课程卷、江苏卷、辽宁卷）新课程卷·理工农医类第Ⅰ卷（选择题 共60一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2)3(31i i+-等于（A.i 4341+B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321--2.已知x ∈（－2π，0），cos x =54，则tan2x 等于（ ） A.247 B.－247C.724 D.－724 3.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--.0 ,,0,1221x x x x 若f （x 0）>1，则x 0的取值范围是（ ）A.（－1，1）B.（－1，+∞）C.（－∞，－2）∪（0，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）4.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足λ+=OA OP (+，λ∈［0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心5.函数y =ln11-+x x ，x ∈（1，+∞）的反函数为（ ） A.y =11+-x x e e ，x ∈（0，+∞）B.y =11-+x x e e ，x ∈（0，+∞）C.y =11+-x x e e ，x （－∞，0）D.y =11-+x x e e ，x ∈（－∞，0）6.棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A.33aB.43aC.63aD.123a 7.设a >0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ）A.［0，a1］ B.［0，a21］ C.［0，|ab2|］ D.［0，|ab 21-|］ 8.已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n |等于（ ）A.1B.43C.21D.83 9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－32，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y xB.13422=-y x C.12522=-y xD.15222=-y x 10.已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1<x 4<2，则tan θ的取值范围是（ ）A.（31，1） B.（32,31） C.（21,52） D.（32,52） 11.)C C C C (C C C C lim 11413122242322nnn ++++++++∞→ 等于（ ） A.3B.31C.61 D.612.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A.3πB.4πC.33πD.6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.（x 2－x21）9展开式中x 9的系数是_____. 14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_____、_____、_____辆.15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种.（以数字作答）16.下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是_____.（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=2sin x ·（sin x +cos x ）. （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y =f （x ）在区间［－2,2ππ］上的图象.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.19.（本小题满分12分）设a >0，求函数f （x ）=x －ln （x +a ）（x ∈（0，+∞））的单调区间.20.（本小题满分12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η.（Ⅰ）求ξ、η的概率分布； （Ⅱ）求E ξ，E η.21.（本小题满分12分）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ），以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P .其中λ∈R .试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE |+|PF |为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N +）.（Ⅰ）证明对任意n ≥1，a n =51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n a 0； （Ⅱ）假设对任意n ≥1有a n >a n －1，求a 0的取值范围. ●答案解析 1.答案：B 解析：)60sin 60(cos 2)60sin 60(cos 2)30sin 30(cos 2)60sin 60(cos 2)3(31222︒+︒︒-︒=︒+︒︒-︒=+-i i i i i i .4341)2321(21)]120sin()120[cos(21i i i --=--=︒-+︒-=.2.答案：D 解法一：∵x ∈（－2π，0），cos x =54，∴sin x =－53，tan x =－43，∴tan2x =724tan 1tan 22-=-x x .解法二：在单位圆中，用余弦线作出cos x =54，x ∈（－2π，0），判断出2x ∈Ⅳ且tan2x =A T<－1.3.答案：D解法一：因为f （x 0）>1，当x ≤0时，，∴x 0<－1，当x 0>0时，210x >1，∴x 0>1.综上，所以x 0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）.解法二：首先画出函数y =f （x ）与y =1的图象.由图中易得f （x ）>1时，所对应的x 的取值范围.4.答案：B解析:设B A AB '=||为AB 上的单位向量C A =为上的单位向量,||||AC ACAB AB +的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向. 又λ∈［0，+∞］，∴λ||||AC AC AB AB +||||AC ACAB AB +的方向相同. 而||||AC ACAB AB OA OP ++=λ，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.5.答案：B解法一：y =ln 11,11-+-+x x x x =l y ，∴x =11-+y y l l ，又12112111-+=-+-=-+x x x x x 而x >1，∴11-+x x >1，∴ln 11-+x x >0，因此y =ln 11-+x x 的反函数为y =11-+x x l l （x >0） 解法二：因原函数的定义为（1，+∞），而y =1121121|1<+-=+-+=+-x x x x x l l l l l .因此排除A 、C ，又原函数的值域为（0，+∞），排除D.6.答案：C解析：如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥，而AB 2=（2a ）2+（2a ）2=21a 2，∴V 八面体=32612131a a a =⋅⋅.7.答案：B解析：f （x ）的导数为f ′（x ）=2ax +b ，由已知y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］.因此有0≤2ax 0+b ≤1.而P 到曲线y =f （x ）的对称轴的距离为ab ax a b ax a b x 2|2||22||2|000+=+=+. 8.答案：C 解析：设a 1=41，a 2=41+d ，a 3=41+2d ，a 4=41+3d ，而方程x 2－2x +m =0中的两根之和为2，x 2－2x +n =0中的两根之和也是2.∴a 1+a 2+a 3+a 4=1+6d =4，∴d =21，∴a 1=41，a 4=47是一个方程的两个根，a 2=43，a 3=45是一个方程的两个根，∴1615,167为m 或n .∴|m －n |=21. 9.答案：D解法一：设所求双曲线方程为172222=--a y a x 由⎪⎩⎪⎨⎧-==--1172222x y a y a x 得17)1(2222=---ax a x ，（7－a 2）x 2－a 2（x －1）2=a 2（7－a 2） 整理得：（7－2a 2）x 2+2a 2x －8a 2+a 4=0.又MN 中点横坐标为－32， ∴x 0=32)7(2222221-=--=+a a x x 即3a 2=2（7－2a 2），∴a 2=2. 故所求双曲线方程为15222=-y x . 解法二：因所求双曲线与直线y =x －1的交点的中点横坐标为－32<0，故双曲线的渐近线的斜率（k >0）时，为k >1，因此，排除B 、C.经检验⎪⎩⎪⎨⎧-==-115222x y y x 的交点的中点横坐标为－32. 解法三：由已知MN 中点横坐标x 0=－32，可得中点纵坐标y 0=x 0－1=－35，设MN 与双曲线交点分别为M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则有221221by a x -=1 ①，222222b ya x -=1 ②则②－①得：0))(())((2211221212=+--+-by y y y a x x x x ， ∴2211222112))(())((by y y y a x x x x +-=+-，∴25))(())((2112211222=+-+-=x x x x y y y y a b . 10.答案：C 解析：设P 1B =x ，∠P 1P 0B =θ，则CP 1=1－x ，∠P 1P 2C 、∠P 3P 2D 、∠AP 4P 3均为θ，所以tan θ=B P B P 01=x ，又tan θ=2211CP x CP CP -==x ， ∴CP 2=x x x 11=-－1，而tan θ=x xDP x DP D P D P =-=--=13)11(23323， ∴DP 3=x （3－x 1）=3x －1，又tan θ=444332)13(1AP x AP x AP AP -=--==x ， ∴AP 4=x x x 232=-－3，依题设1<AP 4<2，即1<x2－3<2， ∴4<x 2<5，51241>>x ，∴5221>>x .11.答案：B 解析：∵mn m n m n 113322C C C ,1C C +-=+== ∴2243422423332242322C C C C C C C C C C C n n n +++=++++=++++31C +=n ，1C C C C C C 21115141312-=++++++n n31]12)1([123)1()1(lim )1C (C lim )C C C (C C C lim 21311131222322=-+⋅⋅-+=-=++++++∞→++∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n 12.