离散型随机变量的分布列、期望与方差
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
离散型随机变量的期望与方差及正态分布
离散型随机变量的期望与方差、正态分布教学目标：１更好地理解并会求解简单问题的离散型随机变量的分布列，特别是要重点把握二项分布；２.理解正态分布的σ3原则；３.掌握离散型随机变量的均值及方差的计算方法。
重、难点：实际问题中恰当定义随机变量，求离散型随机变量的分布列及其期望。
教学过程： [知识梳理] 一、均值：一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称∑==+⋅⋅⋅+++=ni ii n n px p x p x p x p x X E 1332211)(为离散型随机变量X 的均值．．或数学．．期望．．。
数学期望简称为期望。
离散型随机变量X 的均值．．[E (X)]也称为X 的概率分布的均值，它反映了X 取值的平均水平，并且它与X 有相同的单位。
E (X)是一个常数，不依赖于样本的抽取。
样本平均值是一个随机变量，它随着抽取的样本的不同而不同。
对随机抽取的样本，随着样本容量的增大，样本平均值越来越接近于总体的均值。
E (X)越大，说明总体的平均数越大，反之，就越小。
性质：１. E (C)＝C （C 为常数） ２. E (aX)=a E (X) 3. E (aX+b)=a E (X)+b 4. E (X+η)= E (X)+ E (η) 5. E (X ·η)= E (X)·E (η) (X ，η相互独立时) 6.若X 服从二点分布，则E (X)＝p 7.若X ～B (n ，p )，则E (X)＝n p 8.若X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布，则E (X)＝nM/N 。
（如果X ～B (n ，p )，则由11--=k n k n nC kC ，可得np q p C np qpnpCqp kC X E n k kn k k n nk k n k k n nk kn kk n====∑∑∑-=---=------=-1111)1(1111)(） 二、方差：设离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则2)(EX x i -描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度。
12.2 离散型随机变量的期望与方差
互不相同)相互独立,且 P ( A1 ) 1 , P ( B2 ) 1 , P (C3 ) 1 .
2 3 6
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
0 3
故ξ 的分布列是 1 2 3 2 4 8 P 9 27 9 1 2 4 8 2. ξ 的数学期望 E 0 1 2 3 27 9 9 27 探究提高 (1)求离散型随机变量的期望与方差关键
0 1 27
是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布
列,正确运用期望、方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项 分布的,可用二项分布的期望与方差公式计算,则更为 简单.
P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) 1 1 1 1 6 . 2 3 6 6 (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为
η ,由已知, ~ B(3, ), 且 3 ,
1 3 1 1 所 以P ( 0) P ( 3) C3 ( )3 , 3 3 27
又E(η )=aE(ξ )+b,
所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2. 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
a 2, a 2, 或 即为所求. b 2, b 4.
题型三
期望与方差的实际应用
【例3】 (12分）(2008·广东理,17)随机抽取某厂的
[1分]
[5分]
故ξ 的 分布列为
6 P 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02 [6分] (2)Eξ =6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02 =4.34(万元). [8分]
离散型随机变量的分布列及均值、方差
(2)方差
n
称 D(X)＝
(xi－E(X))2pi
i＝1
为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均
值 E(X)的 平均偏离程度 ，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的 标准差 ．
4．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ．(a，b 为常数)
题型一 分布列的求法 例 1 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，
在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36 节云课，为了更好地将课程
内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000，＋∞)
节数
3 5
题型二 均值与方差 例 2 某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有 两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也 可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能 损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
3．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称 E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或 数学期望 ．它 刻画了离散型随机变量取值的 平均水平 ．
【思维升华】 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布 列，然后利用均值、方差公式直接求解． (2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的 方程(组)，解方程(组)即可求出参数值． (3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题 作出判断．
离散型随机变量的分布列与期望和方差
离散型随机变量的分布列与期望和方差考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，考点三：二项分布二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.222.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知X 的分布列为X ﹣1 0 1 P且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.设随机变量X ∼N(1,δ2),且P(X>2)=51,则P(0<X<1)=___.5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,410b x p a x p x p ======若()1=X E ，则 ()=X D .6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =，13()2D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X = 超几何分布VS 二项分布1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50~(,)X B n p 52EX =54DX =(1)P X ==条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)考点四：正太分布1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15863.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.932054.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1215.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．X 2~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥=①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．。
