范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(竞争市场)

第13章 竞争市场

1．令()v p m +为一有代表性的消费者的间接效用函数，()p π为一有代表性的厂商的利润函数。福利为价格的函数，且为()()v p p π+。证明竞争价格最小化这个函数，并解释为什么均衡价格是最小化而不是最大化。

Let ()v p m + be the indirect utility function of a representative consumer, and let ()p π be the profit function of a representative firm. Let welfare as a function of price be given by ()()v p p π+. Show that the competitive price minimizes this function. Can you explain why the equilibrium price minimizes this welfare measure rather than maximizes it?

答：令福利函数的一阶导数为零，则有：()()0v p p π''+=。根据罗伊尔定理和霍特林引理，一阶导表达式可写为：()()0x p y p -+=，这完全是需求等于供给的条件，也就是说，均衡时的价格能够满足福利函数的一阶导为零的条件。

同时，这一福利函数的二阶导数表达式为：()()x p y p ''-+，由需求曲线向下倾斜与供给曲线向上倾斜的性质可知它显然是正值。因此，该福利函数在均衡价格p 处具有极小值而不是极大值。

在任何不同于均衡价格的水平上，厂商供给的数量不同于消费者需求的数量。因此其他价格无法使得福利达到最大化。

2．证明：当价格从0p 变至1p 时，供给函数在0p 与1p 间积分所给出的利润变化。

Show that the integral of the supply function between 0p and 1p gives the change in profits when price changes from 0p to 1p .

证明：由霍特林引理：()()/p w p y p π∂ ∂=，，可以得到利润变化为：

3．一个有大量厂商的行业，每一厂商都取如下的成本函数形式

()()()221212120c w w y y w y w =+++=，，

（a ）找出厂商的平均成本曲线，描述它如何随要素价格12w w 的变化而移动。

（b ）找出单个厂商的短期供给曲线。

（c ）找出行业的长期供给曲线。

（d ）描述单个厂商的投入要求集合。

An industry consists of a large number of firms, each of which has a cost function of the form

()()()221212120c w w y y w y w =+++=，，

（a ）Find the minimum of average cost curve of a firm and describe how it shifts as the factor price 12w w changes.

（b ）Find the short-run supply curve of an individual firm.

（c ）Find the long-run industry supply curve.

（d ）Describe an input requirement set for an individual firm.

答：（a ）平均成本AC 为：

该曲线是凸的，将平均成本对y 求导，得出平均成本最小时产量m y 为：

并且该最低点是唯一的极小值。将m y 对12/w w 求导，得出导数为负值，即当12/w w 增加（减少）时，平均成本的极小值左（右）移。实际上，当这一比例趋于∞时，m y 收敛于1，当这一比例趋于0

（b ）边际成本为

()()122c w y y w w y ∂ =+∂，，所以短期供给函数（在平均可变成本线之上

的部分）为：

（c ）长期供给曲线为：

（d ）从成本函数中可以看出两种要素是互补的，因此生产函数为：

从成本函数中可以得到投入需求为：121x y =+和222x y =+。并且，在任何程度上1x 和2x 都不是替代的。所以，单个厂商的投入要素集是：

4．农场主生产棉花需土地和劳动。生产y 蒲式耳棉花需以货币计的劳动成本为()2c y y =。存在100个相同的农场主，其行为互相竞争。

（a ）单个农场主的棉花供给曲线是什么？

（b ）棉花市场供给曲线是什么？

（c ）假定棉花的需求曲线为()20050D p p =-，售出的均衡价格和数量是多少？ （d ）土地的均衡租金是多少？

Farmers produce corn from land and labor. The labor cost in dollars to produce y bushels of corn is ()2c y y =. There are 100 identical farms which all behave competitively.

（a ）What is the individual farmer’s supply curve of corn?

（b ）What is the market supply of corn?

（c ）Suppose the demand curve of corn is ()20050D p p =-. What is the equilibrium price and quantity sold?

（d ） What is the equilibrium rent on the land?

解：（a ）利润最大化条件为：

一阶条件为：

2y /2p y p =⇒=