34基本不等式第2课时求最值1精品PPT课件
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基本不等式与最值课件教学课件
排序不等式的证明
可以通过数学归纳法和排序性质证明 。
排序不等式的应用
在优化理论和线性规划中，排序不等 式常常被用来解决一些线性规划问题 。
04
基本不等式的实际应用
投资组合问题中的基本不等式应用
总结词
在投资组合问题中，基本不等式可以用于确定最优投资策略，即如何在给定风险水平下最大化预期收益，或在 给定预期收益水平下最小化风险。
物理定义
对于两个电阻$R_1$和$R_2$，并联电阻$\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \leq \frac{R_1 + R_2}{2}$，当且仅当$R_1 = R_2$时等号成立。
基本不等式的性质
非负性
基本不等式的左边是一个平方和，右边是一个平方根，所以左边总是大于或 等于右边。
利用基本不等式求最值
在极值的基础上，通过比较不同情况下的结果，找到最大或最小值。
掌握基本不等式的证明方法
利用导数证明基本不等式
通过求导数，找到函数的极值点，并证明在极值点处函数取得最小值。
利用定义证明基本不等式
通过比较两个数的差的符号，证明两个数之间的关系。
06
基本不等式的实际案例分析
案例一
总结词
案例三：资源分配问题中的基本不等式应用
总结词
在资源分配问题中，基本不等式被用来确定各部门的资源分 配比例，以实现资源利用效率的最大化。
详细描述
基本不等式在资源分配问题中的应用主要体现在对各部门资 源需求的权衡。通过使用基本不等式，我们可以找到一种最 优的资源分配方案，使得在满足各部门资源需求的前提下， 实现资源利用效率的最大化。
如果$a_1, a_2, \ldots, a_n$是实数
【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1
4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）
用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,
则y= 2
的最大值
+2+4
1
基本不等式求最值课件
证明方法一
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
基本不等式求最值问题课件
详细描述
通过比较算术平均数和几何平均 数的大小关系，确定函数的最值。
算术平均数总是大于或等于几何 平均数，当且仅当所有数相等时，
两者相等。
示例
设$a, b, c$为正实数，求 $\frac{a+b+c}{3}$的最小值。 根据算术平均数与几何平均数之 间的关系，有$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$，当且仅当
$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \geq (a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n)^2$
切比雪夫不等式
定义：对于任意的非负实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有
$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$
提高型不等式求最值
利用较为复杂的不等式（如拉格朗日不 等式、切比雪夫不等式等）求解最值问题。
VS
答案解析
详细解释解题思路、方法和答案，帮助学 生理解提高型不等式求最值的基本原理和 应用。同时，通过对比基础和提高练习题 的解法，让学生更好地掌握不等式求最值 的方法和技巧。
WATCHING
基本不等式求最值问 题课 件
contents
目录
• 基本不等式概述 • 常见的基本不等式 • 利用基本不等式求最值的方法 • 常见题型及解题思路 • 典型例题解析 • 练习题及答案解析
CHAPTER
基本不等式概述
不等式的定义与性质
基本不等式(第二课时)课件 高一上学期数学 必修第一册
索 引
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是__2__1_0___.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
索 引
5.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是__5_0_____.
解析 由m2＋n2≥2mn， ∴mn≤m2＋2 n2＝50. 当且仅当 m＝n＝±5 2时等号成立.
索 引
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值，
并说明此时x，y的值。
解： x 0, y 0 x 2 y 2 2xy 2 32 8 2
一正 二定
当且仅当 xxy21y6
x y
4 2
2时，等号成立 2
三相等
x 2y min 8 2
索
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引
2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值，
索 引
例题分析：
例2: 某工厂要建造一个长方 体无盖贮水池 ,其容积
为4800m3 , 深为3m, 如果池底每1m2的造价为150元,
池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总 造价最低, 最低总造价是多少?