随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。
2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称∑=-=ni i ip X E x X D 12))(()(为随机变量的方差。
2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
3.性质：)()(2X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6 B．1C．3.5 D．2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765D ．0.222.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：3.已知随机变量ξ的分布列为则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2D ．D (X )＝pq 2【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则σ(X 3)＝( )A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5D ．3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差．【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72D ．0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：课后练习【补救练习】1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.642．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.83.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．【巩固练习】1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8C．9 D．122.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.43.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4 B．2,2.4C．2,5.6 D．6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.6.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【拔高练习】1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。
1.2 离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型
n 1 np ( p q ) np 所以，
若 ~ B ( n , p ), 则 E np
1.2 离散型随机变量的期望与方差
练习： 课堂后练习：1~6 课堂小结 1．随机变量的数学期望的意义及其求法； 2．服从二项分布的随机变量的数学期望． 作业：
P15 习题1.2
1、4、5、6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
1 1 1 1 1 1 E 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 1 ( 123456 ) 6 3 .5
1.2 离散型随机变量的期望与方差
例题讲解 例3、有一批数量很大的产品，其次品率是15%．对这批产 品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则 继续抽查，直到抽出次品，但每次抽查次数最多不超过10 次．求抽查次数 的期望（结果保留三个有效数字）． 解：抽查次数 取1~10的整数，从这批数量很大的产品中 每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取次品的概 率是0.15，取正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k 次 （k=1,2…9)取出次品的概率
能否根据分布列估计射手n 次射击的平均环数？ 在n 次射击中，预计有大约： P ( 4 ) n 0 . 02 n P ( 5 ) n 0 . 04 n 次得4环， 次得5环， …… P ( 10 ) n 0 . 22 ห้องสมุดไป่ตู้ 次得10环．
4 0 . 02 5 0 . 04 10 0 . 22 ) n n 次射击的总环数约等于 (
0 . 02 5 0 . 04 10 0 . 22 8 . 3 n 次射击的平均环数约等于4
离散型随机变量的分布列及其期望与方差
离散型随机变量的分布列及其期望与方差题组一：1、已知随机变量X 的分布列为P （X=i ）=a i 2（i=1，2，3），则P （X=2）= .2、设离散型随机变量X 的概率分布为求：（1）2X+1的概率分布；（2）|X-1|的概率分布.3、设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布为则q 的值为 .4、设离散型随机变量ξ的分布列P （ξ=5k ）=ak ，k=1，2，3，4，5. （1）求常数a 的值；（2）求P （ξ≥53）；（3）求P （101＜ξ＜107）.题组二：1、若某一射手射击所得环数X 的概率分布如下：则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是 .2、一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率是 .3、某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为，击中目标就停止射击，则此人射击次数为5的概率为 .4、设随机变量X～B(6,21),则P（X=3）= .5、某同学有2盒笔芯，每盒有25支，使用时从任意一盒中取出一支。
经过一段时间后，发现一盒已经用完了，则另一盒恰好剩下5只的概率是 .6、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.7、已知P（AB）=103，P（A）=53，则P （B|A）= .8、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 . 9、1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少（2）从2号箱取出红球的概率是多少10、甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格.（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.11、有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为，，.（1）若甲乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（2）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（3）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，求随机变量ξ的概率分布.12、已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为31,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一个小组做三次试验,求至少两次试验成功的概率;(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.13、甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为54,乙投进的概率为21，求：（1）甲投进2球且乙投进1球的概率；（2）在甲第一次投篮未投进的条件下甲最终获胜的概率.题组三：1、一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出的最大号码.（1）求X 的概率分布；（2）求X ＞4的概率.2、袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数ξ的概率分布.3、从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，则随机变量X可以取哪些值求X的概率分布.4、甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为ξ,若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求ξ的概率分布.5、某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率分布.6、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的概率分布；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.