答案：A 解法一：,3632,26===AD AO AD 33222=-=AO SA SO . ∴R 2=32)332(2+-R ，∴R = 23.∴球的表面积为3π.解法二：构造棱长为1的正方体，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球体也为正四面体的外接球.此时球的直径为3，因此球的表面积为4π（23）2=3π. 13.答案：－221 解析：（x 2－x 21）9的展开式中，T r +1=r 9C ·（x 2）9－r （－x 21）r =（－21）r r r r x x --2189C ， rr r x 3189C )21(-⋅-=由题意得18－3r =9，∴r =3，因此x 9的系数为（－21）3·12378981C 39⋅⋅⋅⋅-=221-=. 14.答案：6 30 10解析：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为2001920046=，而三种型号的轿车有显著区别.根据分层抽样分为三层按2001比例抽样分别有6、30、10辆. 15.答案：120解法一：先排1区，有4种方法，把其余四个区视为一个圆环（如图1），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如图2的五个空格，在五个空格中放3种不同元素，且①相同元素不能相邻.②两端元素不能相同.共有15种不同方法.然后再把图2粘成圆形即可.下面解决两端元素相同的情况.在这种情况下我们在六个空格如图 3.要求①相同元素不能相邻.②两端元素必须相同，共有15种不同方法.然后再把图3粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可.综上，共有4（15+15）=120种方法.图2 图316.答案：①④⑤解析：①、④易判断，⑤中△PMN 是正三角形且AM =AP =AN ，因此，三棱锥A —PMN 是正三棱锥.所以图⑤中l ⊥平面MNP ，由此法，还可否定③.∵AM ≠AP ≠AN .也易否定②.17.解：（Ⅰ）f （x ）=2sin 2x +2sin x cos x =1－cos2x +sin2x =1+2（sin2x cos4π－cos2x sin4π）=1+2sin （2x －4π），所以函数f （x ）的最小正周期为π，最大值为1+2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知故函数y =f （x ）在区间［－2π，2π］上的图象是18.解法一：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，∵D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC ⊥平面ABC ， ∴CDEF 为矩形.连结DF ，G 是△ADB 的重心，∴G ∈DF .在直角三角形EFD 中，EF 2=FG ·FD =31FD 2， ∵EF =1，∴FD =3.于是ED =2，EG =36321=⨯. ∵FC =ED =2，∴AB =22，A 1B =23，EB =3.∴sin EBG =323136=⋅=EB EG .∴A 1B 与平面ABD 所成的角是arcsin 32. （Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D ADEA V V 11--=.∵ED ⊥AB ，ED ⊥EF ，又EF ∩AB =F ，∴ED ⊥平面A 1AB ， 设A 1到平面AED 的距离为h ，则S △AED ·h =AE A S 1∆·E D. 又2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AEA . ∴3622622=⨯=h .即A 1到平面AED 的距离为362. 解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O .设CA =2a ， 则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1），A 1（2a ，0，2），E （a ，a ，1），G （31,32,32a a ）. ∴BD a a GE ),32,3,3(==（0，－2a ，1）. ∴032322=+-=⋅a BD GE ， 解得a =1. ∴)31,34,32(),2,2,2(1-=-=BA .∴cos A 1BG 3721313231411=⋅=.A 1B 与平面ABD 所成角是arccos37. （Ⅱ）由（Ⅰ）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （0，0，1）.ED AE ⋅=（－1，1，1）·（－1，－1，0）=0，AA ⋅1=（0，0，2）·（－1，－1，0）=0， ∴ED ⊥平面AA 1E ，又ED ⊂平面AED ， ∴平面AED ⊥平面AA 1E ，又面AED ∩面AA 1E =AE .∴点A 1在平面AED 的射影K 在AE 上. 设AK =λ，则K A A A K A 111+==（－λ，λ，λ－2）.由K A 1·AE =0，即λ+λ+λ－2=0，解得λ=32. ∴)34,32,32(1--=KA . ∴362||1=A .故A 1到平面AED 的距离为362. 19.解：f ′（x ）=ax x+-121（x >0）. 当a >0，x >0时，f ′（x ）>0⇔x 2+（2a －4）x +a 2>0， f ′（x ）<0⇔x 2+（2a －4）x +a 2<0.（i ）当a >1时，对所有x >0，有x 2+（2a －4）x +a 2>0， 即f ′（x ）>0，此时f （x ）在（0，+∞）内单调递增. （ii ）当a =1时，对x ≠1，有x 2+（2a －4）x +a 2>0，即f ′（x ）>0，此时f （x ）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增. 又知函数f （x ）在x =1处连续，因此，函数f （x ）在（0，+∞）内单调递增. （iii ）当0<a <1时，令f ′（x ）>0，即x 2+（2a －4）x +a 2>0， 解得x <2－a －2a -1，或x >2－a +2a -1.因此，函数f （x ）在区间（0，2－a －2a -1）内单调递增，在区间（2－a +2a -1，+∞）内也单调递增.令f ′（x ）<0，即x 2+（2a －4）x +a 2<0，解得2－a －2a -1<x <2－a +2a -1.因此，函数f （x ）在区间（2－a －2a -1，2－a +2a -1）内单调递减.20.解：（Ⅰ）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. P （ξ=3）=758525232=⨯⨯，P （ξ=2）=7528525332525231535232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， P （ξ=1）=52525331535231535332=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， P （ξ=0）=253535331=⨯⨯； 根据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）=P （ξ=3）=758，P （η=1）=P （ξ=2）=7528， P （η=2）=P （ξ=1）=52，P （η=3）=P （ξ=0）=253.（Ⅱ）E ξ=15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯； 因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ=1523. 21.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c =（0，a ），∴c +λi =（λ，a ），i －2λc =（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax .消去参数λ，得点P （x ，y ）的坐标满足方程y （y －a ）=－2a 2x 2，整理得1)2()2(81222=-+aa y x ①因为a ＞0，所以得： （i ）当a =22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当0＜a ＜22时，方程①表示椭圆，焦点E （2,21212aa -）和F （－⋅21 2,212aa -）为合乎题意的两个定点； （iii ）当a ＞22时，方程①也表示椭圆，焦点E ))21(21,0(2-+a a 和F （0，21（a－212-a ））为合乎题意的两个定点. 22.（Ⅰ）证法一：（i ）当n =1时，由已知a 1=1－2a 0.等式成立； （ii ）假设当n =k （k ≥1）等式成立，即a k =51［3k +（－1）k －12k ］+（－1）k 2k a 0， 那么a k +1=3k －2a k =3k －52［3k +（－1）k －1·2k ］－（－1）k 2k +1a 0=51［3k +1+（－1）k 2k +1］+（－1）k +12k +1a 0，也就是说，当n =k +1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N +成立.证法二：如果设a n －a 3n =－2（a n －1－a 3n －1），用a n =3n －1－2a n －1代入，可解出a =51. 所以{a n －53n }是公比为－2，首项为a 1－53的等比数列，∴a n －53n =（1－2a 0－53）（－2）n －1（n ∈N +），即a n =52)1(31nn n --++（－1）n 2n a 0.（Ⅱ）解法一：由a n 通项公式a n －a n －1=523)1(32111---⨯-+⨯n n n +（－1）n 3×2n －1a 0，∴a n >a n －1（n ∈N +）等价于（－1）n －1（5a 0－1）<（23）n －2（n ∈N +）. ① （i ）当n =2k －1，k =1，2，…时，①式即为（－1）2k －2（5a 0－1）<（23）2k －3， 即为a 0<51（23）2k －3+51. ②②式对k =1，2，…都成立，有a 0<51×（23）－1+51=31. （ii ）当n =2k ，k =1，2，…时，①式即为（－1）2k －1（5a 0－1）<（23）2k －2，即为a 0>－51×（23）2k －2+51. ③③式对k =1，2，…都成立，有 a 0>－51×（23）2×1－2+51=0. 综上，①式对任意n ∈N +成立，有0<a 0<31. 故a 0的取值范围为（0，31）. 解法二：如果a n >a n －1（n ∈N +）成立，特别取n =1，2有a 1－a 0=1－3a 0>0， a 2－a 1=6a 0>0，因此0<a 0<31. 下面证明当0<a 0<31时，对任意n ∈N +，有a n －a n －1>0. 