高中数学必修五第二章

第二章
2.2 第1课时
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∴b11＝b1＋10d＝ 2－7. －7－ 2 1 1 ∴a11＝ ＝ ＝ . b11 47 2－7
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1 [解析] 设 bn＝ ，{bn}的公差为 d. an 1 1 由已知得 b3＝ ＝ ＝ 2＋1， a3 2－1 1 1 b5＝ ＝ ＝ 2－1. a5 2＋1 b1＋2d＝ 2＋1， b1＝3＋ 2， ∴ 解得 b1＋4d＝ 2－1. d＝－1.
[解析] ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)， ∴{an}是等差数列，其首项 a1＝6×1－1＝5，公差为 6.
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[点评]
判断一个数列{an}是否为等差数列，只要依据定
义验证 an＋1－an＝d(d 为常数)是否成立．
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等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，求通项公式 an.
[解析] 设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由题意，得 a1＋2d＝5 a1＝1 ，解得 . a1＋6d＝13 d＝2 ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
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自 主 预 习
1.等差数列的定义． 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 等差数列 ，这个常数叫 差等于同一个常数，那么这个数列就叫做_________
公差 ，公差通常用字母 d 表示．若公差 d＝0，则 做等差数列的______
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下列数列是等差数列的是( 1 1 1 1 A. ， ， ， 3 5 7 9 C．1，－1,1，－1
[答案]
[解析] 除 B；
)
B．1， 3， 5， 7 D．0,0,0,0
D
1 1 1 1 ∵ － ≠ － ，故排除 A；∵ 3－1≠ 5－ 3，故排 5 3 7 5
(2)由题意知 a1＋a1＋6－1d＝12 ， a1＋4－1d＝7 a1＝1 解得 . d＝2 ∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.
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(1)求等差数列 10,8,6，…的第 20 项． (2)100 是不是等差数列 2,9,16，…的项？如果是，是第几 项？如果不是，说明理由．
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已知： 1， x， y,10 构成等差数列， 则 x、 y 的值分别为________．
[答案]
[解析]
4,7
由已知，x 是 1 和 y 的等差中项，即 2x＝1＋y①，
y 是 x 和 10 的等差中项，即 2y＝2x＋10② 由①、②可解得 x＝4，y＝7.
∵－1－1≠1－(－1)，故排除 C，∴选 D.
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2．等差中项 如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项， a＋b 即 A＝_______. 2 破疑点：(1)在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即 2an＝an－1 ＋an＋1；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的 等差中项，即 2an＝an－m＋an＋m(m、n∈N*，m<n)． (2)数列{an}是等差数列⇔2an＝an＋1＋an＋1，这是判断等差数列 的重要依据．
2． 鞋的尺码， 按照国家规定， 有： 22,22.5， ________， ________， ________，________….
[答案]
23
23.5
24 24.5
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新 课 引 入
汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地 上立八尺高的髀，日中测影，在二十四节气中，冬至影长 1 丈 3 1 尺 5 寸，以后每一节气影长递减 9 寸 96分；夏至影最短，仅长 1 1 尺 6 寸，以后每一节气影长递增 9 寸 96分．如果把这些影长记录 下来，会构成一个什么样的数列呢？
[解析]
用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数
列，由已知条件，有 a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通项公式，得 a12＝a1＋(12－1)d， 即 110＝33＋11d. 解得 d＝7.
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因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61， a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103. 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
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[解析]
(1)∵a1＝10，d＝8－10＝－2，
∴an＝10＋(n－1)· (－2)＝－2n＋12， ∴a20＝－2×20＋12＝－28. (2)∵a1＝2，d＝9－2＝7， ∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5， 由 7n－5＝100，得 n＝15. ∴100 是这个数列的第 15 项.
常数列 ． 这个数列为________
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破疑点：对于等差数列定义的理解要注意： (1)“从第 2 项起”也就是说等差数列中至少含有三项． (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的 差”． (3)“同一个常数 d”，d 是等差数列的公差，即 d＝an－an－1 或 d＝an＋1－an，d 可以为零，当 d＝0 时，等差数列为常数列，也 就是说，常数列是特殊的等差数列． (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要 依据，即 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
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夏季高山上的温度从山脚起，每升高 100m 降低 0.7℃， 已 知山顶处的温度是 14.8℃，山脚处的温度是 26℃，求这山山顶 相对于山脚处的高度． [分析] 因为每升高 100m，气温降低 0.7℃，所以从 26℃ 到 14.8℃构成一个公差为－0.7℃的等差数列．
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第 1 课时 等差数列的概念与通项公式
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数列
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课前自主预习
名师辨误做答
课堂典例讲练
课后强化作业
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课前自主预习
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探索延拓创新
构造解题法
数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列， 若 a3＝ 2－1，a5＝ 2＋1，求 a11. [分析] 1 1 ∵{ }成等差数列，设其公差为 d，首项为 ， an a1
1 然后由通项公式即得 d 和 ，代入通项公式可求 a11. a1
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课堂典例讲练
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思路方法技巧
等差数列的定义及判定
问这个数列 已知数列的通项公式为 an＝6n－1， 是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
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1 1 1 若 ， ， 成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等 b＋c a＋c a＋b 差数列．
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1 1 2 [证明] 由已知得 ＋ ＝ ， b＋c a＋b a＋c 2 即 ＝ . b＋ca＋b c＋a 即(2b＋a＋c)(c＋a)＝2(b＋c)(a＋b)． ∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2 成等差数列. 2b＋a＋c
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[解析] 山脚处的温度为 a1＝26° ，第(n－1)个 100m 处的 温度为 an(n≥2)，则{an}成等差数列，且 an＝14.8° ，d＝－0.7° . 14.8° －26° 由 an＝a1＋(n－1)d，得 n－1＝ ＝16. －0.7° 所以这山山顶相对于山脚高度为 1 600m.
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等差数列的通项公式
在等差数列{an}中： (1)已知 a5＝－1，a8＝2，求 a1 与 d； (2)已知 a1＋a6＝12，a4＝7，求 a9. [分析] 根据等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 由条 件可建立关于 a1、d 的二元一次方程组解出 a1、d.
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建模应用引路
等差数列的实际应用
梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级 的宽度．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[解析]
a1＋5－1d＝－1 (1)由题意知 ， a1＋8－1d＝2
a1＝－5 解得 . d＝1
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温 故 知 新
1.在现实生活中，我们经常这样数数，从 0 开始，每隔 5 数一 次 ， 可 以 得 到 数 列 ： 0,5 ， ________ ， ________ ， ________ ， ________，….
[答案]
10
15
20
25
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成才之路· 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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数列
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数列
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2.2 等差数列
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数列
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3．等差数列的通项公式 首项为 a，公差为 d 的等差数列的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d __________________. 破疑点： 通项公式 an＝a1＋(n－1)d 中， 涉及四个量 a1、 an、 n、 d 知任意三个就可以列方程求另外一个． 若通项公式变形为 an＝dn ＋(a1－d)，当 d≠0 时，可把 an 看成自变量 n 的一次函数(当 d＝0 时，an＝a1，此时数列{an}是常数列)从而等差数列{an}的图象为分 布于一直线上的一群孤立的点，其中公差 d 是这群孤立点所在直 线的斜率．