题组四：1、设一随机试验的结果只有A和A，且P（A）=p，令随机变量X=⎩⎨⎧不出现出现AA1，则D(X)= .2、设ξ～B（n，p），若有E(ξ)=12，D(ξ)=4，则n、p的值分别为 .3、已知ξ的分布列为ξ=-1,0,1,对应P=21，61，31，且设η=2ξ+1，则η的期望是 .4、随机变量ξ的概率分布如下：其中a,b,c成等差数列.若E（ξ）=31,则D（ξ）的值是 .5、设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件检查则查得次品数的数学期望为 .6、有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽取3张卡片，则这3张卡片上的数学这和的数学期望为 .7、编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.（1）求随机变量X的概率分布；（2）求随机变量X的数学期望和方差.8、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：（1）X的概率分布；（2）X的均值.9、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161.（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.10、某地区的一个季节下雨天的概率是，气象台预报天气的准确率为.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失 3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的概率分布，并求其平均值；（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的概率分布.计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择11、有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.。
分布列期望方差知识
离散型随机变量的分布列、数学期望、方差一． 离散型随机变量：若随机变量可能的取值可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
二． 离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 1． 设离散型随机变量ξ可能的取值为12,,,,i x x x ，ξ取每一个值()1,2,i x i =的概率为i p ，列表如下：叫做随机变量ξ的概率分布，简称分布列。
有如下性质： （1）()011,2,i p i ≤≤=（2）121i p p p ++++=2．数学期望：1122i i E x p x p x p ξ=++++叫做离散型随机变量ξ的数学期望，简称期望。
反映离散型随机变量ξ取值的平均水平。
若a b ηξ=+，则E aE b ηξ=+。
3．方差：()()()2221122i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+叫做离散型随机变量ξ的方叫做离散型随机变量ξ的标准差，记作σξ 若a b ηξ=+，则2D a D ηξ=。
方差反映随机变量ξ的取值与平均值的离散情况。
即稳定性。
三．几个典型的分布1．二项分布：n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数(),B n p ξ，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
则()()()();,0,1,,k k n kn n P k b k n p P k C p q k n ξ-=====2、几何分布：独立重复试验中事件A 第一次发生时的试验次数ξ服从几何分布，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
()()11,2,k P k q p k ξ-===期望1E p ξ=，方差2q D pξ=。
3．两点分布：一次实验中，事件A 发生记为1，不发生记为0，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
则期望E p ξ=，方差D pq ξ=。
练习1．已知随机变量(),B n p ξ，且6,3E D ξξ==，则()1;,b n p = .2．若随机变量ξ的分布列是：()()1,3P m P n a ξξ====.且2E ξ=,则D ξ的最小值是 .3．若随机变量ξ满足()(),P k g k p ξ==，2D ξ=，21ηξ=-，则E η= ，D η= 。
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差：一、框架第一方面：离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
2.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为： x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1x 2…x i…P P 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的分布列 3. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，… ⑵P 1+P 2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！第二方面：条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A·B ，则有P （A·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )★相互独立事件A ，B 有关的概率的计算公式如下表：事件A ，B 相互独立 概率计算公式 A ，B 同时发生 P (AB )＝P (A )P (B )A ，B 同时不发生 P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B ) A ，B 至少有一个不发生 P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )A ，B 至少有一个发生 P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )A ，B 恰有一个发生P ＝P (A B －＋A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )P (B )2．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
分布列的期望和方差
)＝p2p1＝
2 9
，P(ξ＝－2n)＝p2p2＝
4 9
，E(ξ)＝
5m10n 9
.当
m＞2n
时，选择
甲方；当 m＜2n 时，选择乙方；当 m＝2n 时，选择两方都一样．
题型二 离散型随机变量的方差
【例 2】 (2010·江苏苏北三市模拟)在一次电视节目的抢答
中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正
若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2 的分布列为：
ξ2 500 －300 0
P
3 5
1
1
3 15
E(ξ2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)． 又 D(ξ1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000， D(ξ2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝ 140 000. 所以 E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
等于 5 点，则算甲方赢，乙方给甲 m 元，否则算乙方赢，甲方给 乙方 n 元；②如果第一轮掷骰子甲赢，则游戏结束，否则进行第 二轮掷骰子的游戏，无论谁赢游戏结束．
(1)如果 m＝2，n＝1，甲方和乙方哪方赢钱的期望更大？ (2)你若希望赢钱，该选择哪一方？
解析：甲方赢的概率
p1＝
1 3
，乙方赢的概率
• • [例2] (09·广东)已知离散型随机变量X的
分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，， 则a＝______，b＝______.