解: 设矩形长为x m，宽为y m 总造价为W 元
4800 3xy
xy 1600
(1)当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
和 定 积
xy有最大值___1_S__2 _；
4
最 大
(2)当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， ，
x+y有最小值__2___P__。
积 定
用最值定理求最值的三个条件:
和
①各项皆为正数；
高中数学第三章不等式3.4基本不等式(第2课时)课件新人教A版必修5
4 1 9 ( 2)已 知a b 0, a b 1, 则 的最小值为 ___ a b 2b
方法点拨:常数“1”的代换
例题讲解
1 4 例3.对 任 意 的 (0, ),不 等 式 2 2x 1 2 2 sin cos 恒成立 ,则 实 数 x的 取 值 范 围 是 ( D ) A. 3,4 B.0,2 3 5 C . , 2 2 D. 4,5
a7 a6 2a5 , 若 存 在 两 项 am , an , 使 得 am an 4a1 , 1 4 3 5 9 25 则 的最小值为 ( A ) A. B. C . D. m n 2 3 4 6
变题
改条件 am an 2a1，则最小值在计算时有 何不同？
课堂小结
基本不等式
ab 若a , b 0, 则 ab (当 且 仅 当 a b时, 等 号 成 立 ) 2
基本不等式及其应用的运用的原则： （1）结构为王 （2）配凑变形为辅（3）成立条件 保障
（备用例题）
1.设已知实数a, b R, 若a 2 ab b 2 3, 则 (1 ab) 2 的值域为_______ 2 2 a b 1
作业：
配套练习
例题讲解 例1. 试着构造一个最小值为2的函数, “□”内 可填入常数或是x相关的式子
f ( x)
x 2
2
x 1
( x 1)
x 1 2 f ( x) ( x 1) 2 x 1 x f ( x) x 2 ( x 1) x 1 x2 f ( x) 2( x 1) x 1
例题讲解
例4.关 于x的 二 次 不 等 式 ax2 2 x b 0的 解 集 为 1 a 2 b2 2 2 的最小值为 ________ x x , 且a b, 则 a ab
基本不等式课件(共43张)
应用
可用于证明数列中的基本不等式及其他需要归纳证明的数学问题。
复合函数的不等式
概念
由函数f和g构成的复合函数，通常记为f(g(x))。
定理
若g(x) 在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上有连续导数， 则f(g(x)) 在[g(a),g(b)]上也有连续导数；若f(x) 在 [g(a),g(b)]上是凸函数，则有：f(g((sa+tb)/(s+t))) < (sf(g(a))+tf(g(b)))/(s+t) （0<s<t）
3 注意事项
某些情况下需要分类讨论，如系数符号和大小关系不同。
两个变量的基本不等式
定义
指两个变量之间的不等关系。
公式
(a+b)² > a²+2ab+b² （a，b为变量）
多个变量的基本不等式
公式
对于n个非负实数a1、a2、…、an，有(∑ai)² ≥ n∑ai²
应用
可用于证明柯西不等式、绝对值不等式等多项式不 等式。
集中不等式
2
权值后再求和，然后除以所有的权值之 和所得的数。
对于任意n个实数（不限正负），有下 面这些不等式。
(1)（非加权）算数平均数 ≥ （非 加权）几何平均数 ≥ 调和平均数 (2)若各实数互不相等，则平方差
中项≥2几何平均中项减去（非加权） 算数平均中项
3
应用
可以用于求解一些需要加权平均数作为 结果的应用题。
(1+a)^x > 1+ax (1-a)^x > 1-ax
3
应用
可用于证明基本不等式等各种不等式定理。
函数保证与不等式
概念
将不等式在两端同时乘以正数或同时乘以负数， 得到的新不等式的符号不变，就称原不等式与 新不等式互为保证。
可用于证明数列中的基本不等式及其他需要归纳证明的数学问题。
复合函数的不等式
概念
由函数f和g构成的复合函数，通常记为f(g(x))。
定理
若g(x) 在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上有连续导数， 则f(g(x)) 在[g(a),g(b)]上也有连续导数；若f(x) 在 [g(a),g(b)]上是凸函数，则有：f(g((sa+tb)/(s+t))) < (sf(g(a))+tf(g(b)))/(s+t) （0<s<t）
3 注意事项
某些情况下需要分类讨论，如系数符号和大小关系不同。
两个变量的基本不等式
定义
指两个变量之间的不等关系。
公式
(a+b)² > a²+2ab+b² （a，b为变量）
多个变量的基本不等式
公式
对于n个非负实数a1、a2、…、an，有(∑ai)² ≥ n∑ai²
应用
可用于证明柯西不等式、绝对值不等式等多项式不 等式。
集中不等式
2
权值后再求和，然后除以所有的权值之 和所得的数。
对于任意n个实数（不限正负），有下 面这些不等式。
(1)（非加权）算数平均数 ≥ （非 加权）几何平均数 ≥ 调和平均数 (2)若各实数互不相等，则平方差
中项≥2几何平均中项减去（非加权） 算数平均中项
3
应用
可以用于求解一些需要加权平均数作为 结果的应用题。
(1+a)^x > 1+ax (1-a)^x > 1-ax
3
应用
可用于证明基本不等式等各种不等式定理。
函数保证与不等式
概念
将不等式在两端同时乘以正数或同时乘以负数， 得到的新不等式的符号不变，就称原不等式与 新不等式互为保证。
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第2课时 基本不等式的应用
1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题；（重点） 2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式；（重点） 3.会求给定条件的最值问题；
复习巩固：
基本不等式: 若a 0,b 0, 则 ab a b , 2
当且仅当a b时等号成立
变形 : 1.
ab
a
2
b
2
解： 0 x 1 ,1 3x 0. 3
y x(1 3x) 1 3x(1 3x) 1 (3x 1 3x )2 1 .