由a n 通项公式5（a n －a n －1）=2×3n －1+（－1）n －13×2n －1+（－1）n 5×3×2n －1a 0. （i ）当n =2k －1，k =1，2，…时，5（a n －a n －1）=2×3n －1+3×2n －1－5×3×2n －1a 0>2×2n －1+3×2n －1－5×2n －1=0. （ii ）当n =2k ，k =1，2，…时，5（a n －a n －1）=2×3n －1－3×2n －1+5×3×2n －1a 0>2×3n －1－3×2n －1≥0. 故a 0的取值范围为（0，31）. 新课程卷·文史类（与理工农医类不同的部分）●试题部分 1.不等式24x x <x 的解集是（ ）A.（0，2）B.（2，+∞）C.（2，4]D.（－∞，0）∪（2，+∞）2.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2，则a 的值为（ ） A.81B.－81 C.8 D.－85.等差数列{a n }中，已知a 1=31，a 2+a 5=4，a n =33，则n 为（ ）A.48B.49C.50D.516.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）A.3B.26 C.36 D.33 11.已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.若P 4与P 0重合，则tan θ等于（ ）A.31 B.52C.21D.115.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .16.将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种17.已知正四棱柱11111=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.（Ⅰ）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （Ⅱ）求点D 1到面BDE 的距离.18.已知抛物线C 1：y =x 2+2x 和C 2：y =－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线.公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19.已知数列{a n }满足a 1=1，a n =3n －1+a n －1（n ≥2）. （Ⅰ）求a 2、a 3；（Ⅱ）证明a n =231-n .20.有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 21.已知函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）（ω>0，0≤ϕ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （43π，0）对称，且在区间［0，2π］上是单调函数，求ϕ和ω的值.22.已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ），以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P .其中λ∈R .试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE |+|PF |为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.●答案解析 1.答案：C解法一：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≥≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧->≥≥-242,0442004400422222x x x x x x x x x x x x x x x 解法二：由于5不满足4x －x 2≥0排除B 、D.1不满足24x x -<x 排除A 故选C.2.答案：B 解析：y =ax 2⇒81,241,12-=-==a a y a x . 5.答案：C解析：∵a 1=31设a n =a 1+（n －1）d =31+（n －1）d ，a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =4，32+5d =4，d =32，a n =a 1+（n －1）d =31+（n －1）32=33，n =50.6.答案：B解析：设双曲线为2222by a x -=1，∵△MF 1F 2为等腰三角形，∠F 1MF 2=120°，∴∠MF 1F 2=30°，∴tan30°=23)(,32)(,31)(1,31,3322222222===-=-==a c c a c a c a c c b c b ， ∴26=e . 11.答案：C解析：因为P 4与P 0重合，∴P 1为BC 中点，P 2为CD 中点，P 3为AD 中点.∴tan θ=21. 15.答案：2222BCD ADB ACD ABCS S S S ∆∆∆∆=++解析：过A 作BC 垂线AE 与BC 交于E ，连接DE ，则BC ⊥DE ，∵S △ABC 2=41AB 2·AC 2，S △DAB 2=41AB 2·DA 2，S △DAC 2=41AC 2·DA 2，S △DBC 2=41BC 2·DE 2 =41BC 2（AE 2+DA 2）=41（AB 2+AC 2）（AE 2+DA 2） =41AB 2·DA 2+41AC 2·AD 2+41BC 2·AE 2， ∴S △DBC 2=S △DAB 2+S △DAC 2+S △ABC 2. 16.答案：42解析：分别用a 、b 、c 代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a ，再安排第二块田有b 或c 2种方法.不妨设放入b .第三块田也有2种方法a 或c . （Ⅰ）若第三块田放c ：，则第四、五块田分别有2种方法，共2·2种方法.（Ⅱ）若第三块田放a ：，第四块田仍有b 或c 2种放法. （i ）若第四块田放c ：，第五块田仍有2种方法.（ii ）若第四块田放b ：，则第五块田只能放c ，共有3种方法.综上，共有3·2（2·2+3）=42种方法.17.（Ⅰ）证法一：取BD 中点M ，连结MC 、FM .∵F 为BD 1中点，∴FM ∥D 1D 且FM =21D 1D. 又EC =21CC 1且EC ⊥M C. ∴四边形EFMC 是矩形，∴EF ⊥CC 1.又CM ⊥面DBD 1，∴EF ⊥面DBD 1，∵BD 1 面DBD 1， ∴EF ⊥BD 1.故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. 证法二： 建立如图的坐标系，得B （0，1，0），D 1（1，0，2），F （21，21，1）， C 1（0，0，2），E （0，0，1）. ∴EF =（21，21，0），1CC =（0，0，2）.1BD =（1，－1，2）.∴EF ·1CC =0，1BD ·EF =0. 即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1.故EF 是CC 1与BD 1的公垂线. （Ⅱ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V --=11.由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ， 则S △DBE ·d =1DBD S ∆·EF .∵AA 1=2，AB =1.∴BD =BE =ED =2，EF =22. ∴23)2(2321.2222121=⋅⋅==⋅⋅=∆∆DBE DBD S S . ∴33223222=⨯=d.故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18.解：函数y =x 2+2x 的导数y ′=2x +2.曲线C 1在点P （x 1，x 12+2x 1）的切线方程是y －（x 12+2x 1）=（2x 1+2）（x －x 1）. 即y =（2x 1+2）x －x 12 ① 函数y =－x 2+a 的导数y ′=－2x ，曲线C 2在点Q （x 2，－x 22+a ）的切线方程是y －（－x 22+a ）=－2x 2（x －x 2）， 即y =－2x 2x +x 22+a . ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，所以⎩⎨⎧+=--=+.,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a =0.若判别式Δ=4－4×2（1+a ）=0时，即a =－21时解得x 1=－21.此时点P 与Q 重合. 即当a =－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y =x －41.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a <－21时C 1和C 2有两条公切线.设一条公切线上切点为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1+x 2=－1，y 1+y 2=x 12+2x 1+（－x 22+a ）=x 12+2x 1－（x 1+1）2+a =－1+a . 线段PQ 的中点为（21,21a +--）. 同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是（21,21a+--）. 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.19.（Ⅰ）解：∵a 1=1，∴a 2=3+1=4，a 3=32+4=13.（Ⅱ）证法一：由已知a n －a n －1=3n －1，故a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+…+（a 2－a 1）+a 1=3n －1+3n －2+…+3+1=213-n .所以证得a n =213-n .证法二：（1）当n =1时，命题成立.（2）假设n =k 时，命题成立.即a k =213-k ，那么n =k +1时，a k +1=3k +a k =3k +213-k21321)12(3213321-=-+=-+⋅=+k k k k 即n =k +1时命题成立.综合（1）（2），命题对n ∈N 均成立.20.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C .（Ⅰ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95.P （A ）=0.10，P （B ）=P （C ）=0.05. 因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）· P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176.答：恰有一件不合格的概率为0.176.（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=0.90×0.052+ 2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012.答：至少有两件不合格的概率为0.012. 解法二：三件产品都合格的概率为 P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.90×0.952=0.812.