• 分析：依据离散型随机变量的性质和期望、 方差的计算公式列方程组求解．
离散型随机变量的分布列、期望与方差
=2.752.
学例2 (2008·广东卷)随机抽取某厂的某种
产品200件，经质检，其中有一等品126件、 二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生 产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万 元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设 1件产品的利润为ξ（单位：万元）.
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);
ξ
0
1
…
M
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM
CNn
CNn
…
C C m nm M NM
CNn
为⑦超几何分布列.如果随机变量ξ的分布列为超
几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布.
3.离散型随机变量的分布列的性质 ⑧ Pi≥0,P1+P2+…+Pi+…=1 (i=1,2,3,…) . 4.离散型随机变量的均值 若离散型随机变量ξ的分布列为：
是随机变量的特征数，期望反映了随 机变量的平均取值，方差与标准差都 反映了随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度.在进行决策时，一 般先根据期望值的大小来决定，当期 望值相同或相差不大时，再去利用方 差决策.
备选题
某工厂每月生产某种产品三件,经检测发 现，工厂生产该产品的合格率为45.已知生产 一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将 亏损10万元.假设该产品任何两件之间合格与 否相互之间没有影响.
设随机变量ξ表示在取得合格品以前
已取出的不合格品数，则ξ=0,1,2,3,
可得P(ξ=0)=
9 12
,
P(ξ=1)=
3× 9
12 11
=
9 44
,
第九章 第七讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差
第七讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．知识点二 离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 知识点三 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n .(1)均值：称E (X )＝_x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n __为随机变量X 的均值或数学期望．(2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的_标准差__. (3)均值与方差的性质 ①E (aX ＋b )＝_aE (X )＋b __. ②D (aX ＋b )＝_a 2D (X )__. *③D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.知识点四 常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为X 0 1 P1－pp其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.X 01… mPC 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC nN重要结论1．若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 是常数)也是随机变量． 2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ ) (4)由下列给出的随机变量X 的分布列服从二点分布．( × )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4服从超几何分布．( √ ) (6)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × ) 题组二 走进教材2．(P 77A 组T1改编)(此题为更换后新题)设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝_58__.[解析] 由14＋m ＋18＋38＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋38＝58.2．(P 77A 组T1改编)(此题为发现的重题，更换新题见上题)设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝_512__.[解析] 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.3．(P 49A 组T1)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是_0,1,2,3__.[解析] 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3. 题组三 走向高考4．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝_13__，E (ξ)＝_1__.[解析] 由题意知，随机变量ξ的可能取值为0,1,2；计算P (ξ＝0)＝C 11C 14＋C 11·C 11C 14·C 13＝13；P (ξ＝1)＝C 12·C 11A 24＋C 12C 11A 22C 11A 34＝13；P (ξ＝2)＝A 22·C 11A 34＋C 22C 11A 33C 11A 44＝13；所以E (ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.故答案为13，1.5．(2020·课标Ⅲ，3)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑i ＝14p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( B )A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2[解析] 根据均值E (X )＝∑i ＝14x i p i ，方差D (X )＝∑i ＝14[x i －E (X )]2·p i ，标准差最大即方差最大，由各选项对应的方差如下表选项 均值E (X ) 方差D (X ) A 2.5 0.65 B 2.5 1.85 C 2.5 1.05 D2.51.45由此可知选项B 对应样本的标准差最大，故选B ．考点突破·互动探究考点一 离散型随机变量分布列的性质——自主练透例1 (1)(2021·河南南阳联考)随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P (54<X <134)的值为( D )A ．23B ．34C ．45D ．516(2)(2021·银川质检)若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝( B )ξ 0 1 2 3 P0.1ab0.1A ．0.2B ．－0.2C ．0.8D ．－0.8[解析] (1)∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a ⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋…＋14×5＝1，即⎝⎛⎭⎫1－15a ＝1， ∴a ＝54，∴P ⎝⎛⎭⎫54<X <134＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝54×16＋54×112＝516. (2)易知a ，b ∈[0,1]，由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8，由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，所以a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2.名师点拨(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．〔变式训练1〕(2020·天津和平区期末)设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望E (X )＝_94__.X 1 2 3 4 P13m1416[解析] 13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝14.所以E (X )＝1×13＋2×14＋3×14＋4×16＝94.