高三理科数学期末试卷及答案

澄海区2008-2009学年度第一学期期末考试高三理科数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答第一部分(选择题)前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将第二部分(非选择题)的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．1．已知集合}|{},023|{2a x x N x x x M >=>-+=，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ． )1,(--∞ 2．函数4sin 1)(2xx f +=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 3．函数xx y 142+=的单调递增区间是A ．),0(+∞B ．),21(+∞C ．)1,(--∞D ．)21,(--∞4．已知|a |=3，|b |=5，且12=⋅b a ，则向量a 在向量b 上的投影为A ．512B ．3C ．4D ．5 5．若tan 2α=，则sin cos αα的值为A ．12B ．23C ．1D ．256．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若||||113a a =，且公差0<d ，则当n S 取最大值时，=nA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或87．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；OO 'MQP N BA③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β． 其中正确命题的序号是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④8．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，则函数()x x f y 3log -=的零点个数是A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若431,,a a a 成等比数列，则3523S S S S --的值为 ．10．220(42)(43)x x dx --=⎰．11．右图表示一个几何体的三视图及相应数据，则该几何体的体积是 ．12．如果过点(0,1)斜率为k 的直线l 与圆04my kx y x 22=-+++ 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x+y=0对称，那么直线l 的斜率k=__________；不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0y 0,my kx ,01y kx 表示的平面区域的面积是 ．（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分． 13．（坐标系与参数方程选做题）曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 ．14．（不等式选讲选做题）不等式5|2||1|<++-x x 的解集是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如右图，⊙'O 和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙'O 于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3,NQ ＝15，则PN ＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．(本小题满分13分)已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n ,数列}{n b 中，())( 1*N n a b nn n ∈-=⋅．（Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式以及前n 项的和． 17．(本小题满分13分)已知ABC ∆中，1=⋅，若ABC ∆的面积为S ，且2363≤≤S (Ⅰ)求角B 的取值范围； (Ⅱ)设)4sin(12cos 2sin )(π+++=B B B B f ，求)(B f 的值域．18．(本小题满分14分)如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，BC AC ⊥，且BC AC =．(Ⅰ)求证：⊥AM 平面EBC ；(Ⅱ)求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小； (Ⅲ)求二面角C EB A --的大小． 19．(本小题满分14分)已知实数a≠0，函数()()R x x ax x f ∈-=22)(．(Ⅰ)若函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值；(Ⅱ)若对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a 是1与n S 的等差中项． (Ⅰ)求证}1{+n S 是等比数列，并求出n a 的表达式； (Ⅱ)若)1(2log 1≥=+n b n a n ，求12)5()(+++=n n b n b n f 的最大值及取得最大值时n 的值．21．(本小题满分12分)设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+．（Ⅰ）若在定义域内存在0x ，而使得不等式0()0f x m -≤能成立，求实数m 的最小值； （Ⅱ）若函数2()()g x f x x x a =---在区间[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．澄海区2008-2009学年度第一学期期末考试高三理科数学参考答案一、选择题CDBA DCAB 二、填空题9、21或2； 10、8； 11、348π+； 12、1，41； 13、2； 14、)2,3(-； 15、BMEDCA三、解答题16、(本小题满分13分) 解：（1）∵021=-+n n a a∴)1(21≥=+n a a nn -----------2分 又31=a∴{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列 -----------4分 ∴*)(231N n a n n ∈⋅=- -----------6分（2）∵())( 1*N n a b n n n ∈-=⋅∴n n n a b 1)1(⋅-==1231)1(-⨯⋅-n n -----------8分 ∴121231)1(23131-⨯⋅-+⋅⋅⋅+⨯+-=+⋅⋅⋅++=n n n n b b b S -----------10分 =211)21(131+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n )21(192=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1)21(92n -----------13分 17、(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设ABC ∆的三边分别是c b a ,,∵1=⋅∴1cos =B ac ，即Bac cos 1= -----------2分 又2363≤≤S ∴23sin 2163≤≤B ac -----------4分 ∴3tan 33≤≤B -----------6分∴36ππ≤≤B ---------- 7分（Ⅱ）)4sin(12cos 2sin )(π+++=B B B B f)cos (sin 22cos 2cos sin 22B B B B B ++=B cos 22= -----------9分∵36ππ≤≤B∴23cos 21≤≤B -----------11分∴6)(2≤≤B f -----------12分∴)(B f 的值域是]6,2[ ----------13分18、(本小题满分14分)解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE 是正方形，EC AM AC EA ⊥⊥∴, -----------1分∵平面⊥ACDE 平面ABC ，AC BC ⊥，⊥∴BC 平面EAC ． -----------2分⊂AM Θ平面EAC ，⊥∴BC AM ． -----------3分又C EC BC =I⊥∴AM 平面EBC ． -----------4分(Ⅱ)连结BM ，⊥AM Θ平面EBC ，ABM ∠∴是直线AB 与平面EBC 所成的角． -----------5分 设a BC AC EA 2===，则a AM 2=，a AB 22=， -----------7分21sin ==∠∴AB AM ABM ， ︒=∠∴30ABM ．