由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－［P （A ·B ·C ）+0.176］=1－（0.812+0.176）=0.012.答：至少有两件不合格的概率为0.012.21.解：由f （x ）是偶函数，得f （－x ）=f （x ） 即sin （－ωx +ϕ）=sin （ωx +ϕ）. 所以－cos ϕsin ωx =cos ϕsin ωx对任意x 都成立，且ω＞0，所以得cos ϕ=0. 依题设0≤ϕ≤π，所以解得ϕ=2π.由f （x ）的图象关于点M 对称，得f （43π－x ）=－f （43π+x ）. 取x =0，得f （43π）=－f （43π），所以f （43π）=0. ∵f （43π）=sin （243πωπ+）=cos 43ωπ， ∴cos43ωπ=0，又ω＞0，得243πωπ++k π，k =0，1，2，…. ∴ω=32（2k +1），k =0，1，2，…. 当k =0时，ω=32，f （x ）=sin （232π+x ） 在［0，2π］上是减函数；当k =1时，ω=2，f （x ）=sin （2x +2π）在［0，2π］上是减函数；当k ≥2时，ω≥310，f （x ）=sin （ωx +2π）在［0，2π］上不是单调函数. 所以，综合得ω=32或ω=2. 22.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c =（0，a ），∴c +λi =（λ，a ），i －2λc =（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax .消去参数λ，得点P （x ，y ）的坐标满足方程y （y －a ）=－2a 2x 2，整理得1)2()2(81222=-=aa y x ①因为a ＞0，所以得： （ⅰ）当a =22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ⅱ）当0＜a ＜22时，方程①表示椭圆，焦点E （2,21212a a -）和 F （－212,212aa -）为合乎题意的两个定点； （ⅲ）当a ＞22时，方程①也表示椭圆，焦点E （0，21（a +212-a ））和F （0，21（a －212-a ））为合乎题意的两个定点.江苏卷（与新课程卷不同的部分）●试题部分1.如果函数y =ax 2+bx +a 的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（ ）21.已知a >0，n 为正整数.（Ⅰ）设y =（x －a ）n ，证明y ′=n （x －a ）n －1；（Ⅱ）设f n （x ）=x n －（x －a ）n ，对任意n ≥a ，证明f n +1′（n +1）>（n +1）f n ′（n ）. 22.设a >0，如图，已知直线l ：y =ax 及曲线C ：y =x 2，C 上的点Q 1的横坐标为a 1（0<a 1<a ）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点P n +1，再从点P n +1作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n +1.Q n （n =1，2，3，…）的横坐标构成数列{a n }.（Ⅰ）试求a n +1与a n 的关系，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）当a =1，a 1≤21时，证明321)(11<-+=∑k nk k a a ；（Ⅲ）当a =1时，证明31)(211<-++=∑k k nk ka a a. ●答案解析 1.答案：C解析：∵函数的图象与x 轴有两个交点.所以有b 2－4a 2>0.即|b |>2|a |.对a 、b 的符号分情况讨论.①⎩⎨⎧>>00b a ②⎩⎨⎧<>00b a ③⎩⎨⎧><00b a ④⎩⎨⎧<<00b a 可得到C 选项.21.证明：（Ⅰ）因为（x －a ）n=k k n nk knx a -=-∑)(C，所以y ′=1111111)()(C )(C---=----=-=-=-∑∑n k k n nk k n k kn nk k na x n x a n xa k . （Ⅱ）对函数f n （x ）=x n －（x －a ）n 求导数：f n ′（x ）=nx n －1－n （x －a ）n －1，所以f n ′（n ）=n ［n n －1－（n －a ）n －1］. 当x ≥a >0时，f n ′（x ）>0.∴当x ≥a 时，f n （x ）=x n －（x －a ）n 是关于x 的增函数. 因此，当n ≥a 时，（n +1）n －（n +1－a ）n >n n －（n －a ）n . ∴f n +1′（n +1）=（n +1）［（n +1）n －（n +1－a ）n ］>（n +1）（n n －（n －a ）n ）>（n +1）（n n －n （n －a ）n －1）=（n +1）f n ′（n ），即对任意n ≥a ，f n +1′（n +1）>（n +1）f n ′（n ）.22.（Ⅰ）解：∵Q n （a n ，a n 2），P n +1（a 1·a n 2，a n 2），Q n +1（a 1·a n 2，21aa n 4）， ∴a n +1=a1·a n 2， ∴a n =a 1·a n －12=a 1（a 1·a n －22）2=（a 1）1+2a n －222=（a 1）1+2（a1·a n －32）22 =（a 1）2221++a n －332=……=（a 1）111122121221221)()1(-----==+++n n n n n aa a a aa ∴a n =a （aa 1）12-n .（Ⅱ）证明：由a =1知a n +1=a n 2. ∵a 1≤21，∴a 2≤41，a 3≤161.∵当k ≥1时，a k +2≤a 3≤161，∴321)(161)(161)(1111111<-=-≤-++=++=∑∑n k n k k k k nk ka a a a a a a. （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，a n =121-n a .因此2211112112121121211)()()(11++-==++=-≤-=-∑∑∑+-i i k ink k k nk ka a a a a a a a an k kk.3111)1()1(21151313121112131211<++=-⋅-<-=∑-=a a a a a a a aa a n k i辽宁卷（与新课程卷不同的部分）●试题部分 1.与曲线y =11-x 关于原点对称的曲线为（ ） A.y =x+11B.y =－x+11 C.y =x-11D.y =－x-114.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ） A.λ（AD AB +），λ∈（0，1） B.λ（+），λ∈（0，22） C.λ（AD AB -），λ∈（0，1） D.λ（BC AB -），λ∈（0，22） 16.对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB =AC ，BD =CD ，则BC ⊥AD ②若AB =CD ，AC =BD ，则BC ⊥AD ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD 其中真命题的序号是_____.（写出所有真命题的序号） ●答案解析 1.答案：A解法一：首先画出y =11-x ，利用特殊点的对称性，可以“找”到正确选项.令x =0，则y =－1，点（0，－1）在原曲线，其关于原点的对称点（0，1）只满足y =x+11. 解法二：已知曲线y =f （x ）=11-x ，其关于原点对称的曲线为y =－f （－x ） =－xx +=--1111.4.答案：A解析：由向量的运算法则AD AB AC+=.而点P 在对角线AC 上，所以AP 与AC 同向，且|AP |<|AC |，∴AP =λ（+） λ∈（0，1）.16.答案：①④解析：对于命题①，取BC 的中点E .连接AE 、DE .则BC ⊥AE ，BC ⊥DE .∴BC ⊥AD .对于命题④过A 向平面BCD 做垂线AO .连接BO 与CD 交于E .则CD ⊥BE .同理CF ⊥BD .∴O 为△BCD 垂心.连接DO ，则BC ⊥DO ，BC ⊥AO .∴BC ⊥AD .2003年高考数学试题（全国卷、河南卷）全国卷·理工农医类（与新课程卷不同的部分）●试题部分 2.圆锥曲线ρ=θθ2cos sin 8的准线方程是（ ） A.ρcos θ=－2 B.ρcos θ=2 C.ρsin θ=－2 D.ρsin θ=2 4.函数y =2sin x （sin x +cos x ）的最大值为（ ） A.1+2B.2－1C.2D.25.已知圆C ：（x －a ）2+（y －2）2=4（a >0）及直线l ：x －y +3=0，当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a 等于（ ）A.2B.2－2C.2－1D.2+16.已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A.2πR 2B.49πR 2 C.38πR 2 D.25πR 2 9.函数f （x ）=sin x ，x ∈［23,2ππ］的反函数f －1（x ）等于（ ）A.－arcsin x ，x ∈［－1，1］B.－π－arcsin x ，x ∈［－1，1］C.π+arcsin x ，x ∈［－1，1］D.π－arcsin x ，x ∈［－1，1］ 14.使log 2（－x ）<x +1成立的x 的取值范围是 .15.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种.（以数字作答）17.已知复数z 的辐角为60°，且|z －1|是|z |和|z －2|的等比中项，求|z |.19.已知c >0，设P ：函数y =c x 在R 上单调递减，Q ：不等式x +|x －2c |>1的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.20.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ（θ=arccos102）方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21.已知常数a >0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ，O 为AB 的中点.点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为CE 与OF 的交点（如图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22.（Ⅰ）设{a n }是集合{2t +2s |0≤s<t ，且s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1=3，a 2=5，a 3=6，a 4=9，a 5=10， a 6=12，….将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：（i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数： （ii ）求a 100. （Ⅱ）（本小题为附加题）设{b n }是集合{2t +2s +2r |0≤r <s <t ，且r ，s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列成的数列.