3
32
12
当且仅当
3x 1 3x
，即
x
1 6
时， y max
1. 12
练习:已知0 x 2, 求函数y x6 2x的最大值.
解 :0 x 2, 0 2x 4, 6 2x 0
最小值是多少？
2.求函数y x 4 （x＞2）的最小值; x2
3. 求函数y x 4 （x 2）的最大值. x2
4.若0 x 1,求x(1 x)的最大值.
把握基本不等式成立的三个条件：“一正二定三相等” 1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值； 2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件；（构造： 互为相反数、互为倒数）
x 1 x1 1 1
x1
x1
2 ( x 1) 1 1 2 1 1. x1
当且仅当
x1
1, x1
即
x0 时
x 1 x 1
有最小值1.
3.整体代换型
例4 已知x>0,y>0,且2x+y=1,求 1 1 的最小
值.
xy
解： 1 2x y 2 2xy,
xy 1 ,即 1 2 2.
y x 1 x 3 1 3 2 (x 3) • 1 3 2 3 5,
x3
x3
x3
当且仅当x
3
x
1 ,即x 3
4时, ymin
5.
(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值
例3 已知0 x 1 ,求函数y x(1 3x)的最大值. 3
分析：x (1 3x)不是定值，3x (1 3x)为定值.
22
xy
1 1 2 1 22 2 4 2. x y xy
即 1 的1 最小值为 xy
4 2.
这个解法 正确吗？
不正确. 过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同
的，故结果错误.
分析：本题给定约束条件 2x
y 1 ，来求
1 x
1 y
的最小值,
注意到 1=2x y, 故可以采用对目标函数 f (x) 1 1
2. a b 2 ab
a 0, b 0 a 0, b 0
x y 1
2
积定和有最小值
x y 1
2
1
和定积有最大值
4
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”.
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若出现 问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？
基本不等式在求最大、最小值中的应用
课本P100练习第1题 : 若x 0,当x 取什么值, x 1 的值最小？最小值是多少？
x
基本不等式在求最大、最小值中的应用
1.化正型
例1变式：若x 0, x 1 有最 ___ 值为 ___， x
此时x＝____ .
分析特:别提x 醒 0：, 如1 果0所,不求符因合式基都本是不负等数式，的通条常件采, 用添负 x
x
2
f (x)的最大值为 2 2 1.
2.凑定型 (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.
学案P70 例22:已知x 2, 求x 4 的最小值.
x2
分析 : x与 4 的积不为定值,故需变形使积为定值. x2
练习: 求函数y 1 x x 3的最小值.
x3
解 : x 3,x 3 0, 1 0. x3
3
2
2.
对于给定条件求最值的问题，常可采用乘 “1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don&#d
巩固练习:
1．已知 x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值．
4
4x 5
解： x 5，5 4x 0. 4
y 4x 2 1 (4x 5) 1 3 [(5 4x) 1 ] 3.
4x 5
4x 5
5 4x
(5 4x) 1 2，[(5 4x) 1 ] 2.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
y x6 2x 1 2x6 2x 1 2x 6 2x 2 9
2
2 2 2
当且仅当2x
6
2x即x
3 时, 2
ymax
9 2
合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值 ，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此 类问题的关键.
• 作业：
1.若x 2,当x取什么值，x 1 的值最小？ x
号故变把为负正数数转的化处为理正方数法. .
练习: 求函数f x 2x 1 1 x 0的最大值.
x
解： x 0,2x 0, 1 0. x
（-2x) ( 1 ) 2 2.2x 1 2 2.
x
x
f (x) 2x 1 1 2 2 1.
关注因式是 负数
x
当且仅当 2x 1 ,即x 2 时,取等号.
xy
乘“1”构造使用基本不等式的条件.
正确解答:
解 : f (x) 1 1 2 x y 2 x y
xy x
y
3 y 2x 3 2 2, xy
当且仅当 y 2x , 即 y 2 x 时取“=”号.
xy
而
y
2x,
x
1 2
2 ,
2 x y 1.
y
2
2
2
即此时 ( 1 x
1 y )min
5 4x
5 4x
即 [(5 4x) 1 ] 3 1. 5 4x
当且仅当5 54x4x 1 1 时时，，即即x x 1时1时 5 54x4 x
等号成立，故函数的最大值 ymax 1.