考点二 离散型随机变量的期望与方差——多维探究例2 角度1 期望、方差的简单计算(1)设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝16(k ＝1,2,3,4,5,6)，则E (X )＝_3.5__，E (2X ＋3)＝_10__，D (X )＝_3512__，D (3X －1)＝_1054__.[解析] E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＋…＋x 6p 6＝3.5， E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝10.D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x 6－E (X ))2p 6 ＝16[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋…＋(6－3.5)2] ＝17.5×16＝3512.D (3X －1)＝9D (X )＝1054.角度2 期望、方差与函数性质(2)(2019·浙江卷，7)设0<a <1.随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时，( D ) A ．D (X )增大 B ．D (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．D (X )先减小后增大[解析] 随机变量X 的期望E (X )＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，D (X )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫0－a ＋132＋⎝⎛⎭⎫a －a ＋132＋⎝⎛⎭⎫1－a ＋132×13＝29(a 2－a ＋1) ＝29⎝⎛⎭⎫a －122＋16， 当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，D (X )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，D (X )单调递增，故选D ． 角度3 实际问题中的期望、方差问题(3)(2021·天津红桥区期中)某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，规定：每位顾客从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．①求顾客所获的奖励额为60元的概率； ②求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望． [解析] ①设顾客所获取的奖励额为X ， 依题意，得P (X ＝60)＝C 11·C 13C 24＝12，即顾客所获得奖励额为60元的概率为12.②依题意得X 得所有可能取值为20,60， P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E (X )＝20×12＋60×12＝40.(4)(入座问题)有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入座编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．(1)求n 的值；(2)求随机变量X 的数学期望和方差．[解析] (1)由题意知C 2n ＝6，解得n ＝4. (2)X 所有可能取值为0,2,3,4， 又P (X ＝0)＝1A 44＝124，P (X ＝2)＝C 24A 44＝624＝14，P (X ＝3)＝8A 44＝824＝13，P (X ＝4)＝9A 44＝924＝38，∴随机变量X 的分布列为X 0 2 3 4 P124141338∴E (X )＝0×124＋2×14＋3×13＋4×38＝3，D (X )＝(3－0)2×124＋(3－2)2×14＋(3－3)2×13＋(3－4)2×38＝1.名师点拨求离散型随机变量的分布列、期望与方差，应按下述步骤进行： (1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义； (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率； (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证； (4)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．说明：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意计数原理、排列组合及常见概率模型．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·江苏镇江调研)随机变量ξ的分布如下表，则E (5ξ＋4)＝_13__.ξ 0 2 4 P0.40.30.3(2)(角度2)(2021·广东深圳宝安区调研)设0<a <1，离散型随机变量X 的分布列如下，则当a 在⎝⎛⎭⎫0，23内增大时( D )X 0 1 2 P1－a2 12a 2A ．D (X )增大 C ．D (X )先减小后增大D ．D (X )先增大后减小(3)如图，A 、B 两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ.①写出最大信息总量ξ的分布列； ②求最大信息总量ξ的数学期望．[解析] (1)由题意知E (ξ)＝2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝13. (2)由题意：E (X )＝0×1－a 2＋1×12＋2×a 2＝a ＋12，所以D (X )＝1－a 2⎝⎛⎭⎫0－a －122＋12⎝⎛⎭⎫1－a －122＋a 2⎝⎛⎭⎫2－a －122＝－a 2＋a ＋14＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋12， 因为12∈⎝⎛⎭⎫0，23，所以D (ξ)先增后减，故选D ． (3)①由已知，ξ的取值为7,8,9,10，∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 12＋C 22C 11C 35＝310，P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25， P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110.∴ξ的概率分布列为ξ 7 8 9 10 P1531025110②E (ξ)＝15×7＋310×8＋25×9＋110×10＝425＝8.4.考点三 超几何分布——师生共研例3 (2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1425211021521142[引申1]用X 表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X 的分布列为_____. [解析] 由题意可知X 的取值为1,2,3,4,5，则P (X ＝1)＝C 16C 44C 510＝142，P (X ＝2)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝3)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝4)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝5)＝C 56C 510＝142.因此X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P1425211021521142[引申2]用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X 的分布列为_____. [解析] 由题意知X 可取的值为3,1，－1，－3，－5.则P (X ＝3)＝C 44C 16C 510＝142，P (X ＝1)＝C 34C 26C 510＝521，P (X ＝－1)＝C 24C 36C 510＝1021，P (X ＝－3)＝C 14C 46C 510＝521，P (X ＝－5)＝C 56C 510＝142，因此X 的分布列为X 3 1 －1 －3 －5 P1425211021521142名师点拨1．超几何分布的两个特点： (1)超几何分布是不放回抽样问题； (2)随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布的应用：超几何分布属于古典概型，主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型． 〔变式训练3〕(2021·安徽省淮北市模拟)有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标λ＝a ＋b ＋c 的值评定石榴的等级，若λ≥4则为一级；若2≤λ≤3则为二级；若0≤λ≤1则为三级．