已知b k =1160，求k .●答案解析 2.答案：C解析：变形后两边同时乘以ρ得：ρ2cos 2θ=8ρsin θ，∴y 2=8x ，其准线方程为x =－2，在极坐标系中方程为ρsin θ=－2.4.答案：A解析：y =2sin 2x +sin2x =1－cos2x +sin2x =1+2sin （2x －4π），∴y max =1+2.5.答案：C解析：由弦心距性质知，圆心C （a ，2）到直线l 的距离d =1，即d =2|32|+-a =1. ∴a =2－1，∵a >0，∴a =－2－1（舍去）.6.答案：B解析：设内接圆柱的半径为r ，高为h ，则有⇒-=Rr R R h 3h =3（R －r ）.∴S 全=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh =－4π（r －43R ）2+49πR 2 ∴其最大值为49πR 2. 9.答案：D解法一：∵f －1（1）=2π，∴将x =1代入A 、B 、C 、D 各式中，只有D 等于2π，因此D 正确.解法二：利用函数f （x ）的值域为［23,2ππ］，∵arcsin x ∈［－2π，2π］，∴只有D中式子范围是［23,2ππ］.14.答案：（－1，0）解析：由图可知，x 的取值范围是（－1，0）. 15.答案：72解析：先排1区，有4种方法，再排2区，有3种方法，如果3、5两区同色，则4区有2种方法，否则4区只剩一种方法.另外3、5两区本身还有两种选择，故共有4·3（2+1）·2=72.17.解法一：设z =r （cos60°+i sin60°），则复数z 的实部为2r. ∴z +z =r ，z z =r 2. 由题设|z －1|2=|z |·|z －2|， 即（z －1）（z －1）=|z |)2)(2(--z z ，∴r 2－r +1=r422+-r r ，整理得r 2+2r －1=0. 解得r =2－1，r =－2－1（舍去）.即|z |=2－1.解法二：设z =a +bi ，a >0，∵tan60°=3=ab，∴b =3a .∴z =a +3ai （a >0）， ∵|z －1|=223)1(a a +-，|z |=223a a +=2a ，|z －2|=223)2(a a +-，又∵|z －1|2=|z |·|z －2|，∴（a －1）2+3a 2=2a 223)2(a a +-⇒ 4a 2－2a +1=2a 1444422+-=+-a a a a a ⇒16a 4+4a 2+1－16a 3+8a 2－4a =16a 2（a 2－a +1）化简得4a 2=－4a +1⇒4a 2+4a －1=0⇒（2a +1）2=2⇒2a +1=2，∴a =212-.∴|z |=2－1 解法三：设z =r （cos60°+i s i n60°）=232+r ri 则z －1=（2r －1）+23ri ，z －2=（2r－2）+23ri 由题设：|z －1|2=|z |·|z －2|，∴（2r －1）2+43r 2=r 2243)22(r r +- ∴r 2－r +1=r ·422+-r r ，整理得：r 2+2r －1=0解得r =2－1，r =－2－1（舍去）.∴|z |=2－1.19.解：函数y =c x 在R 上单调递减⇔0<c <1.不等式x +|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y =x +|x －2c |在R 上恒大于1.∵x +|x －2c |=⎩⎨⎧<≥-,2 ,2,2 ,22c x c c x c x∴函数y =x +|x －2c |在R 上的最小值为2c .∴不等式x +|x －2c |>1的解集为R ⇔2c >1⇔c >21. 如果P 正确，且Q 不正确，则0<c ≤21. 如果P 不正确，且Q 正确，则c ≥1. 所以c 的取值范围为（0，21］∪［1，+∞）. 20.解法一：设在时刻t （h ）台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t +60（km ）. 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t +60. 由余弦定理知OQ 2=PQ 2+PO 2－2·PQ ·PO cos OPQ . 由于PO =300，PQ =20t ，cos OPQ =cos （θ－45°）=cos θcos45°+s i n θs i n45°=5422102122222=⨯-+⨯， 故OQ 2=（20t ）2+3002－2×20t ×300×54=202t 2－9600t +3002. 因此202t 2－9600t +3002≤（10t +60）2， 即t 2－36t +288≤0，解得12≤t ≤24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解法二：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是（x －x ）2+（y －y ）2≤［r （t ）］2， 其中r （t ）=10t +60.若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 （0－x ）2+（0－y ）2≤（10t +60）2，即（300×102－20×22t ）2+（－300×1027+20×22t ）2≤（10t +60）2，即t 2－36t +288≤0，解得12≤t ≤24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）.设DADGCD CF BC BE ===k （0≤k ≤1）. 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：2ax +（2k －1）y =0， ① 直线GE 的方程为：－a （2k －1）x +y －2a =0. ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0，整理得222)(21a a y x -+=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当a 2<21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2.当a 2>21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .22.（Ⅰ）解：（i ）第四行 17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48（ii ）解法一：设a 100=022s t+.只须确定正整数t 0，s 0.数列{a n }中小于02t的项构成的子集为{2t +2s |0≤s <t <t 0}， 其元素个数为2)1(C 002-=t t t ， 依题意2)1(00-t t <100 满足上式的最大整数t 0为14，所以取t 0=14.因为100－214C =s 0+1，由此解得s 0=8.∴a 100=214+28=16640. 解法二：n 为a n 的下标三角形数表第一行第一个元下标为1， 第二行第一个元下标为2)12(2-⨯+1=2， ……第t 行第一个元下标为2)1(-t t +1，第t 行第s 个元下标为2)1(-t t +s ,该元等于2t +2s －1. 据此判断a 100所在的行. 因为2)115(151002)114(14-⨯≤<-⨯，所以a 100是三角形数表第14行的第9个元a 100=214+29－1=16640.（Ⅱ）解：b k =1160=210+27+23，令M ={c ∈B |c <1160}（其中B ={2t +2s +2r |0≤r <s <t }），因M ={c ∈B |c <210}∪{c ∈B |210<c <210+27}∪{c ∈B |210+27<c <210+27+23}.。
2003高考数学试题及答案
2003高考数学试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为（）A. 0B. -2C. -1D. 2答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 若复数z满足|z|=1，则z的值可以是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i答案：A4. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a>0，b>0，若C的渐近线方程为y=±2x，则b/a的值为（）A. 1/2B. 2C. √2D. √3答案：B5. 已知函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1，若f'(x)=0有实根，则实根的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 若直线l的方程为y=kx+b，且l与圆x^2+y^2=1相切，则k 的取值范围为（）A. -1≤k≤1B. -√2≤k≤√2C. -1<k<1D. -√2<k<√2答案：D7. 已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量a+2b的坐标为（）B. (5,2)C. (-3,0)D. (-3,2)答案：A8. 若函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(π/4)的值为（）A. √2B. 1C. 2D. 0答案：A9. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=1/2，则b4的值为（）A. 1/2B. 1/4D. 1/16答案：C10. 若函数f(x)=x^2-6x+8，且f(x)=0的根为x1和x2，则|x1-x2|的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B11. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若点P(1,2)在C上，则点P到C的焦点F的距离为（）A. 1B. 2C. 3答案：C12. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2，且f'(x)=0的根为x1和x2，则x1+x2的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷附解答
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷附解答一、选择题1. 设函数 $f(x) = \log_2(x - 2) - 2$，则 $f^{-1}(2)$ 的值为多少？解答：由于 $f(x) = 2$，我们可以得到 $2 = \log_2(x - 2) - 2$。
将方程两边加上 2 并移项可得 $\log_2(x - 2) = 4$。
由对数的定义可知 $2^4 = x - 2$，解得 $x = 18$。
因此，$f^{-1}(2) = 18$。
2. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的抛物线与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点，且 $AB$ 的中点为 $M(1,-2)$，则函数 $f(x)$ 的解析式为什么？解答：由题意可知，抛物线的对称轴为 $x = 1$，且 $M(1,-2)$ 是抛物线上的一个点。