2.若x 1, 则 x 为何值时
有最小值，最小值为多少？
x 1 x 1
解： x 1， x 1 0， 1 0. x1
1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题；（重点） 2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式；（重点） 3.会求给定条件的最值问题；
复习巩固：
基本不等式: 若a 0,b 0, 则 ab a b , 2
当且仅当a b时等号成立
变形 : 1.
ab
a
2
b
2
解： 0 x 1 ,1 3x 0. 3
y x(1 3x) 1 3x(1 3x) 1 (3x 1 3x )2 1 .
3
32
12
当且仅当
3x 1 3x
，即
x
1 6
时， y max
1. 12
练习:已知0 x 2, 求函数y x6 2x的最大值.
解 :0 x 2, 0 2x 4, 6 2x 0
最小值是多少？
2.求函数y x 4 （x＞2）的最小值; x2
3. 求函数y x 4 （x 2）的最大值. x2
4.若0 x 1,求x(1 x)的最大值.
把握基本不等式成立的三个条件：“一正二定三相等” 1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值； 2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件；（构造： 互为相反数、互为倒数）
x 1 x1 1 1
x1
x1
2 ( x 1) 1 1 2 1 1. x1
当且仅当
x1
1, x1
即
x0 时
x 1 x 1
有最小值1.
3.整体代换型
例4 已知x>0,y>0,且2x+y=1,求 1 1 的最小
值.
xy
解： 1 2x y 2 2xy,
xy 1 ,即 1 2 2.
y x 1 x 3 1 3 2 (x 3) • 1 3 2 3 5,
x3
x3
x3
当且仅当x
3
x
1 ,即x 3
4时, ymin
5.
(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值
例3 已知0 x 1 ,求函数y x(1 3x)的最大值. 3
分析：x (1 3x)不是定值，3x (1 3x)为定值.
22
xy
1 1 2 1 22 2 4 2. x y xy
即 1 的1 最小值为 xy
4 2.
这个解法 正确吗？
不正确. 过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同
的，故结果错误.
分析：本题给定约束条件 2x
y 1 ，来求
1 x
1 y
的最小值,
注意到 1=2x y, 故可以采用对目标函数 f (x) 1 1
2. a b 2 ab
a 0, b 0 a 0, b 0
x y 1
2
积定和有最小值
x y 1
2
1
和定积有最大值
4
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”.
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若出现 问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？
基本不等式在求最大、最小值中的应用
课本P100练习第1题 : 若x 0,当x 取什么值, x 1 的值最小？最小值是多少？
x
基本不等式在求最大、最小值中的应用
1.化正型
例1变式：若x 0, x 1 有最 ___ 值为 ___， x
此时x＝____ .
分析特:别提x 醒 0：, 如1 果0所,不求符因合式基都本是不负等数式，的通条常件采, 用添负 x
x
2
f (x)的最大值为 2 2 1.
2.凑定型 (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.
学案P70 例22:已知x 2, 求x 4 的最小值.
x2
分析 : x与 4 的积不为定值,故需变形使积为定值. x2
练习: 求函数y 1 x x 3的最小值.
x3
解 : x 3,x 3 0, 1 0. x3
3
2
2.
对于给定条件求最值的问题，常可采用乘 “1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don&#d
巩固练习:
1．已知 x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值．
4
4x 5
解： x 5，5 4x 0. 4
y 4x 2 1 (4x 5) 1 3 [(5 4x) 1 ] 3.
4x 5
4x 5
5 4x
(5 4x) 1 2，[(5 4x) 1 ] 2.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
y x6 2x 1 2x6 2x 1 2x 6 2x 2 9
2
2 2 2
当且仅当2x
6
2x即x
3 时, 2
ymax
9 2
合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值 ，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此 类问题的关键.
• 作业：
1.若x 2,当x取什么值，x 1 的值最小？ x
号故变把为负正数数转的化处为理正方数法. .
练习: 求函数f x 2x 1 1 x 0的最大值.
x
解： x 0,2x 0, 1 0. x
（-2x) ( 1 ) 2 2.2x 1 2 2.
x
x
f (x) 2x 1 1 2 2 1.
关注因式是 负数
x
当且仅当 2x 1 ,即x 2 时,取等号.
xy
乘“1”构造使用基本不等式的条件.
正确解答:
解 : f (x) 1 1 2 x y 2 x y
xy x
y
3 y 2x 3 2 2, xy
当且仅当 y 2x , 即 y 2 x 时取“=”号.
xy
而
y
2x,
x
1 2
2 ,
2 x y 1.
y
2
2
2
即此时 ( 1 x
1 y )min
5 4x
5 4x
即 [(5 4x) 1 ] 3 1. 5 4x
当且仅当5 54x4x 1 1 时时，，即即x x 1时1时 5 54x4 x
等号成立，故函数的最大值 ymax 1.
2.若x 1, 则 x 为何值时
有最小值，最小值为多少？
x 1 x 1
解： x 1， x 1 0， 1 0. x1