即直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30． -----------9分 (Ⅲ)过A 作EB AH ⊥于H ，连结HM ． ⊥AM Θ平面EBC ， EB AM ⊥∴．⊥∴EB 平面AHM ．AHM ∠∴是二面角C EB A --的平面角． -------10分∵平面⊥ACDE 平面ABC ， ⊥∴EA 平面ABC ．⊥∴EA AB ． --------11分在EAB Rt ∆中， EB AH ⊥，有AH EB AB AE ⋅=⋅． 由(Ⅱ)所设a BC AC EA 2===可得BM EDCA H BME DCAa AB 22=，a EB 32=，322aEB AB AE AH =⋅=∴． 23sin ==∠∴AH AM AHM ． ︒=∠∴60AHM ． -----------13分∴二面角C EB A --等于︒60． -----------14分 解法二: ∵四边形ACDE 是正方形 ，EC AM AC EA ⊥⊥∴,，∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ， -----------2分∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 设2===BC AC EA ，则),0,2,2(),0,0,0(B A )2,0,0(),0,2,0(E C ，M Θ是正方形ACDE 的对角线的交点，)1,1,0(M ∴． -----------4分(Ⅰ)= )1,1,0(，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=，)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=，0,0=⋅=⋅∴CB AM EC AM ， -----------6分 ⊥∴AM 平面EBC ． -----------7分 (Ⅱ) ⊥AM Θ平面EBC ，AM ∴为平面EBC 的一个法向量， )0,2,2(),1,1,0(==AB AM Θ，21==∴AMAB ．︒=60．∴直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30． -----------10分 (Ⅲ) 设平面EAB 的法向量为),,(z y x =，则⊥且⊥，0=⋅∴AE n 且0=⋅AB n ．⎩⎨⎧=⋅=⋅∴.0),,()0,2,2(,0),,()2,0,0(z y x z y x 即⎩⎨⎧=+=.0,0y x z取1-=y ，则1=x ， 则)0,1,1(-=． -----------12分又∵为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=，21-==∴AMn ，设二面角C EB A --的平面角为θ，则21cos cos ==θ， ︒=∴60θ．∴二面角C EB A --等于︒60． -----------14分19、(本小题满分14分)解：（Ⅰ）ax ax ax x ax x f 44)2()(232+-=-=Θ)2)(32(3483)( 2--=+-=∴x x a a ax ax x f -----------2分令f x '()=0得0)2)(32(3=--x x a∴x =23或x =2 -----------4分 ()Θf x ax x x R ()()=-∈22有极大值32，又f ()20=∴f x ()在32=x 时取得极大值 -----------6分 27322732)32(===∴a a f ， -----------7分（Ⅱ）由)2)(32()( --=x x a x f 知：当0>a 时，函数f x ()在]32,2[-上是增函数，在]1,32[上是减函数此时，a f y 2732)32(max == -----------8分又对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立∴9162732<a 得23<a ∴230<<a -----------10分当0<a 时，函数f x ()在]32,2[-上是减函数，在]1,32[上是增函数又a f 32)2(-=-，a f =)1(，此时，a f y 32)2(max -=-= -----------11分又对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立 ∴91632<-a 得181->a ∴0181<<-a -----------13分 故所求实数的取值范围是)23,0()0,181(Y - -----------14分20、(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）∵n a 是1与n S 的等差中项∴n n S a +=12 -----------1分又n n a a a S +⋅⋅⋅++=21 ∴当2≥n 时，1--=n n n S S a∴)2(1)(21≥+=--n S S S n n n ，即)2(121≥+=-n S S n n -----------3分 ∴)2)(1(211≥+=+-n S S n n∴)2(2111≥=++-n S S n n又1112S a +=，则111==a S∴}1{+n S 是首项为2，公比为2的等比数列 -----------5分解：由前述知数列}1{+n S 是首项为2，公比为2的等比数列．∴nn S 21=+ ∴12-=nn S∴当111222,2---=-=-=≥n n n n n n S S a n 时 ∴)1(21≥=-n a n n -----------8分（Ⅱ）解：∵12-=n n a∴nn a 21=+ -----------9分∴2log 1+=n a n bn1=-----------11分 ∵014,01>+>+n n ，∴12)5()(+++=n n b n b n f514)1(1++++=n n 91≤-----------13分 当且仅当n = 1时，取等号 ∴)(n f 的最大值是91． -----------14分 21、(本小题满分12分)解：(Ⅰ)要使得不等式0()0f x m -≤能成立，只需min ()m f x ≥求导得：12(2)()2(1)211x x f x x x x +'=+-=++-----------2分 ∵函数()f x 得定义域为(1,)-+∞， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，∴函数()f x 在区间(1,0)-上是减函数； -----------3分 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在区间(0，+∞)上是增函数． -----------4分 ∴min ()(0)1f x f ==，∴1m ≥，故实数m 的最小值为1． -----------6分 (Ⅱ)由2()(1)2ln(1)f x x x =+-+得：22()(1)2ln(1)()12ln(1)g x x x x x a x x a =+-+-++=+-+- -----------7分∵函数2()()g x f x x x a =---在区间[]0,2上恰有两个不同的零点∴方程(1)2ln(1)x x a +-+=在区间[]0,2上恰有两个相异实根．-----------8分设()(1)2ln(1)hx x x =+-+∵()21111x h x x x -'=-=++， 列表如下：∵()()021(32ln3)2(ln31)2(ln 1)0h h e -=--=->-= ∴()()02hh >从而有()max 1hx =，()min 22ln 2h x =- -----------10分 画出函数()hx 在区间[]0,2上的草图（见右下）易知要使方程()hx a =在区间[]0,2上恰有两个相 异实根，只需：22ln 232ln3a -<≤-， 即：(]22ln 2,32ln3a ∈-- -----------12分。