34基本不等式第2课时求最值1精品PPT课件

y x6 2x 1 2x6 2x 1 2x 6 2x 2 9
2
2 2 2
当且仅当2x
6
2x即x
3 时, 2
ymax
9 2
合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值 ，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此 类问题的关键.
• 作业：
1.若x 2,当x取什么值，x 1 的值最小？ x
第2课时 基本不等式的应用
1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题；（重点） 2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式；（重点） 3.会求给定条件的最值问题；
复习巩固：
基本不等式: 若a 0,b 0, 则 ab a b , 2
当且仅当a b时等号成立
变形 : 1.
ab
a
2
b
2
3
2
2.
对于给定条件求最值的问题，常可采用乘 “1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
巩固练习:
1．已知 x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值．
4
4x 5
解： x 5，5 4x 0. 4
y 4x 2 1 (4x 5) 1 3 [(5 4x) 1 ] 3.
4x 5
4x 5
5 4x
(5 4x) 1 2，[(5 4x) 1 ] 2.
基本不等式在求最大、最小值中的应用
课本P100练习第1题 : 若x 0,当x 取什么值, x 1 的值最小？最小值是多少？
x
基本不等式在求最大、最小值中的应用
1.化正型
例1变式：若x 0, x 1 有最 ___ 值为 ___， x
此时x＝____ .
分析特:别提x 醒 0：, 如1 果0所,不求符因合式基都本是不负等数式，的通条常件采, 用添负 x
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
y x 1 x 3 1 3 2 (x 3) • 1 3 2 3 5,
x3
x3
x3
当且仅当x
3
x
1 ,即x 3
4时, ymin
5.
(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值
例3 已知0 x 1 ,求函数y x(1 3x)的最大值. 3
分析：x (1 3x)不是定值，3x (1 3x)为定值.
xy
乘“1”构造使用基本不等式的条件.
正确解答:
解 : f (x) 1 1 2 x y 2 x y
xy x
y
3 y 2x 3 2 2, xy
当且仅当 y 2x , 即 y 2 x 时取“=”号.
xy
而
y
2x,
x
1 2
2 ,
2 x y 1.
y
2
2
2
即此时 ( 1 x
1 y )min
2. a b 2 ab
a 0, b 0 a 0, b 0
x y 1
2
积定和有最小值
x y 1
2
1
和定积有最大值
4
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”.
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若出现 问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？
解： 0 x 1 ,1 3x 0. 3
y x(1 3x) 1 3x(1 3x) 1 (3x 1 3x )2 1 .
3
32
12
当且仅当
3x 1 3x
，即
x
1 6
时， y max
1. 12
练习:已知0 x 2, 求函数y x6 2x的最大值.
解 :0 x 2, 0 2x 4, 6 2x 0
5 4x
5 4x
即 [(5 4x) 1 ] 3 1. 5 4x
当且仅当5 54x4x 1 1 时时，，即即x x 1时1时 5 54x4 x
等号成立，故函数的最大值 ymax 1.
2.若x 1, 则 x 为何值时
有最小值，最小值为多少？
x 1 x 1
解： x 1， x 1 0， 1 0. x1
x
2
f (x)的最大值为 2 2 1.
2.凑定型 (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.
学案P70 例22:已知x 2, 求x 4 的最小值.
x2
分析 : x与 4 的积不为定值,故需变形使积为定值. x2
练习: 求函数y 1 x x 3的最小值.
x3
解 : x 3,x 3 0, 1 0. x3
最小值是多少？
2.求函数y x 4 （x＞2）的最小值; x2
3. 求函数y x 4 （x 2）的最大值. x2
4.若0 x 1,求x(1 x)的最大值.
把握基本不等式成立的三个条件：“一正二定三相等” 1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值； 2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件；（构造： 互为相反数、互为倒数）
号故变把为负正数数转的化处为理正方数法. .
练习: 求函数f x 2x 1 1 x 0的最大值.
x
解： x 0,2x 0, 1 0. x
（-2x) ( 1 ) 2 2.2x 1 2 2.
x
x
f (x) 2x 1 1 2 2 1.
关注因式是 负数
x
Leabharlann Baidu
当且仅当 2x 1 ,即x 2 时,取等号.
22
xy
1 1 2 1 22 2 4 2. x y xy
即 1 的1 最小值为 xy
4 2.
这个解法 正确吗？
不正确. 过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同
的，故结果错误.
分析：本题给定约束条件 2x
y 1 ，来求
1 x
1 y
的最小值,
注意到 1=2x y, 故可以采用对目标函数 f (x) 1 1
x 1 x1 1 1
x1
x1
2 ( x 1) 1 1 2 1 1. x1
当且仅当
x1
1, x1
即
x0 时
x 1 x 1
有最小值1.
3.整体代换型
例4 已知x>0,y>0,且2x+y=1,求 1 1 的最小
值.
xy
解： 1 2x y 2 2xy,
xy 1 ,即 1 2 2.