因此，函数 $f(x)$ 的顶点坐标为 $(1,-2)$。
由顶点坐标可知，对称轴上的点 $(0, f(0))$ 和 $(2, f(2))$ 的纵坐标相等且等于顶点的纵坐标。
即$$f(0) = f(2) = -2$$将 $f(x)$ 的解析式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 代入上述两个等式中，得到以下两个方程：$$\begin{cases} f(0) = c = -2 \\ f(2) = 4a + 2b + c = -2 \end{cases}$$联立方程解得 $a = 1$，$b = -6$，$c = -2$。
因此，函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x) = x^2 - 6x - 2$。
二、填空题1. 在梯形 $ABCD$ 中，若 $AB \parallel CD$，$AB = 6$，$BC = 8$，$AD = 10$，$M$、$N$ 分别是 $AD$、$BC$ 的中点，则 $MN$ 的长度为 \_\_\_。
解答：由题意，$ABCD$ 是一个梯形，$AB \parallel CD$。
历年江苏数学高考试题及答案(2014-2003)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ c ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ b ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值 （19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
03年江苏省高考数学
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(Ⅰ)求恰有一件不合格的概率； (Ⅱ)求至少有两件不合格的概率．(精确到 0.001) 20．(本小题满分 12 分)已知常数 a 0 ，向量 c=(0，a)，i=(1，0)， 经过原点 O 以 c＋λi 为方向向量的直线与经过定点 A(0，a) 以 i－2λc 为方向向量的直线相交于点 P，其中 λ∈R．试问：是否存 在两个定点 E、F，使得|PE|＋|PF|为定值．若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由． 18．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0≤φ≤π) 3π π 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M ( 4 ，0)对称，且在区间[0，2] 上是单调函数，求 φ 和 ω 的值． 22．(本小题满分 14 分)设 a＞0，如图，已知直线 l：y=ax 及曲线 C：y=x2，C 上的点 Q1 的横坐标为 a1(0＜a1＜a).从 C 上的点 Qn(n≥1)作直线平行于 x 轴，交直线 l 于点 Pn+1，再从点 Pn+1 作 直线平行于 y 轴，交曲线 C 于点 Qn+1．Qn(n=1，2，3，…)的横 坐标构成数列{an}． (Ⅰ)试求 an+1 与 an 的关系，并求{an}的通项公式；
2003 年江苏省高考理科数学
一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分) 1．如果函数 y=ax +bx+a 的图象与 x 轴有两个交点，则点(a，b) 在 aOb 平面上的区域(不包含边界)为( )
2
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心 )
1 1 2 2 1 2 2 A．(3，1) B．(3，3) C．(5，2) D．(5，3) 12．棱长都为 2的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表 面积为( ) D．6π
2003年全国统一高考数学试卷(江苏卷)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪江苏）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，)b 在aOb 平面上的区域（不包含边界）为A. B. C. D. 2. （2003▪江苏）抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为 A.18 B.18- C.8 D.﹣83. （2003▪江苏）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x = A.247 B.724- C.724 D.247- 4. （2003▪江苏）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是A.1(-，)1B.1(-，)∞+C.-∞(，0()2 -，)∞+D.-∞(，1()1 -，)∞+5. （2003▪江苏）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()([0||||AB AC OP OA AB AC λλ=++∈，))∞+，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心6. （2003▪江苏）函数1ln1x y x +=-，1(∈x ，)∞+的反函数为 A.11x x e y e -=+，0(∈x ，)∞+ B.11x x e y e +=-，0(∈x ，)∞+ C.11x x e y e -=+，-∞∈(x ，)0 D.11x x e y e +=-，-∞∈(x ，)0 7. （2003▪江苏）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33a B.43a C.63a D.123a 8. （2003▪江苏）设0a >，2()f x ax bx c =++，曲线)(x f y =在点0(x P ，))(0x f处的切线的倾斜角的取值范围为0[，]4π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为A.[0，1]aB.[0，1]2aC.[0，||]2b aD.[0，1||]2b a- 9. （2003▪江苏）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n mA.1B.43C.21 D.8310. （2003▪江苏）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0)，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 11. （2003▪江苏）已知长方形的四个顶点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为4(x ，0)，若412x <<，则θtan 的取值范围是 A.1(3，1) B.1(3，23） C.2(5，1)2 D.2(5，2)312. （2003▪江苏）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003▪江苏）92)21(xx -展开式中9x 的系数是________________. 14. （2003▪江苏）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、__________、__________辆.15. （2003▪江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____.（以数字作答）16. （2003▪江苏）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB AC =，BD CD =，则BC AD ⊥；②若AB CD =，AC BD =，则BC AD ⊥；③若AB AC ⊥，BD CD ⊥，则BC AD ⊥；④若AB CD ⊥，BD AC ⊥，则BC AD ⊥.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+12+14=74分）17. （2003▪江苏）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．⑴求恰有一件不合格的概率；⑵求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）18. （2003▪江苏）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19. （2003▪江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，侧棱12AA =，D E 、分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G .⑴求1A B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；⑵求点1A 到平面AED 的距离.20. （2003▪江苏）已知常数0a >，向量(0c =，)a ，(1i =，0)，经过原点O 以c iλ+为方向向量的直线与经过定点(0A ，)a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E F 、，使得||||PE PF +为定值.若存在，求出E F 、的坐标；若不存在，说明理由.21. （2003▪江苏）已知0a >，n 为正整数．⑴设()n y x a =-，证明1()n y n x a -'=-；⑵设()()n n n f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1(1)(1)()n n f n n f n +''+>+.22. （2003▪江苏）设0a >，如图，已知直线l ：y ax =及曲线C ：2y x =，C 上的点1Q 的横坐标为11(0)a a a <<.从C 上的点(1)n Q n ≥作直线平行于x 轴，交直线l 于点1n P +，再从点1n P +作直线平行于y 轴，交曲线C 于点1n Q +.(n Q n =1，2，3，…）的横坐标构成数列{}n a .⑴试求1n a +与n a 的关系，并求{}n a 的通项公式；⑵当1a =，112a ≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑； ⑶当1a =时，证明1211()3n k k k k a a a ++=-<∑.2003年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•江苏）如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C．D．【分析】由y=ax2+bx+a的图象与x轴有两上交点，知△＞0；进一步整理为a、b的二元一次不等式组，再画出其表示的平面区域即可．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，所以a≠0，△=b2﹣4a2＞0，即（b+2a）（b﹣2a）＞0，即或，则其表示的平面区域为选项C．