集合及逻辑习题课
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解：先画出文氏图，由里及外标出各个子集人数，然后统计。
例如假设有170个学生，其中120学英语；80人学法语；60 人学西班牙语；50人既学英语，又学法语；25人既学英语 又学西班牙语；30人同时学法语和西班牙语；还有10个人 三种语言都学，问有多少人这三种语言都有没学？
E 55
40 10 15
10 20
A B ( A A B ) ( B A B ) A B | A | | B | A B
这就是容斥原理。
AB
AB
AB
A B
AB
定理 对于任意三个集合A、B、C有：
| A B C || A | | B | | C | | A B | | B C | | C A | | A B C |
故 由 容 斥 原 理|：B C || A | | B | | C | | A B | | A C | | ABC || ABC |
24 15 20 6 7 2 43 5
所以有5人既喜欢下棋又喜欢游泳
例4 一个班级共有50名学生。在一次考试中，有15 人英语得90分以上，有18人计算机得90分以上， 有22人这两门课程均没有得到90分以上。问有多 少人这两门课程均得到90分以上？
内 集合的对称差运算 容
A B ( A B) (B A) {x | ( x A x B) ( x A x B)}
回 A B (A B) (A B) 顾
对称差的性质:
（1）交换律： A B B A
（2）结合律： ( A B) C A (B C) （3）交对对称差的分配律：A (B C) ( A B) ( A C)
15
S
F
|E|=120 |F|=80 |S|=60
|E∩F|=50 |E∩S|=25 |F∩S|=30 |E∩F∩S|=10 |E∪F∪S|=55+40+10+15+10+20+15=165 170-165=5 答：有5人这三种语言都没学。
3.4.1 容斥原理 假设A、B为有限集合，每个集合的基数分别为 |A|、|B|，由文氏图可知：
上面实例可以计算如下： |E|=120 |F|=80 |S|=60 |E∩F|=50 |E∩S|=25 |F∩S|=30 |E∩F∩S|=10
| E F S || E | | F | | S | | E F | | E S | | F S | | E F S |
=120+80+60-50-25-30+10 =165 容斥原理可以推广到n个集合：
E AB
23 x x 20 x
15
(23 x) x (20 x) 15 50
解得：x 8
另解：设班级学生集合为 E， 第一次考试得优的学生集合为A， 第二次考试得优的学生集合为B， 则：E 50, A 23, B 20, A I B 15, 求 AI B .
AUB E (AUB) E AI B 50 15 35
＝100Hale Waihona Puke Baidu|
A
B
|
500 35
＝33.
故由容斥原理：| A B || A | | B | | A B | 166 100 33 233
例3 一个班级共有52名学生。其中有24人喜欢打篮球，有 15人喜欢下棋，有20人喜欢游泳，有6人既喜欢打篮球又 喜欢下棋，有7人既喜欢打篮球又喜欢游泳，有2人这3项 活动都喜欢，有9人这3项活动都不喜欢。问有多少人既喜 欢下棋又喜欢游泳？
(1)n1 | A1 A2 A3 ... An |
该公式可以通过数学归纳法加以证明。
例1：
有一个班级50名学生，第一次考试有23人得优，
第二次考试有20人得优，有15人两次均未得优，
问：多少人两次均得优？
解：设班级学生集合为 E， 第一次考试得优的学生集合为A， 第二次考试得优的学生集合为B， 两次均得优的学生为 x 人，则：
解：设 喜 欢 打 篮 球 的 为A， 下 棋 的 为B， 游 泳 的 为C， 则
| A | 24,| B | 15,| C | 20,| A B | 6,| A C | 7,| A B C | 2
| E | 52,| A B C | 9.
| A B C || E | | A B C | 52 9 43
由 A U B A B A I B 得： A I B A B A U B ＝23 20 35＝8
即：两次均得优的有8人。
例2 求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个 数。
解：设 能 被3除 尽 的 为A， 能 被5除 尽 的 为B， 则
|
A
|
5300＝166,|
B
|
500 5
证明：
C
| A(B C)|
| A | | B C | | A (B C ) |
A
B
| A | | B C | | ( A B) ( A C) |
| A | | B | | C | | B C |
(| A B | | A C | | A B C |)
| A | | B | | C | | A B | | A C | | BC | | ABC |
（4） A A
A E A
A A
A A E
练习： 证明下列等式成立： (1) A A B B (2)( A B) B A B
3.4 容斥原理
在介绍容斥原理之前先介绍如何利用文氏图来解决有关集 合的应用问题。
例如假设有170个学生，其中120学英语；80人学法语；60人 学西班牙语；50人既学英语，又学法语；25人既学英语又 学西班牙语；30人同时学法语和西班牙语；还有10个人三 种语言都学，问有多少人这三种语言都有没学？
定理 设 A1, A2, A3,...,An 为有限集合，其基数分别为：
| A1 |,| A2 |,| A3 |,...| An | 则
| A1 A2 A3 ... An |
n
| Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak | ......