近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：种植园编号 A B C D E F (a ，b ，c ) (1,0,0) (2,2,1) (0,1,1) (2,0,2) (1,1,1) (1,1,2) 种植园编号 G H I J K L (a ，b ，c )(2,2,2)(0,0,1)(2,2,1)(0,2,1)(1,2,0)(0,0,2)(1)若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；(2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)计算12个石榴种植园的综合指标，可得下表编号 A B C D E F G H I J K L 综合指标152434615332由上表可知等级为一级的有5个， 所以等级为一级的频率为512，所以120个石榴种植园中一级种植园约有50个． (2)由题意ξ可以取0、1、2，其中P (ξ＝0)＝C 02C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 12C 15C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 05C 27＝121，∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 P10211021121故E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.名师讲坛·素养提升 离散型随机变量与统计综合例4 (2021·吉林长春实验中学期中)某学校为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分，最低分20分)．根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．[解析] (1)得分[20,40)的频率为0.005×20＝0.1；得分[40,60)的频率为0.010×20＝0.2；得分[80,100]的频率为0.015×20＝0.3；所以得分[60,80)的频率为1－(0.1＋0.2＋0.3)＝0.4.设班级得分的中位数为x 分，于是 0．1＋0.2＋x －6020×0.4＝0.5，解得x ＝70.所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70.(2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4.分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1.由题意可得X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,6P (X ＝1)＝C 11C 12C 210＝245，P (X ＝2)＝C 22＋C 11C 14C 210＝19，P (X ＝3)＝C 11C 13＋C 12C 14C 210＝1145，P (X ＝4)＝C 24＋C 12C 13C 210＝415， P (X ＝5)＝C 14C 13C 210＝415，P (X ＝6)＝C 23C 210＝115，所以X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 P245191145415415115E (X )＝1×245＋2×19＋3×1145＋4×415＋5×415＋6×115＝17145＝195.所以X 的数学期望E (X )＝195.〔变式训练4〕(2021·湖南湘潭模拟)为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，将他们的化学成绩(满分为100分)分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]6组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值；(2)记A 表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A 发生的概率；(3)在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在[60,80)内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在[60,70)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．[解析] (1)∵(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋a ＋0.010)×10＝1，∴a ＝0.025.(2)∵成绩不低于70分的频率为(0.030＋0.025＋0.010)×10＝0.65，∴事件A 发生的概率约为0.65.(3)抽取的100名理科生中，成绩在[60,70)内的有100×0.020×10＝20人，成绩在[70,80)内的有100×0.030×10＝30人，故采用分层抽样抽取的10名理科生中，成绩在[60,70)内的有4人，在[70,80)内的有6人，由题可知，X 的可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝0)＝C 46C 410＝15210＝114， P (X ＝1)＝C 36·C 14C 410＝80210＝821， P (X ＝2)＝C 26·C 24C 410＝90210＝37， P (X ＝3)＝C 16·C 34C 410＝24210＝435， P (X ＝4)＝C 44C 410＝1210. ∴X 的分布列为 X0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210∴E (X )＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85.。
高中数学离散型随机变量分布列、期望与方差
离散型随机变量——分布列、期望与方差从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:①产品检验问题；②射击,投篮问题；③选题、选课,做题,考试问题；④试验,游戏,竞赛,研究性问题；⑤旅游,交通问题；⑥摸球球问题；⑦取卡片,数字和入座问题；⑧信息,投资,路线问题；⑨与概率分布直方图关联问题；⑩综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识问题着重考查分析问题和解决问题的能力。
一、离散型随机变量的分布列、期望与方差1.离散型随机变量及其分布列: (1)离散型随机变量:如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,这样的变量X 叫做一个随机变量.如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的特点:①结果的可数性；②结果的未知性。
(3)离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 所有可能的取值为i x ,与i x 对应的概率为i p (1,2,,)i n =,则下表:称为离散型随机变量X 的概率分布,或称为离散型随机变量X 的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质:①0i p >(1,2,,)i n =；②11nii p==∑(1,2,,)i n =.③(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅ 2.离散型随机变量的数学期望:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x , 这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =+++,叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).(2)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.3.离散型随机变量的方差:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这 些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差.(2)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散程度).(3)()D X的算术平方根叫做离散型随机变量X 的标准差,它也是一个衡量离散 型随机变量波动大小的量.4.随机变量aX b +的期望与方差:①()()E aX b aE X b +=+；②2()().D aX b a D X +=二、条件概率与事件的独立性:1.