故选C．【点评】本题主要考查由二元一次不等式组（数）画出其表示的平面区域（形）的能力．2．（5分）（2003•天津）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．3．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．4．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．5．（5分）（2003•天津）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC 的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．6．（5分）（2003•天津）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（）A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）C．，x∈（﹣∞，0）D．，x∈（﹣∞，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．【解答】解：由已知，解x得，令，当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），则，∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）故选B．【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．7．（5分）（2003•天津）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：．故选C．【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．8．（5分）（2003•天津）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，] B．[0，] C．[0，||] D．[0，||]【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+∴x0∈[，]．∴d=x0+∈[0，]．故选：B．【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心．9．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q 时，am+an=ap+aq的性质．10．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．11．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1） B．（，）C．（，）D．（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tan θ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故答案选A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•天津）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．15．（4分）（2003•天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有120 种．（以数字作答）【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，③与⑤同色，则②④或⑥④同色，②与④且③与⑥同色，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种．∴共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种．故答案为：120【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3有A43种不同的栽法，不妨设1，2，3已分别栽种A，B，C，则4，5，6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见．根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A43×5=120．16．（4分）（2003•辽宁）对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．其中真命题的序号是①④．（写出所有真命题的序号）【分析】证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直．①的证明可转借化证明BC ⊥面AHD．④的证明可转化为证垂心，然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD．②③条件下不能求出两线的夹角，也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对．【解答】证明：如图对于①取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故①对；对于②条件不足备，证明不出结论；对于③条件不足备，证明不出结论；对于④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出DE⊥BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．综上知①④正确，故应填①④．【点评】本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是一个常用的方法，本题用其来将线线证明转化线面证明，三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•天津）在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）【分析】（1）要求恰有一件不合格的概率，我们根据P=P（A•B•）+P（A••C）+P （•B•C），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．（2）我们可以根据至少有两件不合格的概率公式P=P（A••）+P（•B•）+P（••C）+P（••），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．也可以从对立事件出发根据（1）的结论，利用P=1﹣P（A•B•C）+P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）进行求解．【解答】解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C．（Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95．P=0.10，P=P=0.05．因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）=P（A）•P（B）•P（）+P（A）•P（）•P（C）+P（）•P（B）•P（C）=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176；（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P（A••）+P（•B•）+P（••C）+P（••）=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012．解法二：三件产品都合格的概率为P（A•B•C）=P（A）•P（B）•P（C）=0.90×0.952=0.812．由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1﹣P（A•B•C）+0.176=1﹣（0.812+0.176）=0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012．【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．18．（12分）（2003•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．【分析】由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点对称可得函数关系，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．【解答】解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且w＞0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以解得φ=，由f（x）的图象关于点M对称，得，取x=0，得f（）=sin（）=cos，∴f（）=sin（）=cos，∴cos=0，又w＞0，得=+kπ，k=0，1，2，3，…∴ω=（2k+1），k=0，1，2，…当k=0时，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，满足题意；当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）=cos2x，在[0，]上是减函数，满足题意；当k=2时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．19．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD 所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；（2）连接A1D，有，建立等量关系，求出点A1到平面AED的距离即可．【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连接EF、FC，∵D，E分别是CC1，A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=FD2，∵EF=1，∴FD=．于是ED=，EG=∵FC=，CD=1∴AB=2，A1B=2，EB=，∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；（Ⅱ）连接A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则，，．∴，即A1到平面AED的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．20．（12分）（2003•天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点．【解答】解：∵=（0，a），=（1，0），∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．整理得．