i 1
1i jn
1i jk n
例如假设有170个学生，其中120学英语；80人学法语；60 人学西班牙语；50人既学英语，又学法语；25人既学英语 又学西班牙语；30人同时学法语和西班牙语；还有10个人 三种语言都学，问有多少人这三种语言都有没学？
E 55
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10 20
A B ( A A B ) ( B A B ) A B | A | | B | A B
这就是容斥原理。
AB
AB
AB
A B
AB
定理 对于任意三个集合A、B、C有：
| A B C || A | | B | | C | | A B | | B C | | C A | | A B C |
故 由 容 斥 原 理|：B C || A | | B | | C | | A B | | A C | | ABC || ABC |
24 15 20 6 7 2 43 5
所以有5人既喜欢下棋又喜欢游泳
例4 一个班级共有50名学生。在一次考试中，有15 人英语得90分以上，有18人计算机得90分以上， 有22人这两门课程均没有得到90分以上。问有多 少人这两门课程均得到90分以上？
内 集合的对称差运算 容
A B ( A B) (B A) {x | ( x A x B) ( x A x B)}
回 A B (A B) (A B) 顾
对称差的性质:
（1）交换律： A B B A
（2）结合律： ( A B) C A (B C) （3）交对对称差的分配律：A (B C) ( A B) ( A C)
15
S
F
|E|=120 |F|=80 |S|=60
|E∩F|=50 |E∩S|=25 |F∩S|=30 |E∩F∩S|=10 |E∪F∪S|=55+40+10+15+10+20+15=165 170-165=5 答：有5人这三种语言都没学。
3.4.1 容斥原理 假设A、B为有限集合，每个集合的基数分别为 |A|、|B|，由文氏图可知：
上面实例可以计算如下： |E|=120 |F|=80 |S|=60 |E∩F|=50 |E∩S|=25 |F∩S|=30 |E∩F∩S|=10
| E F S || E | | F | | S | | E F | | E S | | F S | | E F S |
=120+80+60-50-25-30+10 =165 容斥原理可以推广到n个集合：
E AB
23 x x 20 x
15
(23 x) x (20 x) 15 50
解得：x 8
另解：设班级学生集合为 E， 第一次考试得优的学生集合为A， 第二次考试得优的学生集合为B， 则：E 50, A 23, B 20, A I B 15, 求 AI B .
AUB E (AUB) E AI B 50 15 35
＝100Hale Waihona Puke Baidu|
A
B
|
500 35
＝33.
故由容斥原理：| A B || A | | B | | A B | 166 100 33 233
例3 一个班级共有52名学生。其中有24人喜欢打篮球，有 15人喜欢下棋，有20人喜欢游泳，有6人既喜欢打篮球又 喜欢下棋，有7人既喜欢打篮球又喜欢游泳，有2人这3项 活动都喜欢，有9人这3项活动都不喜欢。问有多少人既喜 欢下棋又喜欢游泳？
(1)n1 | A1 A2 A3 ... An |
该公式可以通过数学归纳法加以证明。
例1：
有一个班级50名学生，第一次考试有23人得优，
第二次考试有20人得优，有15人两次均未得优，
问：多少人两次均得优？
解：设班级学生集合为 E， 第一次考试得优的学生集合为A， 第二次考试得优的学生集合为B， 两次均得优的学生为 x 人，则：
解：设 喜 欢 打 篮 球 的 为A， 下 棋 的 为B， 游 泳 的 为C， 则
| A | 24,| B | 15,| C | 20,| A B | 6,| A C | 7,| A B C | 2
| E | 52,| A B C | 9.
| A B C || E | | A B C | 52 9 43
由 A U B A B A I B 得： A I B A B A U B ＝23 20 35＝8
即：两次均得优的有8人。
例2 求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个 数。
解：设 能 被3除 尽 的 为A， 能 被5除 尽 的 为B， 则
|
A
|
5300＝166,|
B
|
500 5
证明：
C
| A(B C)|
| A | | B C | | A (B C ) |
A
B
| A | | B C | | ( A B) ( A C) |
| A | | B | | C | | B C |
(| A B | | A C | | A B C |)
| A | | B | | C | | A B | | A C | | BC | | ABC |
（4） A A
A E A
A A
A A E
练习： 证明下列等式成立： (1) A A B B (2)( A B) B A B
3.4 容斥原理
在介绍容斥原理之前先介绍如何利用文氏图来解决有关集 合的应用问题。
例如假设有170个学生，其中120学英语；80人学法语；60人 学西班牙语；50人既学英语，又学法语；25人既学英语又 学西班牙语；30人同时学法语和西班牙语；还有10个人三 种语言都学，问有多少人这三种语言都有没学？
定理 设 A1, A2, A3,...,An 为有限集合，其基数分别为：
| A1 |,| A2 |,| A3 |,...| An | 则
| A1 A2 A3 ... An |
n
| Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak | ......
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