条件概率:对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件 概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =). 2.事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两 个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事 件i A 换成其对立事件后等式仍成立.三、几类典型的概率分布:1.两点分布:如果随机变量X 的分布列为其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布.注:①两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验, 所以这种分布又称为伯努利分布. ②();().E X p D X np ==2.超几何分布:一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件 ()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个),称离散型随机变量X 的这 种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.记为:(,,)X H N M n .注:();ME X n N=2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-. 3.二项分布:(1)定义:如果每次试验,只有两个可能的结果A 及A ,且事件A 发生的概率相同(p ). 那么重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,这种试验称为n 次独立重复试验.在n 次试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,,)k n =.(2)二项分布:若将事件A 发生的次数为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==, 其中0,1,2,,k n =,于是得到X 的分布列:由于表中第二行恰好是二项展开式00111()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . (3)二项分布的均值与方差:若~(,)X B n p ,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.4.几何分布:(1)定义:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数X 也是一个正 整数的离散型随机变量.“X k =”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =,()1,k p A p =- 那么112311231()()()()()()()(1)k k k k k P X k P A A A A A P A P A P A P A P A p p ---====-.(0,1,2,k =…)；于是得到随机变量ξ的概率分布如下:记作(,),Xg k p(2)若(,),X g k p 则1()E X p =；21()pD X p-=(1)q p =-. 5.正态分布(1)概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上 面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则 这条曲线称为X 的概率密度曲线.(2)曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. (2)正态分布:①定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作 用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分 布.服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. ②正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22()2()x f x μσ--=,x ∈R , 其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞.式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差. 期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作:2(,)XN μσ.③正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.④标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑤正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是 68.3%,95.4%,99.7%.⑥正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是 0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.⑦若2~()N ξμσ，,()f x 为其概率密度函数,则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函 数,特别的,2~(01)N ξμσ-，,称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数,()()x P x μξφσ-<=.离散型随机变量——分布列、期望与方差考点1.产品检验问题:例1.已知甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品 元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求(1)取得的4个元件均为正品的概率； (2)取得正品元件个数ε的数学期望.例2.某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、 2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品, 则当天的产品不能通过.(1)求第一天通过检查的概率；(2)求前两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、 2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.考点2.比赛问题:例3.,A B 两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。
离散型随机变量的期望与方差_图文
因为P(η＝axi＋b)＝P(ξ＝xi)，i＝1，2，3，… 所以，η的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是
Eη＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＋… ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…)＋b(p1＋p2＋…+pn＋…) ＝aEξ＋b．
即 E(aξ＋b)＝aEξ＋b．
超几何分布的期望： 证明如下：
引入 一组数据的方差：
在一组数：x1， x2 ，… x n 中，各数据 的平均数为 x，则这组数据的方差为：
S2=
( x1 – x )2 + ( x2 – x )2 +…+ ( x n – x )2 n
方差反映了这组 数据的波动情况
二、新课 1、离散型随机变量的方差
3…
k
…
P
p
pq
pq2 …
pqk-1 …
Dη=(1 –1/p)2·p+ (2 - 1/p)]2·pq+ …+ (k - 1/p)]2·pqk-1 + … ……(要利用函数f(q)=kqk的导数）
三、应用
例1：已知离散型随机变量ξ1的概率分布
ξ1 1
234567
P 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望 或平均数、均值，数学期望又简称为期望．
离散型随时机变量的期望与方差
2．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一 旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实 施结果：
投资成功 192次
投资失败 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是________元． 答案：4 760
3．已知 ξ服从二项分布，即ξ～B(100， )，则E(2ξ＋3)＝________. 解析：由已知Eξ＝100× ＝50，∴E(2ξ＋3)＝2Eξ＋3＝103. 答案：103
【答题模板】
解答：根据已知条件随机变量x的取值分别是1,2,3.