①因为a＞0，所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．21．（12分）（2003•江苏）已知a＞0，n为正整数．（Ⅰ）设y=（x﹣a）n，证明y′=n（x﹣a）n﹣1；（Ⅱ）设fn（x）=xn﹣（x﹣a）n，对任意n≥a，证明fn+1′（n+1）＞（n+1）fn′（n）．【分析】（I）这里用导数的定义证明．（II）我们易得当x＞a＞0时，fn（x）=xn﹣（x﹣a）n是关于x的增函数，且n ≥a时，有：（n+1）n﹣（n+1﹣a）n＞nn﹣（n﹣a）n，求出f′n+1（n+1）后，用不等式的性质即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）解：本题可以对y=（x﹣a）n展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：y′==n（x﹣a）n﹣1（Ⅱ）证明：fn′（x）=nxn﹣1﹣n（x﹣a）n﹣1=n[xn﹣1﹣（x﹣a）n﹣1]，∵a＞0，x＞0，∴fn′（x）＞0，∴fn（x）在（0，+∞）单调递增，∴当n≥a时，有：（n+1）n﹣（n+1﹣a）n＞nn﹣（n﹣a）n，∴fn+1′（x）=（n+1）[xn﹣（x+a）n]，∴fn+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）n﹣（n+1﹣a）n]＞（n+1）[nn﹣（n﹣a）n]=（n+1）[nn﹣（n﹣a）（n﹣a）n﹣1]，∵（n+1）f′n（n）=（n+1）n[nn﹣1﹣（n﹣a）n﹣1]=（n+1）[nn﹣n（n﹣a）n ﹣1]，∵（n+2）＞n，∴f′n+1（n+1）＞（n+1）f′n（n），【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式，是解答问题的关键22．（14分）（2003•江苏）设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0＜a1＜a）．从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1，再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1．Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{an}．（Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）当a=1时，证明．【分析】（Ⅰ）根据Qn，Pn+1，Qn+1的坐标进而求得，进而通过公式法求得{an}的通项公式．（Ⅱ）把a=1代入，根据可推断，由于当k≥1时，．进而可知．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，代入中，进而根据证明原式．【解答】（Ⅰ）解：∵．∴，∴==，∴．（Ⅱ）证明：由a=1知an+1=an2，∵，∴．∵当k≥1时，．∴；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，，因此==．【点评】本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，参与本试卷答题和审题的老师有：wzj123；zhwsd；minqi5；wsj1012；liuerq；qiss；rxl；geyanli；danbo7801；gongjy；涨停；xintrl；豫汝王世崇；yhx01248；whgcn （排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）2．抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ） A ．81 B ．－81 C ．8 D ．－8 3．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－724 4．设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） A ．（－1，1）B ．(1,)-+∞a A ．B ．C ．D ．C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） A ．1,(0,)1x xe y x e -=∈+∞+ B ．1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- C ．1,(,0)1x xe y x e -=∈-∞+ D ．1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．34aC ．36aD ．312a8．设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） A ．10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,2ba⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ） A ．1B ．43C ．21D ．8310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） A ．14322=-y xB ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） A ．（31，1）B ．（31，32） C ．（52，21） D ．（52，32） 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A ．π3B ．4πC ．π33D ．π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）18．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值 19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 120．（本小题满分12分）已知常数0,(0,),(1,0)a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由21．（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+22．（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
解：由),()(,)(x f x f x f =-得是偶函数.0cos ,0,sin cos sin cos ),sin()sin(=>=-+=+-ϕωωϕωϕϕωϕω所以得且都成立对任意所以即x xx x x.232,;]2,0[)2sin()(,310,0;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0.,2,1,0),12(32,,3,2,1,243,0,043cos ,43cos )243sin()43(,43cos )243sin()43(,0),43()43(,)(.2,0==+==≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=∴=+==+-=-=≤≤ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππωππωπππππϕπϕ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设x x f k x x f k x x f k k k k k f f x x f x f M x f 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AED A V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED⋅=⋅∆∆1.2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AE A 又 .362.36226221的距离为到平面即AED A h =⨯=∴解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设CA=2a ， 则A(2a ,0,0),B(0,2a ,0),D(0,0,1).37arccos .372131323/14cos ).31,34,32(),2,2,2(.1.03232).1,2,0(),32,3,3().31,32,32(),1,,(),2,0,2(1111121所成角是与平面解得ABD B A BG A BG BA a a BD GE a BD a a CE a a G a a E a A =⋅=∠∴-=-=∴==+-=⋅∴-==∴（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).,,0)0,1,1()2,0,0(,0)0,1,1()1,1,1(11AED ED E AA ED ED AA 平面又平面⊂⊥∴=--⋅=⋅=--⋅-=⋅（Ⅰ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （Ⅱ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121()2,2121(22a a F a a E ---和（Ⅲ）当,22时>a 方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0())21(21,0(22---+a a F a a E 和为合乎题意的两个定点.（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k k n x a --)(， 所以1)(--=-='∑k kn nk k nxa kCy nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数n n n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>-即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a aa a Q a a a P a a Q ⋅⋅++- ∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a a a a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a=1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n aa a a a a a ， ∴.)(121-=n a a a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k n k k k ka a a a a a a1111121.321)(161)(161)( （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k ka a a aa aa a an k k k 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a2013江苏高考数学试卷及答案（江苏卷）。