P(x＝1)＝
，P(x＝2)＝
P(x＝3)＝
则随机变量ξ的分布列为
x
1
2
3
ξ
Eξ＝ ＋1＋ ＝
【分析点评】
1. 离散型随机变量的期望和方差是高考考查离散型随机变量分布列的重 点．高考中也考查二项分布和几何分布相关的分布列及期望和方差．
复试验，故ξ～B(5， )，即有P(ξ＝k)＝
，k＝0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如解法一．
(2)Eξ＝
.
解法三：(1)同解法一或解法二． (2)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布， 故期望值相等．即3Eξ＝5，从而Eξ＝ .
变式2. 2010年广州亚运组委会向民间招募防暴犬，首先进行入围测试，计划考 查三类问题：①体能；②嗅觉；③反应，这三类问题中只要有两类通过测试， 就可以入围．某驯犬基地有4只优质犬参加测试，已知这4只优质犬通过①类问 题的概率都是 ，通过②类问题的概率都是 ， 通过③类问题的概率都是 . (1)求每只优质犬能够入围的概率； (2)若每入围1只优质犬给基地计10分，设基地得分为随机变量ξ，求Eξ.
离散型随机变量的分布列,期望与方差
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用 希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ， 则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是 非 负 实 数， 随 机 变 量的 概 率 分 布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的 最 大 值 为______,D的 最 大 值 为______
例2.A、B是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两种 药 ， 用 若 干 实 验 组 进 行 对 比 实 验 。每 个 试 验 组 由4个 小 白 鼠 组 成 ， 其 中2只 服 用A， 另2只 服 用B， 然 后 观 察 疗 效 。 若 在 一 个 试 验 组中 ， 服 用A有 效 的 小 白 鼠 的 只 数 比 服 用B有 效 的 多 ， 就 称 该 试 验组 为 甲 类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=
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专题十一 概率与统计第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差一、选择题1．（2014浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =．则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξ<>C ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<二、填空题2．(2016年四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .3．（2014浙江）随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=____． 三、解答题4．(2016年全国I)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？5．（2015福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．6．（2015山东）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．7．（2015四川）某市,A B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望．8． (2014新课标1)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ． 15012.2．若Z ～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544．9．（2014山东）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35．假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．10．（2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示： 0.0060.0050.0040.0030.002频率组距将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X ．11．（2014广东）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率[25,30 ] 3 0.12(30,35 ] 5 0.20(35,40 ] 8 0.32(40,45 ] 1n 1f(45,50 ] 2n 2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。
12．（2014安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）。
13．（2013新课标1）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。
如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．14．(2013北京)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）15．（2012新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，Nn ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．16．（2012山东）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为43，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率是32，每命中一次得2分，没命中得0分。
该射手每次射击的结果相互独立。
假设该射手完成以上三次射击。
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX 。
17．（2012福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；（II ）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ,2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由。
18．（2011北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。
1 1 1 09 9 0 X 8 9乙组甲组（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。
（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦K ，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）19．（2011江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．（1）求X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望。